Números Complexos e Fractais

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Graças a esse engenhoso dispositivo, Gauss criou uma residência não apenas para 
os números imaginários, mas também para todas as combinações possíveis de números 
reais e imaginários, tais como (2 + i). (3 – 2i), e assim por diante. Tais combinações são 
denominadas "números complexos" e são representadas por pontos no plano definido 
pelos eixos real e imaginário, que é chamado de “plano complexo”. Em geral, qualquer 
número complexo pode ser escrito como 
z = x + iy 
onde x é chamado de "parte real" e y de “parte imaginária”. 
Com a ajuda dessa definição, Gauss criou uma álgebra especial de números 
complexos e desenvolveu muitas idéias fundamentais a respeito de funções de variáveis 
complexas. Isto finalmente levou a um ramo totalmente novo da matemática, conhecido 
como "análise complexa", que tem um enorme espectro de aplicações em todos os 
campos da ciência. 
 
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A razão pela qual fizemos essa incursão pela história dos números complexos é 
que muitas formas fractais podem ser matematicamente geradas por meio de 
procedimentos iterativos no plano complexo. No final da década de 70, depois de 
publicar seu livro pioneiro, Mandelbrot voltou sua atenção para uma classe particular 
daquelas fractais matemáticas conhecidas como conjuntos de Julia.32 Foram descobertas 
pelo matemático francês Gaston Julia durante os primeiros anos do século, mas logo 
caíram na obscuridade. Na verdade, Mandelbrot viera a conhecer casualmente o 
trabalho de Julia quando ainda era estudante, olhara para os seus desenhos rudimentares 
(feitos, nessa época, sem a ajuda de um computador) e logo perdera o interesse. Agora, 
no entanto, Mandelbrot compreendeu que os desenhos de Julia eram toscas traduções de 
complexas formas fractais, e se empenhou em reproduzi-las com finos detalhes, 
recorrendo aos computadores mais poderosos que pôde encontrar. Os resultados foram 
espantosos. 
A base do conjunto de Julia é o mapeamento simples 
z z2 + c 
onde z é uma variável complexa e c é uma constante complexa. O procedimento 
iterativo consiste em apanhar qualquer número z no plano complexo, elevá-lo ao 
quadrado, somá-lo com uma constante c, elevar esse resultado novamente ao quadrado, 
somá-lo outra vez com a constante c, e assim por diante. Quando isso é feito com 
diferentes valores de partida para z, alguns deles continuarão aumentando e se moverão 
para o infinito à medida que a iteração se processa, ao passo que outros permanecerão 
finitos.33 O conjunto de Julia é o conjunto de todos esses valores de z, ou pontos no 
plano complexo, que permanecem finitos sob a iteração. 
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