Analisando o enunciado do problema, temos uma função f(x) contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b), com f(a) = 0 e f(b) = 1. O objetivo é provar que existe um ponto c no intervalo (a, b) onde a derivada f'(c) é igual a 1. Pelo Teorema de Rolle, sabemos que se uma função é contínua em [a, b], derivável em (a, b) e f(a) = f(b), então existe pelo menos um ponto c no intervalo (a, b) onde a derivada é igual a zero. No entanto, no caso apresentado, temos f(a) = 0 e f(b) = 1, ou seja, f(a) é diferente de f(b). Portanto, não podemos aplicar diretamente o Teorema de Rolle. Para resolver esse problema, podemos considerar a função g(x) = f(x) - x. Temos g(a) = f(a) - a = 0 - a = -a e g(b) = f(b) - b = 1 - b = 1 - b. Como g(x) é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), e g(a) = -a e g(b) = 1 - b possuem sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), sabemos que existe pelo menos um ponto c no intervalo (a, b) onde g'(c) = 0. Calculando a derivada de g(x), temos g'(x) = f'(x) - 1. Portanto, se g'(c) = 0, temos f'(c) - 1 = 0, o que implica f'(c) = 1. Assim, a alternativa correta é: a) Existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 1.