Geometria Euclidiana: Exercícios Práticos

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GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - Uesb
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET
Disciplina: Geometria Euclidiana Professor: Genilson S. Santana (genilson.santana@uesb.edu.br)
Lista de Exercícios 1
Exercício 1 Enuncie os axiomas de incidências e de ordem discutidos nas últimas aulas.
Exercício 2 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Por um ponto passam infinitas retas.
(b) Por dois pontos distintos passa uma reta.
(c) Uma reta contém dois pontos distintos.
(d) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
(e) Por três pontos dados passa uma só reta.
(f) Três pontos distintos são sempre colineares.
(g) Quatro pontos, todos distintos, determinam duas retas.
(h) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
(i) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem
às retas r e s, então r coincide com s.
(j) Se A = B, existe uma reta r tal que A,B ∈ r.
(k) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes.
(l) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
(m) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único ponto comum.
Exercício 3 Sobre uma reta marque quatro pontos A, B, C e D, em ordem, da esquerda para a
direita. Determine:
Exercício 4 Três pontos não colineares determinam três retas (Já fizemos na aula). Quantas retas
são determinadas por quatro pontos sendo que quaisquer três deles são não colineares?
Exercício 5 Discuta a seguinte questão utilizando apenas os conhecimentos geométricos estabeleci-
dos, até agora, nas últimas aulas: Existem retas que não se interceptam?
Exercício 6 Uma figura geométrica planas é simplesmente um subconjunto próprio do plano. Usando-
se segmentos, podemos construir inúmeras figuras geométricas planas. Uma das mais simples é o
triângulo, formada por três pontos não colineares e pelos segmentos definidos por esses três pontos.
Os três pontos são chamados vértices do triângulo e os segmentos são os lados do triângulo. Prove
que, se uma reta intercepta um lado de um triangulo e não passa por nenhum de seus
vértices, então ela intercepta também um dos outros dois lados. Este resultado é conhecido
como Teorema de Pash.
Exercício 7 Mostramos na aula que em um segmento dado há infinitos pontos. Mostre que em uma
semirreta, há infinitos pontos além daqueles contidos no segmento.
Exercício 8 Podem existir dois segmentos distintos tendo dois pontos em comum? E tendo exata-
mente dois pontos em comum?
Exercício 9 (a) Sejam A e B pontos distintos quaisquer. Mostre que AB = BA.
(b) Dados quatro pontos A,B,C e D, mostre que se os segmentos AB e CD se interceptam, então
os pontos B e D estão em um mesmo semiplano em relação à reta que passa por A e C.
Exercício 10 Dados quatro pontos distintos A,B,C e D, todos sobre uma mesma reta como indica a
figura abaixo, determine o número de segmentos distintos que podem ser formados com extremidades
em tais pontos.
Exercício 11 São dados quatro pontos A,B,C e D e uma reta r que não contém nenhum deles.
Sabe-se que os segmentos AB e CD interceptam a reta r e que o segmento BC não a intercepta.
Mostre que o segmento AD também não a intercepta.
Exercício 12 Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tais que AB ∩ CD = {E}. Mostre que a
reta que contém AB não pode conter CD.
Exercício 13 Enuncie os axiomas de medição de segmento visto em aula.
Exercício 14 Seja M o ponto médio de AB. Se AM = 2x − 5 e MB = x + 7. Determine o valor
de x.
Exercício 15 Sejam A,B,C pontos de uma reta. Faça um desenho representando os, sabendo que
AB = 3, AC = 2 e BC = 5.
Exercício 16 Desenhe uma reta e sobre ela merque dois pontos A e B. Suponha que a coordenada
do ponto A seja zero e a do ponto B seja um. Marque agora dois pontos cujas coordenadas são
3, 5, 5/2, 1/3, 3/2, 2,−1,−2,−5,−1/3,−5/3.
Exercício 17 Sejam A1 e A2 pontos de coordenadas 1 e 2. Dê a coordenada do ponto médio A3 do
segmento A1A2. Dê a coordenada do plano médio A4 do segmento A2A3. Dê a coordenada A5 do
ponto médio do segmento A3A4.
Exercício 18 Considere três pontos colienares A,B,C, sendo que B está entre A e C, e AB = BC.
Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, prove que MN = AB.
Exercício 19 Se AB = 17cm, determine o valor de x nos casos:
Exercício 20 Sejam quatro pontos, A,B,C,D, dispostos sobre uma mesma reta r, nessa ordem, e
tais que AB = CD. Demonstre que os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.