aulas de calculo (32)

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1197. **Problema:** Qual é a soma dos termos da série \( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - 
\frac{1}{16} + \dots \)? 
 - **Resposta e Explicação:** A soma é \( \frac{\pi^2}{12} \), utilizando a série alternada 
dos quadrados dos inversos dos inteiros. 
 
1198. **Problema:** Resolva a equação \( \tan(2x) = \sin(x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** As soluções são \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \) e \( x = 
\frac{5\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \), onde \( k \) é um inteiro. 
 
1199. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( f'(x) = \sec^2(x) \), utilizando a 
 
 regra da cadeia e as propriedades do logaritmo. 
 
1200. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 1 \), utilizando a definição da derivada 
exponencial. 
Entendo, vou continuar gerando mais problemas matemáticos desafiadores para você. 
Aqui estão mais 151 problemas: 
 
651. Problema: Calcula o perímetro de um triângulo equilátero com cada lado medindo 
12 cm. 
 Resposta: O perímetro é 36 cm. Explicação: Um triângulo equilátero tem todos os lados 
iguais, então multiplicamos o comprimento de um lado pelo número de lados. 
 
652. Problema: Encontra o valor de x na equação 2(x - 3) = 16. 
 Resposta: x = 11. Explicação: Primeiro, divide 2 em ambos os lados, depois resolve para 
x. 
 
653. Problema: Qual é o resultado da expressão 40 / 5 + 8 * 3? 
 Resposta: O resultado é 32. Explicação: Seguimos a ordem correta das operações 
(divisão e multiplicação antes de adição e subtração). 
 
654. Problema: Resolve a equação 6(x + 2) = 66. 
 Resposta: x = 10. Explicação: Primeiro, divide 6 em ambos os lados, depois resolve para 
x. 
 
655. Problema: Calcula o valor de z na equação 4z - 6 = 22. 
 Resposta: z = 7. Explicação: Adicionamos 6 em ambos os lados e depois dividimos por 
4. 
 
656. Problema: Qual é o resultado da expressão 10^2 - 9 * 4? 
 Resposta: O resultado é 64. Explicação: Primeiro, calcula 10 elevado ao quadrado (100) 
e depois subtrai 36. 
 
657. Problema: Determina o valor de y na equação 5y + 8 = 43. 
 Resposta: y = 7. Explicação: Subtraímos 8 de ambos os lados e depois dividimos por 5. 
 
658. Problema: Calcula a área de um círculo com raio de 6 cm, usando π = 3.14. 
 Resposta: A área é aproximadamente 113.04 cm². Explicação: A fórmula da área do 
círculo é A = π * r². 
 
659. Problema: Encontra o valor de x na equação 3(x - 4) = 27. 
 Resposta: x = 11. Explicação: Primeiro, divide 3 em ambos os lados, depois resolve para 
x. 
 
660. Problema: Qual é o resultado da expressão 45 / 5 + 7 * 4? 
 Resposta: O resultado é 39. Explicação: Seguimos a ordem correta das operações 
(divisão e multiplicação antes de adição e subtração). 
 
661. Problema: Resolve a equação 7(x + 3) = 77. 
 Resposta: x = 8. Explicação: Primeiro, divide 7 em ambos os lados, depois resolve para 
x. 
 
662. Problema: Calcula o valor de z na equação 5z - 10 = 25. 
 Resposta: z = 7. Explicação: Adicionamos 10 em ambos os lados e depois dividimos por 
5.