Lista 02 - Limite e Continuidade

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Matemática - DMAT/CCET
Prof. Paulo Roberto F. dos S. Silva
[Lista 02 - Limite e Continuidade]
Questão 1 Use o limite fundamental lim
h→+∞
(
1 +
1
h
)h
= e para calcular os limites:
1. lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
2. lim
h→0+
(1 + h)
1
h = e.
3. lim
h→0−
(1 + h)
1
h = e.
4. lim
h→0
eh − 1
h
= 1.
5. lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
= e2.
6. lim
x→−∞
(
1 +
1
2x
)x
=
√
e.
7. lim
x→−∞
(
1 +
k
x
)x
= ek.
Questão 2 Seja a > 0 e a 6= 1. Mostre que
lim
h→0
ah − 1
h
= ln(a).
Solução: Fazendo ah − 1 = x temos h = ln(1 + x) e x→ 0 quando h→ 0. Dáı,
lim
h→0
ah − 1
h
= lim
x→0
x
loga(1 + x)
= lim
x→0
1
1
x
loga(1 + x)
= lim
x→0
1
loga[(1 + x)
1
x ]
=
1
lim
x→0
loga
[
(1 + x)
1
x
]
=
1
loga
[
lim
x→0
(1 + x)
1
x
]
=
1
loga(e)
=
1
ln(e)/ ln(a)
=
ln(a)
ln(e)
= ln(a)
Questão 3 Use o exerćıcio anterior para calcular os limites:
1. lim
h→0
e2x − 1
x
= 2.
2. lim
h→0
5x − 1
x
= ln(5).
3. lim
h→0
ex
2 − 1
x
= 0.
4. lim
h→0+
3x − 1
x2
= +∞.
Questão 4 Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que f 2(x) + g2(x) = 4 para
todo x ∈ R. Calcule:
a) lim
x→0
x3g(x).
b) lim
x→3
f(x)
3
√
x2 − 9
Questão 5 Seja f uma função tal que |f(x)− f(p)| ≤ (x− p)n, para todo x ∈ R. Mostre
que f é cont́ınua em x = p.
Solução: Se
|f(x)− f(p)| ≤ (x− p)n,
então
−(x− p)n ≤ f(x)− f(p) ≤ (x− p)n.
Dáı,
f(p)− (x− p)n ≤ f(x) ≤ f(p) + (x− p)n.
Como
lim
x→p
[f(p)− (x− p)n] = f(p) = lim
x→p
[f(p) + (x− p)n],
temos, pelo Teorema do Confronto, que
lim
x→p
f(x) = f(p).
Portanto, f é cont́ınua em x = p.
Questão 6 Determine o conjunto de pontos onde a função f = bxc é cont́ınua, onde bxc
denota a função maior inteiro menor ou igual a x.
Questão 7 Calcule o seguinte limite:
lim
x→∞
bxc
x2
.
Os exerćıcios abaixo são referentes aos teoremas do Anulamento (ou de Bolzano), Valor
Intermediário e de Weierstrass.
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Questão 8 Seja f : [a, b]→ R uma função cont́ınua e suonha que ela não seja constante
em [a, b]. Prove que existem números reais m e M , com m < M , tais que Im(f) = [m,M ].
Questão 9 Seja f : [0, 1] → R cont́ınua tal que, para todo x ∈ R, 0 < f(x) < 1. Mostre
que existe c ∈ R tal que f(c) = c. Neste caso, dizemos que f tem um ponto fixo.
Sugestão: Tome g(x) = f(x)− x. Note que g(0) > 0 e g(1) < 0. Use, agora, o Teorema
de Bolzano.
Questão 10 Seja f : [a, b]→ [a, b] uma função cont́ınua. Mostre que existe c ∈ R tal que
f(c) = c. Neste caso, dizemos que f tem um ponto fixo.
Solução: Defina h(x) = f(x) − g(x). Sendo f e g cont́ınuas em [a, b], h é cont́ınua em
[a, b]. Além disso, como f(a) < g(a) e f(b) > g(b), obtemos h(a) = f(a) − g(a) < 0 e
h(b) = f(b) − g(b) > 0. Pelo Teorema de Bolzano (Anulamento), existe c ∈ (a, b) tal que
h(c) = 0. Logo, f(c) = g(c).
Questão 11 Prove que todo polinômio de grau ı́mpar possui ao menos uma raiz real.
Questão 12 Mostre que a equação 2x−1 = x possui duas soluções x1, x2 ∈ R .
Questão 13 Considere f, g : [a, b]→ R funções cont́ınuas tais que f(a) < g(a) e
f(b) > g(b). Mostre que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c).
Solução: Defina h(x) = f(x) − g(x). Sendo f e g cont́ınuas em [a, b], h é cont́ınua em
[a, b]. Além disso, como f(a) < g(a) e f(b) > g(b), obtemos h(a) = f(a) − g(a) < 0 e
h(b) = f(b) − g(b) > 0. Pelo Teorema de Bolzano (Anulamento), existe c ∈ (a, b) tal que
h(c) = 0. Logo, f(c) = g(c).
Desafios...
Questão 14 Um corredor parte do repouso e corre numa pista circular em um único sen-
tido. Ele para quando chega ao ponto de partida. Mostre que, pelo menos, uma vez durante
esta volta, ele deve ter desenvolvido a mesma velocidade em pontos diametralmente opostos.
Questão 15 Um alpinista começa a escalar uma montanha às 8:00 horas do sábado e
chega ao topo às 16:00 horas do mesmo dia. Acampa no topo e desce às 8:00 horas do
domingo, chegando no ponto original de sada às 16:00 horas. Mostre que em algum horário
no domingo ele estava à mesma altura em que esteve no mesmo horário no sábado.
Solução: Sejam As = As(h) e Ad = Ad(h) a altura do alpinista na hora h, durante a
subida no sábado e descida no domingo, respectivamente. É razoável assumir que As e Ad
são cont́ınuas em [8, 16]. Note que, As(8) < Ad(8) e As(16) > Ad(16). Pela Questão 4,
fazendo a = 8, b = 16, f = As e g = Ad, existe c ∈ (8, 16) tal que As(c) = Ad(c). Ou seja,
no horário c, a altura na subida no sábado e na descida no domingo são iguais.
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