ResumoGeo espacial

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Resumo 1PP
Geometria
 Espacial
2040 Rosa e 2047 Custódio
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PROJEÇÃO ORTOGONAL
EXERCÍCIOS
DISTÂNCIAS GEOMÉTRICAS
ÂNGULOS NO ESPAÇO
Sumário
"O CAMINHO MAIS CERTO PARA O SUCESSO É
SEMPRE TENTAR UMA VEZ MAIS"
THOMAS EDISON
POLIEDROS
I) Se a reta é perpendicular ao plano, sua projeção será
um ponto
II) Se a reta não é perpendicular, sua projeção será outra
reta (OBS: NÃO necessáriamente igual a primeira)
03
Projeção de uma figura
Projeção de uma reta no plano
Projeção de um ponto no plano
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano
é a interseção do plano com a reta perpendicular a
ele, conduzida pelo ponto P
Conjunto das projeções ortogonais dos pontos dessa
figura sobre o plano
Projeção Ortogonal
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..RETA E PLANO
Será medido entre reta e sua projeção ortogonal no
plano.
Obs: No caso entre reta e plano, você sempre medirá o
menor ângulo.
..DOIS PLANOS SECANTES
O ângulo formado por dois planos secantes é igual ao
ângulo formado por duas retas concorrentes, uma em
cada plano e perpendiculares à interseção desses planos
Ângulos no espaço
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..RETAS CONCORRENTES
->Teorema da congruência entre ângulos no espaço:
Sejam (a,b) e (a',b') pares de retas concorrentes, tais
que a//a' e b//b'. O ângulo formado por a e b é igual ao
ângulo formado por a' e b'
..RETAS REVERSAS
Você vai fazer um deslocamento dessas retas até
que elas concorram.
IMPORTANTE!!!!!
Quando o ângulo entre as reversas for reto quando
elas concorrerem, as retas são chamadas
ortogonais. O termo perpendicular só é usado para
retas concorrentes.
Ângulos no espaço
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DISTÂNCIAS
 GEOMÉTRICAS
..DOIS PONTOS
Tem-se a distância de dois pontos
distintos A e B sendo igual ao
segmento de reta AB. Se A=B, então
a distância é igual a zero
..PONTO E UMA RETA
Distância entre o ponto e uma reta é
o segmento de reta que tem como
extremidades o ponto e um ponto da
reta, formando 90º. Se P pertecer a
reta, a distância é nula.
..DUAS RETAS PARALELAS
A distância é igual a o segmento de
reta com uma extremidade em uma
reta e na outra paralela a essa.
Se a reta "r" for coincidente a "s", a
distância é nula
CN 20 - DUQUE 0
07
DISTÂNCIAS
 GEOMÉTRICAS
..PONTO E PLANO
A distância entre P e o plano é a
menor das distâncias entre o
ponto P e os pontos do plano.
..RETA E PLANO
PARALELOS
A distância é igual a o segmento
de reta com uma extremidade
num ponto da reta e outra no
plano 
..PLANOS PARALELOS
A distância é igual a o segmento de
reta com uma extremidade num
ponto qualquer do plano e outra no
outro plano 
CN 20 - DUQUE 0
08
DISTÂNCIAS
 GEOMÉTRICAS
..RETAS REVERSAS
Chama-se distância entre duas retas reversas à
distância entre um ponto qualquer de uma delas e
o plano que passa pela outra e é paralelo à
primeira.
Para quem não entendeu:
 
O plano α é perpendicular ao plano β 
A interseção entre α e β é a reta t
 r // t ; r e s reversas
traça-se uma reta x perpendicular a reta r,
que por teorema vai ser perpendicular a 
 reta s também
ou seja, a reta x é a distância entre a reta r e sCN 20 - DUQUE 0
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Poliedros
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É formado pela reunião finita de polígonos 
 planos
CONVEXOS CÔNCAVOS
Qualquer secante
intersecta o poliedro
exatamenete em dois
pontos
Qualquer secante
intersecta o poliedro em
mais de dois pontos
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Poliedros
 Convexos
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CARACTERÍSTICAS POLÍGONOS CONVEXOS:
Duas faces nunca estão no mesmo plano
Uma aresta é comum somente a duas
faces
Relação de Euler:
V + F = A + 2
 
Sendo:
V - número de vértices
F - número de faces
A - número de arestas
Relação entre Arestas e Vértices
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Poliedros
 Convexos
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Relação entre Faces e Arestas:
Possui 4 faces 
triagulares
Possui 6 faces 
quadrangulares
Possui 12 faces 
penatgonais
Soma dos ângulos das faces:
S = ( A - F ) . 360º
ou
S = ( V - 2 ) . 360º
 
Sendo:
V - número de vértices
A - número de arestas
F - número de faces
EXERCÍCIOS
==> Distância e Pojeção Ortogonal
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GABARITO
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Lista de Exercícios 
Matemática – Geometria Espacial 
 
Aplicações da Geometria Plana em 
situações tridimensionais 
 
2º Ano 2021 
 
Professor Amorim 
1) Qual a distância entre os centros de duas 
faces adjacentes de um cubo de aresta 4? 
 
2) Uma mosca inicia um vôo em trajetória 
retilínea, do ponto A em direção ao ponto B, 
em uma sala delimitada por retângulos e com 
as dimensões indicadas na figura. Determine 
a distância, em metros, percorridos pela 
mosca. 
 
 
3) Tem-se um cubo de aresta “a” em que 
ABCD é uma de suas faces e O é o centro da 
face oposta. Determinar: 
A) distância do ponto O ao vértice A; 
B) o cosseno do ângulo BOA. 
 
4) A figura abaixo representa uma caixa de 
suco cujas dimensões estão indicadas. 
Determinar, aproximadamente, a menor 
distância que tem que percorrer uma formiga 
localizada em B para chegar até abertura da 
caixa, localizada em A. 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: O termo “aproximadamente” refere-se ao 
modelo que será usado na resolução, ou seja, 
faces retangulares e abertura coincidindo com o 
vértice A da estrutura. 
 
5) Na figura temos dois cubos de arestas 5 cm 
Calcule a distância da reta ‘r’ ao plano que 
contém as retas ‘s’ e ‘t’ 
 
6) Num cubo de aresta 10 cm, ligam-se os 
pontos médios M e N, dos segmentos EF e 
DG, respectivamente. Qual é comprimento 
do segmento MN mede? 
 
7) Observe a figura a seguir. 
 
Ela apresenta um cubo, com seus oito 
vértices marcados e o ponto M, médio de AD. 
Dentre as figuras a seguir, qual representa o 
conjunto interseção do plano (B,F,M) com o 
cubo? 
Figura 1 Figura 2 
 
Figura 3 Figura 4 
 
 
8) Na figura, cada aresta do cubo mede 3cm. 
Prolongando se uma delas de 5cm, obtemos 
o ponto P. Faça o que se pede: 
 
A) Qual a medida do segmento de reta AP? 
B) A que distância do ponto G o segmento AP 
‘fura’ o quadrado BCFG? 
https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=imgres&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjjmY_AnbboAhX9IrkGHUIxDd4QjRx6BAgBEAQ&url=http%3A%2F%2Fenemdescomplicado.com.br%2Fwp%2Fpdf%2Fexercicios%2Fmatematica%2Fmatematica_geometria_espacial_unicamp_exercicios_gabarito_matematica_do_vestibular_.pdf&psig=AOvVaw0THS0-1KBYyEU8sBM23BYM&ust=1585246487739787
https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=imgres&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjni_-JorboAhUDHLkGHTTbCYMQjRx6BAgBEAQ&url=https%3A%2F%2Fprocessodeingresso.upe.pe.gov.br%2Fprocesso2018%2Farquivos%2FSSA2%2FCADERNO_DE_PROVAS_SSA_2_1_DIA.pdf&psig=AOvVaw0orh9_uLUkQzfR-Hc-xRrA&ust=1585245451194552
C) Qual a área do quadrilátero de vértices 
em A, H, G e na interseção do quadrado 
BCFG com AP? 
D) Determine cos GÂP. 
 
9) (UNI-RIO) 
 
No cubo acima, cada aresta mede 6 cm. Os 
pontos X e Y são pontos médios das arestas 
AB e GH. Qual é a natureza do quadrilátero 
XCYE? 
 
10) Na figura, A, B e C pertencem a . Sabe-
se que ABC = 90º e que o segmento PA é 
perpendicular a . Determinar a distância 
entre os pontos P e C, e o ângulo que a reta 
determinada por esses pontos define com . 
[Dados: PA = 9 cm ; AB = 12 cm e BC = 5 cm] 
 
 
11) No cubo a seguir, determine o sin . 
 
 
 
 
 
12) (UFSCar-2009) A figura indica um 
ortoedro (todas as faces são retangulares) de 
dimensões 5x5x4, em centímetros, sendo A, 
B, C e D quatro dos seus vértices. 
 
A) Calcule a área do triângulo ABC. 
B) Calcule a distância entre o vértice D e o 
plano que contém o triângulo ABC. 
 
13) (UNICAMP-2007) Seja ABCDA1B1C1D1 
um cubo com aresta de comprimento 6 cm. 
Sabe-se que: 
 - M o ponto médio de BC; 
- O é o centro da face CDD1C1; 
- P é interseção dos prolongamentos de AM e 
CD. 
- K e L são as interseções da reta POcom as 
arestas CC1 e DD1, respectivamente. 
 
A) Calcule a medida do segmento DL. 
B) Determine o 𝑐𝑜𝑠(𝐴�̂�𝐿). 
 
14) Observe o cubo de aresta 10 cm dado. 
 
Um plano intersecta as arestas CB, FG, AD e 
EH desse cubo nos pontos P, Q, R e S, 
respectivamente. Sabendo-se que CP = 2, GQ 
= 4 e DS = 5, determine HR. 
H G
F
E
D
A B
C
X
Y
RESPOSTAS: 
1) 4 
 
2) 7√2 m ≈ 9,9 m 
 
3) 𝐴𝑂 =
𝑎√6
2
 e 𝑐𝑜𝑠𝐵Ô𝐴 =
2
3
 
 
4) 26 cm 
 
5) 2√5 cm 
 
6) 5√5 
 
7) Figura 4 
 
8A) 𝐴𝑃 = √82; 8B) 
15√2
8
; 8C) 
117√2
16
; 8D) 𝑐𝑜𝑠𝐺Â𝑃 =
7√246
123
 
 
9) Losango 
 
10) 𝑃𝐶 = 5√10 e 𝑎𝑛𝑔(𝐶𝑃 ⃡ , α) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
9
13
) 
 
11) 𝑠𝑖𝑛 α =
√6
3
 
 
12A) 𝑆(𝐴𝐵𝐶) = 5√57; 12B) 𝑑𝐷,(𝐴,𝐵,𝐶) =
20√57
57
 
 
13A) 𝐷𝐿 = 4 cm; 13B) 𝑐𝑜𝑠(𝐴�̂�𝐿) =
3√2
5
 
 
14) 𝐻𝑅 = 7