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Hidráulica
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Me. Fernando Marcos Weronka
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FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. WERONKA, Fernando Marcos.
Hidráulica. 
Fernando Marcos Weronka.
Maringá - PR.: Unicesumar, 2021. Reimpresso em 2024. 
264 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Hidráulica 2. Engenharia 3. Temperatura. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 629.8 
CIP - NBR 12899 - AACR/2
ISBN 978-65-5615-336-0
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Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
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Neste mundo globalizado e dinâmico, 
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também, acima de tudo, gerar a conversão 
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Assim, iniciamos a Unicesumar em 1990, 
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e, também, no exterior, com dezenas de 
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Tudo isso para honrarmos a nossa missão,
que é promover a educação de qualidade
nas diferentes áreas do conhecimento,
formando profissionais cidadãos
que contribuam para o desenvolvimento
de uma sociedade justa e solidária.
Dr. Fernando Marcos Weronka
Olá, meu nome é Fernando. Além de en-
genheiro ambiental, professor e consultor 
de assuntos do meio ambiente e susten-
tabilidade, sou aficionado por projetos de 
lagos artificiais e automação em geral. Eu 
gosto bastante de filmes e séries, espe-
cialmente de super-heróis e ficção cien-
tífica. Também gosto muito de desenhos 
e sou um grande fã de Dragon Ball. Além 
disso, sou torcedor do Grêmio e adoro jo-
gar futebol, apesar de não ter habilidade 
nenhuma, assim como nenhuma aptidão 
para a música, isso ficou tudo com a minha 
irmã. Comecei minha carreira ajudando o 
meu pai em obras, ele foi um excelente pe-
dreiro, hoje está aposentado. Minha mãe 
queria que eu fosse padre, e eu gostei da 
ideia, então, fui para o seminário aos 14 e 
fiquei dois anos por lá, mas descobri que 
minha verdadeira vocação é ter uma famí-
lia. Por isso, atualmente, tenho uma noiva. 
Aos 16, entrei para o ramo da informática, 
indo desde manutenção de hardware até 
suporte de sistemas empresariais. Aos 18, 
fui para engenharia ambiental. Nesta área, 
fiz mestrado e desenvolvi alguns traba-
lhos em laboratórios de química analítica 
e tive minhas primeiras experiências com 
a docência. Estas, aos poucos, me levaram 
para a engenharia civil e arquitetura, foi 
como se, finalmente, tivesse encontrado 
meu lugar, foi uma volta às origens. Fo-
ram quase 30 anos para descobrir o que 
realmente quero fazer o resto da vida, e 
tem relação com meu primeiro trabalho, 
mas, no percurso, fiz muita coisa, desde 
garçom à tentativa de stand-up (vergonha 
dessa parte).
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IMERSÃO
RECURSOS DE 
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
4
6
3
5
11
71
43
99
Propriedades 
dos Fluídos
Cinética dos Fluidos
Esforços Mecânicos
Dimensionamento de 
Condutos sob Pressão
125 153
Posições da Tubulação 
em Relação à Linha 
Piezométrica
Condutos Equivalentes
7
9
8
Noções Sobre 
Escoamento Variável 
em Condutos Forçados
181
237
207
Instalações de 
Recalque
Prática de 
Laboratório
INICIAIS
PROVOCAÇÕES
Você sabe por que é importante para o Engenheiro Civil estudar as propriedades e os comportamentos 
dos fluídos? Já parou para pensar na importância que a hidráulica tem no seu dia a dia?
Muitos dos sistemas modernos, projetados por engenheiros de diversas áreas, entre eles o engenheiro 
civil, precisam contemplar o escoamento de diversos tipos de fluídos. Estes sistemas são a base do modo 
atual de vida em sociedade, pois todos os dias é necessário coletar, tratar, armazenar e distribuir uma 
grande quantidade de água, e uma grande parte desta retorna na forma de esgoto, a qual necessita ser 
recolhida, tratada e devolvida à natura. Além disso, com a crescente impermeabilização dos solos urbanos, 
lidarcom o volume das águas pluviais tem constituído um grande desafio à gestão hídrica das cidades. 
Nesse contexto, o engenheiro, especialmente o civil, deve ser capaz de compreender as propriedades 
dos fluidos e as leis que governam os escoamentos para dimensionar os sistemas sanitários bem como 
a infraestrutura necessária para a implantação, operação e manutenção destes.
Para entender a importância da hidráulica no seu dia a dia, observe os diversos sistemas de engenharia 
presentes em sua rotina. Procure observar as tubulações de água e esgoto da sua residência, assim 
como as calhas de drenagem pluvial do seu telhado. Abordando um plano mais amplo, perceba a im-
portância da drenagem urbana, os impactos nos rios urbanos e os sistemas públicos de abastecimento 
e esgotamento sanitário. 
As comodidades cotidianas, como abrir a torneira da cozinha e ter água em quantidade, qualidade e 
pressão adequadas, assim como a possibilidade de fechar o vaso sanitário, dar a descarga e nunca 
mais ver seus dejetos são tão rotineiras que o esforço de engenharia necessário para as tornar viáveis 
pode passar desapercebido. No entanto, ano após ano, as notícias de escassez de água em períodos de 
estiagem, de alagamentos no período de chuva ou o índice de doenças transmitidas pelo contato com 
dejetos humanos servem como avisos de que a gestão hídrica é fundamental para a manutenção do 
modo de vida da sociedade atual. Por isso, sistemas hidráulicos precisam ser cada vez mais eficientes 
e bem projetados para lidar com um recurso finito e manter a garantia do atendimento das demandas 
crescentes de uma população.
Um dos principais objetivos da engenharia, desde o código de Hamurabi há mais de 1700 anos a.C., é 
garantir a segurança aos usuários das edificações, inclusive, estabelece punições severas ao engenheiro 
que não atenda este objetivo. Incialmente o quesito segurança esteve muito mais voltado ao aspecto 
estrutural, mas atualmente este termo tem se expandido, pois a saúde dos moradores depende também 
de aspectos construtivos. Se antes o saneamento era algo secundário, pois as pessoas moravam mais 
dispersas, e o meio ambiente conseguia se autodepurar, atualmente, com pessoas vivendo aglomeradas 
e com uma população muito maior, a capacidade de resiliência dos ecossistemas tem sido ultrapassada. 
HIDRÁULICA
INICIAIS
PROVOCAÇÕES
Por isso, é fundamental, para a manutenção da sociedade como a conhecemos, que os projetos de 
engenharia contemplem a gestão dos recursos hídricos, seja em uma escala residencial, seja na escala 
regional seja mundial. Neste cenário, as políticas nacionais mais recentes, como a Lei nº 14.026/2020, que 
estabeleceu o novo marco regulatório do saneamento básico, que facilitou a possibilidade de privatização 
dos sistemas de saneamento urbano, aquecendo, assim, fortemente, o setor e aumentando a demanda 
por projetos nesta área. Portanto, a mão de obra especializada em engenharia, seja para elaboração de 
projetos, gestão de recursos, acompanhamento de obras e diversas outras funções relativas da hidráulica 
tenderão a ser absorvidas pela demanda do mercado de trabalho.
Você, como Engenheiro Civil, deve estar apto para projetar, desenvolver, construir, operar e dar manu-
tenção aos diversos sistemas hidráulicos tão fundamentais para o modo de vida atual, pois o mercado 
de trabalho vive um momento único, quanto à atuação professional, não apenas devido às mudanças 
de legislação, mas também pela crescente demanda de profissionais capacitados no setor. Afinal, uma 
significativa parcela da população brasileira ainda não é contemplada por sistemas de abastecimento 
público de água potável ou coleta de esgoto, evidenciando a grande carência por ações nesta área. Para 
se credenciar ao acesso a este nicho de mercado, a disciplina de hidráulica e a consequente compreensão 
das propriedades dos fluidos e das leis que regem os escoamentos são passos importantes.
Espero que você esteja empolgado para começarmos a explorar o universo da hidráulica e as infinitas apli-
cações em projetos de engenharia. Ao final deste caminho, que passa por partes da física, química e pelo 
cálculo, você obterá os conhecimentos necessários para compreender como os fluidos se comportam, 
para que, então, seja capaz de dimensionar tubulações, bombas e, até mesmo, sistemas hidráulicos com-
pletos, atendendo às demandas de projetos, sem, no entanto, gastar quantidade excessivas de material.
1Propriedades dos 
Fluídos
Dr. Fernando Marcos Weronka
Nesta unidade, abordaremos as principais características dos fluídos, des-
tacando as diferenças entre sólidos e fluídos, assim como a diferença entre 
líquidos e gases. Isso é fundamental para que possamos entender como 
estes materiais se comportam e, assim, bem utilizá-los nas diversas áreas 
da engenharia. Além disso, são abordados, detalhadamente, os conceitos 
de massa específica, peso específico, densidade, volume específico, viscosi-
dade, pressão de vapor e tensão superficial, além de suas relações com as 
condições de pressão e temperatura. Esses conceitos são imprescindíveis 
para áreas do conhecimento, como a hidráulica, hidrologia, saneamento, 
entre outras disciplinas da Engenharia Civil.
12
UNICESUMAR
Ao observar as coisas que nos rodeiam no dia a dia, percebemos que algumas delas mantêm sua for-
ma e seu volume ao longo do tempo, e a estes chamamos sólidos cujos exemplos são diversos, desde 
a caneta em sua mão ao piso sob seus pés. Contudo algumas coisas não obedecem a esta definição, a 
tinta dentro da caneta é um exemplo, pois esta tem a forma definida pelo tubo que a envolve, o mes-
mo acontece com água dentro de um copo. Então, por que os aromas da comida insistem em sair da 
cozinha e ocupar toda a casa? O que faz com que a matéria que compõe todas estas coisas se comporte 
de forma tão diferente? Como estas propriedades podem ser utilizadas pela engenharia? E, afinal, ca-
ro(a) aluno(a), por que estas necessitam um diâmetro maior se, na maioria dos casos, conduzem uma 
quantidade menor de fluídos quando comparados aos dutos de abastecimento? 
Entende-se, então, que os fluidos não têm uma forma definida, pois se adaptam ao recipiente onde 
estiverem, mas é importante destacar que são divididos em duas classes, os líquidos e os gases, tendo 
uma diferença bastante significativa. Os líquidos têm um volume definido, ou seja, independentemente 
do recipiente em que estiverem, apresentam o mesmo volume, enquanto os gases não, espalham-se 
por todo o espaço disponível. Isso ocorre porque as partículas que formam os materiais interagem 
entre si e com o ambiente de forma diferente, ou seja, o mesmo material pode apresentar-se como 
sólido, líquido ou gás a depender da distância das partículas que o compõem e, por isso, apresentam 
propriedades distintas. Entender como os fluidos se comportam de acordo com suas propriedades 
é fundamental para que diversos sistemas modernos funcionem adequadamente, como quando 
ao abrir uma torneira espera-se que a água flua através dela com quantidade suficiente e pressão 
adequada. Contudo existem várias outras aplicações tão necessárias quanto o fornecimento de água 
potável, entre elas, a destinação dos dejetos pelas tubulações de esgoto. Entretanto a hidráulica não 
fica restrita apenas ao interior das edificações, os sistemas de drenagem pluvial também são partes 
indispensáveis para a manutenção do meio urbano, e estes, quando bem dimensionados, evitam 
catástrofes, como enchentes e alagamentos. O conhecimento sobre as propriedades e a dinâmica dos 
fluídos são tão essenciais, atualmente, que compreendem desde o simples funcionamento de uma 
torneira até complexidade da geração de energia nas grades usinas hidroelétricas, responsáveis pelo 
atendimento da maior parte da demanda por eletricidade no Brasil.
Para começar a identificar as propriedades dos fluidos, execute o seguinte experimento: coloque 
sobre uma superfície de fácil limpeza três copos pequenos e iguais. No primeiro, coloque umaquantidade de água, no segundo, tente colocar a mesma quantidade de óleo, e o terceiro pode ser 
preenchido até a mesma marca dos outros dois, por mel. Caso não disponível, pode ser utilizado o 
detergente para louças. Agora, se possível com a ajuda de uma balança, identifique qual dos copos 
apresenta o maior peso uma vez que todos têm a mesma quantidade de fluído. Isso indicará o 
líquido de maior densidade, e, caso consiga medir a massa e o volume (com um copo de medida), 
é possível calcular a massa específica pela razão destes fatores. Caso não tenha a balança, poderá 
utilizar uma régua escolar e uma borracha, formando uma gangorra. Ao colocar os copinhos 
cheios um de cada lado, permitirá a comparação direta entre a massa dos fluídos, identificando 
o mais pesado. No entanto ainda há mais uma observação a ser feita, ao virar o copo, deixando-o 
13
UNIDADE 1
DIÁRIO DE BORDO
exatamente na horizontal, cronometre o tempo necessário para que todo o fluido saia do recipien-
te, o que demorar mais tempo é o fluído mais viscoso. Com isto, você será capaz de identificar e 
diferenciar os conceitos de massa específica e viscosidade.
Nesta nossa breve experiência, é possível perceber que diferentes fluidos, mesmo ocupando a 
mesma quantidade de espaço, apresentam massas diferentes. Isso ocorre porque cada elemento 
da tabela periódica tem uma quantidade diferente de matéria por espaço ocupado, característica 
específica do elemento, o que se denomina massa específica. Por isso, um litro de água pesa mais 
que um litro de óleo, pois as partículas que compõe a água são mais pesadas que as partículas que 
compõem o óleo e estão mais próximas umas das outras.
Além disso, observaram-se velocidades diferentes de escoamento. Isso ocorre, devido ao atrito 
entre as partículas que compõem o fluido, e também com os sólidos do entorno, conhecido como 
viscosidade. Esta propriedade é a manifestação macroscópica da resistência que cada fluido tem 
para escoar, ou seja, ela quantifica a força que a resistência do fluido tem no escoamento, logo, 
quanto mais viscoso for o fluido, mais força é necessário para que este se movimente.
14
UNICESUMAR
Para compreender como os fluidos se comportam de acordo com suas propriedades, primeiro é 
necessário entender o que é um fluído. Qual a diferença de um sólido? Líquidos e gases podem ser 
chamados de fluídos? Para entender estes conceitos, precisamos, primeiramente, definir o que é de-
formação. Observe a Figura 1.
Figura 1 - Deformação de uma porção infinitesimal de matéria por ação de uma força
Note que, ao receber uma força, o material representado tem sua forma alterada, é isto que se denomi-
na deformação, que pode, nos sólidos, ser classificada como elástica ou plástica. Na elástica, o corpo 
deformado volta à sua forma inicial após o término da atuação da força, contudo, se o limite de elasti-
cidade do material for superado, este tem sua forma alterada, irreversivelmente, o que é denominado 
deformação plástica. De modo simples, é possível observar isso no dia a dia, como ao sentar em um 
sofá, em que no primeiro momento há uma deformação elástica, pois o revestimento volta à posição 
inicial logo depois de a pessoa levantar-se. Contudo, ao longo do tempo, esta capacidade de recuperação 
é perdida, e o sofá passa a ter o formato definido mesmo que não haja ninguém ocupando o lugar, pois 
ele se deformou, definitivamente, ou seja, de forma plástica. 
Já nos fluidos não há um limite de deformação, ou seja, quando um fluido recebe uma força, este 
se deforma, infinitamente, sem nunca atingir um limite, por isso, os fluidos adaptam-se ao ambiente 
que ocupam. É por este motivo que a forma que a água ocupa no copo é diferente da que ocuparia 
em uma jarra, mas, independentemente de quantas vezes o copo for cheio com a mesma água, esta 
sempre se ajustará ao formato do copo, diferentemente do sofá do exemplo anterior, que passa a ter 
uma forma definida. Deste modo, chegamos a uma definição muito importante que ajuda a entender 
a diferença entre sólidos e fluídos. Nos sólidos, a forma é rígida, enquanto nos fluidos ela depende do 
meio, em outras palavras, a forma de um fluído depende do recipiente ou do ambiente que o contém. 
Tendo bem definida a diferença entre sólidos e fluídos, é necessário diferenciar também os gases dos 
líquidos. Ambos são fluídos, pois podem deformar-se, infinitamente, mas, enquanto o líquido adapta-se 
ao ambiente mantendo o volume, os gases não seguem esta limitação, ou seja, eles têm a capacidade de 
adaptar-se ao ambiente ocupando todo o espaço disponível. É fácil perceber este fenômeno ao utilizar 
um perfume, pois, enquanto o fluído está confinado dentro do frasco na forma líquida, ocupa apenas 
Descrição da Imagem: A imagem mostra um elemento 3D desenhado recebendo uma força tangencial que deforma o elemento. A parte 
superior desloca-se para a direita pela ação da força, enquanto a base permanece na posição original.
15
UNIDADE 1
Existem simuladores que podem ajudar a entender a dinâmica das 
moléculas, pois, ao contrário do que se pode imaginar, nada está 
parado, sempre há certa quantidade de movimento das partículas 
que compõem todos os materiais. Acesse o link e selecione a opção 
“estados”, então, poderá alterar a temperatura e verificar o que acon-
tece com as partículas de diferentes fluidos.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
aquele espaço, porém, quando liberado na forma de gás para o ambiente, pode ocupar a casa toda.
Por isso, é importante destacar que o mesmo material pode ser comportar como um sólido, líquido 
ou gás a depender das condições do ambiente, como exploraremos neste ciclo de aprendizagem. A 
água, por exemplo, apresentada na Figura 2, pode ser encontrada na forma sólida representada pelo 
gelo, líquida, contida em um recipiente, e gasosa, na forma de vapor.
Figura 2 - Estados da Matéria
Pode-se observar que isso se deve à forma com que as moléculas constituintes se organizam; enquanto 
no gelo elas estão mais próximas, nos líquidos e gases há um progressivo aumento da distância. 
Descrição da Imagem: A imagem apresenta a ilustração de uma nuvem, um recipiente com agua líquida e cubos de gelo, um ao lado do 
outro. Abaixo destes elementos, temos um círculo que apresenta a distância relativa entre as partículas, representadas por bolinhas azuis 
ou mais distantes ou mais próximas, mostrando que as partículas do gás estão, relativamente, mais distantes entre si do que as partículas 
que compõem o líquido que, por sua vez, estão mais distantes entre elas que as partículas que compõem o sólido.
GÁS LÍQUIDO SÓLIDO
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16
UNICESUMAR
TEMPERATURA EM ESCALA DE CORESQuente Frio
Descrição da Imagem: A imagem apresenta as escalas de cores utilizadas para identificar o tom das lâm-
padas, relacionando com a temperatura na qual um gás emitiria radiação da mesma cor. Essa escala vai 
da cor amarela para a cor azul, gradativamente.
Figura 3 - Escala de cores de lâmpada em função da temperatura
É importante, contudo, ressaltar que cada mate-
rial apresenta características específicas de acordo 
com a composição e a estrutura molecular, estan-
do suscetíveis às condições ambientais. Conhecê-
-las e entendê-las é fundamental para o empre-
go destas nas mais diversas áreas da engenharia 
(AZEVEDO NETO, 1998). Quanto aos fluidos, 
listam-se as principais no quadro a seguir.
Massa específica
Peso específico
Densidade
Volume específico
Viscosidade
Pressão de Vapor
Tensão superficial
Quadro 1 - Propriedade dos fluidos
Fonte: o autor.
Estas são, fortemente, influenciadas pelas condições 
de temperatura e pressão, por isso, vamos a elas. Mas 
responda antes, mentalmente, o que é temperatura? 
Como ela influencia as propriedades dos materiais? 
Como é medida? Onde a pressão entra neste cenário?
A definição de temperatura descreve que 
esta é caracterizada pelo estado de agitação das 
partículas, ou seja, quanto mais movimento os 
átomos que compõema matéria estiverem fa-
zendo maior será a temperatura (HALLIDAY, 
2009). Por isso, não existe um limite máximo. 
Por exemplo, o Sol chega a cerca de 6 mil de 
graus Célsius, mas está longe de ser a estrela 
mais quente. Um exemplo é uma estrela que 
fica na nebulosa de Bug, observada, em 2009, e 
que apresenta uma temperatura 35 vezes maior, 
estando na escala de 200000 °C.
A saber, a temperatura de uma estrela pode 
ser estimada pela sua cor, ou seja, estrelas mais 
avermelhadas são, relativamente, mais frias, 
com temperaturas próximas a 1000 °C, estre-
las médias, como o Sol, apresentam coloração 
mais amarelada com temperaturas em torno de 
6000°C; já as estrelas mais quentes destacam-se 
pelos tons mais azulados, com temperaturas 
superiores a 10000 °C. Notou a semelhança com 
a escala de cores das lâmpadas domésticas apre-
sentada na Figura 3? 
17
UNIDADE 1
A temperatura da cor da luz não diz respeito à 
temperatura de qualquer elemento da lâmpada, 
pois, deste modo, seria impossível aproximar-se 
dela, mas sim em comparação ao brilho de uma 
estrela com a temperatura citada. Assim como a 
escala de cores de uma lâmpada segue um padrão 
de comparação, também acontece com muitas 
de nossas unidades de medida, 7como no caso 
da temperatura. A escala mais utilizada no Brasil 
é a Célsius, representada pelo símbolo °C. Esta 
é uma média indireta, que usa como padrão de 
comparação o volume de um líquido (comumente 
mercúrio) dentro de um fino tubo de vidro no 
qual existem graduações para medir a variação 
do espaço ocupado, objeto este conhecido como 
termômetro, apresentado na Figura 4.
Figura 4 - Termômetro
Com o aumento do movimento microscópico 
no fluído, este passa a ocupar maior volume, o 
que torna possível aferir, indiretamente, o estado 
de agitação das partículas e, consequentemen-
te, a temperatura do fluído. A partir disso, foram 
criadas as escalas de medida de temperatura. Vale 
lembrar que a antiga escala centígrados está em 
Descrição da Imagem: A figura apresenta um termômetro ana-
lógico, em que um tubo de vidro preenchido com mercúrio é co-
locado à frente de uma escala métrica. A variação do volume do 
mercúrio indica a variação da temperatura pela comparação com 
a escala ao fundo.
desuso. Ela dividia em 100 graduações (grados) 
a diferença entre o ponto de congelamento e o de 
ebulição, a água sob pressão de uma atmosfera, 
contudo, desde 1948, denomina-se graus Célsius. 
Existem, no entanto, outras unidades de medida 
de temperatura empregadas em diferentes partes 
do mundo, destacando-se a escala Fahrenheit (°F), 
que, buscando evitar medidas negativas, adotou 
como zero a menor temperatura aferida na época, 
fazendo com que a temperatura de congelamento 
da água nesta escala fosse de 32 °F. 
Na outra extremidade da escala, encontra-se a 
temperatura do sangue humano, definida como 
96 °F. Deste modo, a ministração de medicamen-
tos para conter a febre era recomendada a partir 
dos 100 °F, o que corresponde a, aproximadamen-
te, 37,78 °C. A partir da observação destes limites, 
observa-se que a variação de 32 °F para 100 °F 
tem a mesma dimensão que 0 °C para 37,78 °C, 
ou seja, cada 1,8 °F corresponde a 1 °C. Pode-se, 
então, empregar a seguinte equação para a con-
versão de unidades:
� �
� �
F C32
1 8,
A tentativa de eliminar os valores negativos, 
contudo, não foi bem-sucedida, pois, atualmen-
te, sabe-se que existem temperaturas abaixo de 
0 °F. Criaram-se, então, as escalas absolutas, que, 
no sistema internacional de unidades, é medida 
em Kelvin. Nesta, utiliza-se a menor temperatura 
possível, e vale lembrar que, como vimos, a tempe-
ratura é uma medida indireta da agitação das par-
tículas, ou seja, a total ausência deste movimento 
caracteriza o frio absoluto. Entende-se, então, que, 
apesar de não haver limite máximo conhecido 
para temperatura, há um valor mínimo estima-
do em -273,15 °C, que corresponde a -459,67 °F. 
Definido como zero Kelvin, observa-se a escala 
de comparação na Figura 5.
18
UNICESUMAR
Figura 5 - Equivalência das escalas de temperatura
Portanto, a conversão de unidades de graus Célsius para Kelvin é 
dada por
� � �C K273 15,
A medida absoluta é muito importante para os cálculos, pois, ao 
impossibilitar valores negativos, facilita o processo de cálculo. Tam-
bém é importante salientar que, por ser uma medida absoluta para 
escala Kelvin, não se atribui grau nem o símbolo “°” antecedendo 
sua unidade de medida, sendo apenas K maiúsculo.
Assim como a temperatura tende a fazer com que o volu-
me de um corpo aumente a pressão, tende a fazer o oposto, a 
comprimi-lo, reduzindo, assim, o volume. O conceito de pres-
Ebulição da água 373.15 100 212
Congelamento da água 273.15 0 32
Zero Absoluto 0 -273.15 -459.67
Descrição da Imagem: São mostradas três representações de termômetros: o primeiro, na 
escala Kelvin (K), no qual a água congela a 273,15, tem seu ponto de ebulição em 375,15 e 
o zero absoluto em 0; no segundo, a escala apresentada é Célsius (°C), na qual a água con-
gela a 0, entra em ebulição aos 100 e tem o zero absoluto em -273,15; já a terceira escala, 
a Fahrenheit (°F), exibe o ponto de congelamento da água a 32, ebulição aos 212 e o zero 
absoluto em -459,67. Todos os pontos de congelamento apresentam-se ligados por uma 
linha tracejada horizontal, assim como os pontos de ebulição e zero absoluto, mostrando 
que a distância é a mesma, independentemente, da escala.
são consiste na força aplicada 
sobre uma área, desta forma, 
quanto maior a força aplicada 
maior será a pressão realizada 
em uma relação, diretamen-
te, proporcional (HALLIDAY, 
2009). Já quanto à área, a re-
lação é, inversamente, propor-
cional, por este motivo, quan-
to menor a área de atuação de 
uma força maior será a pres-
são exercida por ela, descrita 
pela seguinte equação:
P F
A
=
Onde:
P = Pressão (Pa)
F = Força (N)
A = Área (m2)
A unidade de medida de pres-
são, no sistema internacional 
de unidades, equivalente a 
Newton por metro quadra-
do é Pascal (Pa). Para ilustrar, 
um exemplo clássico consiste 
em amolar uma faca, em que, 
quando bem afiada com uma 
pequena quantidade de força, a 
pressão realizada é muito gran-
de, devido à pequena área de 
concentração. Outro exemplo 
bastante interessante é apre-
sentado na Figura 6.
19
UNIDADE 1
Figura 6 - Pressão da Área de Superfície
Note que o mesmo tijolo exerceu pressões diferentes sobre a es-
ponja, pois com uma menor área de contato a força se concentrou 
e exerceu maior pressão, afundando mais o material. Contudo não 
são apenas os sólidos que exercem pressões, os fluídos também são 
responsáveis por criar pressões como pode ser visto na Figura 7.
Figura 7 - Pressões em função da profundidade
Descrição da Imagem: A imagem mostra a representação de um tijolo sobre uma esponja. 
Na primeira apresentação, à esquerda, o tijolo está na vertical, reduzindo a área de con-
tato, o que faz a esponja deformar-se mais do que na segunda apresentação, à direita, na 
qual o mesmo tijolo encontra-se em uma posição diferente, deitado, apresentando maior 
superfície de contato. Isso demonstra que quanto menor a área de contato, maior é a 
pressão resultante para a mesma força aplicada.
Descrição da Imagem: Na figura, temos a representação de um recipiente com orifícios na 
lateral, por onde vazam jatos de água, caindo em um recipiente pequeno. Nos orifícios mais 
próximos ao fundo, devido à maior pressão, o jato apresenta distância maior quando com-
parado aos orifícios superiores, demostrando que a pressão é proporcional à profundidade.
Observa-se que quanto mais 
profundo é o orifício maior a 
pressão, fazendo com que o jato 
de água atinja maior distância. 
Esta pressão pode ser calculada 
pelo seguinte procedimento:
Sabendo que a força que um 
fluido exerce é relativa ao peso, 
obtém-se:
P Peso
A
=
Uma vez que o peso é o pro-
duto da massa do fluido (m) 
pela gravidade (g), a equação 
pode ser reescrita da seguin-
te forma:
Como veremos das etapas se-
guintes dociclo de aprendiza-
gem, a massa de um fluído é 
dada pelo produto da massa 
específica (ρ), e o volume ocu-
pado (∀ ) de modo que:
P g
A
�
� �� �
Já que a razão entre o volume e a 
área de um prisma corresponde 
à altura (h), obtém-se a seguinte 
equação: 
P h g� � ��
m . gP=
A
20
UNICESUMAR
Esta pressão denomina-se pressão hidrostática (PH), que correspon-
de à pressão exercida por um fluido a corpos submersos
P h gH � � ��
Onde:
PH = Pressão Hidrostática (Pa)
ρ = Massa específica (kg/m3)
h = Altura da coluna de fluído (m)
g = Gravidade (m/s2)
A partir desta equação, é possível observar que, para o homem 
alcançar régios profundar do mar, é algo muito desafiador uma 
vez que, devido à grande coluna de água, o corpo humano seria 
comprimido. Contudo, em nosso dia a dia, estamos, completamente, 
habituados a receber uma quantidade de pressão, tanto que nem ao 
menos nos damos conta dela. Esta é a pressão atmosférica, resultante 
da atração gravitacional do planeta em relação aos gases que com-
põem a atmosfera (AZEVEDO NETO, 1998), conforme a Figura 8.
Descrição da Imagem: A figura ilustra como as partículas dos fluidos que compõem a at-
mosfera são atraídas, gravitacionalmente, em direção ao planeta, gerando, assim, pressão 
sobre as superfícies em contato com estes fluídos. Há a representação de um mar (areia 
+ água) e três flechas apontando par este, as quais são acompanhadas de moléculas.
A pressão é tão vital para os seres 
humanos, que, durante a histó-
ria, vários trajes especiais foram 
construídos para aumentar os 
limites de tolerância do nosso 
corpo, conforme a Figura 9.
Descrição da Imagem: A imagem apre-
senta dois tipos de trajes pressurizados 
usados por pessoas, em diferentes situa-
ções. O primeiro é um escafandro projeta-
do pare resistir a altas pressões no fundo 
do mar, protegendo o usuário, enquanto 
o outro é uma roupa de astronauta, pro-
jetada para manter a pressão adequada 
para o corpo humano, mesmo com a 
pressão externa, extremamente, baixa.
Figura 8 - Pressão atmosférica
Figura 9 - Trajes pressurizados
21
UNIDADE 1
Ainda estamos muito suscetíveis a pequenas variações, pois uma simples mudança de 
altitude pode desencadear uma série de reações fisiológicas bastante perigosas. Neste 
sentido, formas de medir a pressão em função da altitude foram fundamentais para 
o desenvolvimento tecnológico. Uma das primeiras formas, até hoje, amplamente, 
difundidas, consiste no experimento de Torricelli no qual um tubo de vidro aberto 
em apenas uma das extremidades é preenchido por mercúrio, que, ao ser mantido 
perpendicular a uma superfície, equilibra-se com a pressão atmosférica (SILVESTRE, 
2001), como mostra a Figura 10.
Descrição da Imagem: A imagem 
apresenta um tubo de vidro com uma 
da pontas, completamente, fechada 
e preenchido de mercúrio, o qual é 
impedido de escoar pelo dedo uma 
pessoa. Ao retirar o dedo e mergulhar 
a boca livre do tudo em outro recipien-
te de mercúrio, nota-se que uma parte 
do líquido não escoa, pois entrou em 
equilíbrio com a pressão atmosférica.
Figura 10 - Experimento de Torriceli
22
UNICESUMAR
Dessa forma, pode-se observar que a pressão atmosférica empurra o mercúrio para dentro do tubo, 
contrabalanceando a pressão hidrostática e impedindo que o fluido saia. Como o mercúrio é, muitas 
vezes, mais denso que a atmosfera, uma pequena altura deste elemento é capaz de igualar a pressão 
de quilômetros de gases. O mesmo experimento realizado em diferentes altitudes permitiu estimar a 
pressão atmosférica a partir de uma coluna de mercúrio, desta forma, obteve-se que, ao nível do mar, 
uma atmosfera equivale a 760 mmHg (AZEVEDO NETO, 1998).
Existe uma mútua relação entre pressão e temperatura quanto ao fluídos. Imagine a seguinte situação: 
um sistema fechado, no qual não há possibilidade de entrada ou saída de material, mas com volume 
variável, como o pistão de um motor. Se este recebe energia, a temperara aumenta, logo, a pressão au-
menta e, consequentemente, o volume tende a aumentar. O efeito contrário também é observado, se 
aumentarmos a pressão do sistema, a temperatura também tende aumentar. Estas variações podem 
ser calculadas a partir da equação geral para gases ideais, representada a seguir:
P n R T�� � � �
Onde:
P= Pressão (Pa)
∀= Volume (m3)
n= número de mols (mol)
T= Temperatura (K)
R= Constante dos gases ideais (Pa·m3/(mol·K))
A partir desta equação, considerando uma quantidade fixa de matéria representada pelo número de 
mols e admitindo R constante, pode-se observar que:
• Em um sistema com volume constante, a pressão é proporcional à temperatura.
• Em um sistema com pressão constante, o volume é proporcional à temperatura.
• Em um sistema com temperatura constante, o volume e a pressão são, inversamente, propor-
cionais.
Você já parou para pensar que quando está tomado um refrigerante com um canudinho não 
é você que puxa o líquido para dentro de sua boca, mas sim a atmosfera que o empurra? Pois, 
ao diminuir a pressão no interior de sua boca, a pressão externa fica maior que a interna, 
provocando o deslocamento do fluído.
23
UNIDADE 1
Teste você mesmo, clicando no link e escolhendo a opção “mudança de 
fase”. Você, também, poderá observar a pressão e a temperatura do 
ambiente virtual e visualizar o diagrama de fases. Experimente!
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Olá! Neste Podcast, falaremos da importância de conhecer as pro-
priedades nos fluídos para, assim, empregá-los na engenharia a fim 
de resolver problemas cotidianos. Além disso, serão apresentadas 
curiosidades e peculiaridades de fluidos, assim como de novos mate-
riais tecnológicos com comportamentos incríveis. Não deixe de ouvir!
O conceito de massa específica é definido pela 
razão entre massa e volume de determinado ma-
terial (HALLIDAY, 2009), como apresentado na 
seguinte equação:
r �
�
m
Onde:
ρ= Massa Específica (kg/m3)
m= Massa (kg)
∀ = Volume (m3)
Seguem alguns exemplos de massas específicas 
de materiais, todos considerando uma pressão 
equivalente a uma atmosfera a uma tempera-
tura de 20 °C.
Ar
1,2
kg/m3
Madeira
720
kg/m3
Água
1000
kg/m3
Concreto
2400
kg/m3
Alumínio
2700
kg/m3
Chumbo
11430
kg/m3
Mercúrio
13600
kg/m3
Ouro
19300
kg/m3
Ósmio
22590
kg/m3
Descrição da Imagem: a figura apresenta a massa específica de di-
versos materiais, todos na unidade de medida quilograma por metro 
cúbico ar (1,2); madeira (720); água (1000); concreto (2400); alumínio 
(2700); chumbo (11430); mercúrio (13600); ouro (19300); ósmio (22590).
Figura 11 - Massas específicas de diferentes materiais / 
Fonte: o autor.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/3907
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/3904
24
UNICESUMAR
Note que esta propriedade varia, enormemente, entre os materiais, enquanto o ar apresenta cerca de 1,2kg/
m3, o ósmio chega a 22590 kg/m3, e se pode atribuir esta diferença ao fato de o ar ser um gás, enquanto 
ósmio é um sólido. Logo, as partículas que o compõem estão mais próximas, com menos espaços vazios, 
e a massa total acaba sendo maior. O sólido mais leve conhecido, atualmente, é o aerogel, com massa es-
pecífica de 0,16 kg/m3, mais de sete vezes mais leve que o ar, enquanto, no outro extremo, tem-se a massa 
específica de uma estrela de nêutrons, estimada em 59·1016 kg/m3, em que uma colher de cozinha deste 
material pesaria bilhões de toneladas. Dentre os líquidos, destaca-se o mercúrio com 13600 kg/m3, e o 
curioso é que, mesmo sendo líquido a temperatura ambiente, ainda é mais pesado que chumbo.
A massa específica pode ser interpretada como a quantidade de matéria contida em determinado 
volume, por isso, quanto maior a pressão exercida sobre um material, menor é o volume por ele 
ocupado e, consequentemente, maior será a massa específica. Se você quiser, pode testar isso agora 
mesmo. Pegue uma folha de seu caderno, de preferência uma já usada, para evitar o desperdício, e 
a amasse formando uma bolinha. Quanto maior for a pressão que fizer sobre esta bolinha, menorserá o volume que ela ocupa, mas a massa mantém-se neste processo, e você está aumentando a 
massa específica desta bolinha de papel. 
Já com a temperatura ocorre, exatamente, o contrário, quanto maior a temperatura menor será a 
massa específica, e isso pode ser observado em balão de ar quente, que, ao receber calor, se expande e 
fica mais leve que o ar, por isso, flutua.
Descrição da Imagem: A imagem apresenta balões de ar quente flutuando por estarem com massa específica menor que a do ar em uma paisagem 
com árvores e montanhas.
Figura 12 - Balões de ar quente 
Por isso, para que os balões ganhem os céus, é necessário que um sistema chamado vela mantenha o ar 
aquecido, e, para descer, basta permitir que o ar se resfrie, o que aumenta a massa específica. Contudo 
existe uma exceção a esta regra, a água. Você já notou que, apesar de o gelo estar a uma temperatura 
menor que a água no estado líquido, ele é possui menor massa específica e, por isso, não afunda? Isto 
é conhecido como comportamento anômalo da água, e foi um fator fundamental para o desenvolvi-
25
UNIDADE 1
mento da vida, em nosso planeta, pois permitiu que, mesmo com as superfícies dos lagos congelados 
a vida se mantivesse evoluindo abaixo delas.
Descrição da Imagem: A ilustração mostra como as camadas de água apresentam diferentes temperaturas, no entanto, tanto no verão quanto no 
inverno, a água no fundo do lago permanece a 4 °C, por esta ser a temperatura em que a água apresenta maior massa específica.
Descrição da Imagem: A imagem mostra que a água, no estado sólido, adquire uma estrutura cristalina, o que justifica o seu aumento de volume em 
decorrência da maior distância relativa entre os átomos que compõem esta molécula.
0ºC
1
2
3
4
8ºC
7
6
5
4
SÓLIDO LÍQUIDO GÁS
Figura 13 - Temperatura da água do lago no verão e no inverno 
Fonte: adaptada de Wikimedia Commons (2012, on-line).
Isso se deve à cristalização das moléculas de água, que faz com que elas se afastem no processo de 
congelamento, tornando este material mais leve que a água líquida, como pode ser observado na 
figura a seguir.
Figura 14 - Organização molecular da água
26
UNICESUMAR
Figura 15 - Comportamento anômalo da água
Como pode ser observado no gráfico, a maior massa específica 
da água líquida ocorre a 4 °C, portanto, por mais que a superfície 
esteja congelada, o fundo dos lagos permanecem nesta temperatura.
Figura 16 - Pesca no gelo
Na imagem, é possível ver pessoas pescando em um lago con-
gelado, enquanto a superfície está sólida a ponto de sustentar os 
pescadores, logo abaixo, a água permanece líquida, onde os peixes 
conseguem sobreviver. A medida de peso específico se assemelha 
bastante à massa específica, mas, para que possamos entender 
M
as
sa
 e
sp
ec
í�
ca
 [g
/c
m
³]
GELO ÁGUA
Temperatura [°C]
Descrição da Imagem: O gráfico mostra que a temperatura na qual a água apresenta maior massa 
específica quanto líquida é de 4 °C.
Descrição da Imagem: A figura mostra dois homens pescando sob o gelo, e um deles segura 
uma rede de pesca.
as diferenças, revisaremos o 
conceito de peso e massa.
A massa é uma forma de 
quantificar quanto material 
contém determinado objeto, en-
quanto o peso é a medida que 
determina a força que esta mas-
sa exerce (HALLIDAY, 2009), ou 
seja, a força peso pode ser deter-
minada pela seguinte equação:
F m a� �
Onde:
F = Força (N)
m = Massa (kg)
a = Aceleração (m/s2)
Aplicando a conceito ao peso, 
obtém-se:
P m g� �
P= Peso (N)
m= Massa (kg)
g= Gravidade (m/s2)
Desta forma, pode-se observar 
que, enquanto a massa é medida 
em kg, o peso é medido em Ne-
wton (N), isto pode ser interpre-
tado da seguinte maneira: na ter-
ra cuja gravidade é em torno de 
10m/s2, uma pessoa possui 80 kg 
de massa, possui peso de 800N, 
mas, se esta mesma pessoa for 
levada a Marte, onde a gravidade 
é cerca de 3,7 m/s², o peso desta 
pessoa seria de 296 N, contudo a 
massa continua em 80 kg.
27
UNIDADE 1
Neste ponto, é importante ressaltar que o que uma balança mede é o peso, pois esta vale-se de di-
namômetros, como apresentado na figura a seguir.
Estes equipamentos medem a força necessária para vencer determinada resistência, normalmente, 
proporcionada por uma espécie 
de mola, mas como a gravidade 
é, relativamente, constante em 
nosso dia a dia, convencionou-
-se a chamar de peso a medida 
da balança. Mas é importante 
frisar que o valor em kg exibi-
do pela balança é a unidade de 
massa, mas o equipamento já 
faz as devidas considerações a 
respeito da conversão de força 
em massa. Em resumo, o pro-
cesso de medida da balança é 
realizado em função do peso, 
por isso, denomina-se o ato de 
pesar, mas o resultado apresen-
tado em kg diz respeito à massa.
Descrição da Imagem: A figura mostra um dinamômetro, um instrumento que se vale da resis-
tência de uma mola para medir a força empregada sobre ele, por meio de uma escala métrica. 
Figura 17 - Dinamômetro
Tendo entendido a diferença entre massa e peso, torna-se fácil entender a relação entre massa específica 
e peso específico. Observe a seguinte equação:
γ ρ�
�
� �
P g
Onde:
γ = Peso específico (N/m3)
P= Peso (N)
∀= Volume (m3)
ρ= Massa específica (kg/m3)
g= Gravidade (m/s2)
A definição de peso específico é tida pela razão entre o peso e o volume ocupado, mas pode, também, 
ser expressa pelo produto da massa específica e a gravidade. Obtém-se, então:
28
UNICESUMAR
Figura 17 - Peso específicos de materiais
Fonte: o autor.
Outra propriedade dos fluidos, também muito semelhante à massa 
específica, é a densidade. Esta, muitas vezes, acaba sendo usada como 
sinônimos, mas existem diferenças significativas entre elas. A densida-
de também relaciona a quantidade de matéria com o volume ocupado, 
mas a diferença é que se utiliza uma comparação entre fluidos, ou seja, 
a densidade mede quantas vezes mais pesado é determinado fluido 
quando comparado com outro (HALLIDAY, 2009). Normalmente, o 
fluido usado como padrão é a água no estado de 20 °C a uma pressão 
de 1 atmosfera, por isso, diz-se que a água tem densidade 1, assim 
mesmo sem unidade, como abordaremos na sequência.
Ar
12,0
N/m3
Madeira
7200
N/m3
Água
10000
N/m3
Concreto
24000
N/m3
Alumínio
27000
N/m3
Chumbo
114300
N/m3
Mercúrio
136000
N/m3
Ouro
193000
N/m3
Ósmio
225900
N/m 3
Descrição da Imagem: A figura apresenta o peso específico de diversos materiais, todos na unida-
de de medida newtons por metro cúbico: ar (12); madeira (7200); água (10000); concreto (24000); 
alumínio (27000); chumbo (114300); mercúrio (136000); ouro (193000); ósmio (225900).
Uma vez que tanto o fluido 
analisado como o fluido pa-
drão estão na mesma unida-
de de medida, o resultado da 
densidade é um valor adimen-
sional que quantifica quantas 
vezes mais pesado determina-
do fluido é mais pesado que 
a água. Desta forma, ao dizer 
que o mercúrio tem densida-
de de 13,6, isto significa que 
ele é 13,6 vezes mais pesado 
que a água, assim sendo, um 
copo cheio de mercúrio pesa 
o mesmo que 13,6 copos de 
água. Outros exemplos per-
tinentes dizem respeito aos 
óleos, como o de soja, que tem 
densidade de 0,8, ou seja, é 
mais leve que a água por isso, 
quando misturados, o óleo 
tende a ficar por cima da 
água. Desta forma, torna-se 
bastante fácil identificar que 
fluidos com densidade menor 
do que 1 tendem a flutuar em 
água, enquanto os de maior 
densidade tendem a perma-
necer no fundo.
D fluido
padrão
=
r
r
Onde:
• D = Densidade (adimensional)
• ρfluido = Massa específica do flui-
do em análise (kg/m3)
• ρpadrão = Massa específica do flui-
do padrão (kg/m3)
29
UNIDADE 1
Figura 18 - Materiais de diferentes 
densidades
Note que o gelo cuja densidade é 
menor do que água tem densida-
de semelhante ao óleo utilizado 
na mistura, por isso, este perma-
nece imerso no óleo, sem atingir 
nem a superfície nem o fundo. A 
propriedade volume específico é 
exatamente o inverso da massa 
específica, sendo esta a razão en-
tre massa e volume, como apre-
sentado na equação a seguir:� �
�
�esp
m 1
r
Esta propriedade é muito útil para 
o entendimento que, quanto maior 
a massa específica de determinado 
fluido, menor é o volume específi-
co, observe a seguinte figura:
Descrição da Imagem: A imagem mos-
tra que, dentro de um recipiente, temos 
água, óleo, gelo e uma pedra. A pedra 
toca o fundo do recipiente, enquanto que 
o gelo fica flutuando no meio do pote. 
Ainda, abaixo, está a água, e, acima, está 
o óleo, que não se misturam.
Figura 19 - Volumes específicos / Fonte: o autor.
Enquanto são necessários 833 litros de ar para se obter 1 kg 
de massa, apenas 1 litro de água já apresenta esta quantidade. 
Destaca-se, também, o mercúrio, no qual cerca de 75 mL são 
suficientes para atingir 1 kg, valor semelhante ao ouro, que, em 
cerca de 50 mL, ou seja, um copinho de café, já atinge a marca. 
Imagine isso: um copinho de café cheio de ouro pesa o equiva-
lente a cerca de 1 litro de água.
Chegamos, então, às definições de viscosidade, também, fre-
quentemente, confundida com densidade. Você já ouviu alguém 
dizer que o mel é mais denso que a água por este demorar mais 
para sair de dentro de um pote? É uma confusão bastante recor-
rente, mas isso não ocorre pela diferença de massa específica entre 
os fluidos, mas sim pelo atrito em entre as moléculas que com-
põem o fluido entre elas e também com os sólidos que a envolvem.
Ar
0,833
m /kg3
Madeira
1,389
10 
m /kg
3
3
_
Água
1,00
10 
m /kg3
_3
Concreto
420
10 
m /kg3
_6
Alumínio
370
10 
m /kg3
_6
Chumbo
87,49 
10 
m /kg3
_6
Mercúrio
73,53 
10 
m /kg3
_6
Ouro
51,81 
10 
m /kg3
_6
Ósmio
44,27 
10 
m /kg3
_6
Descrição da Imagem: Apresenta o volume específico de diversos materiais, todos na 
unidade de medida metro cúbico por quilograma: ar (0,833); madeira (1,389·10-3); água 
(1·10-3); concreto (420·10-6); alumínio (370·10-6); chumbo (87,49·10-6); mercúrio (73,53·10-6); 
ouro (51,81·10-6); ósmio (44,27·10-6).
30
UNICESUMAR
Figura 20 - Fluidos de diferentes viscosidades
Desta forma obtemos o seguinte conceito: a viscosidade é uma medida que quantifica a resistência a deter-
minado fluido ao escoamento, ou seja, quanto mais viscoso for o fluido mais difícil é que ele se movimente 
(PORTO, 2004). É importante destacar que existem duas formas de apresentar a viscosidade de um fluido: 
a absoluta, também conhecida como dinâmica, e a velocidade relativa, ou cinemática. Vamos às diferenças.
Na viscosidade dinâmica, a unidade de medida é pascal vezes segundo (Pa·s), o que pode ser 
interprestado como a pressão necessária a ser aplicada durante determinado tempo para que este 
fluido se movimente, ou seja, tanto uma pequena pressão por um longo tempo fará com que o fluido 
se movimente, assim como uma grande pressão por um pequeno período (HALLIDAY, 2009). Para 
exemplificar, imagine a aplicação de uma injeção médica.
ÁGUA AZEITE DE OLIVA MEL
Baixa viscosidade Média viscosidade Alta viscosidade
Descrição da Imagem: A figura mostra três fluidos escoando de diferentes recipientes: água (torneira), azeite de oliva (garrafa) e mel (pote), demons-
trando que devido à estrutura molecular, o mel é o mais viscoso, seguido pelo azeite e, finalmente, pela água.
31
UNIDADE 1
É interessante perceber como a temperatura influencia na viscosidade dos fluidos, pois ela se proces-
sa de forma diferente em relação aos líquidos e gases. Enquanto nos líquidos a temperatura faz com 
que a viscosidade diminua, nos gases o aumento da temperatura faz com que a viscosidade aumente. 
Isso ocorre porque nos líquidos, ao aumentar a temperatura, as moléculas constituintes sofrem um 
pequeno afastamento, como observado pelo aumento do volume e consequente diminuição da massa 
específica. Com este distanciamento, as forças intermoleculares que mantêm o fluido unido tornam-se 
mais fracas, o que reduz o atrito interno, e, por isso, o líquido escoa com mais facilidade. Um exemplo 
disso ocorre com o óleo lubrificante de motor, que à temperatura ambiente é bastante viscoso, mas se 
torna muito mais fluido dentro do motor aquecido.
Já nos gases, onde o distanciamento das moléculas já é bastante grande, as forças intermolecu-
lares exercem pouca resistência ao escoamento, por isso, em geral, nos gases a viscosidade é muito 
menor do que nos líquidos, contudo o aumento da temperatura e, deste modo, da agitação das 
moléculas, a probabilidade de choques entre as partículas aumenta, aumentando o atrito interno 
e tornando, assim, o gás mais viscoso.
Como vimos anteriormen-
te, os fluidos têm o estado de-
terminado pelas condições de 
pressão e temperatura, ou seja, 
a depender destas condições, a 
mesma matéria pode apresen-
tar-se líquida sólida ou gasosa. 
Como se sabe, os gases, ao se-
rem pressurizados em ambien-
tes herméticos, passam para o 
estado líquido, processo deno-
minado liquefação, como o gás 
liquefeito de petróleo (GLP).
Se o líquido dentro da seringa for viscoso, é necessário exercer uma pequena pressão por um longo 
período para que o medicamento escoe pela agulha, mas, se for aplicada uma maior pressão em um 
tempo menor, esta mesma quantidade de fluido será expelida. Já a viscosidade cinemática é a razão 
entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido, resultando em uma unidade de medida 
em m2/s, como apresentado na seguinte equação:
υ
µ
ρ
=
Onde:
u= Viscosidade cinemática (m2/s)
μ= Viscosidade dinâmica (Pa·s)
ρ= Massa específica (kg/m3) 
32
UNICESUMAR
A pressão necessária para manter um gás em estado líquido é denominada pressão de vapor, ou seja, 
acima deste limiar de pressão, o fluido apresenta-se como líquido, abaixo desta, como gás (HALLIDAY, 
2009). Desta forma, entende-se que quanto maior a pressão de vapor de determinado fluido, mais 
facilmente este evapora no ambiente, por isso, perfumes se utilizam de substâncias com altas pressões 
de vapor para se espalharem pelo ambiente na 
forma de gás. Mas nem sempre esta vaporização 
é bem-vinda nos processos relativos à engenharia. 
Dentro de uma bomba de sucção por exemplo, se 
mal dimensionada a pressão, pode ficar tão baixa 
que fica abaixo da pressão de vapor da água que 
evapora, o que provoca vibração e ruído em um 
fenômeno conhecido como cavitação. 
As moléculas que compõem um fluido atraem-
-se por forças denominadas intermoleculares, e 
estas mantêm o fluido unido, evitando a vapori-
zação. Um exemplo são as pontes de hidrogênio 
na água, que, pelas diferenças potenciais de pola-
ridade (d ), atraem-se, magneticamente.
Esta estrutura gerada pelo magnetismo age mantendo o fluido unido, inclusive, formando gotas.
Figura 22 - Pontes de hidrogênio em escala microscópica e os efeitos macroscópicos
O que o ocorre é que, na superfície do fluido, como na interface entre a água e o ar, as pontes de 
hidrogênio atraem as moléculas para o interior do líquido (SILVESTRE, 2001), como pode ser 
observado na figura seguinte.
Descrição da Imagem: A imagem mostra pontes de hidrogênio, apre-
sentando como o lado positivo de uma molécula de água atrai o lado 
negativo da molécula vizinha, formando as relações intermoleculares.
Descrição da Imagem: A imagem é dividida em duas partes. À esquerda, temos várias representações em desenho de moléculas de água; à direita, 
temos a foto de um fio, o qual está molhado, com algumas gotas de água sobre ele. Ao fundo da foto, vemos plantas verdes.
LIGAÇÃO DE PONTES DE HIDROGÊNIO
Figura 21 - Pontes de hidrogênio
33
UNIDADE 1
Figura 23 - Tensão superficial
Isso faz com que, na superfície, forme-se uma rede 
capaz de manter insetos e objetos, mesmo que 
mais densos que a água, na superfície.
A tensão superficial é muito importante nas 
trocas gasosas da respiração de organismos aquá-
ticos, por isso, a inserção de químicos presentes 
nos detergentes de louças é capaz de causar um 
significativo impacto ambiental.
Se a vida humana depende da água, os aglo-
merados urbanos precisam lidar com a gestão 
deste recurso essencial. Por dia, cada pessoa uti-
lizacerca de 200 litros de água e devolve para o 
ambiente 80% na forma de esgoto, totalizando 
160 litros de esgoto por dia. Além disso, a cres-
cente impermeabilização dos solos nestes locais 
faz com que a água não infiltre com facilidade, 
o que provoca o escoamento superficial, que é a 
Descrição da Imagem: A figura apresenta a representação de um re-
cipiente com água, enfatizando, à direita, a superfície da água em uma 
visão microscópica, na qual é possível observar a atração das moléculas 
da superfície em direção ao interior do fluido, criando uma rede super-
ficial, devido à tensão destas partículas.
causa de enchentes e alagamentos e os diversos 
danos à sociedade decorrentes dele. 
Portanto, a gestão da água nas cidades é um 
grande desafio de engenharia que visa propor-
cionar às pessoas um ambiente seguro e saudável 
onde todos tenham acesso à água em quantidade e 
qualidade adequada. Também é indispensável que 
os desejos humanos sejam transportados e trata-
dos de modo que não ofereçam riscos à população 
e ao meio ambiente. Desta forma, os sistemas de 
drenagem urbanos devem ser capazes de conduzir, 
adequadamente, além do esgoto a água provenien-
te das chuvas, sem, no entanto, misturá-la, pois, de 
acordo com a legislação vigente, isto é proibido.
Neste contexto, o conhecimento sobre as pro-
priedades da água e dos demais fluidos utilizados 
pelas pessoas é fundamental para o profissional 
de engenharia responsável por dimensionar, cons-
truir e manter o funcionamento destes sistemas. 
Um exemplo neste sentido é que a viscosidade é o 
motivo pelo qual as tubulações de esgoto tendem 
a ser maiores que as tubulações de distribuição de 
água. Afinal, nos esgotos, o material transportado 
é muito mais viscoso, por isso, escoa lentamente, 
sendo necessário mais pressão para conduzi-lo 
ou um maior diâmetro de tubulação para per-
mitir que escoe apenas impulsionado pela força 
gravitacional. Já no caso da água, esta pode ser 
pressionada pela tubulação, pois, como é pouco 
viscosa, o atrito promovido pelas partículas no 
interior do fluído não é o suficiente para reduzir 
a pressão abaixo dos parâmetros exigidos.
34
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Neste ciclo de aprendizagem, diferenciamos os conceitos físicos dos estados da 
matéria para que, então, pudéssemos entender a mecânica dos fluidos e suas 
propriedades. Agora, faremos um exercício para que você possa verificar se con-
seguiu compreender como as propriedades dos fluidos se relacionam entre si. 
Além disso, poderá avaliar as unidades de medida de cada uma delas. Preencha 
as lacunas do seguinte organograma. 
Descrição da Imagem: No topo deste mapa mental, temos o termo Matéria centralizado, que se ramifica em dois balões 
com os termos sólidos e gases e um balão em branco para ser preenchido, os quais encontram-se logo abaixo. Este balão a 
ser preenchido e o balão com o termo gases ligam-se a um balão em branco, no centro da imagem, que deve ser completado. 
Este balão ramifica-se em outros três balões, dois com as palavras Volume/massa e Moleculares e um a ser preenchido. 
O balão em branco liga-se a um balão com a expressão Massa específica, no canto da imagem, que se liga a outro balão 
em branco; a um balão em branco, que se liga ao texto N/m3; e ao texto Densidade ligado a um balão a ser preenchido. Já 
o balão com os termos Volume/massa liga-se a dois balões, um em branco e um com o texto m3/kg. O termo Moleculares 
ramifica-se em três balões: um em branco, ligado ao texto N/m; um com o texto Viscosidade, ligando-se a mais dois balões 
(Dinâmica e espaço a ser preenchido; balão em branco e m2/s); e Pressão de vapor, que se liga a um balão em branco.
Matéria
Sólidos
Massa especí�ca
N/m3
Densidade
Volume/massa
m3/kg
Pressão de vapor
Dinâmica
Viscosidade
Moleculares
Gases
N/m
m2/s
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M
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P
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 M
EN
TA
L
36
1. A Estação Climatológica Principal de Maringá (ECPM) foi fundada a partir de um Acordo de Coope-
ração Técnica (ACT - Processo n° 01674/1978, v. 1) estabelecido entre a Universidade Estadual de 
Maringá (UEM) e o Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). Acordo este idealizado pelo pro-
fessor Dr. Emílio Eugênio Niéce, do Departamento de Geografia, posteriormente, homenageado 
pela Resolução n° 023/2005 do Conselho Universitário (COU), que designou o nome do docente 
à ECPMA. Durante o ano de 2018, esta estação registrou um total de 1837 mm de precipitação. 
Lembre-se de que cada milímetro corresponde a 1 litro de água precipitado em cada metro qua-
drado de superfície da região onde fica o pluviógrafo. Considerando que um prédio com área 
de cobertura de 320 m2, localizado na região onde foi realizada a medida, deseja construir um 
sistema de coleta da água da chuva, qual a massa total de água coletada ao longo deste ano? 
Dado: densidade da água igual a 1.
2. Na realização de uma experiência, um pedaço de gelo com 10g foi colocado ao lado de um cubo 
de gelo seco com o mesmo peso, ambos os materiais permaneceram expostos às condições do 
ambiente de 20 °C e pressão de 1 Atm. Transcorridos dez minutos, foi possível observar sobre a 
mesa apenas 10 g de água no estado líquido, enquanto todo o gelo seco transformou-se em gás. 
Nesta experiência, foi possível perceber que a matéria pode organizar-se em diferentes estados, 
sendo eles sólidos ou fluídos, este último dividido em líquidos e gases. Diferencie, do ponto de 
vista físico, a diferença entre sólidos, líquidos e gases.
3. Uma bomba de êmbolo consiste em uma câmara onde o fluido é pressionado e forçado a escoar 
em determinada direção através de um orifício. Este sistema assemelha-se bastante à injeção 
médica onde o medicamento fica dentro da seringa que, ao receber força, expulsa o líquido 
para dentro do corpo do paciente por uma agulha. Se uma bomba de êmbolo for usada para 
transportar determinado fluido a força necessária:
a) Será, inversamente, proporcional à viscosidade do fluido, pois, quanto mais viscoso o fluido, 
maior é a resistência ao escoamento.
b) Será, inversamente, proporcional à viscosidade do fluido, pois, quanto mais viscoso o fluido, 
menor é a resistência ao escoamento.
c) Será proporcional à viscosidade do fluido, pois, quanto mais viscoso o fluido, maior é a resistência 
ao escoamento.
d) Será proporcional a viscosidade do fluido, pois, quanto mais viscoso o fluido, menor é a resis-
tência ao escoamento.
e) Será independente da viscosidade do fluido, pois esta propriedade não influencia na resistência 
ao escoamento.
37
4. Os reservatórios de distribuição de água são conhecidos, popularmente, como caixas d’água. Estas 
estruturas são posicionadas nos locais de maior altitude para que, a partir dela, a água escoe pela 
ação da gravidade de modo a atender a população com quantidade e pressão adequadas. Um re-
servatório de 20 mil litros está, completamente, cheio de água cuja massa específica é de 1 g/cm3. 
Sabendo que quatro pilares quadrados de 10cm de lado cada um suportam o reservatório, qual a 
pressão exercida em cada um dos pilares em Mpa? Considere a gravidade igual a 10 m/s2.
5. Dentro das tubulações de esgotos, muitos gases acabam sendo gerados pela decomposição 
anaeróbica da matéria orgânica presente nos desejos humanos, e um dos gases mais marcantes 
é o sulfeto de hidrogênio que, facilmente, é notado pelo característico cheiro de ovo podre. A 
liberação deste odor indica que:
a) A pressão dentro da tubulação ficou abaixo da pressão de vapor do sulfeto de hidrogênio que, 
por isso, passou para a forma gasosa.
b) A pressão dentro da tubulação ficou acima da pressão de vapor do sulfeto de hidrogênio que, 
por isso, passou para a forma gasosa.
c) A pressão dentro da tubulação ficou abaixo da pressão de vapor do sulfeto de hidrogênio que, 
por isso, passou para a forma líquida.
d) A pressão dentro da tubulação ficou acima da pressão de vapor do sulfeto de hidrogênio que, 
por isso, passou para a forma líquida.
e) A pressão dentro da tubulação ficou abaixo da pressão de vapor do sulfeto dehidrogênio que, 
por isso, passou para a forma sólida.
6. No dia a dia de um engenheiro, a conversão de unidades é uma constante, sendo a capa-
cidade de lidar com diferentes medidas fundamental para a profissão. Imagine a seguinte 
situação em que o peso de 5 m3 de uma substância é de 23,5 kN, sabe-se que a viscosidade 
cinemática desta é de 10-5 m2/s. Se considerarmos a gravidade igual a 10 m/s2, qual será a 
viscosidade dinâmica deste fluido?
7. O número de Avogadro é uma constante que equivale ao número de partículas de uma substância 
que estão contidas em um mol, sendo este valor igual a 6,02·1023. Ou seja, quando se tem 1 mol 
de água, o que equivale a, aproximadamente, 18 gramas, existem 602000000000000000000000 
partículas de água, e toda esta quantidade cabe dentro de 18 mL, frequentemente, menor que 
um gole. Certo gás cuja massa vale 200g ocupa um volume de 34 litros, sob pressão 3 atmosferas 
à temperatura de 20°C, a constante universal dos gases perfeitos R= 0,082 atm.L/mol.K. Nestas 
condições, o número de moléculas continuadas no gás é, aproximadamente, de:
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O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. Partindo do conceito que o volume de um paralelogramo é o produto da área pela altura, temos:
Volume Área Altura� �
Volume m m� �320 1 8372 ,
Volume m= 587 840 3,
Aplicando o conceito de massa específica, obtemos:
Massa Volume� �r
Massa m kg m� �587 840 10003 3
, /
Massa kg= 587840
Logo, a massa do total de chuva coletada neste ano foi de 587840 kg.
2. Os sólidos têm forma e volume bem definidos, enquanto nos fluidos a forma é indefinida. O que diferencia 
um líquido de um gás é que, nos líquidos, o volume é constante, ou seja, ocupa sempre o mesmo espaço, 
já nos gases, o volume é variável, ocupando todo o espaço disponível. 
3. C. Será proporcional a viscosidade do fluido, pois, quanto mais viscoso o fluido, maior é a resistência ao escoamento.
Isso ocorre porque a viscosidade quantifica o atrito interno das partículas do fluido, por isso, quanto mais viscoso 
for o fluido, mais força será necessário para que ele escoe, ou esta força deverá ser aplicada por mais tempo.
4. Partindo do princípio de que a pressão é a razão entre a força e a área de contato, tem-se
Pr essão Força
Área
=
Como no caso, a força é resultante do peso e se pode fazer a seguinte substituição
Pr essão Peso
A
=
Como o peso é o produto da massa pela gravidade, e a massa pode ser expressa pelo volume multiplicado 
pela massa específica, obtém-se
Pr essão Volume gravidade
A
�
� �r
Substituindo as variáveis, obtemos:
Pr
/ /
, ,
essão m kg m m s
m m
�
� �
� �
20 1000 10
4 0 1 0 1
3 3 2
Pr essão MPa= 5
Logo, a pressão a pressão em cada um dos pilares é de 5 Mpa.
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A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
5. A. A pressão dentro da tubulação ficou abaixo da pressão de vapor do sulfeto de hidrogênio que, por isso, 
passou para à forma gasosa.
A pressão de vapor é a propriedade dos fluidos que determinar o ponto de virada de líquido para gás e 
vice-versa, se o fluido estiver sujeito a uma pressão acima da pressão de vapor ele se comporta como 
líquido, estando abaixo, comporta-se como gás.
6. Sabe-se que a viscosidade cinemática é a razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido
υ
µ
ρ
=
Reorganizando, tem-se
υ ρ µ� � 
Substituindo os valores
10 23 5 10
10 5
5 2
3
2 3m s N
m s m
/ ,
/
µ
Obtém-se:
4 7 10 3, Pa s µ
7. Partindo da equação geral dos gases perfeitos:
P n R T�� � � �
Colocando a variável de interesse em evidência
P
R T
n��
�
�
3 34
0 082 293
atm litros
atm litro
mol K
K
n�
�
�
�
�
,
Obtém-se, assim, o número de mols
4 245400816, mol n=
O número de mols multiplicado pelo número de Avogadro, obtemos o número de partículas
númerodepartículas n n avodadro� � �
númerodepartículas mol partículas mol� � �4 245400816 6 02 1023
, , /
Logo:
númerodepartículas partículas� �2 55573 1024,
40
R
EF
ER
ÊN
C
IA
S
AZEVEDO NETO, J. M. Manual de hidráulica. Volumes 1 e 2. 8. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1998.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Vol 2. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
PORTO, R. M. Hidráulica Básica. 3. ed. São Carlos: EESC-USP, 2004.
SILVESTRE, P. Hidráulica Geral. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2001.
WIKIMEDIA COMMONS. Anomalous expansion of water Summer Winter.svg. 2012. Disponível em: 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anomalous_expansion_of_water_Summer_Winter.svg. Acesso 
em: 18 dez. 2020.
41
M
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 E
SP
A
Ç
O
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EU
 E
SP
A
Ç
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2Esforços Mecânicos
Dr. Fernando Marcos Weronka
Agora que você já estudou as propriedades dos fluidos, abordaremos como 
estes interagem com o mundo ao redor e os consequentes esforços envol-
vidos, para isso, duas grandes áreas de estudo serão abordadas. A primeira 
é a fluidostática, na qual os fluidos permanecem parados (estáticos), e a se-
gunda é a fluidodinâmica, na qual há movimento macroscópico dos fluidos. 
Os conceitos da fluidostática são os responsáveis por explicar como um sub-
marino consegue imergir (afundar) e emergir (flutuar), já a fluidodinâmica 
é capaz de demonstrar como os aviões, mesmo sendo mais densos que o 
ar, conseguem voar. Estes princípios aplicados à engenharia auxiliam tanto 
no dimensionamento do escoamento quanto das estruturas que devem 
resistir aos esforços empregados, seja em tubulações de escoamento por 
gravidade, reservatórios, canais abertos, condutos sob pressão seja ainda 
em estruturas submersas ou flutuantes.
44
UNICESUMAR
Agora que você se deu conta de que estamos en-
volvidos em fluidos, já que tanto o ar que com-
põe a atmosfera quanto a água encaixam-se nesta 
definição, como fenômenos do dia a dia podem 
ser explicados a partir da fluidostática e da fluido-
dinâmica? Com os conhecimentos obtidos sobre 
as propriedades dos fluidos, torna-se fácil com-
preender como um barco não afunda na água, 
pois, com os grandes espaços vazios dentro do 
casco, este se torna menos denso que a água. Mas 
como o submarino consegue variar sua densi-
dade? Você consegue responder a esta questão? 
A fluidostática apresenta, entre outros con-
ceitos, como um fluido é capaz de gerar esfor-
ços em corpos submersos, ou seja, nos corpos 
que têm densidade maior que a do fluido, isto 
pode ajudar a dimensionar a tensão que deter-
minado material deve resistir para ser utiliza-
do na construção de um reservatório de água, 
por exemplo. Além disso, quando um corpo 
está submerso, surge uma força que empurra 
o corpo para cima, por isso, torna-se mais fácil 
levantar uma pessoa dentro de uma piscina, esta 
força denomina-se empuxo e é a responsável 
pela flutuabilidade. Por isso, um submarino é 
capaz de desenvolver um movimento vertical 
na água, pois, ao permitir que a água entre nos 
lastros, diminui o empuxo e, por isso, afunda, 
ao expulsar esta água por meio da injeção de ar 
comprimido o empuxo aumenta e, com isso, o 
submarino movimenta-se para cima até flutuar. 
Para identificar como os fluidos exercem for-
ças sobre os corpos submersos, você pode po-
sicionar um ovo dentro de um copo com água, 
com isso, perceberá que ovo, por ter maior massa 
que a água, permanece no fundo do copo. Con-
tudo, ao adicionar sal à mistura, é possível per-
ceber que o ovo passa a flutuar, pois, ao aumen-
tar a massa específica da água sem alterar a do 
ovo, este passa a ser menos denso e, então, boia. 
Mas vamos dificultar um pouco mais? Quero que 
você pense em outra situação, agora, com rela-
ção à atmosfera: imagine um balão de gás, e ele 
usa a propriedade da variação da massa especí-
fica dos gases em função da temperatura para 
ficar mais leve que o ar e flutuar. Correto? Mas 
você consegue me responder como o avião é ca-
paz de voar mesmo sendo mais denso que ar? 
Pensando no último questionamento que lhe pro-
pus, quero que você faça um experimento: tente 
arremessar uma folha sulfite A4 na direção que 
você quiser. Observe o que acontece com a folha 
e utilize o seu “Diáriode Bordo” para anotar esse 
experimento. Depois disso, use essa mesma folha 
para construir um aviãozinho de papel. A intenção 
é que você o lance em alguma direção. Você conse-
gue identificar e comparar o que aconteceu de dife-
rente quando lançou a folha e depois o aviãozinho?
No caso do ovo imerso em água, nota-se a atua-
ção do fenômeno denominado empuxo, este é 
responsável por uma força vertical para cima, no 
sentido contrário a força peso, por isso, nota-se 
uma redução aparente do peso de um objeto ao 
ser submerso em um fluido.
45
UNIDADE 2
Esta força é proporcional à massa específica do fluido no qual o corpo está submerso, por isso, quanto 
mais denso o fluido mais fácil é flutuar nele, como você pode perceber ao tentar boiar em uma piscina 
ou no mar, destacando-se o Mar Morto, onde a densidade é tão grande que se torna impossível afundar.
ÁGUA FRESCA ÁGUA COM SAL
46
UNICESUMAR
DIÁRIO DE BORDO
Isso ocorre porque a flutuação é uma condição na qual a força do empuxo é igual à força peso e, por 
isso, a resultante de forças é igual a zero, deste modo não havendo movimento vertical do corpo. Ago-
ra, respondendo o questionamento que lhe propus sobre o aviãozinho: o aviãozinho deixar a maior 
parte do papel abaixo das asas faz com que o ar tenha dificuldades em passar por ali, pois, devido à 
viscosidade do fluido, quanto mais próximo do papel, menor será a velocidade do escoamento, fenô-
meno explicado devido ao atrito das partículas de ar com o material sólido do avião. Isso faz com que 
o ar passe mais rápido sobre as asas do modelo, onde a superfície é mais plana e tem menos obstáculos 
para o ar, gerando menor atrito. Assim, a pressão abaixo das asas torna-se maior do que a pressão aci-
ma delas, criando uma força que empurra o avião de papel para cima, denominada sustentação. Isto 
faz com que o objeto permaneça no ar enquanto houver movimento horizontal com velocidade sufi-
ciente para manter a diferença de pressão gerando uma força maior que o peso do objeto. Entendeu? 
Já em aviões reais podemos ressaltar que o que gera a sustentação no ar é a diferença de velocidade 
do próprio ar passando pela parte de cima e de baixo da asa, pois, quanto maior a velocidade do 
ar, menor é a pressão gerada por ele, ou seja, se o ar passar mais rápido sobre a asa, o avião tende a 
subir, já quando ocorre o contrário, tente da descer.
47
UNIDADE 2
Para que seja possível entender os esforços mecânicos gerados a partir dos fluídos, faz-se necessário 
dividir em duas grandes áreas de conhecimento a fluidostática (fluido parado) e a fluidodinâmica 
(fluido em movimento). Na fluidostática, são abordados os esforços gerados pelo fluido, as estruturas 
de contenção, assim como aos corpos submersos, e um exemplo disso pode ser observado em grandes 
lagos de reservação à montante de usinas hidroelétricas.
Descrição da Imagem: : a imagem apresenta a foto de uma barragem, na qual é possível ver uma grande quantidade de água armazenada de um lado, 
enquanto um grande vale apresenta-se do outro lado, criando uma grande diferença de pressão e energia entre esses lados. 
Figura 1 - Hidroelétrica de Strathgordon
Olá! Neste Podcast, falaremos sobre os esforços dos fluidos 
sobre as estruturas e como a engenharia prepara-se para lidar 
com eles. Além disso, exploremos técnicas para usufruir des-
tes, como na geração de energia elétrica, sistemas hidráulicos, 
aviões e submarinos. Não perca!
Esta barragem, na Tasmânia, por exemplo, reserva milhões de litros de água, para tanto deve ser capaz 
de resistir a uma enorme tensão imposta pelo fluído que tende a ser atraído pela força gravitacional a 
buscar os pontos de menor altitude. Como você já deve ter notado, empilhar líquidos não é fácil, pois, 
por não terem forma definida, sempre tendem a escoar e assumir a forma do objeto que o contém. 
Por isso, na ausência de contenção, os líquidos adotam a forma de uma fina lâmina, ou seja, todas as 
partículas ficam o mais próximo possível da altura mínima. Isto pode ser observado no exemplo dos 
vasos comunicantes, em que, independentemente da forma do recipiente, se houver comunicação entre 
eles, a água permanecerá na mesma linha, a chamada linha de nível.
https://vimeo.com/491273076/f9cb0f11ff
48
UNICESUMAR
Figura 2 - Vasos Comunicantes
Este fenômeno está relacionado à pressão, pois um fluido sempre escoa 
da maior para a menor pressão, sendo esta a força motriz do escoa-
mento, no entanto, se não houver diferença de pressão, não haverá 
escoamento, caso estudado na fluidostática. Ou seja, o fluido tente a 
adotar a posição onde todos os pontos de sua superfície ficam sujeitos 
a mesma pressão, sendo esta a menor possível, formando, assim, uma 
lâmina perfeitamente plana. Por isso, a superfície de um lago é plana 
por mais irregular que seja o fundo, e esta propriedade é utilizada em 
produtos autonivelantes para pisos, como na figura a seguir.
Figura 3 - Piso autonivelante
Descrição da Imagem: na imagem, são apresentados vários vasos de vidro, cada um com 
uma forma distinta, todos conectados pela base, de modo que o fluido que os preenche 
esteja em contato, ou seja, todos os vasos se comunicam. A altura dos fluidos é a mesma, 
independentemente do formato do recipiente.
Descrição da Imagem: na imagem, temos uma foto focada em um piso/chão, no qual há 
a mão de uma pessoa segurando um balde e despejando um líquido acinzentado, o qual 
está se espalhando pelo piso. A propriedade do fluido forma uma superfície plana e é 
utilizada nos produtos para nivelar pisos.
Nestes casos, as pequenas ir-
regularidades são compensa-
das pela distribuição da resina 
epóxi na forma líquida que, ao 
enrijecer, garante o nivelamento 
da superfície do piso, compen-
sando as regiões mais baixas. 
Esta é uma demonstração que, 
dentro do mesmo fluido, todos 
os pontos que estiverem em 
determinada altura possuem, 
exatamente, a mesma pressão, 
calculada, por meio da equação 
da pressão hidrostática (PH) 
(AZEVEDO NETO, 1998).
P P h gH atm� � �� �
Onde:
PH = Pressão Hidrostática (Pa)
Patm = Pressão Atmosférica (Pa)
ρ = Massa específica (kg/m3)
h = Coluna de fluído (m)
g = Gravidade (m/s2)
Note que a pressão atmosfé-
rica também é considerada 
no cálculo, pois esta também 
é o resultado da atração gra-
vitacional de um fluido, neste 
caso, o fluido atraído é o ar que 
compõe a atmosfera. Este é o 
princípio de funcionamento de 
manômetros, utilizados para 
medir a pressão de gases, por 
meio de uma comparação dire-
ta com a altura de uma coluna 
de fluido, como pode ser visto 
na figura a seguir.
49
UNIDADE 2
Figura 4 - Manômetros
Descrição da Imagem: são apresentados 3 manômetros, que consistem em um reservatório ligado a um tubo em formato de U, e em um dos 
lados age a pressão do gás e do outro a pressão atmosférica, dentro do tubo está um fluido, denominado fluido manométrico. No primeiro 
caso, o fluido está na mesma altura em ambos os lados do U, o que denota que o gás do recipiente está exercendo pressão sobre o fluido igual 
à pressão atmosférica. No segundo caso, o fluido manométrico foi empurrado pelo gás do recipiente para o lado que está em contato com 
a atmosfera, demonstrando uma situação em que a pressão exercida pelo gás sobre fluido é maior que a pressão atmosférica. No terceiro 
caso, semelhante ao segundo, a pressão atmosférica apresenta-se maior que a pressão do gás confinado, uma vez que esta empurra o fluido 
manométrico na direção do gás, fazendo com que a altura do fluido, na parte do U em contato com a atmosfera, seja menor que a do outro 
lado. Nestes casos, é possível calcular a pressão do gás a partir da pressão hidrostática do fluido manométrico, somada à pressão atmosférica.
Descrição da Imagem: é apresentada 
na figura um tubo em formato de U, em 
que dois líquidos não miscíveis estão 
reservados. O fluido azul ocupa todo o 
lado esquerdo e uma pequena parte do 
lado direito, enquanto o líquido amarelo 
ocupa apenas a parte restante do lado di-
reto. É possível observarque a altura dos 
fluidos em cada lado do tubo é diferente.
Observe que, no primeiro caso, o gás X empurra o mercúrio presente 
no manômetro com uma força igual à exercida pela pressão atmosféri-
ca, pois o mercúrio dentro do tubo em U mantém a mesma altura em 
ambos os lados. Já no segundo caso, o gás X exerce uma força maior 
que a pressão atmosférica, empurrando o mercúrio para o lado do U 
que possui contato com a atmosfera. Já no terceiro caso, a pressão do 
gás é menor que a atmosférica, pois a atmosfera empurra o mercúrio 
em direção ao gás X. É importante destacar que não é correto indicar 
pressão negativa, sempre se define o sentido da pressão de modo 
que esta seja lida como positiva, no caso em estudo, ou a atmosfera 
empurra o mercúrio, ou o gás X empurra, nunca um ou outro o puxa. 
Deste modo, entende-se que, em uma bomba a vácuo, o que 
ocorre é que a atmosfera empurra o fluido uma vez que o rotor 
reduz a pressão dentro da bomba até o mais próximo possível a 
zero (vácuo), criando uma diferença de pressão. Este é o motivo 
pelo qual uma bomba a vácuo não é capaz de vencer desníveis 
superiores a 10,34 metros de sucção, pois esta é a altura que a 
atmosfera consegue empurrar a água, por maior que seja a po-
tência da bomba, este limite não é ultrapassado. 
Perceba que a comparação de pressão pode ser realizada, dire-
tamente, entre líquidos não miscíveis, utilizando-se um tubo em 
forma de U, no qual em cada um dos lados está uma das substâncias 
em teste, como representado na figura a seguir.
Figura 5 - Tubo em U contendo líqui-
dos não miscíveis 
BA
50
UNICESUMAR
Na imagem, é possível observar que a superfície do fluido azul está abaixo da superfície do líquido 
amarelo, isso indica que a massa específica destes fluidos é diferente, pois, ao verificar o limite do fluido 
azul, localizada no ponto B, este deve apresentar a mesma pressão do ponto A uma vez que estes se 
encontram na mesma altura, logo, determina-se que:
P PA B=
A aplicando a equação da pressão hidrostática, tem-se 
P h g P h gatm azul azul atm amarelo amarelo�� ��� � � � �
Uma vez que a pressão atmosférica e a gravidade atuam em ambos os fluidos, pode-se simplificar a 
equação assim:
� �azul azul amarelo amareloh h� � �
Desta forma, fica fácil perceber que, em uma experiência de tubo em U, o fluido de menor massa 
específica deverá apresentar maior altura para equilibrar com o fluido de maior passa específica. 
Neste ponto, torna-se importante destacar o conceito que as alterações de pressão que ocorrem em 
um ponto de um líquido em equilíbrio são transmitidas, integralmente, para todos os pontos desse 
líquido (HALLIDAY, 2009). Isto faz com que o princípio conhecido como prensa hidráulica, que se 
vale de um sistema bastante parecido com o tubo em U, mas cada lado tendo um êmbolo de tamanho 
diferente, como pode ser observado na figura a seguir.
Figura 6 - Princípio de Pascal
Descrição da Imagem: na figura, encontramos uma espécie de tubo em U de grandes dimensões, pois, de um lado, um carro é representado, 
a partir desta ilustração, é apresentada a relação que a força aplicada no lado 1 resulta em uma força diferente no lado 2, a depender da 
diferença entre as áreas dos êmbolos, pois a pressão é a mesma, no entanto, com a variação das áreas, varia a força resultante de modo 
que a razão da força em 2 pela força 1 é igual à razão da área 2 pela área 1.
51
UNIDADE 2
Note que este sistema parte da mesma premissa da igualdade de pressões onde:
P P1 2=
Aplicando o conceito que define a pressão como a força aplicada sobre determinada área obtemos:
F
A
F
A
1
1
2
2
=
Reorganizando a equação, tem-se
F A
A
F1
2
1
2� �
Desta forma, pode-se perceber que quanto maior for a área 2 maior em relação à área 1 maior será a 
força resultante em 2, contudo, neste sistema, é preciso que haja um grande deslocamento do embolo 
1 para que uma pequena variação seja percebida no êmbolo 2. Este princípio é utilizado em diversos 
sistemas hidráulicos, como os freios de um veículo automotor.
Descrição da Imagem: a imagem ilustra um sistema hidráulico de freios do lado 
direito, é representado por uma flecha acionando o pedal de freio, o fluido se deslo-
ca empurrando as pastilhas no lado esquerdo, aumentando o atrito na roda, o que 
promove a desaceleração do veículo.
Figura 7 - Sistema hidráulico de freios
Neste sistema, o acionamento 
do pedal do freio gera força 
suficiente para travar o movi-
mento das rodas do veículo, 
isso ocorre porque o desloca-
mento do pé é muito maior 
que o deslocamento das pas-
tilhas, fazendo com que a força 
realizada pelo condutor seja 
multiplicada diversas vezes 
quando chega nas pastilhas. 
Outro fenômeno bastante in-
teressante ocorre ao mergu-
lhar um objeto em um fluído, 
quando isso ocorre, é possível 
notar uma força com sentido 
contrário à força peso, a esta 
força denomina-se empuxo e 
faz com que o peso aparente 
desse objeto seja reduzido, 
como mostra a figura a seguir.
52
UNICESUMAR
Figura 8 - Balança de empuxo
Note que a esfera fora da água é mais pesada que a submersa, mesmo 
ambas tendo o mesmo tamanho e mesma densidade. Este fenômeno 
foi estudado por Arquimedes, que determinou que a intensidade da 
força do empuxo é equivalente ao peso do fluido deslocado pelo objeto, 
criando, assim, o princípio de Arquimedes (AZEVEDO NETO, 1998).
E Pfd=
Onde:
E = empuxo (N)
Pfd = Peso do fluido deslocado (N)
Sabendo que o peso é função da massa específica, do volume ocu-
pado e da gravidade, a equação do empuxo pode ser escrita, mais 
detalhadamente, da seguinte forma:
E V gfd fd� � �r
Onde:
E = Empuxo (N)
ρfd = Massa específica do fluido deslocado (kg/m3)
Vfd = Volume do fluido deslocado (m3)
g = gravidade (m/s2)
Descrição da Imagem: na figura, temos a representação de uma balança de empuxo, a 
qual mostra duas esferas de iguais volume e massa penduradas. A esfera da esquerda 
está dentro de um recipiente com água, o que faz com que esta fique mais alta do que a 
esfera da direita, que não está dentro de recipiente nenhum, desequilibrando a balança.
Uma vez que o volume do corpo 
submerso é igual ao volume do 
fluido deslocado, finalmente, ob-
tém-se a equação mais comumente 
apresentada como equação do em-
puxo, ou princípio de Arquimedes:
E V gfd cs� � �r
Onde:
E = Empuxo (N)
ρfd = Massa específica do 
fluido deslocado (kg/m3)
Vcs = Volume do corpo sub-
merso (m3)
g = gravidade (m/s2)
Na seguinte imagem, é possível 
visualizar o funcionamento de 
tal princípio.
Figura 9 - Experimento do empuxo 
Descrição da Imagem: a figura apresenta 
um objeto de 6 kg submerso em um tanque 
d'água. Este objeto de 6 kg é aferido por um 
dinamômetro, que indica o peso total de 4 kg. 
Os outros 2 kg do objeto são tomados pelo 
empuxo/força. À esquerda do tanque d'água, 
temos uma balança indicando o peso de 2 kg. 
Essa balança está conectada ao tanque, por 
meio de uma vazão disponibilizada nele. Essa 
vazão distribui parte da água do tanque, por 
isso, justificava-se o peso aferido na balança.
FORÇA DE EMPUXO
53
UNIDADE 2
Na figura, é possível visualizar um objeto de 6 kg imerso em 
água. Nota-se que o dinamômetro indica que este objeto passa 
a apresentar um peso aparente de 4 kg, sendo os 2 kg faltantes 
resultados da ação do empuxo. Em outra balança, o fluido des-
locado é pesado, mostrando exatamente o valor de 2 kg, deste 
modo, fica fácil perceber que o empuxo é proporcional ao vo-
lume do corpo e a massa específica do fluido. Ou seja, quanto 
maior o volume do corpo submerso e maior a massa especifica 
do fluido maior será a força que empurra o objeto para cima, 
quando submerso (AZEVEDO NETO, 1998).
Quando a força do empuxo é igual à força peso, tem-se, então, 
a condição de flutuabilidade na qual o peso aparente do objeto 
é igual a zero.
Descrição da Imagem: a figura mostra um objeto roxo, em forma de cubo, dentro de um 
recipiente com água, o qual está metade submerso e metade para fora do líquido, sob ação 
de duas forças em equilíbrio. Aforça peso puxa o objeto para baixo d’água, enquanto a foça 
empuxo empurra o objeto para cima. Quando essas duas forças são iguais, o objeto flutua.
EMPUXO
PESO
Figura 10 - Princípio de Arquimedes
Note que nem sempre é necessário que todo corpo esteja sub-
merso para que a força do empuxo se equilibre com a força peso, 
podendo-se, inclusive, criar uma relação entre qual o volume de 
um corpo deve ser submergido para que este flutue, como de-
monstrado na equação a seguir.
Partindo da condição de flu-
tuabilidade, temos:
E Pc=
Onde:
E = Empuxo (N)
Pc = Peso do corpo (N)
Substituindo a equação do em-
puxo e do peso, obtém-se:
r rfd cs c cV g V g� � � � �
Onde
ρfd = Massa específica do 
fluido deslocado (kg/m3)
Vcs = Volum do corpo sub-
merso (m3)
ρc = Massa específica do cor-
po (kg/m3)
Vc = Volume total do cor-
po (m3)
g = gravidade (m/s2)
Como a gravidade está presente 
em ambos os lados da equação, 
esta pode ser simplificada, re-
sultando em:
r rfd cs c cV V� � �
Reorganizando a equação, ob-
tém-se
V
V
cs
c
c
fd
=
r
r
54
UNICESUMAR
Caro(a) aluno(a), você se lembra de que, no início desta unidade, 
falamos sobre o experimento de densidade com o ovo? Pois bem! 
Para relembrarmos, sugiro que assista a este experimento em vídeo 
e veja como é fácil reproduzir em sua casa e entender esta dinâmica 
de forma bem prática.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Pode-se observar, então, que quanto menor a massa específica do corpo for em relação à do fluido, 
menor será o volume submerso para que este atinja a condição de flutuabilidade, ou seja, se um corpo 
tem 70% da massa específica do fluido, a submersão de 70% do seu volume será suficiente para man-
tê-lo flutuando. Observe a seguinte imagem.
Descrição da Imagem: a figura apresenta três imagens, nas quais temos três recipientes iguais com água até a metade e, em todos os 
recipientes, há um objeto dentro. No primeiro recipiente, o objeto flutua com a maior parte do volume para fora do fluido, enquanto que, 
no segundo recipiente, metade do corpo do objeto está sobre o fluido. Já no terceiro recipiente, o objeto está, completamente, afundado.
PESO
PESO
PESO
EMPUXO
EMPUXO
EMPUXO
Figura 11 - Condição de flutuação
No primeiro caso, o sólido apresenta uma massa específica muito menor que a do fluido, por isso, 
a maior parte do seu volume está fora do líquido. Já no segundo caso, o objeto apresenta uma 
densidade próxima à metade da densidade do fluido, por isso, cerca da metade do corpo está 
submerso. No terceiro caso, a densidade do corpo é maior do que a do fluido e, por isso, o objeto 
permanece no fundo, completamente submerso.
Uma das ferramentas matemáticas fundamentais para explicar os fenômenos da fluidodinâmica é 
o teorema de Bernoulli capaz de descrever o comportamento de fluidos ideais baseado no princípio 
da conservação de energia (PORTO, 2004). A equação advinda deste teorema é mostrada a seguir:
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6112
55
UNIDADE 2
Para o adequado entendimento desta equação, primeiramente, é preciso definir o que é energia e quais as 
formas em que ela se apresenta. O conceito de energia vem do grego pela junção das palavras em (dentro) e 
érgon (trabalho) (PORTO, 2004), e a etimologia da palavra mostra que energia é aquilo que cria um trabalho, 
no caso dos fluidos, um movimento. Por isso, esta é a principal equação da fluidodinâmica, pois, a partir 
dela, é possível descrever como as diferentes formas de energia se apresentam e interagem. Na primeira 
delas, a energia cinética, existe uma relação com a velocidade, ou seja, quanto maior a energia cinética de 
um fluido, maior é a velocidade do escoamento. Analogamente, a energia potencial está relacionada à altura 
do escoamento, assim como a piezométrica está relacionada à pressão exercida sobre o fluido.
A partir desta equação e da significação de cada termo, entende-se que, durante o escoamento de 
um fluido ideal, a energia se conserva ao longo do tempo, por isso, a equação resulta em um valor 
constante. Além disso, é possível identificar que podem ocorrer conversões de energia, ou seja, um 
tipo de energia pode ser transformado em outro, quantas vezes for necessário. Um exemplo disso se dá 
na seguinte situação: uma bomba aplica energia piezométrica no fluido exercendo pressão sobre ele, 
empurrando-o para um reservatório de água colocado na parte alta da casa. Neste processo, ocorreu 
a transformação da energia piezométrica em potencial. Quando uma pessoa abre a torneira, e a água 
escoa do reservatório pela tubulação, o que ocorre é a transformação da energia potencial em cinética.
Sendo assim, a equação de Bernoulli pode ser escrita de diversas formas, sendo três delas as mais 
comuns que se dão em função da energia específica do escoamento, ou da energia potencial, ou da 
energia piezométrica. Na primeira, a energia específica da unidade de medida dos termos é dada por 
joules por kg (J/kg), ou seja, quantifica a energia que cada unidade de massa carrega, contudo a unidade 
medida que aparece nos cálculos é m2/s2, entenda o porquê:
Partindo da definição de energia específica (Eesp), tem-se:
E J
kgesp =
A unidade de medida Joule (J), utilizada para quantificar trabalho e energia pode ser decomposta 
pois vem da relação que energia é dada pela força (N) multiplicada pela distância (m), logo, obtém-se:
E N m
kgesp �
�
Da mesma forma, a unidade de medida Newton (N) que quantifica uma força e é designada em função 
massa (kg) multiplicada pela aceleração (m/s2), obtemos assim:
E
kg m
s
m
kgesp �
� �2
E E E constantec p pz� � �
Onde:
Ec = Energia cinética (J)
Ep = Energia Potencial (J)
Epz = Energia Piezométrica (J)
56
UNICESUMAR
Reorganizando a equação, tendo simplificado a unidade de medida da massa que aparece tanto no 
denominador como no numerado têm-se:
E m
sesp =
2
2
Desta forma, demostra-se que a energia específica pode ser medida tanto em J/kg como em m2/s2 
sendo estas unidades de medidas equivalentes. Assim sendo, a equação de Bernoulli pode ser descrita 
em função da energia específica na forma a seguir:
V gh P constante
2
2
� � �
r
Onde: 
V = Velocidade (m/s)
h = Altura (m)
P = Pressão (Pa)
ρ = Massa específica (kg/m3)
g = Gravidade (m/s2)
Note que, desta forma, todos os termos da equação ao serem decompostos de acordo com as unidades 
de medida resultam em m2/s2, que é a unidade da energia específica. Uma observação pertinente é que 
o “2” que aparece no denominador do termo referente à energia cinética não aparece nesta análise por 
ser uma constante e, por isso, não possui unidade de medida.
m
s
m
s
m N m
kg m
constante�
�
�
�
�
� � � � �
2
2
2
3
/
/
m
s
m
s
m
s
constante
2
2
2
2
2
2� � �
Apenas reorganizando os termos da equação de Bernoulli em função da energia específica é possível 
obter a equação de Bernoulli em função da energia potencial dada por:
V
g
h P constante
2
2
� � �
g
Onde: 
V = Velocidade (m/s)
h = Altura (m)
P = Pressão (Pa)
g = Peso específico (N/m3)
g = Gravidade (m/s2)
57
UNIDADE 2
Note que, desta forma, todos os termos da equação, ao serem decompostos de acordo com as unidades 
de medida, resultam em metro (m):
( / )
/
/
/
m s
m s
m N m
N m
constante
2
2
2
3� � �
m m m constante� � �
Por fim, a equação de Bernoulli também pode ser escrita em função da energia piezométrica dada em 
termos de pressão:
r
r
�
� � �
V gh P constante
2
2
Onde: 
V = Velocidade (m/s)
h = Altura (m)
P = Pressão (Pa)
ρ = Massa específica (kg/m3)
g = Gravidade (m/s2)
Note que, desta forma, todos os termos da equação, ao serem decompostos de acordo com as unidades 
de medida, resultam em pressão medida em N/m2 ou Pa:
kg
m
m
s
kg
m
m
s
m N
m
constante3
2
3 2 2��
�
�
�
�
� � � � � �
Pa Pa Pa constante� � �
Além das diferentes formas de apresentação, analisar as possíveis interações entre os termos da equação de 
Bernoulli é bastante eficiente para entender a dinâmica dos fluidos. Uma vez que este teorema é composto por 
trêstermos, ao tornar um constante, é possível entender a relação entre os outros dois. Vamos aos exemplos:
Em uma situação onde a pressão é constante, o aumento da altura implica redução da velocidade, pois a 
soma destas três energias deve permanecer igual. Um exemplo disso ocorre quando, ao regar as plantas do 
jardim, eleva-se a mangueira da altura da cintura para a altura da cabeça, desta forma, a velocidade do escoa-
mento diminui, pois, com o aumento da energia potencial, necessariamente, a energia cinética deve reduzir.
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão Constante
Constante
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão Constante
58
UNICESUMAR
Outro exemplo variando a altura, mas com a velocidade de escoamento constante, desta vez, ao aumentar 
a energia potencial, tendo a energia cinética constante, a energia piezométrica diminui, logo, a pressão 
resultante também diminui. Isso pode ser observado na instalação hidráulica de uma residência, na 
qual a pressão da água que chega ao chuveiro é menor que a que chega na pia do banheiro uma vez que, 
estando o chuveiro em maior altura, parte da energia piezométrica está na forma de energia potencial.
Contudo o exemplo que mais chama a atenção está relacionado à relação entre a velocidade e a pressão quando 
a altura é constante, assim como nos outros casos, ao aumentar a energia cinética, a energia piezométrica deve ser 
reduzida para manter a resultante constante. Isso implica que quanto maior for a velocidade menor é a pressão.
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão Constante
Constante
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão Constante
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão Constante
Constante
Energia Cinética Energia Potencial Energia Piezométrica Resultante
Velocidade Altura Pressão Constante
Descrição da Imagem: a figura mostra a representação de um avião à esquerda, bem 
como à direita temos uma representação ampliada em desenho de como a asa do avião é 
feita para fazer com que o ar que passe por cima da asa e tenha de percorrer uma distância 
maior que o ar que flui por baixo dela.
BAIXA PRESSÃO
ALTA PRESSÃO 
Figura 12 - Aplicação do conceito de Bernoulli 
Este fenômeno é, amplamente, 
utilizado na aviação, pois este 
é o princípio que faz com que 
o avião ganhe sustentação, ao 
fazer com que o ar passe mais 
rápido pela parte de cima da 
asa do que pela parte de baixo, 
como pode ser observado na 
figura a seguir.
59
UNIDADE 2
Perceba que, como a asa tem um formato que faz com que o caminho 
a ser percorrido pelo ar, ao contornar por cima da asa, seja maior que 
o caminho ao contornar por baixo, isso exige que o ar sobre a asa 
tenha maior velocidade que o ar abaixo, desta forma, a pressão sob a 
asa é capaz de empurrar o avião para cima.
A partir dos conhecimentos aprendidos, em que abordamos as 
interações entre fluidos e sólidos, assim como as tensões envolvidas, 
foi possível entender como os escoamentos ocorrem e como as estru-
turas de contenção acabam interagindo com os esforços resultantes. 
Quanto à pressão hidrostática, por exemplo, as barragens devem ser 
capazes de resistir a altíssimas pressões decorrentes das grandes altu-
ras de águas contidas no montante, isto implica um grande desafio à 
engenharia, mas fundamental para a manutenção do abastecimento 
e da geração de energia elétrica. Contudo situações em menor escala 
também podem, facilmente, serem compreendidas a partir destes 
conceitos, por exemplo a tensão que um reservatório gera sobre a 
estrutura que o suporta ou, ainda, a resistência necessária para que o 
material de uma tubulação não se rompa. 
A compreensão da dinâmica e estática dos fluidos é fundamental 
para diversas tecnologias cotidianas, como nos chamados equipa-
mentos hidráulicos, que vão desde prensas capazes de romper aço 
até o sistema de direção que tornam mais fácil o controle de veículos. 
Pela característica do fluido deformar-se, indefinidamente, o que 
denominamos escoar, muitos dos sistemas modernos dependem do 
entendimento deste fenômeno. São eles desde o importante sistema 
de drenagem urbana da água da chuva até o fundamental sistema 
de abastecimento de água potável, sem esquecer o indispensável 
sistema de esgoto sanitário, que deve levar de maneira segura os 
dejetos para o devido tratamento e devida disposição final. 
Note que a sociedade é, extremamente, dependente destes siste-
mas que, por sua vez, têm seu funcionamento, diretamente, relacio-
nado à capacidade da engenharia de descrever os fenômenos envol-
vendo diferentes fluidos. O correto dimensionamento, a operação 
e a manutenção dependem do conhecimento das características 
destes líquidos e gases e das respectivas dinâmicas de escoamento 
para que as estruturas atendam aos esforços decorrentes de diversos 
processos compreendidos nestes sistemas de engenharia.
60
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te
”.
EQ
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I
Ve
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an
te
Pr
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e
En
er
gi
a 
Es
pe
cí
�c
a
En
er
gi
a 
Pi
ez
om
ét
ric
a
Nesta unidade, abordamos o prin-
cípio de Bernoullii, que se baseia na 
conservação de energia dentro de 
um escoamento ideal, neste senti-
do, foram detalhadas as diversas 
formas de apresentação da equação 
descrevendo o comportamento da 
energia dos fluidos. Desta forma, é 
possível determinar as interrelações 
entre pressão, velocidade e altura 
em um escoamento. Com basenis-
to, preencha as lacunas do seguinte 
organograma. 
61
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
62
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. A pressão hidrostática é a pressão que os fluidos provocam em corpos submersos, ou seja, 
quando um nadador mergulha a coluna de água sobre ele, pressiona seu corpo. Estudos mos-
tram que uma pessoa comum não consegue respirar caso seu tórax receba uma pressão maior 
do que 5000 Pa além da pressão atmosférica. A partir desta informação, calcule qual a máxima 
profundidade que um mergulhador consegue ficar abaixo da água respirando por meio de um 
snorkel. Considere a gravidade igual a 10 m/s2 e a massa específica da água igual a 1 g/cm3.
2. Prensas hidráulicas são dispositivos que auxiliam na multiplicação de uma força e são utilizadas, 
entre outras finalidades, para elevar veículos, como mostra a figura.
Dada a área, no pistão 1, de 500 cm2, e 5 m2, no pistão 2, e sabendo que um carro popular tem 
massa de cerca de uma tonelada, responda:
a) Qual deve ser a carga aplicada ao pistão 1 para que o pistão 2, onde se encontra o carro seja elevado? 
b) Se o pistão 1 tiver um deslocamento vertical de 1 metro, qual será o deslocamento vertical 
do pistão 2?
3. A flutuação é o fenômeno que ocorre quando a força peso é igual à força do empuxo, fazen-
do, deste modo, a resultante das forças ser nula e, assim, não havendo deslocamento vertical. 
Considere uma esfera maciça e homogênea, de massa específica igual a 2,4 g/cm3, que flutua 
mantendo 20% do seu volume acima da superfície livre de um líquido, qual a massa específica 
desse líquido em g/cm3?
63
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
4. Uma esfera de aço cuja massa específica é 
igual a 7800 kg/m3 possui um volume de 1 
litro e está submersa dentro de um aquário 
cheio de água. Um fio prende a esfera na 
tampa do aquário, como mostra a figura a 
seguir. Determine a força em newtons re-
sultante no fio e considere a gravidade igual 
a 10 m/s2.
5. No ponto (1) de uma instalação hidráulica, 
na qual escoa água, mediu-se uma pressão 
3,5·105 Pa, a uma velocidade de 5 m/s. No 
ponto (2), a pressão manométrica aferida 
foi de 1,2·105 Pa com velocidade de 3 m/s. 
Determinar a altura h no ponto (2), sabendo 
que a altura h no ponto (1) igual a 15 metros. 
Dados: g= 10m/s2; ρ = 1000 kg/m3
6. A velocidade de um líquido no ponto (1) é de 
3 m/s, encontrear a pressão manométrica no 
ponto (1), sabendo que a pressão manomé-
trica do ponto (2) é 4x105 Pa. A área do ponto 
(2) é a metade do ponto (1), estando o ponto 
(2) 30 metros acima que o ponto (1). (Dados: 
g= 10 m/s2; ρ = 1000 kg/m3).
7. “Tornado destrói telhado do ginásio da Unicamp”. Um tornado com ventos de 180km/h destruiu 
o telhado do ginásio de esportes da Unicamp. Segundo engenheiros da Unicamp, a estrutura 
destruída pesa, aproximadamente, 250 toneladas (Folha de São Paulo, 29/11/95)
Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar diminuição da pressão atmosférica, 
devido ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento de ar ideal, que ρ=1,2kg/m3 
é a densidade do ar e v a velocidade do vento, considere que o telhado do ginásio tem 5.400m2 
de área e que estava apoiado nas paredes. (Dado g=10m/s2).
a) Calcule a variação da pressão externa, devido ao vento.
b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a este vento?
c) Qual a menor velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado?
Fonte: o autor.
64
C
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N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. Altura da coluna d’água
P P h gH atm� � �� �
Desconsiderando a pressão Atmosférica, como descrito no exercício e reorganizando a equação, obtém-se
P
g
hH
r �
�
5000
1000 10
2
3 2
N m
kg m m s
h/
/ /�
�
0 5, m h=
Por isso, os snorkels não possuem grande comprimento, com mais de 50 cm de profundidade já se torna im-
possível respirar, devido à pressão exercida pela água sobre o corpo humano.
2. 
a. carga/força para levantar o carro.
F
A
F
A
1
1
2
2
=
Reorganizando em função da força que se deseja descobrir
F A
A
F1
1
2
2� �
F m
m
kg1
2 2
2
500 10
5
1000�
�
�
�
( )
F kg1 10=
Caso calculado em Newtons, a resposta correta seria:
F N1 100=
b. Deslocamento vertical do pistão 2.
� ��1 2
A h A h1 1 2 2� � �D D
A
A
h h1
2
1 2� �D D
50 10
5
1
4 2
2 2
�
� �
� m
m
m hD
0 1 2, m h=D
Observa-se, assim, que a força aplicada no pistão 1 é multiplicada por 100 quando transferida para o pistão 2, 
contudo apenas um centésimo do deslocamento vertical é transferido.
65
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A
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S 
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ES
P
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A
S
3. Massa específica do fluido.
V
V
cs
c
c
fd
=
r
r
r rfd
c
cs
c
V
V
� �
r fd g cm� �
100
80
2 4 3%
%
, /
r fd g cm= 3 3/
4. Força no fio.
Parte-se do princípio de que o objeto se encontra em equilíbrio, logo, o somatório das forças que atuam sobre 
ele é igual a zero, então:
Peso Empuxo Força no fio� � _ _
r raço aço água fluido deslocadoVolume g Volume g Força no f� � � � � �_ _ _ iio
7800 10 10 1000 10 103
3 3
2 3
3 3
2
kg
m
m m
s
kg
m
m m
s
Força no fio� � � � � �� � _ _
68N Força no fio= _ _
5. H2 = 38,8 m
Partindo da equação de Bernoulli em função da altura, tem-se:
V
g
h P constante
2
2
� � �
g
Como a equação iguala-se a um valor constante, pode-se obter:
V
g
h P V
g
h P1
2
1
1 2
2
2
2
2 2
� � � � �
g g
Isolando o termo de interesse a partir da reorganização da equação, obtém-se:
V V
g
h P P h1
2
2
2
1
1 2
22
�
� �
�
�
g
Substituindo os temos:
( / ) ( / )
( / )
, ,
/
5 3
2 10
15 3 5 10 1 2 10
10 10
2 2
2
5 5
2
m s m s
m s
m Pa Pa
m s
�
�
� �
� � �
� 000 3 2kg m
h
/
�
Importante destacar que γ=gρ, logo:
38 8 2, m h=
66
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S 
R
ES
P
O
ST
A
S
6. 7,135·105 Pa
Partindo da equação de Bernoulli em função da pressão, tem-se:
r
r
�
� � �
V gh P constante
2
2
Como a equação iguala-se a um valor constante, pode-se obter:
r
r
r
r
�
� � �
�
� �
V gh P V gh P1
2
1 1
2
2
2 22 2
Isolando o termo de interesse a partir da reorganização da equação, obtém-se:
P V V g h h P1
2
2
1
2
2 1 22
�
� �
� � �
r
r
( )
( )
Substituindo os temos:
P
kg m m s m s
kg m m s m1
3 2 2
3 2
1000 6 3
2
1000 10 30 4 1�
� �� �
� � � � �
/ ( / ) ( / )
/ / ( ) 005Pa
Importante destacar que a redução da área pela metade dobra a velocidade de escoamento:
P Pa1
57 135 10� �,
7. 
a. 1500 Pa
Partindo da equação de Bernoulli em função da pressão, tem-se:
r
r
�
� � �
V gh P constante
2
2
Como a equação iguala-se a um valor constante, pode-se obter:
r
r
r
r
�
� � �
�
� �
V gh P V gh P1
2
1 1
2
2
2 22 2
Isolando o termo de interesse a partir da reorganização da equação, obtém-se:
P V V g h h P1
2
2
1
2
2 1 22
�
� �
� � �
r
r
( )
( )
Adotando 1 como externo e 2 como interno, tem-se
P V V g h h PExterno
Externo Interno
Externo Interno I�
� �
� � �
r
r
( )
( )
2 2
2 nnterno
Definindo variáveis:
VExterno = 180 km/h = 50 m/s
VInterno = Ar interno parado 0 m/s
67
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R
A
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A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
h hExterno Interno− = 0, pois o dado é irrelevante uma vez que a diferença entre a altura externa e interna 
tende a zero.
PInterno = Pressão atmosférica
PExterno = Pressão atmosférica + variação
Então, retirando pressão atmosférica da interna e externa, tem-se:
PInterno = 0
PExterno = variação
r = 1,2 kg/m3 
Tem-se:
P
kg m m s m s
gExterno �
� �� �
� �
1 2 0 50
2
0 0
3 2 2
, / ( / ) ( / )
( )r
Logo:
P PaExterno � �1500
Tem-se, então, que a pressão externa é 1500 Pa menor que a interna.
b. 810 toneladas.
Partindo do princípio da pressão, tem-se:
P F
A
=
Sabendo que no caso força é dada por peso, e peso é dado pelo produto da massa pela gravidade, tem-se:
P m g
A
�
�
Reorganizando a equação em função da força, obtém-se:
P A
g
m�
�
Substituindo as variáveis, tem-se:
1500 5400
10
2
2
Pa m
m s
m�
�
/
Logo:
810000kg m=
ou, ainda:
A Pressão é capaz de levantar 810 toneladas.
68
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A
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A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
c. 99,7 km/h
Considerando uma massa de 250 toneladas, apressão necessária para levantá-la, levando-se em conta uma 
área de 5400 m2 é dada por:
P m g
A
�
�
Substituindo, tem-se:
P kg m s
m
�
�250000 10
5400
2
2
/
Logo:
P Pa= 462 962963,
Retomando a equação, tem-se:
P
kg m m s m s
gExterno �
� �� �
� �
1 2 0 50
2
0 0
3 2 2
, / ( / ) ( / )
( )r
Retirando os valores neutros e isolando a variável de interesse, tem-se:
P
kg m
VExterno � �
2
1 2 3
, /
Substituindo as variáveis, tem-se:
462 962963 2
1 2 3
,
, /
Pa
kg m
V�
�
Logo,
27 7778, /m s V=
Convertendo para km/h, tem-se que:
Uma velocidade de 100 km/h seria capaz de levantar a cobertura.
69
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
70
M
EU
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SP
A
Ç
O
3Cinética dos Fluidos
Dr. Fernando Marcos Weronka
Nesta unidade, a cinética dos fluidos é o tema em estudo e, nesta etapa, 
tanto as forças de campo quanto as forças de superfície serão abordadas, 
pois são úteis no processo de entendimento das formas de descrição do 
escoamento, sendo apresentadas as visões lagrangeana e euleriana do 
escoamento dos fluidos. Para tanto, os conceitos de conservação de mas-
sa, energia e quantidade de movimento serão descritos e exemplificados 
a partir de situações cotidianas para proporcionar a melhor compreensão 
dos conceitos que descrevem os escoamentos de fluidos.
72
UNICESUMAR
Uma vez que o fluido tem a capacidade de se 
deformar, indefinidamente, quais são as forças 
que agem sobre ele? Quais são os fenômenos 
físicos decorrentes dessas forças? Como estes 
fenômenos são descritos? E como isso pode ser 
observado no cotidiano?
Sobre um fluido atuam dois grupos de forças: 
as volumétricas, ou forças de campo, e as forças 
de contato, ou superficiais. Quando um flui-
do está em repouso, apenas as forças de campo 
atuam sobre ele, sendo elas a força gravitacional 
e a força centrífuga. Já quando o fluido se encon-
tra em movimento, atuam também as forças de 
contato, tais como normais e tangenciais. Note 
que, ao aplicar uma força sobre um fluido, diver-
sos fenômenos ocorrem em decorrência desta. 
Existem duas formas de descrevê-los: a lagran-
geana e a euleriana. Na primeira, a lagrangeana, 
o observador hipotético acompanha o movi-
mento de cada partícula do fluido, formando 
um sistema a partir da soma da ação de cada 
uma. Já na visão euleriana, observam-se apenas 
a entrada e a saída de determinado volume de 
controle, o qual permanece fixo no espaço. Em 
ambas as visões, os princípios de conservação 
de massa, energia e quantidade de movimento 
norteiam os fenômenos.
Como o fluido é composto por partículas, 
e estas apresentam tamanhos microscópicos 
para entender o que acontece, nesta escala, uti-
lizam-se exemplos macroscópicos. Para testar o 
princípio da conservação de massa, você pode 
utilizar duas garrafas de mesmo volume, basta 
preencher as duas com água quente e fechar 
bem. Em seguida, coloque uma delas no freezer 
73
UNIDADE 3
DIÁRIO DE BORDO
e a enrole a outra em toalhas ou roupas de lã. Tendo transcorrido um tempo de cerca de meia 
hora, compare o volume das garrafas e note que, apesar de a garrafa gelada apresentar um volume 
menor que a quente, ambas apresentarão a mesma massa.
A diferença de volume entre a garrafa quente e a gelada é decorrente da variação da densidade 
dos fluidos. Como já vimos, o volume dos fluidos varia de acordo com a temperatura. No entanto 
em ambas as garrafas, por encontrarem-se bem fechadas, não há entrada ou saída de material, desta 
forma, apesar de existir uma variação volumétrica, a quantidade de matéria contida permanece a 
mesma, por isso, não há diferença na massa das garrafas. Isso indica que medir a quantidade de 
determinado fluido pelo volume pode levar a erros de aferição, enquanto a quantificação pela massa 
é uma forma mais confiável, devido ao princípio de conservação de massa. É o que estudaremos, 
de forma mais aprofundada, neste ciclo de aprendizagem.
74
UNICESUMAR
Diferentes forças agem sobre os fluidos e sólidos, entre elas a gravitacional, a eletromagnética, 
as normais, as tangenciais entre outras. No caso específico dos fluidos, estas forças podem ser 
divididas em dois grandes grupos: as volumétricas, ou forças de campo, e as forças de contato, 
ou superficiais. As forças de campo agem sem, necessariamente, um contato direto, e a atração 
gravitacional é um exemplo deste tipo de força, pois a intensidade dela é proporcional à massa dos 
corpos e, inversamente, proporcional ao quadrado das distâncias entre eles (ÇENGEL, 2015). Já 
as forças de superfície dependem do contato, e a força normal é um exemplo dessa força, pois esta 
se baseia na terceira Lei de Newton, a qual descreve que toda força aplicada sobre uma superfície 
gera uma força de mesma intensidade no sentido contrário à original (ÇENGEL, 2015).
Para ilustrar estes concei-
tos, vamos a alguns exemplos. 
Mesmo um planeta estando 
a milhares de quilômetros de 
sua estrela, ainda existe uma 
atração gravitacional que o 
impede de escapar para o 
espaço, forçando o planeta a 
seguir a estrela. Neste mesmo 
cenário, outra força de campo 
age para evitar que o planeta 
caia na direção da estrela, esta 
força é a centrífuga, a mesma 
que é responsável por remo-
ver o excesso de água após o 
enxágue da máquina de lavar 
roupas. Na figura 1, é possível 
observar como se processa a 
força centrífuga, resultante da 
velocidade de rotação de uma 
massa com velocidade em torno 
de um ponto fixo.
Note que, ao girar a bola presa a um fio, esta tende a escapar da órbita impelida pela força centrífuga, 
o que não ocorre devido a outra força que a contrabalanceia, uma força centrípeta, no caso, a tensão 
na corda que segura a bola. Contudo não são apenas os sólidos que estão sujeitos às forças de campo, 
mas também os fluidos. Nos rios, mares, lagos e atmosfera terrestres, é possível observar os efeitos deste 
tipo de força, por exemplo, a variação das marés resultantes da atração gravitacional promovida pela 
Lua, como apresentado na figura a seguir.
Descrição da Imagem: a imagem mostra o desenho de uma pessoa girando uma corda; na 
ponta da corda, uma bola está presa, e o movimento circular em torno do eixo da pessoa 
configura uma órbita, demarcada por linhas vermelhas pontilhadas. A força centrípeta 
da corda atrai a bola em direção à pessoa, enquanto a centrífuga empurra no sentido 
contrário, mantendo, assim, o equilíbrio das forças.
ÓRBITA EIXO
FORÇA
CENTRÍPETA
CORDA
V
ELO
CID
A
D
E
FORÇA
CENTRÍFUGA
BOLA
Figura 1 - Dinâmica das forças de órbita
75
UNIDADE 3
No fenômeno das marés, a Lua 
atrai o planeta Terra, que, por 
definição, também atrai a Lua, 
e isso faz com que os fluidos 
atraídos tenham seus níveis 
aumentados, o que pode ser 
percebido, mais facilmente, 
nas regiões litorâneas. Além 
disso, outro efeito das forças 
de campo pode ser observado 
na região do Equador terres-
tre em que se apresenta maior 
camada de atmosfera, isso é o 
resultado da ação da força cen-
trífuga criada no movimento 
de rotação do planeta.
Já as forças de superfície dependem do contato, e a força normal é um exemplo de força de contato, pois 
esta se baseia na terceira Lei de Newton, a qual descreve que toda força aplicada sobre uma superfície gera 
uma força de mesma intensidade no sentido contrário à original (ÇENGEL, 2015). Ou seja, no instante 
que uma pessoa toca o chão, seu peso exerce força de cima para baixo, neste instante, o chão exerce força 
de baixo para cima com a mesma intensidade do peso da pessoa, desta forma, a resultante de forças é 
zero, não gerando deslocamento vertical. Note que, antes de haver o contato da pessoa com o solo, a força 
normal que contrabalanceia o peso não é observada, apenas aparecendo no instante em que as superfícies 
se tocam, por isso, este tipo de força é denominado força de contato, ou força de superfície. 
Quanto aos fluidos, as forças de superfície, como a força cisalhante, aparecem quando o fluido está em 
movimento. Note que, quando determinado escoamento está acontecendo, uma força de contato entreo 
fluido e o sólido que o cerca reduz a velocidade do movimento das partículas que fazem contato com esta 
superfície. Perceba que esta força só aparece quando existe o contato da superfície do fluido com a superfície 
do sólido. Vale destacar que existe também uma força de contato entre as partículas do fluido, o que gera 
atrito entre elas, sendo quantificada pela viscosidade (FOX, McDONALD; PRITCHARD, PHILIP J, 2014). 
Em síntese os efeitos das forças de campo são percebidos mesmo quando não há contato entre as 
partes envolvidas, enquanto as forças de superfície só aparecem quando as partes estão em contato.
A relação das forças que atuam sobre os fluidos determina os regimes de escoamento resultando em 
laminares e turbulentos. No regime laminar as camadas de fluidos deslizam umas sobre as outras como 
se fossem lâminas de fluido, fazendo assim com que não ocorra a mistura macroscópica entre as camadas 
(PORTO, R. M, 2004). Neste regime ocorre em baixa velocidades e pequenos diâmetros de tubulação, 
sendo possível observar uma velocidade constante ao longo do tempo, como observado na figura.
Descrição da Imagem: a figura mostra, à esquerda, o globo terrestre e, à direita, a Lua. 
Neste caso, temos uma ilustração do movimento circular da Lua em torno da Terra, e a for-
ça centrípeta é a gravitacional enquanto a centrífuga é resultante da velocidade de rotação.
MARÉ BAIXA
MARÉ ALTA
LUA
EFEITO GRAVITACIONAL
LUNAR
A
N
TI
PO
D
A
L SU
BLU
N
A
R
TERRA
Figura 2 - Órbita da Lua em torno da Terra
76
UNICESUMAR
Figura 3 - Escoamento Laminar
Observe que as linhas de escoamento permanecem paralelas, não favorecendo assim a mistura, tornando 
o escoamento uniforme. Já nos escoamentos turbulentos ocorre o aparecimento de turbilhões no fluido, 
os quais promovem uma forte mistura dentro de fluido, além disso a velocidade oscila ao longo do tempo 
em torno de um valor médio (PORTO, R. M, 2004), observe as linhas de escoamento na imagem a seguir.
ESCOAMENTO LAMINAR
ESCOAMENTO TURBULENTO
Descrição da Imagem: a figura mostra 
um tubo, no qual setas indicam o cami-
nho percorrido pelo fluido, estas estão 
paralelas e não se misturam.
Descrição da Imagem: a figura mostra 
um tubo em no qual setas indicam o ca-
minho percorrido pelo fluido, estas estão 
indicando direções diversas e aleatórias, 
indicando mistura e turbulência.
Figura 4 - Escoamento turbulento
Perceba que no escoamento turbulento as partículas seguem trajetórias erráticas e aleatórias, podendo 
inclusive ir contra o sentido do fluxo. Para determinar como escoamento se comportará o princípio 
de Reynolds relaciona as forças inerciais do fluido com as forças viscosas. As observações através dos 
experimentos propostos por Reynolds em 1883 permitiram verificar que quando as forças inerciais 
são até duas mil vezes maiores que as viscosas o escoamento ocorre de modo laminar. No entanto 
somente quando as forças inerciais são mais do que 2400 vezes maiores que as viscosas é que passam 
a ocorrer escoamentos turbulentos, a região entre 2000 e 2400 ficou conhecida então como a zona de 
transição do escoamento laminar para turbulento. Essas definições têm origem na equação de Rey-
nolds apresentada a seguir:
77
UNIDADE 3
Note que tanto o denominador quanto o numerador podem ser divididos pela massa específica dando 
origem a seguinte equação
Re �
� �ρ
µ
v D
Onde:
Re = Número de Reynolds
ρ = Massa específica (kg/m3)
v = Velocidade do escoamento (m/s)
D = Diâmetro da tubulação (m)
μ = Viscosidade dinâmica (Pa·s)
Re �
�v D
u
Onde:
Re = Número de Reynolds
v = Velocidade do escoamento (m/s)
D = Diâmetro da tubulação (m)
u = Viscosidade dinâmica (m2/s)
Desta forma fica fácil perceber que no numerador encontram-se a propriedades que tendem a facilitar 
o escoamento, velocidade e diâmetro, enquanto no denominador estão as que dificultam ou seja a visco-
sidade. Assim pode-se perceber que que este coeficiente quantifica as forças de propulsão em razão das 
forças de retenção, apresentando-se na forma adimensional (não apresenta unidade de medida) podendo 
então ser aplicado tanto em pequenas escalas assim como em grandes, e não unidade de medida.
Como vimos nos ciclos de aprendizagem anteriores o escoamento de um fluido é o resultado no 
movimento de uma enorme quantidade de partículas simultaneamente, esta quantidade é tão ex-
traordinariamente grande que para defini-la é preciso utilizar-se da notação científica que se vale da 
exponenciação de base 10. O número de Avogadro é a constante que define o número de partículas 
contidas em um mol, o que significa que ao agrupar 6,02·1023 partículas de um determinado elemento, 
isto compõe 1 mol deste elemento. Isso pode parecer uma grande quantidade de matéria, mas vamos 
a um exemplo, tomando como base o Hidrogênio por exemplo, o átomo mais simples da tabela perió-
dica, sua massa molar é de 1 grama, o que significa que para termos um mol de hidrogênio, 6,02·1023 
átomos de hidrogênio, o que totaliza 1 grama. 
Esta relação pode ser apresentada também para outras moléculas, como a água por exemplo, 
por ser formada por 2 átomos de hidrogênio ligados a um átomo de oxigênio (H2O) a água apre-
senta massa molecular de 18 gramas (H=1 g/mol + O=16 g/mol). Isso significa que em 18 gramas 
de água, aproximadamente 18 mL, ou cerca de um gole, existem 602 sextilhões de partículas. Para 
compreender a dinâmica do movimento de uma quantidade tão descomunal de elementos, cada 
um com tamanho infinitesimal, interagindo entre si e com o entorno alguns modelos matemáticos 
foram implementados, o lagrangeano e o euleriano. Criados pelos matemáticos e físicos Joseph Louis 
Lagrange e Leonhard Euler respectivamente.
78
UNICESUMAR
A visão lagrangeana consiste em identificar certa porção de matéria e a partir daí observar variações 
de propriedades tais como temperatura, velocidade, pressão, etc. ao longo do tempo, por exemplo ao 
acompanhar com um drone o percurso feito por um carro em uma pista, medindo suas proprieda-
des como temperatura e velocidade, resultará em uma descrição lagrangeana do fenômeno (FOX, 
McDONALD; PRITCHARD, PHILIP J, 2014).
Figura 5 - Monitoramento de carro por drone
Aplicado aos fluidos, o método consiste em acompanhar a partícula e suas variações de propriedades 
no decorrer do escoamento, por considerar uma enorme quantidade de informação o método vale-se 
de princípios do cálculo diferencial integral fornecendo equações capazes de descrever detalhadamente 
o comportamento das partículas de um fluido. Esta descrição vale-se então do conceito de porção in-
finitesimal de fluido que é definida como a menor quantidade possível de ser mensurada ou estimada 
no problema em questão, comumente denominada partícula, para então definir a variação de suas 
propriedades com o decorrer do tempo.
Contudo, acompanhar e aferir as propriedades de um número astronômico de partículas constituin-
tes de um fluído é, se não impossível, uma tarefa extremamente árdua, mesmo para vazões extremamente 
baixas, tornando-se impraticável (FOX, McDONALD; PRITCHARD, PHILIP J, 2014). Para tanto outra 
descrição pode ser utilizada sem prejuízos significativos, a euleriana, também denominado método 
do volume de controle o qual utiliza-se de coordenadas espaciais e do tempo. Seguindo o exemplo do 
carro em uma pista, diferentemente da metodologia lagrangeana na qual o veículo é acompanhado 
pelo observador, neste caso o observador permanece imóvel monitorando posições determinadas do 
espaço, a partir dos resultados obtidos nestes pontos descreve-se o comportamento de vários carros.
Descrição da Imagem: na figura temos um drone com uma câmera acompanhando o deslocamento de um veículo. 
79
UNIDADE 3
Aplicando aos fluidos, a visão euleriana consiste observar as propriedades do fluido em vários pontos 
pré-estabelecidos podendo-se assim obter uma “visão” do comportamento do escoamento naquele 
instante. A descrição euleriana do escoamento também é apresentada como global pois limite umvo-
lume de controle, comumente denominado caixa preta, na qual são aplicadas as equações de balanço. 
Nesta descrição abandona-se o conceito de partícula passando a utilizar-se a hipótese que os fluidos 
podem ser tratados como meios contínuos, conhecida como mecânica do contínuo. Neste ramo da 
física sólidos e líquidos são descritos como porções macroscópicas de matéria, sem espaços vazios, que 
podem sofrer tensões, deformações e outras variações como de temperatura, velocidade, etc. 
Um exemplo disso ocorre durante a aplicação de uma injeção, sabe-se que o fluido é composto por 
milhões de partículas, mas ao receber a pressão do êmbolo se comporta como uma porção contínua da 
matéria e escoa através da agulha. Neste exemplo, mesmo que existam movimentos aleatórios das partículas, 
ou seja, em escala microscópica, o escoamento macroscópico do fluido ocorre apenas na direção imposta 
pelo êmbolo. Logo do ponto de vista das partículas o movimento é fortemente aleatório em torno de uma 
média, mas para a mecânica do contínuo o movimento é ordenado em uma direção. No entanto não po-
de-se dizer que o movimento microscópico não é relevante, tanto é que propriedades como a temperatura 
e viscosidade dependem dele, contudo por serem tratados nesta propriedades podem ser desconsiderados 
em escoamentos macroscópicos.
Descrição da Imagem: na figura temos a foto de uma câmera fixa acompanhando o deslocamento de vários veículos em uma avenida. 
Figura 6 - Monitoramento de carro por câmera de vigilância
80
UNICESUMAR
D
Dt
dVr � �� 0
Onde:
ρ = Massa específica (kg/m3)
dV = Volume infinitesimal de fluido (m3)
t = tempo (s)
A partir desta equação diferencial entende-se que a soma da massa de todas as partes infinitesimais 
de um fluido não varia ao longo do tempo, ou seja, o número de partículas do sistema não variou, 
abordando assim uma visão lagrangeana da conservação de massa. Aplicando o mesmo conceito de 
conservação de massa, desta vez a partir de visão euleriana obtemos a seguinte equação:
Entradas Saídas� ��� 0
r rentrada entrada entrada saída saída saídaV A V A� � � � � ��� 0
Onde:
ρ = Massa específica (kg/m3)
V= velocidade (m/s)
A = Área (m2)
Olá. Neste Podcast abordaremos os conceitos microscópicos de 
escoamento que se manifestam macroscopicamente, entender como 
o mundo das partículas infinitesimais funciona, assim como as leis 
de conservação de massa, energia e quantidade de movimento são 
fundamentais para entender fenômenos hidráulicos do dia a dia.
A partir da observação dos escoamentos são determinados princípios, sendo eles descritos como balanços, 
por referirem-se ao resultado dos fenômenos ao longo do tempo, sendo limites físicos impedem a criação 
ou destruição de matéria, energia e quantidade de movimento. Como sabe-se a conservação de matéria não 
implica diretamente da conservação de volume, uma vez que, em um sistema fechado, a variação da tempe-
ratura comumente implica na variação do volume de fluidos, sem no entanto alterar a massa deste. Portanto, 
para cumprir o princípio da não criação ou destruição de matéria tem-se a lei da conservação das massas, 
a qual estabelece que em um sistema fechado o valor da massa se mantém constante (FOX, McDONALD; 
PRITCHARD, PHILIP J, 2014). 
Por exemplo, em um sistema hermeticamente lacrado, como uma lata de refrigerante, não existe a trans-
ferência de massa através da barreira sólida que isola o produto, portanto o sistema é considerado fechado. 
No entanto é possível transferir energia para dentro do sistema aquecendo o metal em embala o produto, 
fazendo com que ocorra o aumento do volume do fluido contido, sem no entanto aumentar o peso da lata. 
Este princípio também aplica-se em sistemas abertos, ou seja, quanto ocorre a entrada e saída de material, 
nestes casos entende-se que a variação da massa deve ser igual a zero, em outras palavras, a massa inicial do 
sistema somado a massa que entra e subtraído da soma da massa que sai deve ser igual a massa inicial. A 
seguinte equação descreve esta problemática:
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/4050
81
UNIDADE 3
Perceba que a unidade de medida resultante de multiplicação tanto do termos de entrada quanto 
dos termos de saída é kg/s, ou seja, é dado em função da vazão mássica, o que significa dizer que 
a quantidade de massa que entra por segundo é igual a que sai, não gerando consumo ou geração 
dentro do volume de controle. Neste ponto é importante destacar que, se a massa específica do 
fluido na entrada for igual a massa específica do fluido na saída, pode-se simplificar a equação 
obtendo assim o princípio da continuidade:
Descrição da Imagem: a imagem mostra um tubo com 2 diâmetros diferentes com uma redução concêntrica, dentro do tubo linhas de 
fluxo mostram que com a mudança de diâmetro estas ficam mais próxima e por isso mais veloz.
Figura 5 - Aplicação do conceito de continuidade
V A V Aentrada entrada saída saída� � � ��� 0
Onde:
V= velocidade (m/s)
A = Área (m2)
Tanto a unidade de medida resultante de multiplicação tanto dos termos de entrada quanto dos termos 
de saída é m3/s, ou seja, é dado em função da vazão volumétrica, o que significa dizer que o volume que 
entra por segundo é igual ao que sai, não gerando consumo ou geração dentro do volume de controle, 
como observado na seguinte imagem.
É importante, no entanto, ressaltar que esta simplificação só pode ser utilizada quando não há 
variação da massa específica do fluido, ou seja, as condições de pressão e temperatura se mantenham 
constantes ao longo do escoamento.
Em síntese a conservação de massa é uma condição na qual a quantidade de matéria se 
mantém constante ao longo do tempo, assim como em um sistema fechado não haverá sur-
gimento ou destruição da massa, mesmo que haja variação do volume, em um escoamento 
a vazão mássica deve manter constante mesmo que a vazão volumétrica varie. Isso ocorre 
porque o volume não é uma medida completamente confiável quantidade de matéria, pois 
depende da massa específica dos fluidos, que por sua vez é influenciada pelas condições de 
pressão e temperatura do ambiente.
82
UNICESUMAR
Assim como na conservação de massa, que a quantidade de matéria deve permanecer constante 
ao longo do tempo, na conservação de energia, esta também não deve variar ao longo do tempo. No 
ciclo de aprendizagem 2 foram abordados os princípios de conservação de energia mecânica através do 
princípio de Bernoulli, a aplicação deste considera apenas fenômenos macroscópicos de transferência 
de energia, em termos de velocidade, altura e pressão. Contudo há também movimento microscópi-
co e aleatório das partículas, o qual pode ser abordado como energia interna (FOX, McDONALD; 
PRITCHARD, PHILIP J, 2014). Deste modo, a energia interna de um fluido consiste no somatório da 
energia cinética média das partículas, descrito na seguinte equação: 
U c��e U = Energia interna (J)
ec = Energia cinética (J)
Em um, material, fluido ou sólido, as partículas que o compõe nunca estão completamente paradas, 
apresentando sempre um movimento relativo, este não se manifesta macroscopicamente por ser de-
sordenado. Como vimos, mesmo que um fluido não esteja escoando existe movimento microscópico 
das moléculas constituintes, contudo por ser aleatório, não pode ser observado macroscopicamente. 
Para exemplificar esta situação imagine seguinte situação, onde você observa do alto de um prédio um 
grupo de pessoas na calçada, você nota que as pessoas caminham pela aglomeração, mas o agrupamento 
não se desloca-se pela rua. Isso ocorre porque algumas pessoas ocupam os lugares antes ocupados por 
outras, além disso e enquanto uma pessoa movimenta-se para a esquerda, outra pode movimentar-se 
para a direita, fazendo com que a média o deslocamento seja igual a zero. 
Contudo, se o grupo todo passar a sem mover na mesma direção, mesmo sem mudar a velocidade 
que as pessoas já estavam caminhando, é possível observar um deslocamento pela rua, contudo isso 
não surge espontaneamente, necessitade um motivo externo para que haja organização, chega-se assim 
ao princípio da entropia. A entropia, também conhecida como a flecha do sentido no universo, mostra 
que os sistemas tendem a desordem, por isso não se vê a água começar a escoar sem que uma força 
seja exercida sobre ela, pois apensar de existir movimento nas partículas constituintes, este é aleatório 
demais para gerar efeitos macroscópicos, como o escoamento. 
No entanto é preciso destacar que o movimento errático microscópico dos materiais pode gerar 
efeitos macroscópicos, observáveis nas propriedades dos materiais, como densidade e por exemplo. No 
caso da densidade, com uma maior quantidade de agitação as partículas tendem a ficar mais afastadas 
umas das outras, por isso passam a ocupar um volume maior, mantendo a mesma massa, fenômeno 
conhecido como dilatação térmica, o que justifica as folgas de dilatação em pontes, ferrovias e peças de 
piso cerâmico. Este princípio, como vimos no primeiro ciclo de aprendizagem é utilizado para aferir 
a temperatura através de uma escala termométrica, o que se denomina temperatura. 
Desta forma entende-se que o estado de agitação das partículas é proporcional a temperatura do 
fluido, ou seja, quanto maior a temperatura do fluido, mais agitadas estão as partículas, e consequente-
mente maior é a energia cinética média das partículas. Contudo, não se pode dizer que a temperatura 
corresponde a energia interna, pois a temperatura é obtida a partir de escalas indiretas, valendo-se de 
comparações baseadas em métricas empíricas, seja Celsius, Kelvin ou Fahrenheit. Já no caso da energia 
83
UNIDADE 3
cinética é uma medida direta da qual se estima a média da agitação das partículas, portanto sendo 
quantificada em Joules que é uma medida fenomenológica. 
Em síntese, tanto a energia interna quanto a temperatura são relativos ao estado de agitação das partícu-
las, mas não se pode dizer que se tratam da mesma coisa, contudo é possível realizar a conversão da energia 
interna em temperatura utilizando-se do conceito de capacidade térmica descrito na seguinte equação:
τ 
Trabalho
Q 
Calor 
ΔU
Fluido
Descrição da Imagem: a figura apresenta 
um sistema, onde setas com duplo sentido 
indicam a possiblidade da entrada e saída 
de calor, entrada e saída de trabalho e au-
mento ou redução da energia interna.
Figura 6 - Representação gráfica da conservação de energia
Fonte: o autor.
U C T� �D
Onde:
U = Energia interna (J)
C = Capacidade térmica (J/K)
ΔT = Temperatura (K)
Desta forma define-se que a energia interna é proporcional a temperatura, não havendo variação da 
temperatura a energia interna permanece constante, mesmo que variem a pressão e o volume. Assim 
sendo, o princípio da conversação de energia apresenta-se pelo balanço entre a quantidade de energia 
recebida por um fluido e a cedida para o ambiente, sendo o resultado a variação da energia interna, 
apresentados na primeira lei da termodinâmica (HALLIDAY, 2009):
Q U� �t D
Onde:
Q = Calor recebido (J) 
t = Calor cedido ou trabalho (J)
ΔU = Variação da energia interna (J)
A aplicação do conceito da 
conservação ne energia pode 
ser apresentado de forma grá-
fica na seguinte figura.
84
UNICESUMAR
Entende-se a energia térmica pode-se apresentar em 3 formas, calor, trabalho e energia interna, todas 
medidas na escala Joule, estas formas interagem convertendo-se entre livremente entre si em um sistema 
ideal. Para melhor compreensão destas interrelações observe a Tabela 1, na qual estão descritas cada uma 
das variáveis como positiva, negativa ou neutra, permitindo assim estimar o que ocorre com as demais.
Tabela 1 - Relação entre as variáveis da conservação de energia
Fonte: o autor.
Note que no caso da variável Q é maior que zero significa que o sistema recebeu calor, já se a 
variável Q for menor que zero, ele perdeu calor, caso esta variável seja igual a zero define-se o 
sistema como adiabático. No que diz respeito a energia interna (ΔU) maior que zero a tempera-
tura do sistema aumenta, caso menor que zero diminui, quando esta variável é igual a zero tem-se 
um sistema com temperatura constante. No caso do trabalho, quando a variável t é maior que 
zero o sistema está em expansão, aumentando o volume e por isso diz-se que o sistema realiza 
um trabalho, no caso da variável t aparecer negativa, significa que o sistema está sendo compri-
mido, ou seja, um trabalho está sendo realizado sobre o sistema, caso o valor do trabalho seja 
igual a zero o sistema permanece com volume constante.
Considerando que o trabalho pode ser descrito como o produto da pressão pelo volume do sistema:
Quantidade de Calor
Q
Recebe
Q>0
Cede
Q<0
Adiabático
Q=0
Trabalho
τ
Expansão 
τ>0
Compressão
τ<0
Volume Constante
τ=0
Energia interna 
ΔU
Aumento de temperatura Diminuição de temperatura Temperatura Constante
ΔU>0 ΔU<0 ΔU=0
t � ��P
Onde: 
t = Trabalho (J)
P = Pressão (Pa)
∀ = Volume (m3)
Logo em um sistema com pressão constante (isobárico) apresenta volume variável, desta forma pode-se 
determinar algumas premissas para a conservação de energia em fluidos.
Em sistemas adiabáticos o trabalho realizado pelo sistema é inversamente proporcional a variação da 
energia, um exemplo ocorre no interior de um pneu que mesmo sem receber calor externo se aquece pelo 
efeito da pressão exercida sobre o volume constante. Ou seja, como o trabalho foi realizado sobre o sistema 
a energia interna aumenta, caso fosse realizado pelo sistema, diminuiria. Já no caso de um sistema com 
volume constante o calor recebido é proporcional a energia interna e consequentemente a temperatura, 
85
UNIDADE 3
seguindo neste mesmo exemplo do pneu ao receber calor do asfalto, sem poder aumentar de volume, a 
temperatura interna aumenta, caso o pneu cedesse calor ao asfalto a energia interna seria reduzida.
Em um sistema com pressão e temperatura constante o calor recebido é proporcional à variação 
do volume do fluido, e em um sistema com temperatura constante o calor é proporcional ao trabalho 
realizado. Neste contexto o calor recebido de uma fonte, como um combustível pode ser convertido 
em trabalho, como no caso de um motor, que converte a energia armazenada na gasolina, em movi-
mento para o veículo. Neste caso, quanto menor for a variação da energia interna, e consequentemente 
a temperatura do sistema, mais eficiente é o processo, no entanto limites físicos impedem e que haja 
total eficiência uma vez que não são conhecidos isolantes térmicos perfeitos. Diversas outras relações 
podem ser estabelecidas, como por exemplo, ao receber calor, ou o sistema aumenta a energia interna, 
ou realiza um trabalho, podendo inclusive ocorrer os dois fenômenos simultaneamente, desde que 
obedeça ao princípio da conservação de energia.
Outro fenômeno muito interessante, a respeito da conservação de energia, é empregado nos 
aparelhos condicionadores de ar e nos refrigeradores, nestes um gás com grande capacidade de 
variação da massa específica tem seu volume reduzido por um compressor localizado no lado ex-
terno. Até meados dos anos 2010 eram utilizados os clorofluorcarbonetos (CFCs), em virtude do 
potencial risco de impacto sobre a camada de ozônio foram progressivamente substituídos pelos 
hidrofluorcarbonetos (HFCs), estes menos nocivos ao meio ambientes. Neste dispositivo os gases 
refrigerantes ficam confinados em um sistema fechado, ou seja, não têm contato com atmosfera, 
quando o gás recebe trabalho (é comprimido) energia das partículas a aumenta e consequentemente 
a temperatura, ainda na parte externa este gás é resfriado liberando o calor para a atmosfera. 
O gás comprimido e resfriado é conduzido para o interior da edificação, ou do refrigerador, 
permanecendo confinado, contudo na câmara de expansão, assim como na câmara de compressão 
há troca de energia, desta forma quando o gás se expande, absorve energia resfriando o ambiente 
interno. Este processo é conhecido como bomba de calor, pois apesar de uma quantidade do gás 
estar confinada,funcionando em sistema fechado, ou seja, a quantidade de partículas permanece 
constante, ocorre a troca de energia entre os ambientes interno e externo e permite que o calor do 
ambiente interno seja levada para o ambiente externo. 
No que diz respeito a conservação de quantidade de movimento, primeiro faz-se necessário 
definir do que se trata esta variável, a segunda Lei de Newton trata da relação entre força e 
movimento descrevendo que:
F m a� �
F = Força (N)
m = Massa (kg)
a = Aceleração (m/s2)
A partir desta é possível observar que para acelerar uma certa quantidade de massa é necessário que 
uma força seja aplicada, desta forma pode-se entender que uma força aplicada ao longo de um tempo 
é capaz de gerar uma certa quantidade de movimento, expressa pela equação:
86
UNICESUMAR
Note a semelhança com a fórmula do impulso:
M m V
� �� ��
� �
Onde: 
M
� ��
= Quantidade de movimento (N·s)
m = Massa (kg)
V
��
= Velocidade (m/s)
I F t� �
Onde: 
I= Impulso (N·s)
F= Força (N)
t = tempo (s)
Perceba como tanto a quantidade de movimento, quanto o impulso possuem a mesma unidade de 
medida, isto ocorre poque, em sua, um impulso é uma transferência de quantidade de movimento. Para 
ilustrar imagine-se arremessando uma bola, para que esta se movimente você precisa impulsiona-la 
aplicando uma força durante um certo período, quanto maior a força aplicada, maior será o impulso, 
a mesma coisa ocorre em relação ao tempo (FOX, McDONALD; PRITCHARD, 2014). Desta forma, 
entende-se que, para transferir a maior quantidade de movimento possível para a bola, fazendo-a atingir 
a máxima velocidade, a maior força possível deve ser aplicada pelo maior tempo possível. Percebe-se, 
assim, que mesmo uma pequena força é capaz gerar grande quantidade de movimento e, consequen-
temente, velocidade, se aplicada por um longo período. Por isso, para que se atinja altas velocidades, 
faz-se necessário grandes períodos de aceleração ou uma grande força.
A partir da observação da primeira Lei de Newton, sendo o somatório de todas as forças que agem 
sobre um corpo, resultado de um valor nulo, isso implica que um objeto em repouso tende a perma-
necer em repouso, assim como um objeto em movimento tende a permanecer em movimento até que 
uma força externa atue sobre ele. Em ambos os casos, necessita-se de uma força externa tanto para 
criar movimento quanto para reduzi-lo. Desta forma, entende-se que, se a variação da quantidade de 
movimento depende da força aplicada, se esta força for igual a zero, não há variação da quantidade de 
movimento. Define-se, assim, o princípio da conservação da quantidade de movimento a qual descreve 
que a quantidade de movimento de um sistema tende a permanecer constante ao longo do tempo.
Note que a definição passa por um sistema fechado, ou seja, para que seja verdadeiro, todas as par-
tículas de um sistema devem ser consideradas, pois existe a variação da quantidade de movimento de 
uma partícula, podendo esta aumentar sua velocidade, por exemplo, contudo, para que isto ocorra, 
outra precisa transferir quantidade de movimento para ela.
Para entender o conceito de quantidade de movimento em partículas, exemplos macroscópicos 
de colisões podem ser úteis. Imagine que uma partícula infinitesimal de fluido é representada por 
uma bola de bilhar, esta permanece parada até que outra bola colida com ela, entende-se, assim, 
que a quantidade de movimento da bola permanece a mesma até que outra realize uma força sobre 
ela. Quando ocorre a colisão, acontece uma transferência de quantidade de movimento, ou seja, se 
ambas as bolas tiverem a mesma massa, e ocorrer uma colisão perfeitamente elástica, a velocidade 
da bola, após a colisão, será a mesma da bola que colidiu, obviamente, considerando a ausência de 
atrito. Esta situação é descrita pela seguinte equação:
87
UNIDADE 3
M MInicial Final
� �������� � �������
� ��
m V m V1 1 2 2� � �
��� ���
Onde:
M
� ��
= Quantidade de Movimento (N·s)
m = massa (kg)
V = velocidade (m/s)
Sendo esta equação válida apenas para colisões perfeitamente elásticas, ou seja, quando o coeficiente de 
restituição for igual a 1, isso significa que não há deformação dos elementos colididos, e 100% da quantida-
de de movimento é transferida no processo. Caso a colisão ocorra entre objetos perfeitamente inelásticos, 
o coeficiente de restituição será igual a 0, isso significa que os corpos se deformam de modo que, após a 
colisão, ambos permanecem unidos, tendo velocidade relativa igual a zero, aplicando-se a seguinte equação:
M MInicial Final
� �������� � �������
� ��
m V m V m m VInicial Inicial F1 1 2 2 1 2� � � � �� � �_ _
� ��������� � ���������
iinal
� �����
Para os demais casos, onde o coeficiente é maior que 0 e menor que 1, o coeficiente de restituição calcula-se:
e Velocidade de afastamento
Velocidade de aproximação
=
_ _
_ _
e
V V
V V
Final Final
Inicial Inicial
�
�
�
2 1
1 2
_ _
_ _
Sendo necessário para a determinação das velocidades após a colisão, por meio de um sistema de 
equações envolvendo a equação do coeficiente de restituição e a seguinte equação:
m V m V m VInicial Inicial Fina1 1 2 2 1 1� � � � �_ _ _
� ��������� � ���������
ll Finalm V
� �������� � ��������
� �2 2 _
Estas mesmas definições aplicadas a elementos macroscópicos podem ser aplicadas às partículas mi-
croscópicas que compõem os fluidos, sendo úteis para a explicação de fenômenos hidráulicos, como 
o golpe de aríete, remanso e ressalto que veremos nos ciclos de aprendizagem a seguir.
88
UNICESUMAR
Aplicando o conceito de quantidade de movimento a tubo no qual ocorre um escoamento permanente, 
ou seja, no qual a vazão não varia, obtém-se:
Existem simuladores que podem ajudar a imaginar como estes fenômenos 
de transferência da quantidade de movimento ocorrem. Clique no link, 
selecione a opção “avançado”, então, poderá observar a transferência de 
quantidade de movimento entre partículas, podendo alterar massas e ve-
locidades, além de muitas outras variáveis, como elasticidade do material.
Experimente! 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
F Q Vr massa� � �D
� ��� Onde:
FR =Força Resultante (N)
Qmassa = Vazão mássica (kg/s)
DV
� ���
= Variação da velocidade vetorial (m/s)
Entende-se, assim, que, para que haja diferença de velocidade em um escoamento constante, é preciso 
que forças externas atuem sobre ele. É possível reescrever a equação da seguinte forma:
F Q V Q VR massa massa� � � �2 1
Onde:
FR =Força Resultante (N)
Qmassa = Vazão mássica (kg/s)
V = Velocidade vetorial (m/s)
Sabendo que:
Q V Amassa � � �r
Onde:
Qmassa = Vazão mássica (kg/s)
r = massa específica (kg/m3)
V = Velocidade vetorial (m/s)
A= Área da seção (m2)
Obtém-se, então:
F V A V V A VR � � � � � � � �( ) ( )r r2 2 2 2 1 1 1 1
Trazendo o conceito no qual a força é dada pela pressão sobre área, é possível decompor a força resul-
tante, evidenciando os termos de pressão, como segue:
DF P A P A V A V V A V� � � � � � � � � � � �1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( )r r
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/4049
89
UNIDADE 3
Reorganizando, obtém-se:
DF V A V P A V A V P A� � � � � � � � � � � �( ) ( )r r2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
Onde:
DF = Variação da Força (N)
r = massa específica (kg/m3)
V = Velocidade vetorial (m/s)
A= Área da seção (m2)
P = Pressão (Pa)
Logo, em um sistema em que a variação da força é igual a zero, tem-se um sistema onde a quantidade 
de movimento se conserva. Assim, é possível calcular também a força exercida pelo escoamento sobre 
o tubo, desconsiderando a força peso pela seguinte equação:
F V A P A� � � � �r 2
A partir da terceira Lei de Newton, entende-se que esta é a força necessária para manter o escoamento 
neste regime.
90
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Neste ciclo de aprendizagem, abordamos os métodos de descrição de escoamentos 
a partir de diferentes modelos matemáticos, e, a partir destes, foram detalhados 
os balanços de massa, energia e quantidade de movimento. Preencha as lacunas 
do seguinte organograma:
Descrição da Imagem:na região central deste Mapa Mental, temos a “Descrição de Escoamento”. Abaixo e na segunda 
linha, há dois balões: o da esquerda você deve preencher, e o da direita está indicando a palavra “Euler”. Na terceira linha e à 
esquerda, temos um balão preenchido com a frase “Porção infinitesimal”, e, para a direita, um novo balão a ser preenchido. 
Na quarta linha deste Mapa Mental, há dois novos balões: o da direita indica a palavra “Global”, e o da esquerda “Partículas”.
No centro da quinta linha, temos um novo balão preenchido com a palavra “Balanço”, que se conecta a outros três balões: 
à esquerda, um balão preenchido com a palavra “Massa”, ao centro, você, estudante, deve preencher o balão, e à direita 
indicando a palavra “Energia”. Na palavra “Massa” e no balão ao centro, conecta-se um balão com as palavras “mecânica 
do contínuo”. Já a palavra “Energia”, à esquerda, direciona-se para um novo balão em preenchimento, o qual é seguido 
por um balão com as palavras “Leis da termodinâmica”, e o último, que já está preenchido com a palavra “Macroscópico”, 
conecta-se a um balão que deve ser preenchido.
DESCRIÇÃO DE ESCOAMENTOS 
Euler 
Porção
in�nitesimal 
Partículas Global 
BALANÇOS 
MASSA 
ENERGIA 
MacroscópicoConservação
de Forças
Mecânico do
Contínuo
Leis da
Termodinâmica
91
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
92
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Um posto de gasolina adota um sistema fraudulento, que eleva a temperatura do combustível 
de 20 °C para 35 °C, o que reduz a massa específica de 0,7200 g/cm3 para 0,7075 g/cm3. Sabendo 
que o combustível vem pelo duto “1” e passa pelo aquecimento antes de chegar aos dutos de 
distribuição, com os seguintes dados, calcule: 
Área 1: 5 cm2
Área 2: 2 cm2
Área 3: 4,5 cm2
Área 4: 4 cm2
Velocidade em 1: 6 m/s
Velocidade em 3: 4 m/s
Velocidade em 4: 3 m/s
a) A vazão mássica em “2” com o sistema fraudulento desligado.
b) A vazão mássica em “2” com o sistema fraudulento ligado.
2. Uma indústria lança em um corpo hídrico 0,475 m3 por hora de NaOH, com concentração de 1 mol/
litro. Sabendo que a massa molar do Na é 23g/mol, O é 16g/mol e o hidrogênio é 1g/mol. Qual a 
massa de hidróxido de sódio (NaOH) despejada em um turno de 8 horas de operação? E qual a 
massa de sódio (Na) despejada nesse período?
3. Para que um chuveiro elétrico funcione, adequadamente, é necessário que receba uma vazão de 
30 litros por minuto. Sabendo que o registro 1 tem diâmetro de 32 mm, e que a velocidade é de 
1,013 m/s, qual o máximo raio de abertura da torneira para que o chuveiro permaneça ligado, 
sendo que a velocidade que a água sai da torneira é 1 m/s? 
Fonte: o autor.
1 2
3
4
RESERVATÓRIO
REG 1
TORNEIRA
CHUVEIRO
REG 2
Fonte: o autor.
93
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
4. Ao receber 20 calorias (1 cal = 4,18 J) de calor, um gás ideal sofre uma expansão, e seu volume 
aumenta de 1m3 para 3,09 m3. Durante a expansão, a pressão foi mantida constante em 10N/m2. 
Determine, em joule, a variação da energia interna do gás, considerando que o gás tem capacidade 
térmica de 0,5 cal/°C e qual a variação da temperatura do gás.
5. No jogo de bilhar, o jogador usa um taco para impulsionar a bola branca, e esta, então, transfere 
o movimento para as demais bolas do jogo. Considere um taco de 500 gramas movimentan-
do-se com velocidade de 0,3 m/s e colide com a bola branca (150 g), inicialmente, em repouso. 
Considere um coeficiente de restituição igual a 1 e despreze o atrito. Calcule:
a) A quantidade de movimento do taco.
b) A velocidade da bola branca.
c) A quantidade de movimento da bola branca após a colisão.
6. Uma tubulação de 32 mm escoa uma vazão de 0,02 m3/s com uma pressão de 400 kPa, e, para 
tentar estancar o fluxo de água, um tampão de 25 mm de diâmetro foi inserido, como mostra a 
figura. Calcule a força necessária para manter o tampão no lugar em que foi colocado e considere 
a massa específica do fluido igual a 1g/cm3.
Fonte: o autor.
P = 400 kPa
32mm 25mm
F
94
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. 
a. Partindo do princípio de que com o sistema fraudulento desligado a massa específica é constante, pode-se 
utilizar a seguinte equação:
V A V Aentrada entrada saída saída� � � ��� 0
Aplicando-se ao caso em estudo, tem-se:
V A V A V A V A1 1 2 2 3 3 4 4 0� � � � � � � �
Substituindo os dados, obtém-se:
6 5 10 2 10 4 4 5 10 3 4 10 04 2
2
4 2 4 2 4 2m s m V m m s m m s m/ / , /� � � � � � � � � � � �� � � �
Isolando a variável de interesse:
6 5 10 4 4 5 10 3 4 10
2 10
4 2 4 2 4 2
4 2 2
m s m m s m m s m
m
V/ / , /� � � � � � � �
�
�
� � �
�
Logo:
0 2m s V/ =
Se a velocidade do escoamento é igual a zero, a vazão mássica também é zero.
b. Partindo do princípio que, com o sistema fraudulento ligado, a massa específica é variável, pode-se utilizar 
a seguinte equação:
r rentrada entrada entrada saída saída saídaV A V A� � � � � ��� 0
Aplicando-se ao caso em estudo, tem-se
V A V A V A V A1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0� � � � � � � � � � � �r r r r
Substituindo os dados, obtém-se:
6 5 10 720 2 10 707 5 4 4 5 104 2
3 2
4 2
3
4 2m
s
m kg
m
V m kg
m
m
s
m� � � � � � � � � � �� � �, , 7707 5 3 4 10 707 5 03
4 2
3, ,kg
m
m
s
m kg
m
� � � � ��
Isolando a variável de interesse:
6 5 10 720 4 4 5 10 707 5 3 4 104 2
3
4 2
3
4 2m
s
m kg
m
m
s
m kg
m
m
s
m� � � � � � � � � �� � �, , ��
� �
�
�
707 5
2 10 707 5
3
4 2
3
2
,
,
kg
m
m kg
m
V
Logo:
0,265 m/s = v2
95
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
Calculando a vazão mássica:
Q V Amassa � � �r
Q kg
m
m s mmassa � � � � �707 5 0 265 2 103
4 2
, , /
Q kg
smassa = 0 0375,
Logo, a vazão mássica que passa pela saída 2 é de 0,0375 kg/s.
2. O cálculo baseia-se apenas nas unidades de medida:
massa litros
hora
mol
litro
g
mol
g
mol
g
molNaOH � � � � ��
�
�
�
�
475 1 23 16 1 �� �8horas
massa kgNaOH =152
Para o cálculo da massa do Na, desconsidera-se a massa molar do O e H:
massa litros
hora
mol
litro
g
mol
horasNa � � ��
�
�
�
�
� �475 1 23 8
massa kgNa = 87 4,
3. Partindo do princípio que, com o sistema fraudulento desligado, a massa específica é constante, pode-se 
utilizar a seguinte equação:
V A V Aentrada entrada saída saída� � � ��� 0
Aplicando-se ao caso em estudo tem-se
V r V r Vregistro registro torneira torneira chuve1 1
2 2� � � � � � �� � �p p iiro chuveiror� � � � �p 2 0
Isolando a variável de interesse:
V r V r
V
registro registro chuveiro chuveiro
tornei
1 1
2 2� � � � � � �� �p p
rra
torneirar
�
� � �
p
Substituindo as variáveis, tem-se:
1 013 0 016 0 5 10
1
2 3 3
, / , , /
/
m s m m s
m s
rtorneira
� � � � � �
�
� � �
�p
p
O raio máximo da torneira é de 0,01 m, ou seja, em torno de 10 mm, se for maior não chegará vazão suficiente 
no chuveiro para que ele funcione.
96
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
4. Primeiramente, é necessário calcular o trabalho executado pelo sistema:
t � ��P
t � �10 2 092 3N m m/ ,
t = 20 9, J
Aplicando-se ao princípio da conservação de energia, tem-se:
Q U� �t D
83 6 20 9, ,J J U� �D
62 7, J U=D
Para calcular a variação de temperatura, utiliza-se a seguinte equação:
U C T� �D
Isolando a variável de interesse:
U
C
T=D
Substituindo as variáveis, tem-se:
15
0 5
cal
cal
C
T
,
�
�D
Logo:
30� �C TD
O gás, ao receber 20 calorias, o sistema realizou um trabalho de 20,9 Joules e teve um aumento de energia 
interna de 62,7 Joules, o que corresponde a 15 calorias, e isso fez com que o sistema aumentasse em 30°C de 
temperatura.
5. 
a. Parte-se da equação:
M m V
� �� ��
� �
Substituindo, tem-se:
M kg m s
� ��
� �0 5 0 3, , /
M N s
� ��
� �0 15,
97
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
b. Parte-se da equação da quantidade de movimento, perfeitamente, elástico:
m V m V1 1 2 2� � �
��� ���
Adequando as variáveis ao problema:
m V m Vtaco taco bola bola� � �
� ���� � ����
Isolando a variável de interesse:
m V
m
Vtaco taco
bola
bola
�
�
� ���� � ����
Substituindo os dados do problema:
500 0 3
150g m s
g
Vbola
�
�
, / � ����
Logo:
1m s Vbola/ =
� ����
c. Parte-se da equação:
M m V
� �� ��
� �
Substituindo, tem-se:
M kg m s
� ��
� �0 150 1, /
Mostrando que a quantidade de movimento se conservou.
6. Parte-se da conservação da quantidade de movimento para fluidos em tubos com regime permanente:
DF V A V P A V A V P A� � � � � � � � � � � �( ) ( )r r2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
Nota-se a necessidade de calcular a V1 e V2, onde:
V Q
d
�
�
�
4
2p
V Q
d
V m s
m
V m s1
1
2 1
3
2 1
4 4 0 02
0 032
24 87�
�
�
� �
�
�
� �
p p
, /
( , )
, /
V Q
d d
V m s
m m
V2
1 2
2 2
3
2 2
4 4 0 02
0 032 0 025
519 69�
�
� �� �
� �
�
� �
� �
p p
, /
( , , )
, mm s/
Substituindo os termos, tem-se:
DF kg
m
m
s
m
s
� � �
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�� � �1000 24 87 0 032
4
24 87 4003
2
,
( , )
,
p
�� �
�
�
��
�
�
�� � � �
�10 0 032
4
1000 519 69 0 032 0 0253
2
3Pa kg
m
m
s
p p( , )
,
( , , ))
,
( , )
2 2
4
519 69 0 0 032
4
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��
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��
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�� � � �
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�
��
�
�
��
m
s
m
s
Pa p
F N= 898 24,
A força que o fluido exerce sobre o tampão é de 898,24 N, logo, para mantê-lo no lugar, esta deve ser força no 
sentido oposto.
98
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
4Dimensionamento de 
Condutos sob Pressão
Dr. Fernando Marcos Weronka
Nesta unidade, você terá a oportunidade de aprender como dimensionar 
condutos sob pressão, também conhecidos como condutos forçados, em-
pregados em diversos setores da sociedade, desde a dessedentação de pes-
soas e animais até processos produtivos em escala industrial. Para tanto, é 
preciso garantir as condições para que o escoamento dentro das tubulações 
seja capaz de conduzir diferentes fluidos em quantidade e pressão adequa-
das, mitigando o risco de falhas e demais problemas de funcionamento. No 
entanto, é importantíssimo evitar o emprego excessivo de material, o que 
gera, além do desperdício, o aumento do custo para a execução da obra, o 
que pode torná-la inviável. Neste processo, você será capaz de entender o 
conceito de perda de carga e metodologias empregadas para determiná-
-la uma vez que esta consiste em um dos maiores desafios presentes no 
dimensionamento de condutos sob pressão.
100
UNICESUMAR
Qual o tamanho ideal de uma tubulação para que esta seja capaz de conduzir fluidos 
em quantidades e pressões adequadas, minimizando o risco de falhas, sem, no entanto, 
incorrer em emprego excessivo de recursos? O que é a perda de carga e como ela faz 
parte do dimensionamento de tubulações?
O correto dimensionamento de tubulações depende, entre outros fatores, das 
quantidades e pressões exigidas de acordo com a respectiva atividade. Note que 
apenas a garantia da vazão, em muitos casos, não é suficiente para o atendimento 
da demanda. Em um chuveiro elétrico, por exemplo, há a necessidade de deter-
minada pressão para o acionamento do sistema de aquecimento, caso contrário, 
água fria será entregue ao usuário. No entanto o excesso de pressão pode estar 
relacionado a diversos inconvenientes, tais como vibração, ruídos, vazamentos, 
podendo, até mesmo, levar à ruptura do material que compõe o conduto. Desta 
forma, tanto pressão, excessivamente, elevada quanto insuficiente pode levar a 
falhas de funcionamento dos sistemas, por isso, nos cálculos de dimensionamento 
de condutos forçados, é fundamental a quantificação da pressão e a variação desta 
ao longo das tubulações. Afinal, o atrito interno das partículas que compõem o 
fluido, assim como do fluido com o material do conduto, decorrentes da viscosi-
dade, faz com que parte da energia do escoamento se dissipe, o que se denomina 
perda de carga. Este fenômeno ocorre, também, em tubulações lineares, mas se 
evidencia ainda mais em curvas e singularidades, devido à turbulência que estes 
elementos geram no escoamento do fluido.
Para tornar mais claro o entendimento sobre a influência da viscosidade e a 
consequente perda de carga no dimensionamento de condutos, você precisará de 
canudinhos de diferentes diâmetros e comprimentos, além de líquidos com diferentes 
viscosidades, como água, iogurte e mel. Reserve os fluidos em diferentes recipientes 
e tente sugá-los através dos canudos. Note que é necessário empregar mais força 
para sugar os fluidos mais viscosos, como o iogurte e o mel, quando comparado à 
força necessária para sugar a água. Também é possível perceber que quanto maior o 
diâmetro do canudo, mais fácil torna-se a tarefa de sugar os diferentes fluidos, assim 
como torna-se mais difícil quando o comprimento dos canudos é maior.
As variações da força necessária para sugar os fluidos é o resultado da perda de 
carga, pois quanto maior a viscosidade do fluido maior será a perda de carga, o que 
faz com que a diferença de pressão resultante entre o interior da sua boca e o reci-
piente que contém o fluido seja menor, e, por isso, o escoamento ocorre com maior 
dificuldade. Quando o diâmetro do conduto aumenta, mais partículas podem fluir 
sem tocar nas paredes do canudo, o que facilita o escoamento já que o atrito entre as 
partículas do fluido é menor do que o atrito entre o fluido e a parede sólida. Contudo, 
ao aumentar o comprimento do canudo, aumenta-se, também, a área de contato entre 
o líquido e o conduto, o que aumenta a resistência ao escoamento pelo mesmo motivo.
101
UNIDADE 4
Como abordado anteriormente, o princípio da conservação de energia exemplificado na equação 
de Bernoulli mostra que é possível converter energia potencial, decorrente de uma diferença de 
altura (metros) em pressão (Pa). Além disso, ambas as formas de energia podem ser convertidas 
em velocidade de escoamento e vice-versa. Estas conversões ocorrem, incessantemente, nos 
escoamentos sob pressão. Este tipo de escoamento está presente, por exemplo, em tubulações 
empregadas em diversos sistemas modernos, como pistões hidráulicos e dutos de ventilação, mas 
se destaca no sistema de distribuição de água.
Desde o início da civilização humana, os aglomerados populacionais formavam-se próximos às 
fontes de água, pois a água é indispensável à vida e à sociedade já que diversas atividades dependem 
dela. A importância da água vai muito além da dessedentação de pessoas e animais, e muitos processos 
dependem deste recuso, desde o cozimento de alimentos, assim como a manutenção da higiene até 
complexos processos produtivos em escala industrial. Para tornar possível a expansão da área habitável, 
foi necessária a condução da água até os locais onde os grupos de pessoas se instalaram, surgindo, as-
sim, os primeiros condutos, responsáveis por abastecer as cidades e tornar possível o desenvolvimento 
humano nestas regiões. Para tanto, enormes esforços de engenharia foram empregados, como podem 
ser vistos nas imagens dos aquedutos mostrados a seguir.
DIÁRIO DE BORDO
102
UNICESUMAR
Figura 1 - Aquedutos antigos ainda preservados
Muitos destes esforços de engenharia podem ser vistos ainda hoje presentes no território europeu. 
Os aquedutos apresentados nas imagens foram preservados e incorporados às cidades, e, mesmo não 
sendo mais utilizados no abastecimento urbano, atraem turistas do mundo todo. Vestígios da civiliza-
ção romana, além dos aquedutos, deixaram pedaços de chumbo moldados em formatos semelhantes 
às tubulações atuais, e este material maleável era trabalhado de modo a tornar-se o mais liso possível 
em busca da minimização do atrito. Desde então, foi possível observar que é natural dos escoamentos 
o fenômeno conhecido como perda de carga, responsável por reduzir a energia total do fluido no 
decorrer do escoamento. Observe o exemplo apresentado na figura a seguir. 
Figura 2 - Comparação da energia do fluido em repouso e em movimento
Na figura à esquerda, onde o escoamento é impedido por uma rolha, é possível observar que a energia 
se mantém em todos os vasos comunicantes, visto pela altura igual demonstrada pela linha tracejada. 
Já na segunda imagem, com a rolha retirada, é possível notar que altura dentro de cada tubo do vaso 
comunicante édiferente, o que denota que parte da energia está sendo dissipada. Note que só há va-
riação da energia quando ocorre o escoamento, pois esta é decorrência da ação da viscosidade que 
Descrição da Imagem: a figura é uma composição que apresenta dois aquedutos antigos, um deles em uma região rural e outro em meio 
à região urbana, ambos, completamente, preservados e incorporados à paisagem.
Descrição da Imagem: a figura apresenta dois sistemas conhecidos como vaso comunicantes, nestes existem várias superfícies livres, mas 
todos compartilham o mesmo fluido; na imagem da esquerda, a qual possui uma rolha, os sistemas encontram-se com a mesma altura, no 
da direta, já sem a rolha, observa-se uma mudança na altura do fluido em cada um dos tubos.
103
UNIDADE 4
gera o atrito interno no fluido e assim como do fluido com as paredes. O atrito, por ser uma força de 
contato, só é observado apenas quando há movimento, a variação da energia decorrente desta força 
contrária ao sentido do escoamento é denominada perda de carga.
Em síntese, este efeito faz com que a energia no início do escoamento seja diferente da energia entregue 
no final deste, o que gera a necessidade da adição de uma quantidade extra de energia para compensar 
a perda ao logo do caminho. Neste contexto, surgem os condutos forçados como alternativas aos escoa-
mentos livres, porque, enquanto nos canais abertos a única força motriz do escoamento é a gravidade, 
em sistemas fechados, é possível adicionar energia na forma de pressão ao escoamento. Pois, por estar 
confinado em uma barreira sólida, existe a possibilidade da ocorrência de pressões acima da pressão 
atmosférica, o que define o conceito de condutos sob pressão, como pode ser observado na Figura 3.
Figura 3 - Comparação entre condutos livres e forçados / Fonte: Azevedo Neto (1998, p. 329).
Observa-se, na Figura 3, a representação gráfica do conceito de escoamento livre face aos condutos sob 
pressão, pois, enquanto em a, b e c há em, ao menos, um ponto da superfície do fluido contato com a 
atmosfera, e a consequente pressão resultante desta, na figura d, a pressão no interior da tubulação é 
maior que a pressão atmosférica, e, portanto, nenhum ponto da superfície do fluido está em contato com 
a atmosfera. É importante frisar que, apesar dos escoamentos livres, frequentemente, serem descritos 
como escoamentos em canais abertos, estes podem ocorrer em sistemas, geometricamente, fechados, 
mas que ainda apresentem uma superfície em contato com a atmosfera (casos b e c). Ou seja, só se 
considera um conduto forçado o qual a pressão sob o fluido, que escoa no interior deste, seja maior 
que a pressão atmosférica, caso houvesse um ponto de contato do fluido com a atmosfera, como um 
orifício por exemplo, a diferença de pressão geraria um vazamento.
Este excesso de energia, contudo, não pode gerar pressões que superem a capacidade de resistência 
do material que compõe a tubulação, o que pode acarretar falhas de funcionamento que vão desde 
ruídos decorrentes da vibração, vazamentos e, até mesmo, a ruptura completa do sistema. Além disso, 
existe um limite prático de capacidade de conversão da energia piezométrica para energia cinética, 
resultante da resistência ao escoamento. Ou seja, além dos cuidados para não exceder a resistência da 
tubulação, uma pressão excessiva pode não se converter em velocidade de escoamento. 
Descrição da Imagem: a figura é dividida em quatro partes denominadas a, b, c, e d. Na figura a, apresenta-se uma calha trapezoidal, 
geometricamente, aberta, onde há a atuação da pressão atmosférica sobre a superfície do fluido que escoa através dela. Na figura b, um 
círculo representa uma tubulação, parcialmente, preenchida, na qual ainda há uma superfície livre sob ação da pressão atmosférica; na 
figura c, semelhante a “a” e “b”, diferencia-se por ter apenas um ponto recebendo pressão atmosférica, sendo este o limite do que se con-
ceitua canal aberto, pois, mesmo que geometricamente fechado, enquanto houver, ao menos, um ponto, este é tido como conduto livre. 
Na figura “d”, semelhante a “b” e “c”, nota-se que a pressão dentro do conduto é maior que a pressão atmosférica, logo, este se trata de 
uma representação de um conduto forçado.
a) b) c) d)
pa
pa
p > papa
104
UNICESUMAR
Uma das formas de entender como ocorrem os escoamentos dentro de 
tubulações sob pressão são as simulações computacionais. Acesse o link 
indicado e escolha a opção fluxo, pois, neste experimento digital, você 
pode medir a velocidade e a pressão, arrastando os marcadores para 
os pontos onde deseja realizar a medida, você pode também terá as 
várias dimensões da tubulação, a vazão e a massa específica do fluido.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Formula-se, assim, um dos maiores desafios da área da hidráulica, responsável pelo dimensionamento 
de tubulações, determinar o além dos diâmetros, a energia necessária para promover o escoamento 
de modo a atender às demandas de vazão e pressão, minimizando o risco de falhas do sistema. Neste 
contexto, surgem os estudos a respeito da perda de carga em tubulações, podendo ser dividida em 
duas grades áreas, a distribuída resultante da resistência ao longo da tubulação e as localizadas 
ou acidentais, provocadas por singularidades. Quanto às perdas de carga ao longo da canalização, 
inúmeros experimentos foram conduzidos por Darcy e outros investigadores, com tubos de seção 
circular para determinar a natureza da resistência ao escoamento (AZEVEDO NETO, 1998).
Os resultados apontaram que a perda de carga é proporcional ao comprimento da tubulação, ou 
seja, quanto mais extenso for o conduto maior será a diferença entre a pressão de entrada e saída. Já 
com o diâmetro ocorre o oposto, pois quanto maior esta medida menor será a perda de carga. Ambos 
os efeitos estão relacionados à superfície de contato entre o fluido e a barreira sólida, pois, ao aumentar 
o comprimento, aumenta-se, também, a região de contato, enquanto aumentando o diâmetro menos 
partículas do fluido são forçadas tocar o sólido. Esta hipótese ganha força quando se determinou que 
a rugosidade da parede da tubulação, fator que quantifica as saliências e as asperezas do material, tem 
forte relação com a resistência ao movimento do fluido.
Outra observação resultante destes experimentos mostra que a resistência é função da velocidade 
do escoamento, portanto, o aumento da velocidade implica, necessariamente, o aumento da perda de 
carga. Esta relação corrobora com a premissa de que a resistência é função da viscosidade cinemática, 
esta resultante da razão entre viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido. Contudo tanto a 
posição do tubo, seja ela vertical, horizontal seja em diferentes inclinações, quanto à pressão a que o 
fluido está submetido, não apresentaram correlação positiva ou negativa com a perda de carga aferi-
da pelos pesquisadores. Estas premissas, juntamente com os avanços propostos por Chezy, Darcy e 
Weisbach que deram origem à “Fórmula universal” para o cálculo da perda de carga em tubulações, 
conhecida por equação de Darcy-Weisbach:
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6109
105
UNIDADE 4
A maior limitação desta equação consiste na determinação do valor do coeficiente f, pois, além de 
quantificar o atrito, este, também, ajusta imprecisões da fórmula. Desse modo, acaba sendo função 
da rugosidade do tubo, da viscosidade e da densidade do fluido, além da velocidade do escoamento e 
diâmetro da tubulação. Neste sentido, muitas foram as tentativas de criar equações capazes de estimar, 
satisfatoriamente, este valor, e uma das primeiras conclusões neste sentido é que, para escoamentos 
laminares, pode-se utilizar a seguinte equação derivada da equação de Hagen-Poiseuille:
Descrição da Imagem: a figura é dividida em duas: na primeira, as camadas do fluido são separadas em cilindros concêntricos, represen-
tando os campos de velocidade, tendo, no centro da tubulação, a maior velocidade; na segunda parte da figura,os campos de velocidade 
são representados como vetores, formando uma parábola, na qual o ponto mais proeminente encontra-se no centro da tubulação.
h f L
D
V
gf � � �
�
2
2
Onde:
hf = Perda de carga (m)
f = Coeficiente de atrito
L = Comprimento da tubulação (m)
D = Diâmetro da tubulação (m)
V = Velocidade do escoamento (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
f = 64
Re
Onde:
f = Coeficiente de atrito
Re = Número de Reynolds
Note que, nesta equação, independe a rugosidade da parede, isto se deve ao regime laminar, no 
qual as camadas de fluido, raramente, tocam o material uma vez que não há mistura entre as 
camadas, como pode ser visto na figura.
Figura 4 - Escoamento Laminar
106
UNICESUMAR
Nestes casos, a probabilidade de as partículas de fluido tocarem a parede do duto é reduzida, devido 
à característica laminar do escoamento, então, o atrito interno promovido pela viscosidade do fluido 
torna-se mais relevante, permitindo a simplificação. Uma vez que a rugosidade se torna irrelevante, 
não há diferenciação entre condutos lisos ou rugosos para o cálculo do valor do coeficiente de atrito, 
caso o regime de escoamento seja laminar. É importante frisar que esta aproximação só pode ser uti-
lizada nos casos em que o número de Reynolds for menor que 2000, nos casos em que este valor for 
ultrapassado, faz-se necessária a diferenciação entre dutos lisos e rugosos.
Para o caso das tubulações lisas com escoamento turbulento, Theodore Von Kármán estabeleceu 
a fórmula teórica relacionando os valores de f e Re:
1 2 0 8
f
f� �� � �log Re ,
Onde:
f = Coeficiente de atrito
Re = Número de Reynolds
Note que a rugosidade ainda não está presente nesta equação, pois se trata de um conduto liso, no 
entanto, aqui, a variável fator de atrito (f) encontra-se nos dois termos da equação, exigindo a aplicação 
de sistemas de interação para a determinação do valor. Isto também ocorre nos sistemas turbulentos 
rugosos, nos quais o fator de atrito pode ser calculado pela fórmula de Celebrook-White:
1 2
3 71
2 51
f D f
� �
�
�
�
�
��
�
�
��log
,
,
Re
e
Onde:
f = Coeficiente de atrito
Re = Número de Reynolds
e = Rugosidade absoluta equivalente (mm)
D= Diâmetro (mm)
Para contornar esta dificuldade, trabalhos, como Swamee-Jain, desenvolveram equações gerais capa-
zes de calcular o fator de atrito para escoamentos, laminar, turbulento liso, de transição e turbulento 
rugoso, explicitando a variável f:
f
D
� �
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
64 9 5
3 7
5 74 25008
0 9
6
Re
, ln
,
,
Re Re,
e
��
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�16 0 125,
Onde:
f = Coeficiente de atrito
Re = Número de Reynolds
e = Rugosidade absoluta equivalente (mm)
107
UNIDADE 4
A partir da equação de Swamee-Jain, é possível reproduzir o diagrama de Moody, que tem por função 
auxiliar na obtenção do fator de atrito (f) de forma gráfica.
Figura 5 - Escoamento Laminar / Fonte: Porto (2006, p. 158).
Descrição da Imagem: a figura é dividida em duas: na primeira, as camadas dos fluidos são separadas em cilindros concêntricos, represen-
tando os campos de velocidade, tendo no centro da tubulação a maior velocidade; na segunda parte da figura, os campos de velocidade são 
representados como vetores, formando uma parábola, na qual o ponto mais proeminente encontra-se no centro da tubulação.
Diagrama 
de 
Moody
Número de Reynolds Re
Coe�ciente de atrito f
Rugosidade relativa
e/D
Escoamento
Laminar
Zona
Crítica
Escoamento turbulento
0,05
0,04
0,03
0,02
0,015
0,010
0,008
0,006
0,004
0,002
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0,0001
0,00005
0,00001
0,000005
Tubos lisos
Escoam
ento lam
inar
0,080
0,070
0,060
0,050
0,040
0,030
0,020
0,018
0,016
0,014
0,012
0,010
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
Transição
Tubos rugosos
6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 426 68 810 103 4 5 6 7 8
108
UNICESUMAR
No entanto tanto as equações de Swamee-Jain como o diagrama 
de Moody são tidos como aproximação, devendo serem vistos 
com ressalvas para situações onde se exijam avaliações rigorosas 
das perdas de carga. O coeficiente de rugosidade absoluta e é 
determinado em laboratório, considerando uma ampla faixa de 
números de Reynolds, sendo bastante confiáveis segundo Porto 
(2006). Seguem alguns valores:
Tabela 1 - Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material ε (mm)
Aço comercial novo 0,045
Aço laminado novo 0,04 a 0,10
Aço soldado novo 0,05 a 0,10
Aço soldado limpo, usado 0,15 a 0,20
Aço soldado, moderadamente, oxidado 0,4
Aço soldado revestido de cimento centrifugado 0,1
Aço laminado revestido de asfalto 0,05
Aço rebitado novo 1 a 3
Aço rebitado em uso 6
Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,20
Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15
Ferro forjado 0,05
Ferro fundido novo 0,25 a 0,50
Ferro fundido com leve oxidação 0,3
Ferro fundido velho 3 a 5
Ferro fundido centrifugado 0,05
Ferro fundido em uso com cimento centrifugado 0,1
Ferro fundido com revestimento asfáltico 0,12 a 0,20
Ferro fundido oxidado 1 a 1,5
Cimento amianto novo 0,025
Concreto centrifugado novo 0,16
Concreto armado liso, vários anos de uso 0,2 a 0,3
Concreto com acabamento normal 1 a 3
Concreto protendido Freyssinet 0,04
Cobre, latão, aço revestido de epóxi, PVC, 
plásticos em geral, tubos extrudados 0,0015 a 0,010
Fonte: Porto (2006, p. 49). 
A equação de Darcy-Weisbach é uma equação tida como dimensional. 
Uma característica deste tipo de equação é a possibilidade de realização 
dos cálculos, utilizando-se as unidades de medida uma vez que, por 
meio da análise destas, é possível 
encontrar a unidade de medida 
da solução do problema. Outra 
classe de equações são as empíri-
cas, obtidas, por meio de experi-
mentos de regressão matemática, 
a partir dos resultados. Neste tipo 
de equação, os dados de entrada 
devem estar nas unidades de me-
didas especificadas na equação. 
No caso do cálculo da per-
da de carga, existe uma fórmula 
empírica utilizada para o mes-
mo fim da equação da Darcy-
-Weisbach, trata-se da equação 
de Hazen-Williams:
J Q
C D
� �
�
10 65
1 85
1 85 4 87,
,
, ,
Ou
h Q
C D
Lf � �
�
�10 65
1 85
1 85 4 87,
,
, ,
Onde:
J = Perda de carga unitária 
(m/m)
hf = Perda de carga (m)
Q = vazão (m3/s)
D = Diâmetro (m)
L = Comprimento (m)
C = Coeficiente de rugosida-
de (m0,367/s)
O coeficiente de rugosidade da 
equação de Hazen-Williams de-
pende da natureza e do estado 
das paredes do tubo, apresenta-
dos na Tabela 2.
109
UNIDADE 4
Tabela 2 - Valores do coeficiente de rugosidade 
Material
Coeficiente de 
rugosidade C 
(m0,367/s)
Aço com juntas lock-bar, em 
serviço 90
Aço com juntas lock-bar, tubos 
novos 130
Aço corrugado (chapa ondu-
lada) 60
Aço galvanizado 125
Aço rebitado, em uso 85
Aço rebitado, tubos novos 110
Aço solado, tubos novos 130
Aço soldado com revestimento 
especial 130
Aço soldado, em uso 90
Cobre 130
Concreto, acabamento comum 120
Concreto, bom acabamento 130
Ferro fundido, revestimento 
de cimento 130
Ferro fundido, após 15-20 
anos de uso 100
Ferro fundido, novos 130
Ferro fundido, usados 90
Madeiras em aduelas 120
Tubos extrudados, PVC 150
Fonte: Porto (2006, p. 54).
De acordo com Porto (2006), a fórmula de Ha-
zen-Williams, apesar da popularidade entre pro-
jetistas, deve ser vista com reservas. Em problemas 
onde o houver a necessidade de maior precisão e 
confiabilidade, a fórmula universal (Darcy Weis-
bach) é a mais recomendada em conjunto com a 
fórmula de Colebrook para a determinação do 
fator de atrito (f).
Já quanto a perdas de carga localizadas, podem 
ser descritas por equações do tipo:
h K V
gf � �
2
2
Onde:
hf = Perda de carga (m)
K = Coeficiente perda de carga localizada
V = Velocidade do escoamento (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
Experimentos práticos demonstraram que, em es-
coamentos fortemente turbulentos, o número de 
Reynolds maiores que 50000, o valor do K é, pratica-
mente, constante, independentemente do diâmetro 
da tubulação, da velocidade e da natureza dos flui-
dos. Os valores de K aproximados para as principaispeças hidráulicas são apresentados na Tabela 3.
Tabela 3 - Valores do coeficiente de perda de carga localizada 
Peça K
Ampliação gradual 0,30
Bocais 2,75
Comporta aberta 1,00
Controlador de vazão 2,50
Cotovelo 90° 0,90
Cotovelo 45° 0,40
Crivo 0,75
Curva 90° 0,40
Curva 45° 0,20
Curva 22,5° 0,10
Entrada normal em canalização 0,50
Entrada em borda 1,00
Existência de pequena derivação 0,03
Junção 0,40
Medidor Venturi 2,50
Redução Gradual 0,15
Saída de Canalização 1,00
Tê, passagem direta 0,60
Tê, saída de lado 1,30
Tê, saída bilateral 1,80
Válvula de ângulo aberta 5,00
Válvula de gaveta aberta 0,20
Válvula borboleta aberta 0,30
Válvula-de-pé 1,75
Válvula de retenção 2,50
Válvula de globo aberta 10,00
Fonte: Azevedo Neto (1998, p. 122).
110
UNICESUMAR
Outra forma de estimar as perdas de cargas decorrentes da turbulência provocada pelas singularidades 
consiste em convertê-las em metros lineares de tubulação, método conhecido como comprimento 
equivalente. A partir de então, basta utilizar as fórmulas empregadas no cálculo da perda de carga em 
tubulações lineares, tais como Darcy-Weisbach e Hazen-Williams. Para auxiliar nestas tarefas, vários 
experimentos foram realizados para determinar os comprimentos equivalentes de diversas peças 
hidráulicas em função do diâmetro das mesmas.
Tabela 4 - Comprimento equivalente a peças de metal
Diâmetro (mm) 13 19 25 32 38 50 63 75 100 125 150 200 250 300 350
Peças polegadas 1/2 3/4 1 1 1/4 1 1/2 2 2 1/2 3 4 5 6 8 10 12 14
Cotovelo 90° Raio longo 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,1 2,7 3,4 4,3 5,5 6,1 7,3
Cotovelo 90° Raio médio 0,4 0,6 0,7 0,9 1,1 1,4 1,7 2,1 2,8 3,7 4,3 5,5 6,7 7,9 9,5
Cotovelo 90° Raio curto 0,5 0,7 0,8 1,1 1,3 1,7 2,0 2,5 3,4 4,2 4,9 6,4 7,9 9,5 10,5
Cotovelo 45° 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,9 1,2 1,5 1,9 2,3 3,0 3,8 4,6 5,3
Curva 90° R/d -1/2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,3 1,6 1,9 2,4 3,0 3,6 4,4
Curva 90° R/d -1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,0 1,3 1,6 2,1 2,5 3,3 4,1 4,8 5,4
Curva 45° 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,1 1,5 1,8 2,2 2,5
Entrada Normal 0,2 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,6 2,0 2,5 3,5 4,5 5,5 6,2
Entrada de Borda 0,4 0,5 0,7 0,9 1 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11
Entrada de Gaveta 
Aberto 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,4 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,7 2,1 2,4
Entrada de Globo 
Aberto 4,9 6,7 8,2 11,3 13,4 17,4 21 26 34 43 51 67 85 102 120
Entrada de Ângulo 
Aberto 2,6 3,6 4,6 5,6 6,7 8,5 10 13 17 21 26 34 43 51 60
Tê de Passagem Direta 0,3 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,6 2,1 2,7 3,4 4,3 5,5 6,1 7,3
Tê de passagem de Lado 1,0 1,4 1,7 2,3 2,8 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10 13 16 19 22
Tê de Saída Bilateral 1,0 1,4 1,7 2,3 2,8 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10 13 16 19 22
Válvula de Pé e Crivo 3,6 5,6 7,3 10 11,6 14 17 20 23 30 39 52 65 78 90
Saída da Canalização 0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11
Válvula de Retenção 
tipo leve 1,1 1,6 2,1 2,7 3,2 4,2 5,2 6,3 8,4 10,4 12,5 16 20 24 28
Válvula de Retenção 
tipo Pesado 16 2,4 3,2 4,0 4,8 6,4 8,1 9,7 12,9 16,1 19,3 25 32 38 45
Fonte: Macintyre (2017, p. 23).
Para a hidráulica residencial, no entanto, utiliza-se, comumente, tubos extrudados, como o policloreto 
de vinila (PVC), amplamente difundido pela facilidade de manuseio, junção e peso reduzido, quando 
comparado ao ferro fundido.
111
UNIDADE 4
O PVC surgiu, por acidente, em 1872, quando o químico alemão Eugen Baumann esqueceu 
exposto ao sol um recipiente contendo cloreto de vinila, que produziu policloreto de vinila (PVC). 
Atualmente, este polímero termoplástico está entre os mais usados no mundo. A empresa 
americana Formosa Plastics®, sozinha, produz mais de 400 mil toneladas deste produto ao ano, 
sendo utilizado, amplamente, em tubulações de distribuição de água, coleta de esgoto, eletrodu-
tos, pisos e forros, sendo a construção civil responsável por 70% da demanda mundial de PVC.
Tabela 5 - Comprimento equivalente peças PVC 
Diâmetro (mm) 15 20 25 32 40 50 60 75 100 125 150
Peças polegadas 1/2 3/4 1 1 1/4 1 1/2 2 2 1/2 3 4 5 6
Joelho 90° 1,1 1,2 1,5 2,0 3,2 3,4 3,7 3,9 4,3 4,9 5,4
Joelho 45° 0,4 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5 1,7 1,8 1,9 2,4 2,6
Curva 90° 0,4 0,5 0,6 0,7 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,9 2,1
Curva 45° 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
Tê 90° Passagem Direta 0,7 0,8 0,9 1,5 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,3 3,8
Tê 90° Saída de Lado 2,3 2,4 3,1 4,6 7,3 7,6 7,8 8 8,3 10 11
Tê 90° Saída Bilateral 2,3 2,4 3,1 4,6 7,3 7,6 7,8 8 8,3 10 11,1
Entrada normal 0,3 0,4 0,5 0,6 1,0 1,5 1,6 2,0 2,2 2,5 2,8
Entrada de borda 0,9 1,0 1,2 1,8 2,3 2,8 3,3 3,7 4,0 5,0 5,6
Saída de Canalização 0,5 0,9 1,3 1,4 3,2 3,3 3,5 3,7 3,9 4,9 5,5
Válvula de Pé e Crivo 8,1 9,5 13,3 15,5 18,3 23,7 25 26,8 28,6 37,4 43,4
Válvula de Retenção Leve 2,5 2,7 3,8 4,9 6,8 7,1 8,2 9,3 10,4 12,5 13,9
Válvula de Retenção Pesada 3,6 4,1 5,8 7,4 9,1 10,8 12,5 14,5 16 19,2 21,4
Registro de Globo Aberto 11,1 11,4 15 22 35,8 37,9 38 40 12,3 50,9 56,7
Registro de Gaveta Aberto 0,1 0,2 0,3 0,4 0,7 0,8 0,9 0,9 1,0 1,1 1,2
Registro Ângulo Aberto 5,9 6,1 8,4 10,5 17 18,5 19 20 22,1 26,2 28,9
Fonte: Macintyre (2017, p. 23).
A partir destas premissas e à luz das Normas Brasileiras Regulamentadoras (NBRs), pode-se traçar um 
roteiro para o dimensionamento de condutos sob pressão uma vez que estas regulamentações auxiliam 
na estimativa de parâmetros e fornecem valores limites de operação. O primeiro passo, normalmente, 
consiste em determinar a vazão demanda pelo projeto, este é um fator muito importante para os cál-
culos e, igualmente, variável uma vez que este depende da natureza da operação. 
112
UNICESUMAR
O dimensionamento das tubulações é importante em diversos sis-
temas modernos, como o abastecimento público de água, a drenagem 
pluvial urbana, o esgotamento dos dejetos. Além disso, também se faz 
necessário, no interior das edificações, nas diversas peças sanitárias, 
como torneiras, chuveiros, bacias sanitárias entre outras. Entender a 
forma correta de dimensionar as tubulações deste sistema proporcio-
na o adequado funcionamento, evitando, no entanto, custos excessivos 
relacionados ao hiperdimensionamento. Acompanhe a discussão, 
neste podcast, a respeito da importância do dimensionamento das 
tubulações e a relevância da perda de carga no processo.
Um dos primeiros passos de um projeto consiste em determinar qual a vazão demandada, para tanto, 
diversas Normas Brasileiras Regulamentadoras (NBRs) e vários autores reconhecidos no meio científico 
abordam o tema. A NBR 12218 (ABNT, 2017), por exemplo, estabelece uma metodologia capaz de estimar a 
demanda por água potável de uma população a partir do consumo per-capita. Já a NBR 5626 (ABNT,1998) 
auxilia no dimensionamento de tubulações prediais de água fria, trazendo entre outros dados, a vazão 
estimada para os diferentes aparelhos sanitários e peças de utilização, apresentados na Tabela 6. 
Tabela 6 - Vazão estimada de projeto para aparelhos sanitários 
Aparelho Sanitário Peça de Utilização Vazão de Projeto (L/s)
Bacia Sanitária
Caixa de descarga 0,15
Válvula de descarga 1,70
Banheira Misturador (água fria) 0,30
Bebedouro Registro de pressão 0,10
Bidê Misturador (água fria) 0,10
Chuveiro ou ducha Misturador (água fria) 0,20
Chuveiro elétrico Registro de pressão 0,10
Lavadora de pratos ou de roupas Registro de pressão 0,30
Lavatório Torneira ou misturador (água fria) 0,15
Mictório Cerâmico
Com sifão Válvula de descarga 0,50
Sem sifão Caixa de descarga, registro de 
pressão ou válvula de descarga 0,15
Mictório tipo calha Caixa de descarga, registro de 
pressão
0,15 por metro de 
calha
Pia
Torneira ou misturador (água fria) 0,25
Torneira elétrica 0,10
Tanque Torneira 0,25
Torneira Jardim ou lavagem geral Torneira 0,2
Fonte: ABNT (1998, p. 13).
Note que, a partir dos dados trazidos pela norma, é possível estimar a vazão necessária para o correto 
funcionamento de diversos equipamentos hidrossanitários, sendo útil para o dimensionamento destas 
instalações. Quanto ao arcabouço teórico formado por pesquisadores da área, existem tabelas norteadoraspara a estimativa de consumo para diferentes tipos de edificações, como apresentado na tabela a seguir.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6090
113
UNIDADE 4
Tabela 7 - Vazão estimada de projeto para edificações
Edificação Consumo (litros/dia)
Alojamento Provisório 80 per capita
Ambulatórios 25 per capita
Apartamentos 200 per capita
Casas populares ou rurais 150 per capita
Cavalariças 100 per capita
Cinemas e teatros 2 por lugar
Creches 50 per capita
Edifícios públicos ou comercias 50 per capita
Escolas (Externatos) 50 per capita
Escolas (Internatos) 150 per capita
Escolas (Semi-internato) 100 per capita
Escritórios 50 per capita
Garagens e posto de serviço 50 por automóvel / 200 por caminhão
Hotéis (sem cozinha e sem lavanderia) 120 por hóspede
Hotéis (com cozinha e com lavanderia) 250 por hóspede
Indústrias – uso pessoal 80 por operário
Indústrias – com restaurante 100 por operário
Jardins (rega) 1,5 por m2
Lavanderias 30 por kg de roupa seca
Matadouro – Animais de grande porte 300 por animal abatido
Matadouro – Animais de pequeno porte 150 por animal abatido
Mercados 5 por m2 de área
Oficinas de costura 50 per capita
Orfanatos, asilos, berçários 150 per capita
Piscinas – Lâmina de água 2,5 cm por dia
Postos de serviços para automóveis 150 por veículo
Quartéis 150 per capita
Residência Popular 150 per capita
Residência de padrão médio 200 per capita
Residência de padrão luxo 250 per capita
Restaurantes e outros similares 25 por refeição
Templos 2 por lugar
Fonte: Carvalho Junior (2014, p. 43).
A partir destas tabelas, é possível estimar a vazão de demanda de empreendimentos, associações, escolas 
entre outras, já quanto ao diâmetro econômico de tubulações, limites práticos, idade e vazão podem 
ser encontradas baseadas em tabelas de pré-dimensionamento como descritos nas Tabelas 8 e 9.
114
UNICESUMAR
Tabela 8 - Pré-dimensionamento tubulações de PVC de grande porte 
Diâmetro (mm) Velocidade Máxima (m/s) Vazão máxima (L/s)
50 0,68 1,6
75 0,72 3,4
100 0,75 7,0
125 0,79 9,76
150 0,83 16,0
200 0,91 29,7
250 0,98 48,8
300 1,05 74,1
400 1,19 145,8
500 1,33 251,0
Fonte: Botelho e Ribeiro Junior (2014, p. 135). 
Algumas empresas, fabricantes de tubulação de ferro fundido, também fornecem os valores de refe-
rência para o pré-dimensionamento, como apresentado na Tabela 9.
Tabela 9 - Pré-dimensionamento tubulações de PVC (Residencial) 
Diâmetro (mm) Velocidade Máxima (m/s) Vazão máxima (L/s)
20 1,98 0,62
25 2,21 1,08
32 2,5 2,01
40 2,8 3,51
50 3,0 5,89
60 3,0 8,48
75 3,0 13,25
85 3,0 17,02
110 3,0 28,51
Fonte: Botelho e Ribeiro Junior
Define-se o diâmetro econômico como o menor possível para atendimento da vazão de projeto com 
velocidade e pressões adequadas. É importante frisar que estes dados apenas apontam os parâmetros 
iniciais de estimação, não dispensando, em hipótese alguma, os cálculos, pertinentes ao projeto, de-
terminados pela legislação ou pelas recomendações técnicas. Frequentemente, normas determinam 
parâmetros de velocidades máximas e mínimas, em função da sedimentação ou da erosão das paredes 
do conduto, por exemplo. Além disso, parâmetros de pressão mínima são necessários para o correto 
funcionamento de equipamentos hidráulicos, sendo, contudo, necessária a observância da resistência 
máxima recomendada tanto para as tubulações como para as singularidades e os equipamentos, bem 
como a verificação com o fabricante e as agências regulamentadoras.
115
UNIDADE 4
A partir destas premissas, é possível determinar um proce-
dimento para o dimensionamento de tubulações sob pressão 
com as seguintes etapas:
• Estimativa da vazão de projeto.
• Determinação do diâmetro econômico da tubulação.
• Verificação de velocidades máximas e mínimas. 
• Cálculo da perda de carga. 
• Verificação de pressões máximas e mínimas.
O princípio da conservação de energia pode levar a uma falsa ideia 
de que a pressão no início da tubulação é igual à pressão no final 
desta, contudo existem perdas no processo, estas decorrentes do 
atrito entre as partículas do fluído e destas com a parede sólida 
que transforma energia macroscópica em calor. Como diversos 
aparelhos sanitários têm suas operações dependentes da pressão, 
como no caso do chuveiro e descargas sanitárias, o cálculo da per-
da de carga é um elemento fundamental em projetos hidráulicos. 
Pois determinar, corretamente, a perda de carga das tubulações 
domésticas, por meio dos métodos apresentados neste ciclo de 
aprendizagem, é essencial para que os sistemas hidráulicos fun-
cionem, adequadamente. Para isso, são empregadas as fórmulas 
de Darcy-Weisbach, também conhecida como método universal, 
e a fórmula de Hazen-Williams, também conhecida como método 
empírico. Enquanto a equação universal apresenta dados mais 
confiáveis e robustos, a equação empírica chama a atenção pela 
simplicidade de aplicação, contudo esta formulação só é válida 
para condições específicas. A fórmula de Darcy-Weisbach é capaz 
de determinar a perda de carga para diferentes fluidos, estando 
em regimes de escoamento laminar, turbulento liso e turbulento 
rugoso. Já a fórmula de Hazen-Williams só pode ser aplicada à 
água, em regime turbulento rugoso, tendo boa correlação com a 
fórmula universal, quando aplicada nestas condições.
116
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
No dimensionamento de condutos forçados, 
um dos maiores desafios consiste em estimar, 
corretamente, a perda de carga durante o es-
coamento. Durante a história moderna, muitos 
avanços foram feitos nesta área, dando origem 
a diversos modelos, aplicáveis de acordo com 
algumas condições. A respeito da história do 
desenvolvimento dos modelos de predição da 
perda de carga, preencha as lacunas do Mapa 
Mental a seguir.
Descrição da Imagem: o mapa mental 
inicia com a “perda de carga” que se divide 
em dois balões, no de cima está indicando 
os vocábulos “Método fenomenológico”, 
o de baixo você deve preencher; o balão 
derivado deste contém “Hazen-Williams” o 
qual se divide em três balões: no primei-
ro apresenta-se a palavra “Fluido”, segue 
deste um balão a ser preenchido; no se-
gundo, a palavra apresentada é “regime”, 
segue deste um balão que deve ser preen-
chido; no terceiro, o texto “coeficiente de 
rugosidade (C)” precede um balão com o 
termo “tabelado”. O balão de cima com o 
vocábulo “Método fenomenológico” é se-
guido por um balão a ser preenchido, o 
qual se divide em três balões: no primeiro 
apresenta a palavra “Fluido”, seguido por 
outro balão com a palavra “diversos”, no 
segundo, apresenta-se o termo “regime”, 
que se divide em outros três balões, tendo 
no primeiro o termo “Laminar”, no segun-
do uma lacuna para preenchimento e, no 
terceiro, os vocábulos “turbulento pare-
de rugosa”. No terceiro balão, do mesmo 
nível hierárquico de “regime”, apresen-
tam-se as palavras “Coeficiente de atrito 
(f)”, apresentando duas ramificações, no 
de cima contém a expressão que indica 
“Reynolds menor que 2000”, seguido pelo 
balão onde se encontram os nomes dos 
autores “Hagen-Poiseulle”; no balão de 
baixo, uma expressão indica “Reynolds 
maior que 2000”, seguido por dois ba-
lões, em um deles aparece “parede lisa”, 
seguido por um balão contendo o nome 
do autor “Theodore Von Kármán”, no ou-
tro balão está descrito “parede rugosa” e 
deste segue um balão a ser preenchido, 
este e os balões contendo os nomes “Ha-
gen-Poiseulle”, “Theodore Von Kármán” 
unem-se dando origem a um balão que 
precisa ser preenchido. PE
RD
A
 D
E 
CA
RG
AM
ét
od
o 
Fe
no
m
en
ol
óg
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o
Fl
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H
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m
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Fl
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Co
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Ru
go
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 (C
)
Co
e�
ci
en
te
 d
e 
Ru
go
si
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de
 (F
)
Re
 <
 2
00
0
Re
 >
 2
00
0
Pa
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Pa
re
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 li
sa
H
ag
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oi
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ui
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Th
eo
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 V
on
 K
ár
m
án
117
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
118
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Uma tubulaçãode PVC com 32 mm de diâmetro e 6 metros de comprimento conduz uma vazão de 
1 litro por segundo um fluido cuja viscosidade dinâmica é de 59,6 mPa·s, e a massa específica é de 
1,4 g/cm3. Considere gravidade igual a 9,81 m/s2 e calcule:
a) O número de Reynolds e determine o regime do escoamento.
b) O fator de atrito f.
c) A perda de carga determinada pela equação de Darcy-Weisbach.
2. Uma empresa fabricante de azeite de oliva cuja viscosidade é estimada em 79,7·10-3 Pa·s e massa es-
pecífica de 0,703 g/cm3 precisa de transportar sua produção de 72 mil litros por hora através de uma 
tubulação de aço galvanizado com 50 mm de diâmetro. O comprimento total da tubulação é de 25 
metros contendo 3 curvas de raio longo de 90°, 1 válvula de retenção tipo leve, 1 tê de passagem direta 
e 2 registros de globo aberto. Considere gravidade igual a 9,81 m/s2 e calcule" onde o 2 é sobrescrito: 
a) O número de Reynolds e determine o regime do escoamento.
b) O fator de atrito considerando as paredes lisas f.
c) Comprimento equivalente.
d) A perda de carga determinada pela equação de Darcy-Weisbach.
3. Dimensione uma tubulação capaz de abastecer uma edificação com 3 bacias sanitárias com caixa 
de descarga, 2 chuveiros elétricos, 4 lavatórios, 1 pia com torneira elétrica e 1 torneira de jardim. 
Considerando água com massa específica de 1000 kg/m3, e viscosidade dinâmica igual a 1,002 mPas, 
Considere gravidade igual a 9,81 m/s2 e determine:
a) A vazão.
b) Diâmetro da tubulação (Tabela).
c) Número de Reynolds.
d) O fator de atrito, considerando as paredes rugosas f considerando rugosidade absoluta de 0,005 mm.
e) A perda de carga determinada pela equação de Darcy-Weisbach, considerando 30 metros de com-
primento equivalente.
f) A perda de carga determinada pela equação de Hazen-Williams (C=150) considerando 30 metros de 
comprimento equivalente".
4. Determine a perda de carga pela equação de Darcy-Weisbach para uma tubulação de ferro fundido 
cuja rugosidade absoluta é de 0,25mm, o diâmetro é de 1 polegada e 15 metros de comprimento, utili-
zada para transportar 300 litros por minuto de água cuja massa específica é 1000 kg/m3, e viscosidade 
dinâmica igual a 1,002 mPas. Para a determinação do coeficiente f, utilize a equação de Swamee-Jain.
5. Sabendo que o cotovelo de 90° também conhecido como joelho de 90° tem um coeficiente de perda 
de carga (K) igual a 0,9, constituído de ferro fundido que tem 1 polegada de diâmetro e é utilizado 
para transportar 300 litros por minuto de água cuja massa específica é 1000 kg/m3, e viscosidade 
dinâmica igual a 1,002 mPas, calcule: 
a) A perda de carga localizada no cotovelo.
b) A perda de carga do cotovelo, utilizando-se do método do comprimento equivalente e a fórmula de 
Hazen-Williams C=130.
119
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. 
a. Partindo da equação de Reynolds:
Re =
ρ
µ
VD
Substituindo as variáveis:
Re
, /
,
,
,
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
1400 4 0 001
0 032
0 032
59 6 10
3
3
2
kg
m
m s
m
m
p
�� �3Pa s
Resultado:
Re ,= 934 635
b. Como o escoamento é laminar, utiliza-se a seguinte equação para determinação de f:
f = 64
Re
Substituindo as variáveis:
f = 64
934 635,
Resultado:
f = 0 06848,
c. Partindo da equação de Darcy-Weisbach
h f L
D
V
gf � � �
�
2
2
Substituindo as variáveis:
h m
m
m s
m
mf � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 06848 6
0 032
4 0 001
0 032
2 9 81
3
2
2
,
,
, /
,
,
p
ss2
Resultado:
h mf =1 01172,
120
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
2. 
a. Partindo da equação de Reynolds:
Re =
ρ
µ
VD
Substituindo as variáveis:
Re
, /
,
,
,
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
703 4 0 02
0 050
0 050
79 7 10
3
3
2
3
kg
m
m s
m
m
p
PPa s�
Resultado:
Re ,= 4492 2831
b. Como o escoamento é turbulento em tubulações lisas, tem-se:
1 2 0 8
f
f� �� � �log Re ,
Substituindo as variáveis, obtém-se:
1 2 4492 2831 0 8
f
f� �� � �log , ,
Resultando:
f = 0 03858,
c. Comprimento equivalente obtido pela tabela de referência:
C m m m mequivalente � � � � � � � �3 1 1 1 4 2 1 1 1 2 17 4, , , ,
C mequivalente = 43 4,
d. Partindo da equação de Darcy-Weisbach:
h f L
D
V
gf � � �
�
2
2
Substituindo as variáveis:
h m m
m
m s
m
f � �
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 03858 43 4 25
0 050
4 0 02
0 050
2
3
2
2
,
,
,
, /
,p
��9 81 2,
m
s
Resultando:
h mf = 279 08295,
121
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
3. 
a. Vazão obtida pela tabela de referência: 
Vazão L
s
L
s
L
s
L
s
L
s
� � � � � � � � � �3 0 15 2 0 10 4 0 15 1 0 10 1 0 20, , , , ,
Vazão L
s
=1 55,
b. Diâmetro da tubulação (Tabela de referência):
D mm= 32
Diâmetro (mm) Velociade Máxima (m/s) Vazão Máxima (L/s)
20 1,98 0,62
25 2,21 1,08
32 2,5 2,01
40 2,8 3,51
50 3,0 5,89
60 3,0 8,48
75 3,0 13,25
85 3,0 17,02
110 3,0 28,51
c. Partindo-se da equação de Reynolds:
Re =
ρ
µ
VD
Substituindo as variáveis:
Re
, /
,
,
,
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �1000 4 0 00155
0 032
0 032
1 002
3
3
2
kg
m
m s
m
m
p
�� ��10 3Pa s
Resultando:
Re ,= 61549 44156
d. Por ser escoamento turbulento em parede rugosa, utiliza-se a seguinte equação:
1 2
3 71
2 51
f D f
� �
�
�
�
�
��
�
�
��log
,
,
Re
e
Substituindo as variáveis:
1 2 5 10
3 71 32 10
2 51
61549 44156
6
3f
m
m f
� �
�
� �
�
�
�
��
�
�
��
�
�log
,
,
,
Resultando:
f = 0 02057,
122
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
e. Partindo da equação de Darcy-Weisbach:
h f L
D
V
gf � � �
�
2
2
Substituindo as variáveis:
h m
m
m s
m
f � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 02057 30
0 032
4 0 00155
0 032
2 9
3
2
2
,
,
, /
,
,
p
881 2
m
s
Resultando:
h mf = 3 65082,
f. Partindo da equação de Hazen-Williams:
h Q
C D
Lf � �
�
�10 65
1 85
1 85 4 87,
,
, ,
Substituindo as variáveis:
h m s
m s mf � �
�
�10 65 0 00155
150 0 032
3 1 85
0 367 1 85 4 87,
( , / )
( / ) ( , )
(
,
, , ,
330m)
Resultando:
h mf = 3 63693,
4. Partindo da equação de Reynolds:
Re =
ρ
µ
VD
Substituindo as variáveis:
Re
, /
,
,
,
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
1000 4 0 005
0 025
0 025
1 002 1
3
3
2
kg
m
m s
m
m
p
00 3� �Pa s
Resultando:
Re ,= 254139 6297
Utilizando a equação de Swamee-Jain, como proposto no exercício:
f
D
� �
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
64 9 5
3 7
5 74 25008
0 9
6
Re
, ln
,
,
Re Re,
e
��
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�16 0 125,
123
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
Substituindo as variáveis:
f m
m
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�64
254139 6297
9 5 0 25 10
3 7 0 025
5 74
25413
8 3
,
, ln
,
, ,
,
99 6297
2500
254139 62970 9
6 16
, ,,
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
	
0 125,
Resultando em:
f = 0 03826,
Adotando a equação de Darcy – Weisbach, como proposto pelo exercício:
h f L
D
V
gf � � �
�
2
2
Substituindo as variáveis:
h m
m
m s
m
f � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 03826 1 5
0 025
4 0 005
0 025
2 9 8
3
2
2
,
,
,
, /
,
,
p
11 2
m
s
Resultando:
h mf = 3 65082,
5. 
a. Partindo da equação de perda de carga localizada:
h K V
gf � �
2
2
Substituindo as variáveis:
h
m s
m
m sf � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 9
4 0 005
0 025
2 9 81
3
2
2
2,
, /
,
, /
p
Resultando em:
h mf = 4 75931,
b. Determinação do comprimento equivalente tabela :
L mequivalente =1 5,
Adota-se a equação de Hazen-Williams de acordo com a proposição do exercício:
h Q
C D
Lf � �
�
�10 65
1 85
1 85 4 87,
,
, ,
15m
121,3941m
124
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
Substitui-se as variáveis:
h m s
m s mf � �
�
�10 65 0 005
130 0 025
1
3 1 85
0 367 1 85 4 87,
( , / )
( / ) ( , )
( ,
,
, , ,
55m)
Resultando:
h mf = 6 88291,
5Posições da Tubulação 
em Relação à Linha 
Piezométrica
Dr. Fernando Marcos Weronka
Nesta Unidade, você terá a oportunidade de entender como a perda de car-
ga pode ser incluída no princípio de Bernoulli, o que faz com que a energia 
do fluidose reduza ao longo do escoamento. Para a melhor compreensão 
deste comportamento, utiliza-se o princípio das linhas de energia, também 
conhecidas como linhas piezométricas, sendo estas formas gráficas de re-
presentar a energia do escoamento em cada trecho, demonstrando, assim, 
a perda de carga e as respectivas variações no decorrer do percurso.
126
UNICESUMAR
Ao abordar a expressão condutos forçados, entende-se que o fluido 
transportado no interior da tubulação está sujeito a uma pressão 
maior que a pressão atmosférica, ou seja, nesta situação, o fluido 
contém uma quantidade de energia, que, ao decorrer do escoamento, 
se dissipa pela ação das forças viscosas e do atrito. Como a perda 
de energia do fluido, no escoamento dentro da tubulação, pode 
contribuir para o dimensionamento do conduto? Qual o motivo 
de considerarmos a perda de energia durante o escoamento na 
tubulação, e como isto influencia o dimensionamento?
Em projetos de engenharia, é comum apresentar a energia con-
tida em um fluido na escala métrica, devido à aplicação do prin-
cípio de Bernoulli, que permite converter a energia presente em 
um escoamento em termos de energia específica, pressão e altura 
medidos, respectivamente, em joules por quilograma (kg), Pascal 
(Pa) e metros de coluna de água (m.c.a). Desta forma, ao apresentar a 
energia do escoamento em m.c.a, é possível traçar uma linha acom-
panhando o escoamento para que se observe a energia contida no 
fluido. Esta denomina-se linha piezométrica e é resultante da soma 
da energia cinética, potencial e de pressão. Esta técnica possibilita 
ao engenheiro determinar, ainda na etapa de concepção, os pontos 
críticos de pressão, evitando problemas no projeto hidráulico, sejam 
pontos de pressão abaixo do necessário para o acionamento de 
equipamentos hidráulicos, tais como o chuveiro, sejam por pressões, 
excessivamente, elevadas, o que provoca vibrações, vazamentos, 
podendo, até mesmo, levar à ruptura da tubulação.
Para entender a dinâmica do escoamento dentro de uma tubu-
lação e como a perda de carga pode ser representada, você pode 
fazer vários furos com uma agulha em um canudinho de plástico, 
então, encha a boca com água e a empurre para dentro do canudi-
nho, mantendo a outra extremidade fechada. Note que a água fluirá 
pelos orifícios, no entanto, nos mais próximos à sua boca, a água 
atingirá maior altura, quando comparados aos da ponta fechada, 
ficando cada vez mais alto de acordo com a força aplicada por você.
Perceba, caro(a) aluno(a), que, ao abrir parte da ponta fechada, 
todos os jatos saídos dos orifícios diminuem de altura, reduzindo 
a zero quando a ponta está desobstruída. A água saí formando um 
jato com maior altura, no início do canudinho, próximo à sua boca, 
porque, neste ponto, há menor perda de carga e, com isso, mais 
energia está presente, o que empurra o fluido com mais força para 
fora. No entanto, ao logo do canudinho, a energia vai se dissipando, 
devido ao atrito e às forças viscosas, por isso, a energia, para propelir 
127
UNIDADE 5
o líquido para fora, reduz-se, à medida que se distancia da fonte de pressão. Nota-se, ainda, que, ao 
abrir a ponta, a água, praticamente, para de sair pelos orifícios, isso ocorre porque a energia, agora, está 
sendo convertida em velocidade, restando pouca, ou nenhuma, energia para empurrar a água através 
dos orifícios feitos com a agulha.
Como abordado nas unidades anteriores, o princípio de Bernoulli pressupõe que o somatório das 
energias que compõe determinado escoamento mantém-se constante, ao longo do tempo. Deste modo, 
ao somar a energia cinética, relativa à velocidade, com a energia potencial, referente à altura e a piezo-
métrica relacionada à pressão, obtém-se determinado valor, o qual não varia ao longo do escoamento. 
Este conceito relaciona-se com a lei da conservação de energia, que descreve a energia como algo que 
não pode ser criado ou destruído, apenas transformado. Um exemplo disso pode ser notado no que 
se chama, comumente, geração de energia elétrica pela força motriz da água, ou seja, hidroelétrica. 
Apesar de o termo geração ser, amplamente, empregado, o que ocorre em uma usina deste tipo é a 
conversão da energia potencial da água, depositada à montante em grandes reservatórios, em energia 
elétrica, distribuída para a população.
DIÁRIO DE BORDO
128
UNICESUMAR
Este processo envolve várias transformações de energia em diferentes etapas, sabe-se que a pressão 
hidrostática empurra a água do reservatório através dos condutos forçados, transformando a energia 
potencial em cinética. Impelida pelo movimento da água, a turbina gira fazendo com que eletroímãs 
produzam eletricidade pela ação das forças do eletromagnetismo, desta forma, ocorre a transformação 
da energia cinética em energia elétrica.
Descrição da Imagem: a figu-
ra mostra a barragem da usina 
hidroelétrica Itaipu, e é possível 
observar a montante uma grande 
quantidade de água formando um 
largo, enquanto, a jusante da estru-
tura, observam-se árvores, edifica-
ções e o Rio Paraná, em uma altitu-
de muito menor em relação ao lago.
Descrição da Imagem: a figura é 
um desenho esquemático de uma 
unidade geradora de energia, em 
que é possível observar o caminho 
realizado pela água através dos 
condutos forçados, chegando até 
o rotor da turbina que gira para a 
produção de eletricidade; ao fun-
do, observa-se um campo verde 
por onde passa os fios e o poste de 
transmissão.
Figura 1 - Usina hidroelétrica Itaipu
Figura 2 - Unidade geradora 
de energia hidroelétrica
129
UNIDADE 5
Neste processo, há uma notória transformação de energia potencial em elétrica, assim sendo, a água 
que sai a jusante da usina tem menos energia que a que entrou a montante, e, para que esta água já 
utilizada volte a ser carregada de energia potencial, outra força precisa entrar em ação, esta de origem 
solar, a qual aquece a atmosfera, favorece a evaporação que, juntamente a outros fatores climáticos, 
eleva a água às nuvens, conferindo-a energia potencial nova, que decorre da chuva, reabastecendo, 
assim, os reservatórios.
Figura 3 - Ciclo hidrológico
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma ilustração na qual é possível observar o Sol vaporizando a água dos rios e dos ocea-
nos, formando, assim, as nuvens, que, por sua vez, dão origem às chuvas, retornando a água para rios e oceanos, fechando, assim, 
o ciclo hidrológico.
Neste Podcast, discutiremos o conceito de energia, as alternativas 
ecoeficientes de geração, entre elas a renovável hidroelétrica, res-
ponsável pelo atendimento da maior parte da população do país, o 
que coloca o Brasil entre os países mais sustentáveis do mundo no 
quesito geração de energia. Aguardo você!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6162
130
UNICESUMAR
Perceba que, em última análise, a eletricidade gerada por uma hidroelétrica é o resultado de um processo 
de conversão de energia que se iniciou no sol, desta forma, pode-se imaginar que, se não houvesse esta 
força motriz, após a conversão de toda energia potencial em elétrica, as usinas hidroelétricas estariam 
destinadas à desativação. É comum, então, imaginar que esta energia foi destruída, contrariando, 
assim, o princípio da conservação de energia. Neste ponto, é importante, então, relembrar o conceito 
da entropia (d ), também conhecido como a seta do tempo. Este consiste na aplicação da segunda 
lei da termodinâmica, a qual descreve que entropia de um sistema isolado sempre aumenta, ou seja, a 
aleatoriedade do movimento das partículas nunca reduz (HALLIDAY, 2009). Por isso, os fenômenos 
físicos de transformação espontânea de energia têm uma direção única de ocorrência, desta forma, 
ocorrem sempre de acordo com a seta do tempo. Um exemplo da aplicação deste conceito é apresen-
tado na Figura 4. 
Descrição da Imagem: a figura é uma ilustração de três recipientes: o primeiro contém água sólida, o segundo água líquida, e o 
terceiro água na forma de gás. Existe uma seta sobre os três recipientes indicandoo sentido de crescimento de entropia indo do 
sólido para o gás. Além disso, entre o sólido e o líquido, assim como entre o líquido e o gás, existem setas indicando que a variação 
da entropia sempre deve ser maior que zero.
Note que é comum observar a água passar do estado sólido para o líquido, pois o gelo aumenta sua 
entropia e se transforma em água líquida, contudo não se observa, espontaneamente, a água liquida 
transformar-se em gelo, pois este apresenta entropia menor que a água líquida, e isso contrariaria a 
premissa da seta do tempo. Desta forma, entende-se que os sistemas tendem à desordem, ou seja, a 
energia tende a se desorganizar (dissipar), nunca a se organizar (concentrar). Assim sendo, não é comum 
ver um sistema desordenado, apenas com movimentos aleatórios, como um fluido parado, sem ação 
externa passar a apresentar movimento macroscópico, formando um escoamento, no qual a energia está 
AUMENTO DA ENTROPIA
SÓLIDO LÍQUIDO GÁS
0�� �
0�� �
0�� �
0�� �
Figura 4 - Entropia
131
UNIDADE 5
Para ajudá-lo a entender os processos de transformação de energia 
pertinentes aos fluidos na melhor energia e analisar como a maior 
usina em geração de eletricidade do mundo, a Itaipu, emprega os 
conceitos de energia hidráulica para a geração de energia elétrica.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
organizada em determinada direção. Por outro lado, é muito comum ver um sistema escoando e com 
o tempo passa ao estado estático, no qual há apenas o movimento aleatório. Desta forma, entende-se 
que a energia de um escoamento não deixou de existir, apenas foi convertida em movimento aleatório 
pelo princípio da entropia. Por isso, é necessário considerar, nos escoamentos em condutos forçados, a 
conversão da energia organizada, quantificada pela equação de Bernoulli em movimento aleatório, base 
do conceito de energia interna. Como vimos no Ciclo de Aprendizagem 4, esta conversão de energia 
é, comumente, referida como perda de carga, pois, mesmo respeitando o princípio da conservação de 
energia, o somatório das energias cinética, potencial e piezométrica, reduz, ao longo do escoamento, 
uma vez que estas estão sendo convertidas em energia interna do fluido.
Entende-se, assim, que, em um escoamento de um fluido real, ou seja, com viscosidade e atrito com 
as paredes da tubulação, parte da energia macroscópica do escoamento se converte em energia mi-
croscópica. Em outras palavras, a energia pode ser convertida, livremente, entre a cinética, potencial, 
piezométrica, ou seja, é possível converter energia potencial em cinética e, posteriormente, converter, 
novamente, a cinética em potencial. Contudo, uma vez que qualquer tipo de energia macroscópica 
for convertido em energia interna, esta não retorna às formas anteriores, respeitando o princípio da 
entropia, caracterizando o fenômeno conhecido como perda de carga. As técnicas de estimativa des-
tes valores, tidos como perda de carga, foram apresentadas no Ciclo de Aprendizagem 4, contudo a 
verificação destes valores, experimentalmente, incorre no cálculo da energia total, em diversas partes 
da tubulação, para que se entenda o comportamento e a variação da energia, ao longo do escoamento.
Como já mencionado, a expressão de energia em escoamentos não ocorre, necessariamente, em 
Joules (J), como predito pelo sistema internacional de unidades (SI), podendo ser apresentada em ter-
mos de energia específica, tendo como unidade de medida Joules por quilograma (J/Kg). Outra forma 
consiste em apresentar a energia em termos de pressão, tendo como unidade de medida Pascal (Pa), 
ou ainda, em termos de altura, expressos em metros de coluna de água (m.c.a.), podendo ser aceito, 
coloquialmente, apenas a designação metros, sendo esta a mais usual.
Pode-se determinar fatores de conversão entre os termos de energia cinética, potencial e piezomé-
trica, contando com a massa específica do fluido (ρ) e da gravidade (g). Por exemplo a conversão de 
energia em termos de pressão para termos de altura dá-se:
132
UNICESUMAR
Partindo da pressão medida em Pascal (Pa) tem-se:
Pressão Pa=
Sabendo que pressão consiste em uma força medida em Newton (N) aplicada sobre uma área medida 
em metros quadrados (m2), decompõe-se em:
Pressão N
m
= 2
Uma vez que a força exercida pelo fluido, em uma superfície, é dada pelo peso, tem-se:
Pressão Peso
Área
=
Como peso é o produto da massa do fluido e da gravidade, obtém-se:
Pressão Massa Gravidade
Área
�
�
A massa de um fluido pode ser expressa pelo produto da massa específica pelo volume, logo:
Pressão
Massa Volume Gravidade
Área
Específica�
� �
A partir dos conceitos de geometria, entende-se que a razão entre volume e área resulta em altura, 
desta forma, a equação simplifica-se para:
Pressão Massa Altura GravidadeEspecífica� � �
Desta forma, obtém-se que, para converter altura em pressão, em tubulações, pode-se utilizar o con-
ceito de pressão hidrostática:
P h g� � �r
Onde:
P = Pressão (Pa)
h = Altura (m)
ρ = Massa específica (kg/m3)
g = Gravidade (m/s2)
Aplicando este conceito à água com massa específica de 1000 kg/m3 e considerando a gravidade igual 
a 10 m/s2, pode-se determinar que cada 1 metro de coluna de água (m.c.a) corresponde a 10000 Pa ou 
10 kPa. Reorganizando a equação, tem-se:
P
g
h
r �
�
133
UNIDADE 5
Uma vez que o produto da massa específica pela gravidade é o peso específico, pode-se traçar a se-
guinte relação:
E V
c =
2
2
Onde:
P = Pressão (Pa)
h = Altura (m)
g = Peso específico (N/m3)
Ou seja, a razão entre a pressão e o peso específico do fluido corresponde à altura da coluna de água 
equivalente. Aplicando-se a equação à água, tem-se que cada 1 Pa corresponde a 0,1 m.c.a, ou seja, 10-4 
m.c.a. Partindo da energia cinética do escoamento dada pela equação:
E V
c =
2
2
Onde:
Ec= Energia Cinética (m2/s2)
V = Velocidade (m/s)
Como já demostrado no Ciclo de Aprendizagem 2, esta unidade de medida corresponde a J/kg, ou 
seja, à energia específica do escoamento, de modo a quantificar quanta energia cada unidade de massa 
escoada corresponde. Logo:
J
kg
V
=
2
2
Para simplificar a equação, pode-se multiplicar os denominadores de ambos os termos pela gravidade. 
Obtém-se, assim:
J
kg m
s
V
g�
�
�
2
2
2
Uma vez que o produto da massa pela aceleração resulta em uma força, medida em Newtons, obtém-se:
J
N
V
g
�
�
2
2
Como joule é a unidade de medida de energia, assim como de trabalho, pode-se aplicar o conceito que 
trabalho é dado pelo produto da força e da distância. Desta forma:
N m
N
V
g
�
�
�
2
2
Simplificando, obtém-se:
m V
g
�
�
2
2
134
UNICESUMAR
Logo:
h V
g
�
�
2
2
P V
�
�2
2
r
Ou seja, para quantificar a energia cinética em metros, basta dividir a velocidade do escoamento ao 
quadrado pelo dobro da gravidade. Pelo comportamento quadrático da equação, não é possível deter-
minar um fator de conversão, referindo-se à água, uma vez que 1 m/s, em um ambiente com gravidade 
10 m/s2, resulta em 0,05 m.c.a, já 2 m/s, no mesmo ambiente, resulta em 0,02 m.c.a. Logo, a conversão 
depende da equação cuja altura correspondente à energia cinética é a razão à velocidade ao quadrado 
pelo dobro da gravidade. Reorganizado a equação, obtém-se:
V g h� � �2
Desta forma, observa-se que a velocidade do escoamento resultante da energia potencial é dadoa pela 
raiz do produto do dobro da gravidade e da altura do escoamento, podendo a conversão ser realizada 
a partir desta equação. Por final, também é possível determinar o método de conversão de Pressão em 
Velocidade, partindo-se, novamente, da equação da energia cinética:
J
kg
V
=
2
2
Multiplicando os dois termos da equação pela massa específica do fluido, obtém-se:
J
kg
kg
m
V
� �
�
3
2
2
r
Logo:
J
m
V
3
2
2
�
�r
Substituindo Joule por Nm, obtém-se:
N m
m
V�
�
�
3
2
2
r
Ou seja:
Pa V
�
�2
2
r
Resultando em:
Onde:
h = Altura (m)
V = Velocidade (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
Onde:
P = Pressão (Pa)
V = Velocidade (m/s)
ρ = Massa específica (kg/m3)
135UNIDADE 5
Note que, novamente, pela característica quadrática da equação, não é possível determinar um fator 
de conversão, desta forma, pode-se converter a velocidade em pressão equivalente, elevando-a ao 
quadrado, multiplicando pela massa específica e dividindo por 2. Reorganizando a equação, tem-se:
V P
�
�2
r
Evidenciando que a velocidade equivalente corresponde à raiz quadrada da razão entre o dobro da 
pressão e a massa específica do fluido. Para sintetizar as conversões possíveis apresenta-se a Tabela 1.
Conversão
Equação
De Para
Altura Pressão P h g� � �r
Pressão Altura h P
g
�
�r
Velocidade Altura h V
g
�
�
2
2
Altura Velocidade V g h� � �2
Velocidade Pressão P V
�
�2
2
r
Pressão Velocidade V P
�
�2
r
Tabela 1 - Conversões de energias macroscópicas do escoamento / Fonte: o autor.
A partir das equações apresentadas, é possível determinar diversas equações referentes à energia do 
escoamento, no entanto a mais comumente apresentada é dada em termos de altura. Desta forma, o 
somatório das energias macroscópicas referentes aos escoamentos é denominado linha de linha energia, 
tendo os termos da equação apresentados em função da escala métrica (PORTO, 2006):
H Z h V
g
P
T � � �
�
�
2
2 g
Onde:
HT = Energia Total (m)
Z = Cota topográfica (m)
h = Altura da tubulação (m)
V = Velocidade (m/s)
P = Pressão (Pa)
g = Peso Específico (N/m3)
g = gravidade (m/s2)
136
UNICESUMAR
Esta equação é bastante abrangente, pois incorpora, também, a expressão cota topográfica, represen-
tada pela variável Z, que, juntamente com a altura (h), constitui a energia potencial do escoamento, 
seguidos pela energia cinética, no termo em que consta a variável velocidade, e da energia piezométrica, 
no termo que contém a variável pressão, por isso, também é conhecido como linha de carga total. Esta 
expressão quantifica a altura, em relação ao nível do mar, a qual o escoamento alcançaria, caso todas 
as energias macroscópicas fossem convertidas em energia potencial.
Também é bastante comum o termo relativo à cota topográfica ser suprimido dando origem ao que 
se denomina energia específica do escoamento, ou seja, a energia considerada considera-se apenas a 
energia a partir do nível do solo (PORTO, 2006) dada por:
H h V
g
P
e � �
�
�
2
2 g
Onde:
He = Energia específica (m)
h = Altura da tubulação (m)
V = Velocidade (m/s)
P = Pressão (Pa)
g = Peso Específico (N/m3)
g = gravidade (m/s2)
Analogamente à energia total, esta expressão quantifica a altura, em relação ao solo do local onde o 
escoamento ocorre, a qual o fluido alcançaria caso todas as energias macroscópicas fossem conver-
tidas em energia potencial. Por não considerar as variações topográficas, a declividade desta linha 
de energia apresenta forte correlação com a perda de carga unitária. No entanto, em muitos casos, a 
energia cinética, relativa à velocidade, muitas vezes, é desconsiderada, por ter uma ordem de grandeza 
diferente da energia potencial e da piezométrica, dando origem, assim, à linha de energia piezométrica 
(PORTO, 2006) dada por: 
H h P
pz � �
g
Onde:
Hpz = Energia piezométrica (m)
h = Altura da tubulação (m)
P = Pressão (Pa)
g = Peso Específico (N/m3)
Desta forma, a soma dos pontos da energia em todas posições de um escoamento pode ser descrita na 
forma de linhas de energia, como apresentado na imagem.
137
UNIDADE 5
Figura 5 - Linhas de energia / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 196).
PLANO DE CARGA ABSOLUTO
PLANO DE CARGA EFETIVO
Linha de carga total efetivoLinha Piezométrica efetiva
PLANO DE REFERÊNCIA
1 atm
 
fh h� �
 1Z
1�
�
 2Z
 2�
�
 2
2
2
V
gx �
 2
1
2
V
g�
Descrição da Imagem: a figura apresenta uma ilustração na qual possível observar, no limite inferior, o plano de referência na 
horizontal; um pouco acima, apresenta-se a tubulação, levemente inclinada, seguida por duas linhas mais acima; um pouco mais 
inclinadas em relação à tubulação, estas linhas representam a linha piezométrica efetiva e a linha de carga total efetiva; ainda mais 
acima, apresentam-se os planos de carga efetivos e o plano de carga absoluto, ambos na horizontal, portanto, paralelos ao plano de 
referência. Pode-se observar, ainda no início e no final da tubulação, os valores de Z, representando a energia potencial, P dividido 
por gama, representando a energia de pressão, e a velocidade ao quadrado dividida por duas vezes a gravidade, representando a 
energia cinética, mostrando que a linha piezométrica efetiva é a soma da energia potencial e de pressão, enquanto a linha de carga 
total efetiva representa a soma da energia potencial, de pressão e cinética, estas diminuindo de altura ao longo do escoamento.
Note que o plano de carga absoluto corresponde à soma das energias potenciais, cinéticas e de pressão, 
somados à pressão atmosférica, enquanto o plano de carga efetivo não leva em consideração a atmos-
fera. Ambos os planos se mantêm constantes, ao longo do escoamento, por representarem a condição 
de máxima energia, ou seja, sem a perda de carga, o que ocorre quando o escoamento tem velocidade 
igual a zero. Já, logo acima do plano de referência, apresenta-se a tubulação pressurizada. Ao converter 
a energia da pressão interna e da velocidade em altura, obtém-se a linha de carga total, contudo, ao 
desconsiderar a energia cinética, obtém-se a linha piezométrica, que recebe este nome por corresponder 
à pressão medida por um piezômetro (AZEVEDO NETO, 2015), apresentado na Figura 6.
138
UNICESUMAR
PLANO DE REFERÊNCIA
PLANO DE CARGA EFETIVO
Linha de carga total efetiva
Linha piezométrica efetiva
Reservatório 1
(R )1
N 1
N 2
(R )2
Reservatório 2 
Z
 2
2
K V
g
x�
x
 2
2
V
gx
 2
2
K V
g
x
x
Figura 6 - Esquema de dois reservatórios / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 196).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa, desta se ramifica 
uma tubulação vertical indicando que o fluido que escoa pela tubulação alcança a altura da linha piezométrica efetiva, mas não a da 
linha de carga total efetiva, demonstrando que a diferença de altura da linha de carga total efetiva e da linha piezométrica efetiva 
dá-se pela energia cinética, apresentada pela respectiva equação. No limite inferior da figura, encontra-se o plano de referência, e 
no limite superior, o plano de carga efetivo.
É comum, contudo, definir a linha de carga total efetiva igual à linha piezométrica efetiva uma vez 
que a altura resultante da conversão da energia cinética em potencial corresponde a apenas alguns 
centímetros, enquanto a energia de pressão encontra-se na ordem de metros ao realizar a conversão. 
É importante frisar que se apresentam dois planos de carga: o absoluto, que considera a pressão at-
mosférica, e o efetivo, que se referencia ao nível de montante. De acordo com Azevedo Neto (2015), 
no estudo prático dos escoamentos por gravidade em condutos forçados, apresentam sete possíveis 
posições relativas a estes planos, e, para a explanação, são adotados pontos denominados (N) onde:
• N1 = Carga estática absoluta (m)
• N2 = Carga dinâmica absoluta (m)
• N3 = Carga estática efetiva (m)
• N4 = Carga dinâmica efetiva (m)
Na posição 1, apresentada na Figura 7, toda a extensão da tubulação encontra-se abaixo da linha 
piezométrica, sendo esta a condição ótima para o escoamento por gravidade, sendo a vazão calculada 
correspondente à vazão real.
139
UNIDADE 5
Figura 7 - Planos de Carga e linhas de carga (1ª Posição) / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 197).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa, apresentam-se 
quatro linhas, de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano de 
carga absoluto; a tubulação encontra-se abaixo de todas as linhas citadas.
Em condutos nos quais a pressão atmosférica atua em ambas as extremidades, ao aferir a pressão 
manométrica em todos os pontos de escoamento, obtém-se alinha piezométrica efetiva, também 
denominada linha de carga total efetiva. A segunda linha de energia apresentada trata-se da linha 
de carga total absoluta, que corresponde à linha piezométrica absoluta. Esta, por sua vez, considera a 
pressão atmosférica em apenas uma das extremidades da tubulação, fazendo com que esta também 
haja como força motriz. Em ambas as linhas, pode-se observar o decaimento ao longo da tubulação, 
este em decorrência da perda de carga das partículas do fluido, portanto, também são referidas como 
linhas de cargas dinâmicas. Desta forma, ambas representam a altura máxima que o fluido pode atingir, 
durante um escoamento, caso a geometria da tubulação permita. 
Note que a carga estática, ou seja, na qual a velocidade do escoamento é zero, coincide com o plano 
de carga, seja ele absoluto seja efetivo, já quando a velocidade do escoamento é maior que zero, tem-se 
a perda de carga e a consequente inclinação da linha de energia, apresentada como cargas dinâmicas, 
seja ela absoluta seja efetiva.
Na posição 2, apresentada na Figura 8, a posição da tubulação coincide com a linha de carga total 
efetiva, desta forma, tem-se a carga dinâmica efetiva nula, e esta é uma condição não ideal, pois se 
recomenda a tubulação, ao menos, quatro metros abaixo da linha piezométrica.
PLANO DE CARGA ABSOLUTO
PLANO DE CARGA EFETIVO
Linha de carga total absoluta
Linha de carga total efetiva
Conduto
forçado
N 1
N 2
N 3
N 4
N
D
v
 
10,33pa m
�
�
140
UNICESUMAR
Figura 8 - Planos de Carga e linhas de carga (2ª Posição) / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 198).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa, apresentam-se 
quatro linhas: de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano 
de carga absoluto; a tubulação encontra-se abaixo de todas as linhas citadas, mas a linha do plano de carga efetivo coincide com o 
início da linha de carga efetiva.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa, apresentam-se 
quatro linhas: de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano 
de carga absoluto; parte da tubulação delimitada por pontos atribuídos como A e B está acima da linha de carga total efetiva, no 
entanto abaixo das demais linhas de energia citadas.
Nesta condição, tem-se os denominados condutos livres, nos quais um orifício, na parte de cima da 
tubulação, não provocaria nem o vazamento da água, nem a sucção de ar para o interior da tubulação 
já que a pressão no interior da tubulação é igual à pressão atmosférica.
Na posição 3, parte da tubulação está localizada acima da linha de carga efetiva, no entanto abaixo 
da linha de carga total absoluta, como apresentado na Figura 9.
Tubulação
NA
R1
Linha de carga
efetiva ou linha
piezométrica
R 2
10,33 m
Plano de carga absoluto
Plano de carga efetivo
Linha de carga total absoluta
Figura 9 - Planos de Carga e linhas de carga (3ª Posição) / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 199).
R1
A
B
R 2
10,33 m
Plano de carga absoluto
Plano de carga efetivo
Linha de carga total absoluta
Linha de carga total efetiva 
141
UNIDADE 5
Nesta posição, a pressão entre os pontos A e B é reduzida, logo, 
qualquer orifício ou tubulação que se conecte neste segmento será 
succionada, podendo, inclusive, culminar na formação de bolhas 
de ar, no interior da tubulação, reduzindo, assim, a vazão real trans-
portada. Em muitos casos, faz-se necessário a escorva, que consiste 
na remoção do ar do interior da tubulação para o correto funcio-
namento do sistema. Na posição 4, apresentada na Figura 10, parte 
da tubulação localiza-se acima da linha de carga efetiva e, também, 
da linha de carga absoluta.
R1
R2
10,33 m
T
Plano de carga absoluto
Plano de carga efetivo
Linha de carga total absoluta
Linha de carga total efetiva 
Figura 10 - Planos de Carga e linhas de carga (4ª Posição)
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 199).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa; apresentam-se 
quatro linhas: de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano 
de carga absoluto; parte da tubulação delimitada por um ponto atribuído como T está acima das linhas de carga total absoluta e da 
linha de carga total efetiva, no entanto abaixo do plano de carga efetivo e do plano de carga absoluto.
Nestes casos, o escoamento entre o trecho R1 e T ocorre por carga, 
ou seja, em função de uma pressão maior que a pressão atmosféri-
ca, já no trecho de T a R2 ocorre um escoamento semelhante aos 
observados em condutos livres, casos em que a vazão é reduzida, 
sendo impossível a determinação desta, por meio de cálculos. Já na 
posição 5, apresentada na Figura 11, parte da tubulação localiza-se 
acima da linha de carga efetiva e acima do plano de carga efetivo, 
contudo, permanece abaixo da linha de carga total absoluta e do 
plano de carga absoluto.
142
UNICESUMAR
Figura 11 - Planos de Carga e linhas de carga (5ª Posição) / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 200).
R1
R2
10,33 m
Plano de carga absoluto
Plano de carga efetivo
Linha de carga total absolutaLinha de carga total efetiva 
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa; apresentam-se 
quatro linhas: de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano de 
carga absoluto; parte da tubulação está acima da linha de carga total efetiva e do plano de carga efetivo, no entanto está abaixo da 
linha de carga total absoluta e do plano de carga absoluto.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa; apresentam-se 
quatro linhas: de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano 
de carga absoluto; parte da tubulação está acima da linha de carga total efetiva, do plano de carga efetivo e da linha de carga total 
absoluta, estando abaixo, apenas, do plano de carga absoluto.
Nesta condição, ocorre o fenômeno conhecido como sifão, no qual o escoamento precisa de uma força 
motriz inicial para vencer a porção mais alta da tubulação, no entanto, depois disso, o escoamento 
mantém-se até o esgotamento de R1 mesmo tendo cessada a força motriz.
Na posição 6, apresentada na Figura 12, parte da tubulação está acima da linha de carga total efetiva, 
da linha de carga total absoluta e do plano de carga efetivo, mas abaixo do plano de carga absoluto.
R1
R2
10,33 m
Plano de carga absoluto
Plano de carga efetivo
Linha de carga total absoluta
Linha de carga total efetiva 
Escorva
Figura 12 - Planos de Carga e linhas de carga (6ª Posição) / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 200).
Nestas condições, ocorre, também, a formação de um sifão, contudo mais estável que os sifões forma-
dos na condição 5.
143
UNIDADE 5
No interior do copo de Pitágoras, que leva seu nome em homenagem ao seu criador, filóso-
fo e matemático grego Pitágoras de Samos, existe uma estrutura de sifão. Desta forma, ao 
encher o copo com um líquido, como vinho, ao ultrapassar o limite do sifão, este entra em 
funcionamento e drena todo o conteúdo do recipiente, fazendo com que o ganancioso, que 
se serviu em demasia, não desfrute da bebida. Deste modo, o dispositivo ganhou popula-
ridade por ser uma forma divertida que auxilia na identificação de pessoas gananciosas e 
egoístas, ao longo dos séculos. O princípio do sifão é utilizado pela engenharia, atualmente, 
em vasos sanitários, por exemplo, os quais, ao receberem água acima do limite estabelecido, 
drenam, rapidamente, toda a água e os dejetos contidos nela. Isso permite que água limpa 
se acumule, evitando, assim, o retorno dos gasesmalcheirosos provenientes do sistema de 
esgotamento sanitário.
Já na condição 7, apresentada na Figura 13, parte da tubulação está acima da linha de carga total efetiva, 
da linha de carga total absoluta, do plano de carga efetivo e do plano de carga absoluto.
R1
R2
10,33 m
Plano de carga absoluto
Plano de carga efetivo
Linha de carga total absoluta
Linha de carga total efetiva 
Figura 13 - Planos de Carga e linhas de carga (7ª Posição) / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 200).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ilustração com dois reservatórios ligados por uma tubulação sinuosa; apresentam-se 
quatro linhas: de baixo para cima, a linha de carga total efetiva, a linha de carga total absoluta, o plano de carga efetivo e o plano de 
carga absoluto; parte da tubulação está acima de todas as linhas apresentadas.
Nesta condição, o escoamento por gravidade é impossível, sendo necessário o recalque.
144
UNICESUMAR
Os sistemas de drenagem pluvial urbana e esgotamento sanitário são exemplos de condutos que, apesar 
de, geometricamente, fechados, conduzem fluidos como escoamento livres, ou seja, impulsionados pela 
ação da gravidade. Desta forma, calcular a linha de energia para este tipo de projeto ajuda a determinar 
em quais pontos é necessário a utilização de estações de recalque, assim como os trechos nos quais é 
necessária a implantação de estações elevatórias, ou alternativas.
Além disso, não apenas em projetos externos estes fatores devem ser analisados, mas também em 
sistemas hidráulicos residenciais. Ao traçar as linhas piezométricas, torna-se mais fácil a identificação 
dos componentes que mais reduzem a pressão por meio da perda de carga. Em muitos casos, é pos-
sível identificar, por exemplo, se as tubulações foram mal dimensionadas, ou se condições anormais 
de funcionamento estão prejudicando o desempenho do sistema, como incrustações e vazamentos.
145
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Durante esta unidade, muitas formas de quantificar as energias dos escoamentos foram apresentadas, 
entre elas, o plano de carga efetivo, a linha de carga piezométrica e o plano de carga total absoluto, 
cada um com suas respectivas características. Observe organograma e preencha as lacunas.
1.0 - Linhas de Energia
1 1 - 
1.1.1 -
1.1.2- Energia Potencial
1.1.3 - Pressão
1.1.4 - Energia Cinética
1.2 - Plano de Carga Total Efetivo
1.2.1 - Energia Potencial
1.2.2 -
1.2.3 - Energia Cinética
1.3 - Linha de Carga Total Absoluta
1.3.1 - Atmosfera
1.3.2 - Energia Potencial
1.3.3 - Pressão
1.3.4 -
1.3.5- Energia Cinética
1.4 -
1,5 - Linha de Carga Piezométrica
1.5.3 -
1.5.2 - Pressão
1.5.1 - Energia Potencial
1.4.4 - Energia Cinética
1.4.3 -
1.4.2 - Pressão
1.4.1 - Energia Potencial
Descrição da Imagem: o mapa mental está organizado em níveis hierárquicos, iniciando com um balão com os termos “1.0 – linhas 
de energia”, e este se divide em cinco balões, sendo eles: “1.1”, que deve ser preenchido, “1.2 – Plano de Carga Total Efetivo”, “1.3 – 
Linha de Carga Total Absoluta”, “1.4”, que deve ser preenchido, e “1.5 – Linha de carga piezométrica”. O item 1.1 divide-se em “1.1.1”, 
o qual deve ser preenchido; o item 1.1.2 apresenta as palavras “Energia Potencial”, o item 1.1.3 apresenta a palavra “Pressão”, e o 
item 1.1.4 apresenta as palavras “Energia Potencial”. O item 1.2 está dividido em três balões: em 1.2.1 apresentam-se as palavras 
“Energia Potencial”, no 1.2.2, apresenta-se um balão a ser preenchido, no item 1.2.3 aparecem as palavras “energia cinética”. No 
balão do item 1.3, apresenta-se “Linha de Carga Total Absoluta”, e se este divide em cinco 5 balões; no 1.3.1 tem-se “Atmosfera”, o 
item 1.3.2 apresenta as palavras “Energia Potencial”, o item 1.3.3 apresenta a palavra “pressão”; o balão referente ao item 1.3.4 deve 
ser preenchido, o item 1.3.5 contém as palavras “Energia Cinética”. No item 1.4, apresenta-se um balão a ser preenchido, o qual se 
divide em três segmentos: no 1.4.1 aparecem as palavras “Energia Potencial”, no 1.4.2 apresenta-se a palavra “Pressão”, no item 
1.4.3 apresenta-se um balão a ser preenchido. No item 1.4.4 aparecem as palavras “Energia Cinética”. Por fim, o item 1.5, possui as 
palavras “Linha de carga Piezométrica”, está dividido em três balões: no item 1.5.1 apresentam-se as palavras “Energia Potencial”, o 
item 1.5.2 contém a palavra “pressão”, e, no item 1.5.3, aparece um balão a ser preenchido.
146
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Dois reservatórios abertos contendo água cuja massa específica é de 1g/cm3, apresentam um 
desnível de 5 metros. Considerando que uma tubulação de 32 mm de diâmetro liga os reser-
vatórios e que, em toda a extensão, apresenta-se abaixo da linha piezométrica, considerando, 
também, a gravidade igual a 10 m/s2, calcule:
a) Velocidade do escoamento, considerando que toda energia potencial foi transformada em 
energia cinética.
b) A vazão transportada.
c) O tempo para drenar 1000 litros de água.
2. Uma bomba pressuriza uma tubulação vertical empurrando para cima a água cuja massa específica 
é 1g/cm3. Considerando que a pressão realizada pela bomba é de 2,5 MPa, em um ambiente com 
gravidade igual a 10 m/s2, calcule:
a) Qual a altura alcançada pela água caso toda a energia de pressão seja transformada em potencial?
b) Qual a velocidade da água caso toda a energia de pressão seja transformada em energia cinética?
3. Em determinada posição de uma tubulação horizontal, com 25 mm de diâmetro, foi inserido um tê, 
adicionando, assim, uma tubulação vertical de comprimento indefinido. Sabe-se que a tubulação 
horizontal se encontra a 3 metros do solo, e a vazão transportada pelo sistema é igual a 10 litros 
de água por segundo, com uma pressão no interior da tubulação igual a 470 kPa. Considerando 
a massa específica da água igual a 1 g/cm3 e a gravidade igual a 10 m/s2, calcule:
a) A energia específica do escoamento em metros de coluna de água (m.c.a).
b) A energia piezométrica do escoamento em metros de coluna de água (m.c.a).
c) Qual altura espera-se que a água alcance, no interior da tubulação vertical?
147
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. 
a. Partindo da equação apresentada na Tabela 1:
V g h� � �2
Substituindo as variáveis 
V m
s
m� � �2 10 52
Resulta:
V m s=10 /
b. Partindo do conceito que:
Q V A� �
Substituindo a fórmula da área na equação da vazão
Q V D
� �
�p 2
4
Substituindo as variáveis
Q m
s
m
� �
� � �
10 32 10
4
3 2p ( )
Obtém-se:
Q m
s
� � �8 04248 10 3
3
,
c. Partindo do conceito que:
Q Vol
t
=
Reorganizando a equação
t Vol
Q
=
Substituindo as variáveis
t m
m
s
�
� �
1
8 04248 10
3
3
3
,
Obtém-se:
t s=124 3398,
148
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
2. 
a. Partindo da relação apresentada na Tabela 1, tem-se:
h P
g
�
�r
Substituindo as variáveis, tem-se
h Pa
kg
m
m
s
�
�
�
2 5 10
1000 10
6
3 2
,
Obtém-se:
h m= 250
b. Partindo da relação apresentada na Tabela 1, tem-se:
V P
�
�2
r
Substituindo as variáveis, tem-se
V Pa
kg
m
�
� � �2 2 5 10
1000
6
3
,
Obtém-se:
V m s= 70 71, /
149
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
3. 
a. Partindo do conceito de energia específica, tem-se:
H h V
g
P
e � �
�
�
2
2 g
Introduzindo o conceito de velocidade a partir da vazão, obtém-se
H h Q
g A
P
e � �
� �
�
2
22 g
Substituindo as variáveis
H m m s
m s m
e � �
� �
� �
� ��
�
��
�
�
��
�
��
�
3 10 10
2 10 25 10
4
470 103 3 2
2
3 2
3
( / )
/
p
PPa
N m10000 3
/
Resulta:
H me = 50 0129,
b. Partindo do conceito de energia piezométrica, tem-se:
H h P
pz � �
g
Introduzindo o conceito de velocidade a partir da vazão, obtém-se
H h P
pz � �
g
Substituindo as variáveis
H m Pa
N mpz � �
�3 470 10
10000
3
3/
Resulta:
H mpz = 50 00,
c. A altura que se espera observar é 50,00 metros, já que esta é altura piezométrica, ou seja, a altura 
que se obtém a usar um piezômetro.
150
R
EF
ER
ÊN
C
IA
S
AZEVEDO NETO, J. M. Manual de hidráulica. 9. ed. São Paulo: EdgardBlücher, 2015.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Vol 2. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
PORTO, R. M. Hidráulica Básica. 3. ed. São Carlos: EESC-USP, 2006.
151
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
152
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
6Condutos 
Equivalentes
Dr. Fernando Marcos Weronka
Neste ciclo de aprendizagem, você terá a oportunidade de aprender como 
podem ser realizadas as substituições de sistemas hidráulicos por tubula-
ções equivalentes. A técnica é muito útil para garantir o melhor ajuste do 
projeto em relação à execução, evitando o superdimensionamento e os 
custos relativos, assim como o subdimensionamento e os problemas de 
mau funcionamento acarretados por eles. Também permite a simplificação 
de esquemas complexos, mantendo a fidelidade das informações para uma 
análise ampla da situação do macro de sistemas hidráulicos.
154
UNICESUMAR
Se, em um cálculo de dimensionamento de condutos forçados, você obtiver o diâmetro ideal de 350mm 
para um sistema de abastecimento de água a ser executado em PVC, como, neste caso, o diâmetro não é 
comercializado, o diâmetro aplicado em projeto deverá ser 400mm? Ou o ideal é adotar uma tubulação 
de 300? Existe a possibilidade de utilizar um conjunto de tubulações, como uma 150 mm em paralelo a 
outra de 200 por exemplo?
A solução trivial seria adotar a tubulação com o diâmetro, imediatamente, superior à calculada de 
350 mm, neste caso, uma tubulação de 400 mm, o que implicaria um custo superior ao dobro do que 
se fosse utilizada a tubulação de 300 mm. No entanto a escolha por uma tubulação de diâmetro menor 
implica riscos de mal funcionamento, como perdas de carga excessivas, que geram pressão insuficien-
tes no final da linha de abastecimento. No caso de trocar a tubulação hipotética de 350 mm por uma 
de 150 mm paralela a outra de 200 mm, esta é uma solução incorreta, pois a área útil da combinação 
destas duas tubulações equivale a menos de 60% da tubulação original, o que implicaria variação 
tanto na vazão transportada quanto na perda de carga do escoamento. A solução correta consiste em 
determinar quais conjuntos de tubulações possibilitam a mesma vazão, apresentando a mesma perda 
de carga, aplicando, assim, os conceitos de condutos equivalentes. 
Para verificar a equivalência das áreas de tubulação, observe os três círculos da Figura 1, um com 
raio de 12,5 cm, outro com raio de 10 cm e outro com raio de 7,5 cm, desta forma, você poderá visua-
lizar o diâmetro de uma tubulação de 250 mm, outra de 200 mm e outra de 150 mm. Aproveite para 
calcular as áreas de cada um dos círculos.
Descrição da Imagem: na figura, aparecem três círculos, sendo o primeiro com 12,5 cm de raio, o segundo 10 cm e o terceiro 7,5 cm.
12
,5 
ce
ntím
et
ro
s
10,00 centím
etro
s
7,50 centím
etro
s
Figura 1 - Comparação diâmetro das tubulações / Fonte: o autor.
155
UNIDADE 6
Comumente, a equação da área do círculo é apresentada de acordo com a equação 
a seguir:
A Rc = p
2
No entanto, como as tubulações, normalmente, trazem o valor do diâmetro, a re-
lação na qual o raio corresponde à metade do diâmetro pode ser inserida na equação 
da área do círculo, obtendo-se: 
A D
c �
�
�
�
�
�
�p
2
2
A partir da qual pode obter-se:
A D
c =
p 2
4
DIÁRIO DE BORDO
Desta forma, torna-se mais prático o cálculo da área da seção de uma tubulação, pois se parte, direta-
mente, do diâmetro informado pelo fabricante (diâmetro nominal), o que simplifica o cálculo.
Visualmente, torna-se fácil identificar que a área círculo de 200 mm de diâmetro é bastante menor 
que a área da tubulação de 250 mm, isso ocorre porque a área é uma função quadrática do raio, o que 
pode, por vezes, trair a noção intuitiva do projetista. O mesmo pode ser observado comparando-se o 
desenho equivalente à tubulação de 150mm em relação a tubulação de 200 mm, da mesma forma, é 
comum imaginar que duas tubulações, sendo uma de 150 mm em paralelo a uma tubulação de 200 
mm, transportaria maior quantidade de água por ter maior área. No entanto, ao verificar os cálculos, 
é possível observar que a soma das áreas destas tubulações é equivalente à tubulação de 250 mm, ou 
seja, se o escoamento ocorrer com a mesma velocidade em ambos os casos, a vazão seria a mesma.
156
UNICESUMAR
Em sistemas hidráulicos, como o sistema de abastecimento de água potável, é comum que diferentes 
materiais sejam empregues nas tubulações, o que implica distintos coeficientes de rugosidade e de atrito. 
Relembrando que peças, como registros, válvulas, curvas, joelhos entre outros podem ser convertidos 
em tubulações lineares pela técnica de determinação da perda de carga por comprimento equivalente. 
Também é muito comum que diferentes diâmetros sejam utilizados, modificando-se, ao logo da rede, de 
acordo com a necessidade de projeto. Isso gera sistemas muito complexos que, muitas vezes, precisam 
ser simplificados para que uma análise holística possa ser realizada. Neste sentido, a substituição de 
tubulações ou, até mesmo, de sistemas inteiros por condutos equivalentes é fundamental.
Neste contexto, surge a definição de condutos equivalentes, sendo descrita por Azevedo Neto (2015, 
p. 313) da seguinte maneira: “um sistema de tubulações é equivalente a outros sistemas ou a uma tu-
bulação simples quando ele é capaz de conduzir a mesma vazão com a mesma perda de carga total”. 
Tem-se, desta forma, as seguintes condições:
Condição 1: mesma vazão, ou seja, mesma quantidade de matéria transportada.
Q Q1 2=
Condição 2: mesma perda de carga, ou seja, mesma quantidade de energia dissipada no escoamento.
h hf f1 2=
Onde:
Q = Vazão
hf = Perda de carga
Obedecendo a estas duas condições, tem-se que as 
tubulações são equivalentes. Este conceito aplica-
-se a tubulações simples, aquelas formadas por um 
único tubo, tubulações em série, aquelas que um 
tubo se conecta a jusante do outro e tubulações em 
paralelo, aquelas em que os tubos se apresentam 
lado a lado, recebendo denominação homóloga 
à dada aos circuitos elétricos. 
157
UNIDADE 6
Figura 1 - Circuito Elétrico
Você sabia que é possível associar as propriedades de circuitos elétricos a sistemas hidráulicos? 
A vazão está para a corrente elétrica, medida em ampères, enquanto a pressão está para a 
tensão, medida em volts. Desta forma, em circuitos em série, a vazão (corrente) chega em 
todos os elementos com a mesma intensidade, enquanto a tensão (pressão) é dividida entre 
os elementos. Já no caso de circuitos em paralelo, a vazão (corrente) é dividida entre todos 
os elementos, enquanto a tensão (pressão) chega com a mesma intensidade em todos os 
elementos do sistema. Pode-se imaginar a eletricidade como um fluido de baixíssima viscosi-
dade, enquanto os fios representam as tubulações, por isso, para transportar altas correntes, 
são necessários fios de maior diâmetro, quando a eletricidade é convertida para alta tensão, 
o fio que a transporta pode ser mais fino. Só não é possível fazer a mesma coisa com a água, 
ou seja, reduzir o diâmetro da tubulação, e aumentar a pressão para que escoe a mesma 
quantidade, devido aos efeitos da viscosidade.
Circuito
simples
Circuito
em série
Circuito
paralelo
Descrição da Imagem: a figura apresenta três esquemas elétricos formados por lâmpadas e baterias ligadas por fios; no primeiro 
esquema, apenas uma lâmpada está ligada pelos fios à bateria, representando, assim, um sistema simples. No segundo esquema, 
duas lâmpadas são ligadas à bateria, de modo que o fio passa por uma das lâmpadas para chegar na outra, representando, assim, 
um sistema em série. No terceiro esquema, as duas lâmpadas são ligadas à bateria, de modo que o fio se divide antes de chegar às 
lâmpadas, representando, assim, um sistema em paralelo. A partir desta analogia, entende-se a vazão homóloga à corrente elétrica 
e a pressão hidráulica homóloga à tensão elétrica. Desta forma, pode-se entender que, para transportar a mesma vazão em um tubo 
mais fino, é necessário aumentar a pressão no interior do tubo, assimcomo nas redes elétricas de alta tensão, contudo, diferente da 
eletricidade, a água apresenta viscosidade, o que dificulta o transporte em altas pressões, devido às perdas de carga.
158
UNICESUMAR
As condições 1 e 2 aplicam-se a sistemas simples, em série e em paralelo, por isso, faz-se necessário 
que, além da vazão, a perda de carga também seja equivalente, por isso, é preciso aplicação de uma 
das equações de perda de carga estudadas durante as unidades anteriores. Inicialmente, resolveremos 
os casos de condutos equivalentes utilizando-nos da equação de Hazen-Williams e, em seguida, os 
mesmos casos serão analisados, empregando-se equação de Darcy-Weisbach.
Iniciaremos por uma situação na qual as tubulações são simples e se apresentam de três formas. 
Na primeira situação, no caso 1, tem-se diâmetros iguais, rugosidades e comprimentos diferentes, 
um exemplo seria uma tubulação de 50 mm de PVC, conectada a uma tubulação de 50 mm de ferro 
fundido. Neste caso, apesar de mesmo diâmetro, a rugosidade é diferente, devido à diferença material. 
No caso 2, têm-se rugosidades iguais, diâmetros e comprimentos diferentes, neste caso, um exemplo, 
é uma tubulação de 50 mm de PVC que se liga a uma tubulação de 75 mm, também de PVC. Desta 
forma, tem-se mesmo material e, consequentemente, mesma rugosidade, mas os diâmetros variam. 
No caso 3, têm-se rugosidades, diâmetros e comprimentos diferentes, por exemplo, uma tubulação de 
PVC de 50 mm com trechos de ferro fundido de 75 mm.
Vamos ao caso em que a tubulação é simples, os diâmetros são iguais, tendo rugosidades e compri-
mentos diferentes, parte-se da condição 2:
h hf f1 2=
Substituindo pela equação de Hazen-Williams, pode-se obter:
10 65 10 651
1 85
1
1 85
1
4 87 1
2
1 85
2
1 85
2
4 87 2, ,
,
, ,
,
, ,�
�
� � �
�
�
Q
C D
L Q
C D
L
Note que as vazões permanecem constantes ao longo do trecho, obedecendo a condição 1, isso tam-
bém ocorre com o diâmetro, de acordo com a premissa estabelecida pelo caso 1 de tubulações simples, 
portanto, permanece constante. Têm-se, também, presente na equação, o valor constante de 10,65 
que, como todas estas constantes citadas, atua em ambos os lados da igualdade, podendo, então, ser 
simplificadas. Desta forma, obtém-se:
L
C
L
C
1
1
1 85
2
2
1 85, ,=
Reorganizando a equação, é possível obter a seguinte expressão:
L
L
C
C
1
2
1
2
1 85
�
�
�
�
�
�
�
,
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações simples, com diâmetros 
iguais, mas com coeficiente de rugosidade diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L L C
C2 1
2
1
1 85
� �
�
�
�
�
�
�
,
159
UNIDADE 6
Ou para a determinação do coeficiente de rugosidade equivalente:
C L
L
C2
2
1
1 85 1� �,
Onde:
hf = Perda de carga (m)
Q = vazão (m3/s)
D = Diâmetro (m)
L = Comprimento (m)
C = Coeficiente de rugosidade (m0,367/s)
No caso de tubulação simples, com rugosidades iguais, mas com diâmetros e comprimentos diferentes, 
seguindo o mesmo processo e aplicando a condição 2, tem-se:
h hf f1 2=
Substituindo pela equação de Hazen-Williams, pode-se obter:
10 65 10 651
1 85
1
1 85
1
4 87 1
2
1 85
2
1 85
2
4 87 2, ,
,
, ,
,
, ,�
�
� � �
�
�
Q
C D
L Q
C D
L
Note que, agora, as vazões ainda permanecem constantes ao longo do trecho, obedecendo a condição 
1, porém, agora, a rugosidade é igual em ambos os trechos, de acordo com a premissa estabelecida pelo 
caso 2 e, portanto, permanece constante. Tem-se, também, presente na equação, o valor constante de 
10,65, que, como todas as constantes citadas, atua em ambos os lados da igualdade, e a simplificação 
destes termos resulta em:
L
D
L
D
1
1
4 87
2
2
4 87, ,=
Reorganizando, tem-se:
L
L
D
D
1
2
1
2
4 87
�
�
�
�
�
�
�
,
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações simples, com rugosidades 
iguais, mas com diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L D
D
L2
2
1
1
4 87
�
�
�
�
�
�
� �
,
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
D2
2
1
4 87 1� �,
Onde:
hf = Perda de carga (m)
Q = vazão (m3/s)
D = Diâmetro (m)
L = Comprimento (m)
C = Coeficiente de rugosidade (m0,367/s)
160
UNICESUMAR
Existe, também, o caso no qual, em uma tubulação simples, as rugosidades, os diâmetros e os compri-
mentos são todos diferentes. Nestes, aplicando a condição 2, tem-se:
h hf f1 2=
Substituindo pela equação de Hazen-Williams, pode-se obter:
10 65 10 651
1 85
1
1 85
1
4 87 1
2
1 85
2
1 85
2
4 87 2, ,
,
, ,
,
, ,�
�
� � �
�
�
Q
C D
L Q
C D
L
Note que, desta vez, as vazões permanecem constantes ao longo do trecho, obedecendo a condição 1, 
mas a única outra constante da equação é o valor de 10,65, o que permite a simplificação para:
L
C D
L
C D
1
1
1 85
1
4 87
2
2
1 85
2
4 87, , , ,�
�
�
Reorganizando, tem-se:
L
L
D
D
C
C
1
2
1
2
4 87
1
2
1 85
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
, ,
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações simples, com rugosidades, 
comprimentos e diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L L C
C
D
D2 1
2
1
1 85
2
1
4 87
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
, ,
Para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
C
C
D2
2
1
1
1 85
2
1 85
4 87 1� � �
,
,
,
Ou, ainda, para a determinação do coeficiente de rugosidade equivalente
C L
L
D
D
C2
2
1
1
4 87
2
4 87
1 85 1� � �
,
,
,
Onde:
hf = Perda de carga (m)
Q = vazão (m3/s)
D = Diâmetro (m)
L = Comprimento (m)
C = Coeficiente de rugosidade (m0,367/s)
Passando, agora, para os casos nos quais existem tubulações em série, a aplicação da condição 1 permite 
considerar a vazão constante entre os trechos. Obtemos, assim: 
Q Q Q QT n� � � ��� �1 2
Onde:
QT= Vazão Total
Qn= Vazão de cada trecho
161
UNIDADE 6
Ou seja, a vazão é mesma em cada trecho, mantendo-se constante ao longo do escoamento. Nesta 
situação, também se aplica a condição 2, que resulta em:
h h h hf T f f fn� � � ����1 2
Onde:
hft = Perda de carga total
hfn= Perda de carga de cada trecho
Ou seja, a perda de carga total deve ser igual ao somatório das perdas de carga de todos os segmentos. 
Desta forma, aplicando-se a equação de Hazen-Williams, é possível obter:
10 65 10 65
1 85
1 85 4 87
1
1 85
1
1 85
1
4 87 1, ,
,
, ,
,
, ,�
�
� � �
�
� �
Q
C D
L Q
C D
LE
E E
E 110 65 10 652
1 85
2
1 85
2
4 87 2
1 85
1 85 4 8, ,
,
, ,
,
, ,�
�
� � ��� � �
�
Q
C D
L Q
C D
n
n n
77 �Ln
Considerando a simplificação dos termos constantes presentes em ambos os lados da igualdade, in-
clusive o coeficiente de rugosidade, tem-se:
L
D
L
D
L
D
L
D
E
E
n
n
4 87
1
1
4 87
2
2
4 87 4 87, , , ,� � � ����
A qual também pode ser escrita como:
L
D
L
D
E
E
i
i
4 87 4 87, ,��
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações em série, com rugosidades 
iguais em todos os trechos, mas com diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L L
D
DE
i
i
E�
�
�
��
�
�
�� �� 4 87
4 87
,
,
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
D
E
E
i
i
�
� 4 87
4 87
,
,
Onde:
LE= Comprimento Equivalente
DE= Diâmetro Equivalente
Ln= Comprimento de cada trecho
Dn= Diâmetro de cada trecho
Ou seja, esta equação é utilizada para calcular o comprimento equivalente de uma tubulação em série, 
na qual a vazão deve ser a mesma em cada trecho, e a perda de carga total corresponde à soma das 
perdas de carga de cada trecho. No entanto só contempla a variação de diâmetros e comprimentos, 
não de rugosidade. Na situação em que a rugosidade também variar, tem-se:
L
C D
L
C D
L
C D
L
C
E
E E
n
n
1 85 4 87
1
1
1 85
1
4 87
2
2
1 85
2
4 87 1, , , , , , ,�
�
�
�
�
� ��� � 885 4 87�Dn
,
162
UNICESUMAR
A qual também pode ser escrita como:
L
C D
L
C D
E
E E
i
i i
1 85 4 87 1 85 4 87, , , ,�
�
�
�
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações em série, com rugosidades 
e diâmetros diferentes em cada trecho, pode-se utilizar a seguinte relação:L L
D C
D CE
i
i i
E E�
�
�
�
��
�
�
�� � �� 4 87 1 85
4 87 1 85
, ,
, ,
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
D C
C
E
E
i
i i
E
�
�
�� 4 87 1 85
1 854 87
, ,
,,
Ou, ainda, para a determinação da rugosidade equivalente
C L
L
D C
D
E
E
i
i i
E
�
�
�� 4 87 1 85
4 871 85
, ,
,,
Onde:
LE= Comprimento Equivalente (m)
DE= Diâmetro Equivalente (m)
CE = Coeficiente de rugosidade equivalente (m0,367/s)
Ln= Comprimento de cada trecho (m)
Di= Diâmetro de cada trecho (m)
Ci = Coeficiente de rugosidade de cada trecho (m0,367/s)
Já para o caso de o sistema hidráulico apresentar tubulações em paralelo, considera-se a vazão equi-
valente igual ao somatório da vazão dos trechos, portanto, tem-se:
Q Q Q QE n� � � ����1 2
A qual também pode ser escrita como:
Q QE i��
Onde:
QE= Vazão Equivalente (m3/s)
Qi= Vazão de cada trecho (m3/s)
Ou seja, a vazão equivalente corresponde ao somatório da vazão de cada trecho, obedecendo a condição 
1, já para a aplicação da condição 2 para tubulação em paralelo tem-se:
h h h hf E f f fn� � � ��� �1 2
Onde:
hfE = Perda de carga total (m)
hfn= Perda de carga de cada trecho (m)
163
UNIDADE 6
Ou seja, a perda de carga total, deve ser igual a cada uma das perdas de carga de cada segmento. Neste 
ponto, para que se aplique a equação de Hazen-Williams, é necessário deixar o termo vazão em evi-
dência, o que resulta em:
Q
h C D
L
f�
� �
�
1
1 85
1
4 87
1 85
10 65
, ,
,
,
Logo, o somatório das vazões é dado por:
h C D
L
h C D
L
fE E E
E
f� �
�
�
� �
�
1 85 4 87
1 85 1 1
1 85
1
4 87
1
1 8
10 65 10 65
, ,
,
, ,
,
, ,
55 2 2
1 85
2
4 87
2
1 85
1 85 4 87
10 65 10 6
�
� �
�
� ��� �
� �h C D
L
h C Df fn n n
, ,
,
, ,
, , 55
1 85
�Ln
,
Simplificando os temos constantes e presentes em ambos os lados da equação, obtém-se:
C D
L
C D
L
C D
L
E E
E
1 85 4 87
1 85 1
1 85
1
4 87
1
1 85 2
1 85
2
4 87
2
1 8
, ,
,
, ,
,
, ,
,�
�
�
�
�55
1 85 4 87
1 85� ����
�C D
L
n n
n
, ,
,
A qual também pode ser escrita como:
C D
L
C D
L
E E
E
i i
i
1 85 4 87
1 85
1 85 4 87
1 85
, ,
,
, ,
,�
�
��
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações em paralelo, com rugo-
sidades e diâmetros diferentes em cada trecho, pode-se utilizar a seguinte relação:
L C D
C D
L
E
E E
i i
i
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
1 85 4 87
1 85 4 87
1 85
1 85
, ,
, ,
,
,
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D
L C D
L
CE
E
i i
i
E
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
1 85 4 87
1 85
1 85
1 85
4 87
, ,
,
,
,
,
Ou, ainda, para a determinação da rugosidade equivalente
C
L C D
L
DE
E
i i
i
E
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
1 85 4 87
1 85
1 85
4 87
1 85
, ,
,
,
,
,
Onde:
LE= Comprimento Equivalente (m)
DE= Diâmetro Equivalente (m)
CE = Coeficiente de rugosidade equivalente (m0,367/s)
Li= Comprimento de cada trecho (m)
Di= Diâmetro de cada trecho (m)
Ci = Coeficiente de rugosidade de cada trecho (m0,367/s)
164
UNICESUMAR
Caso as tubulações paralelas tenham o mesmo coeficiente de rugosidade, isto é, sejam do mesmo 
material, pode-se simplificar para:
D
L
D
L
D
L
D
L
E
E
n
n
4 87
1 85 1
4 87
1
1 85 2
4 87
2
1 85
4 87
1 85
1
,
,
,
,
,
,
,
,� � � ����
A qual também pode ser escrita como:
D
L
D
L
E
E
i
i
4 87
1 85
4 87
1 85
,
,
,
,��
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações em paralelo, com rugo-
sidades iguais em todos os trechos, mas com diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L D
D
L
E
E
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
��
4 87
4 87
1 85
1 85
,
,
,
,
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D D
L
LE
i
i
E�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
4 87
1 85
1 85
4 87
,
,
,
,
Onde:
LE= Comprimento Equivalente (m)
DE= Diâmetro Equivalente (m)
Li= Comprimento de cada trecho (m)
Di= Diâmetro de cada trecho (m)
Separei este vídeo que pode ajudar no seu entendimento deste con-
teúdo, no qual é possível encontrar uma explicação dos casos citados 
no texto, além da resolução de exercícios para a fixação do conteúdo. 
Vale muito a pena!
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Para a resolução dos problemas de equivalência a partir da equação de Darcy-Weisbach, apresentada 
como:
h f L
D
V
gf � � �
�
2
2
Para a simplificação dos cálculos, faz-se necessário deixar a equação em função da vazão, para tanto 
se insere o conceito de que a velocidade é a razão entre a vazão e a área, obtém-se assim:
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6392
165
UNIDADE 6
h f L
D
Q
g Af � � �
� �
2
22
É pertinente também simplificar o termo área em função do diâmetro da tubulação já que este, em 
alguns dos casos, é variável, logo:
h f L
D
Q
g D
f � � �
� �
��
�
��
�
�
��
2
2 2
2
4
p
Resolvendo, algebricamente, obtém-se:
h f L
D
Q
g Df � � �
�
� � �
16
2
2
2 4p
Finalmente, agrupando os termos semelhantes e as constantes, obtém-se:
h
g
f Q L
Df �
�
� � �
8
2
2
5p
Vamos ao caso no qual a tubulação é simples, os diâmetros são iguais, tendo coeficiente de atrito e 
comprimentos diferentes, assim, parte-se da condição 2:
h hf f1 2=
Substituindo pela equação de Darcy-Weisbach, pode-se obter:
8 8
2 1 1
2 1
1
5 2 2 2
2 2
2
5g
f Q L
D g
f Q L
D�
� � � �
�
� � �
p p
Note que as vazões permanecem constantes ao longo do trecho, obedecendo a condição 1, isso ocorre 
com o diâmetro, de acordo com a premissa estabelecida pelo caso 1 de tubulações simples, portanto, 
permanece constante. Têm-se, também, presentes na equação, os valores constantes que, como todas 
estas constantes citadas, atuam em ambos os lados da igualdade, podendo ser simplificadas. Desta 
forma, obtém-se:
f L f L1 1 2 2� � �
Reorganizando a equação, é possível obter a seguinte expressão:
L
L
f
f
1
2
2
1
=
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações simples, com coeficiente 
de atrito diferentes, mas com diâmetros iguais, pode-se utilizar a seguinte relação:
L f
f
L2
1
2
1� �
166
UNICESUMAR
Ou para a determinação do coeficiente atrito equivalente
f L
L
f2
1
2
1� �
Onde:
hf = Perda de carga (m)
f = Coeficiente de atrito
L = Comprimento da tubulação (m)
D = Diâmetro da tubulação (m)
V = Velocidade do escoamento (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
No caso de tubulação simples, com coeficiente de atrito iguais, mas com diâmetros e comprimentos 
diferentes, seguindo o mesmo processo e aplicando a condição 2, tem-se:
h hf f1 2=
Substituindo pela equação de Darcy-Weisbach, pode-se obter:
8 8
2 1 1
2 1
1
5 2 2 2
2 2
2
5g
f Q L
D g
f Q L
D�
� � � �
�
� � �
p p
Note que, agora, as vazões ainda permanecem constantes ao longo do trecho, obedecendo a condi-
ção 1, porém, agora, o coeficiente de atrito é igual em ambos os trechos, de acordo com a premissa 
estabelecida pelo caso 2, portanto, permanece constante. Têm-se, também, presentes na equação, os 
valores constantes, que, como todas as constantes citadas, atuam em ambos os lados da igualdade, e a 
simplificação destes termos resulta em:
L
D
L
D
1
1
5
2
2
5=
Reorganizando, tem-se:
L
L
D
D
1
2
1
2
5
�
�
�
�
�
�
�
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações simples, com coeficientes 
de atrito iguais, mas com diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L D
D
L2
2
1
5
1�
�
�
�
�
�
� �
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
D2
2
1
5 1� �
Onde:
hf = Perda de carga (m)
Q = vazão (m3/s)
f = Coeficiente de atrito
L = Comprimento da tubulação (m)
D = Diâmetro da tubulação (m)
167
UNIDADE 6
Existe, também, o caso no qual, em uma tubulação simples, os coeficientes de atrito, os diâmetros e os 
comprimentos são todos diferentes em cada trecho. Nestes, aplicando a condição 2, tem-se:
h hf f1 2=
Substituindo pela equação de Darcy-Weisbach, pode-se obter:
8 8
2 1 1
2 1
1
5 2 2 2
2 2
2
5g
f Q L
D g
f Q L
D�
� � � �
�
� � �
p p
Note que, desta vez, as vazões permanecem constantes ao longo do trecho, obedecendo a condição 1. 
Considerandoas demais constantes da equação, pode-se simplificar a expressão para:
f L
D
f L
D1
1
1
5 2
2
2
5� � �
Reorganizando, tem-se:
L
L
D
D
f
f
1
2
1
2
5
2
1
�
�
�
�
�
�
� �
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações simples, com coeficientes 
de atrito, comprimentos e diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L D
D
f
f
L2
2
1
5
1
2
1�
�
�
�
�
�
� � �
Para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
f
f
D2
2
1
1
2
5 1� � �
Ou, ainda, para a determinação do coeficiente de atrito equivalente
f D
D
L
L
f2
2
1
5
1
2
1�
�
�
�
�
�
� � �
Onde:
hf = Perda de carga (m)
Q = vazão (m3/s)
D = Diâmetro (m)
L = Comprimento (m)
f = Coeficiente de atrito
168
UNICESUMAR
Passando, agora, para os casos nos quais existem tubulações em série, a aplicação da condição 1 permite 
considerar a vazão constante entre os trechos. Obtemos, assim: 
Q Q Q QT n� � � ��� �1 2
Onde:
QT= Vazão Total
Qn= Vazão de cada trecho
Ou seja, a vazão é mesma em cada trecho, mantendo-se constante ao longo do escoamento. Nesta 
situação, também se aplica a condição 2, que resulta em:
h h h hf T f f fn� � � ����1 2
Onde:
hft = Perda de carga total
hfn= Perda de carga de cada trecho
Ou seja, a perda de carga total deve ser igual ao somatório das perdas de carga de todos os segmentos. 
Desta forma, aplicando-se a equação de Darcy-Weisbach, é possível obter:
8 8 8
2
2
5 2 1 1
2 1
1
5 2 2 2
2 2
2
5g
f Q L
D g
f Q L
D g
f Q L
DE E
E
E�
� � � �
�
� � � �
�
� � � � �
p p p
�� � �
�
� � �
8
2
2
5g
f Q L
Dn n
n
np
Considerando a simplificação dos termos constantes presentes em ambos os lados da igualdade, in-
cluindo o coeficiente de atrito, tem-se:
L
D
L
D
L
D
L
D
E
E
n
n
5
1
1
5
2
2
5 5� � � ����
A qual também pode ser escrita como:
L
D
L
D
E
E
i
i
5 5��
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações em série, com coeficiente 
de atrito iguais em todos os trechos, mas com diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte relação:
L L
D
DE
i
i
E�
�
�
��
�
�
�� �� 5
5
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L
L
D
E
E
i
i
�
� 5
5
Onde:
LE= Comprimento Equivalente
DE= Diâmetro Equivalente
Ln= Comprimento de cada trecho
Dn= Diâmetro de cada trecho
169
UNIDADE 6
Ou seja, esta equação é utilizada para calcular o comprimento equivalente de uma tubulação em série, 
na qual a vazão deve ser a mesma em cada trecho, e a perda de carga total corresponde à soma das 
perdas de carga de cada trecho. No entanto só contempla a variação de diâmetros e comprimentos, 
não do coeficiente de atrito. Na situação na qual o coeficiente de atrito também variar, tem-se:
f L
D
f L
D
f L
D
f L
DE
E
E
n
n
n
� � � � � � ��� � �5 1
1
1
5 2
2
2
5 5
A qual também pode ser escrita como:
f L
D
f L
DE
E
E
i
i
i
� � ��5 5
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, em tubulações em série, com coeficientes 
de atrito e diâmetros diferentes em cada trecho, pode-se utilizar a seguinte relação:
L f L
D
D
fE i
i
i
E
E
� �
�
�
��
�
�
�� �� 5
5
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L f
f L
D
E
E E
i
i
i
�
�
�
�
�
��
�
�
��� 5
5
Ou, ainda, para a determinação do coeficiente de atrito equivalente
f f L
D
D
LE i
i
i
E
E
� �
�
�
��
�
�
�� �� 5
5
Onde:
LE= Comprimento Equivalente
DE= Diâmetro Equivalente
fE = Coeficiente de atrito Equivalente
Ln= Comprimento de cada trecho
Di= Diâmetro de cada trecho
fi = Coeficiente de atrito de cada trecho
Já para o caso de o sistema hidráulico apresentar tubulações em paralelo, considera-se a vazão equi-
valente igual ao somatório da vazão dos trechos, portanto, tem-se:
Q Q Q QT n� � � ����1 2
A qual também pode ser escrita como:
Q QE i��
Onde:
QE= Vazão Equivalente
Qi= Vazão de cada trecho
170
UNICESUMAR
Ou seja, a vazão equivalente corresponde ao somatório da vazão de cada trecho, obedecendo a condição 
1, já se aplicando a condição 2 para tubulação em paralelo, tem-se:
h h h hf T f f fn� � � ��� �1 2
Onde:
hft = Perda de carga total
hfn= Perda de carga de cada trecho
Ou seja, a perda de carga total deve ser igual a cada uma das perdas de carga de cada segmento. Neste 
ponto, para que se aplique a equação de Darcy-Weisbach, é necessário deixar o termo vazão em evi-
dência, o que resulta em:
h g D
f L
Qf � � �
� �
�
p2 5
8
Logo, o somatório das vazões é dado por:
h g D
f L
h g D
f L
h g D
f L
fE E
E E
f f� � �
� �
�
� � �
� �
�
� � �
� �
p p p2 5
1
2
1
5
1 1
2
2
2
5
28 8 8 22
2 5
8
� ����
� � �
� �
h g D
f L
fn n
n n
p
Simplificando os temos constantes e presentes em ambos os lados da equação, obtém-se:
D
f L
D
f L
D
f L
D
f L
E
E E
n
n n
5
1
5
1 1
2
5
2 2
5
�
�
�
�
�
� ��� �
�
A qual também pode ser escrita como:
D
f L
D
f L
E
E E
i
i i
5 5
�
�
��
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, nas tubulações em paralelo, com coefi-
ciente de atrito e diâmetros diferentes em cada trecho, pode-se utilizar a seguinte relação:
L D
f D
f L
E
E
E
i
i i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
5
5
2
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D L f D
f LE E E
i
i i
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
5
2
5
171
UNIDADE 6
Ou, ainda, para a determinação do coeficiente de atrito equivalente
f D
L D
f L
E
E
E
i
i i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
5
5
2
Onde:
LE= Comprimento Equivalente
DE= Diâmetro Equivalente
fE = Coeficiente de atrito equivalente
Ln= Comprimento de cada trecho
Di= Diâmetro de cada trecho
fi = Coeficiente de atrito de cada trecho
Caso as tubulações paralelas tenham o mesmo coeficiente de atrito, isto é, sejam do mesmo material, 
pode-se simplificar para:
D
f L
D
f L
D
f L
D
f L
E
E E
n
n n
5
1
5
1 1
2
5
2 2
5
�
�
�
�
�
� ��� �
�
A qual também pode ser escrita como:
D
L
D
L
E
E
i
i
5 5
��
Portando, para a determinação do comprimento equivalente, nas tubulações em paralelo, com coefi-
cientes de atrito iguais em todos os trechos, mas com diâmetros diferentes, pode-se utilizar a seguinte 
relação:
L D
D
L
E
E
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
��
5
5
2
Ou para a determinação do diâmetro equivalente:
D D
L
LE
i
i
E�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
5
2
5
Onde:
LE= Comprimento Equivalente
DE= Diâmetro Equivalente
Ln= Comprimento de cada trecho
Di= Diâmetro de cada trecho
172
UNICESUMAR
As técnicas de determinação de condutos equivalentes são muito úteis para evitar gastos excessivos 
com a utilização de diâmetros demasiadamente grandes, pois o preço entre os diâmetros comerciais 
pode variar de maneira abrupta. Por exemplo, uma barra de PVC com 6 metros de comprimento, de 
mesmas linha e marca e mesmo modelo, dobra de valor quando se compara à tubulação de 300 mm 
com a de 400 mm, sendo que estes são diâmetros comerciais e subsequentes. Por isso, em casos onde 
o diâmetro ideal é intermediário, como 350mm por exemplo, aceitar a solução de trivial de adotar a 
tubulação comercial, imediatamente superior, pode não ser a correta, no entanto tomar a decisão pela 
menor tubulação pode levar o engenheiro a projetar um sistema ineficiente. Em muitos casos, a solução 
passa pela utilização de tubulações de menores diâmetros, estas associadas em série ou em paralelo, de 
modo a atender à vazão desejada, apresentando a perda de carga predita no projeto. A correta solução 
passa pela utilização da seguinte equação, apresentada neste ciclo de aprendizagem:
D
L
D
L
E
E
i
i
5 5
��
Aplicando o caso genérico para uma proposta com duas tubulações paralelas, tem-se
D
L
D
L
D
L
E
E i i
5
1
5
2
5
� �
Como os comprimentos são iguais, pode-se simplificar a equação para:
D D DE
5
1
5
2
5� �
Testando com diferentes diâmetros para 1 e 2, determina-se que as tubulações de 250 mm (D1) para-
lela a uma tubulação de 300mm (D2) conduzem a vazão adequada, sem ultrapassar o limite da perda 
de carga. Além disso, esta solução exige apenas cerca de 75% do valor que seria gasto caso a opçãode 
uma tubulação de 400 mm fosse adotada.
Em nosso Podcast, discutiremos as principais falhas de projeto 
quanto aos sistemas hidráulicos e suas relações com os demais sis-
temas domésticos e urbanos, e como as ferramentas BIM podem ser 
valorosas auxiliares na identificação de falhas e inconsistências de 
projeto. Não perca!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6393
173
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Durante este ciclo de aprendizagem, foram analisadas as técnicas de determinação 
de condutos equivalentes, sendo duas condições as bases para este conceito. Este 
se aplica a três tipos de sistemas, tendo três variáveis comuns, podendo estas serem 
iguais ou diferentes nos trechos do sistema. Preencha as lacunas sobre condutos 
equivalentes.
Condutores equivalentes
Hazen-Williams
Vazão
Tipo de sistema
ParaleloSimples
Variáveis
Rugosidade ou Atrito
Descrição da Imagem: Mapa mental está organizado de forma vertical, tendo, no topo, um balão com os 
temos “condutos equivalentes”; deste balão principal ramificam-se dois balões, um com a palavra “vazão”, 
e outro a ser preenchido, deste derivam-se outros dois balões, e, em um deles, apresentam-se as palavras 
“Hazen-Williams”, e o outro deve ser preenchido. Os balões da vazão e o respectivo par que você já preencheu, 
ligam-se a um balão com os temos “tipos de sistemas” do qual se derivam três balões; em um deles está a 
palavra “simples”, no outro, “paralelo”, e, no outro, um espaço a ser preenchido. Estes três balões juntam-se 
em um balão contendo a palavra “variáveis”, do qual se derivam três balões, tendo em um deles os termos 
“rugosidade ou atrito”, e os outros dois devem ser preenchidos.
174
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. A respeito das equivalências em sistemas simples, responda:
a) Qual o comprimento equivalente de aço rebitado (C = 85 m0,367/s) de uma tubulação simples, 
com 3 metros de comprimento, feita de PVC cujo coeficiente de rugosidade é de 150 m0,367/s?
b) Qual o diâmetro equivalente em PVC de uma tubulação simples, com 5 metros de comprimento 
e 32 mm de diâmetro, caso o comprimento seja reduzido pela metade?
c) Determine qual o coeficiente de rugosidade para uma tubulação simples de 50 mm de diâmetro 
e 1 metro de comprimento e que seja equivalente a uma tubulação de concreto (C= 125 m0,367/s) 
de 100 mm de diâmetro e 10 metros de comprimento.
d) Determine qual o coeficiente de atrito para uma tubulação simples de 25 mm de diâmetro e 3 
metros de comprimento que seja equivalente a uma tubulação de concreto cujo coeficiente de 
atrito (f) foi estimado em 0,008 com diâmetro de 32 mm e 5 metros de comprimento.
2. Uma tubulação em série apresenta três segmentos: o primeiro é de ferro (C = 90 m0,367/s), 25 
cm de diâmetro e 3 metros de comprimento; o segundo é de concreto (C=120 m0,367/s), 200 mm 
de diâmetro e 5 metros de comprimento; o terceiro consiste em uma tubulação de PVC (C=150 
m0,367/s) com 4 metros de comprimento e 0,15 m de diâmetro. Determine o diâmetro equivalente 
para uma tubulação em PVC (C=150 m0,367/s) com 12 metros de comprimento. 
3. Duas tubulações de PVC, uma com 150 mm e outra com 200 mm, foram instaladas em paralelo 
em um projeto de abastecimento com 100 metros de comprimento. Calcule o diâmetro equiva-
lente caso esta mesma instalação fosse realizada com apenas uma tubulação.
a) Utilizando Hazen-Williams
b) Utilizando Darcy-Weisbach
175
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. a. Partindo da equação
L L C
C2 1
2
1
1 85
� �
�
�
�
�
�
�
,
Substituindo as variáveis:
L m m s
m s2
1 850 367
0 3673 85
150
� �
�
�
��
�
�
��
 
 
,
,
,
/
/
Obtém-se:
L m2 1 0490= ,
b. Partindo da equação
D L
L
D2
2
1
4 87 1� �,
Substituindo as variáveis:
D m
m
m2 4 87 5
2 5
0 032� �
,
,,
Obtém-se:
D m2 0 03689= ,
c. Partindo da equação
C L
L
D
D
C2
2
1
1
4 87
2
4 87
1 85 1� � �
,
,
,
Substituindo as variáveis:
C m
m
m
m
m s2
3 4 87
3 4 87
1 85 0 3671
10
100 10
50 10
125� �
�
�
�
�
�
( )
( )
/
,
,
, ,
Obtém-se:
C m s2
0 367223 25983= , /
,
176
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
d. Partindo da equação
f D
D
L
L
f2
2
1
5
1
2
1�
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�
�
�
�
� � �
Substituindo as variáveis:
f m
m2
3
3
5
25 10
32 10
5
3
0 008�
�
�
�
�
��
�
�
�� � �
�
� ,
Obtém-se:
f2
33 8805 10� � �,
2. Partindo da equação
D L
L
D C
C
E
E
i
i i
E
�
�
�� 4 87 1 85
1 854 87
, ,
,,
Substituindo as variáveis:
D m
m
m m s
m
m m
E �
�
�
� � �
12
3
0 25 90
5
0 2 1204 87 0 367 1 85 4 87 0 3( , ) ( / ) , (
, , , , , 667 1 85 4 87 0 367 1 85
04
0 15 150
150
/ ) , ( / )
(
, , , ,
,
s
m
m m s
m�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� 3367 1 854 87
/ )
,, s
Obtém-se:
D mE = 0 17011,
177
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
3. a. Partindo da equação
D D
L
LE
i
i
E�
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�
�
�
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��
4 87
1 85
1 85
4 87
,
,
,
,
Substituindo os valores
D m
m
m
mE � �
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�
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( , ) ( , )
,
,
,
,
,
0 15
100
0 20
100
100
4 87
1 85
4 87
1 85
1 85
mm4 87,
Obtém-se:
D mE = 0 23146,
b. Partindo da equação
D D
L
LE
i
i
E�
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�
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5
2
5
Substituindo os valores
D m
m
m
m
mE � �
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�
�
( , ) ( , )0 15
100
0 20
100
100
5 5
2
5
Obtém-se: 
 D mE = 0 23441,
178
R
EF
ER
ÊN
C
IA
S
AZEVEDO NETO, J. M. Manual de hidráulica. 9. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2015.
179
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
180
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
7Instalações 
de Recalque
Dr. Fernando Marcos Weronka
Neste ciclo de aprendizagem, você terá a oportunidade de aprender como 
dimensionar sistemas de recalque, ou seja, quando não for possível o trans-
porte do fluido apenas por ação da gravidade, faz-se necessário que uma 
força atue sobre o fluido para que este possa ter energia suficiente para 
o escoamento. Para tanto, são utilizadas máquinas hidráulicas geradoras, 
como as bombas, capazes de conferir energia ao fluido de modo que este 
consiga escoar por uma tubulação, superando as perdas de carga e en-
tregando vazões e pressões de acordo com a demanda de projeto. Para 
isso, são apresentados, nesta unidade, os tipos de bombas, conceitos de 
associação de bombas, esquema hidráulico, dimensionamento da tubula-
ção de recalque, dimensionamento da tubulação de sucção e prevenção 
de cavitação.
182
UNICESUMAR
Como determinar qual a potência de uma bomba hidráulica para atender à demanda de determinado 
projeto? Quais os passos para a realização do dimensionamento de um sistema de recalque?
Para determinar potência de uma bomba, além da demanda de vazão e pressão do projeto, é ne-
cessário conhecer as perdas de carga envolvidas no processo, pois, em muitos casos, estas implicam 
funcionamento adequado do sistema. Por isso, para dimensionar a bomba, primeiramente, faz-se ne-
cessário dimensionar o sistema hidráulico, composto pela tubulação de recalque e de sucção. A perda 
de carga calculada destas tubulações, juntamente com os dados de desnível geométrico, associadas 
ao peso específico do fluido e a vazão desejada, permitem, então, o cálculo da potência demandada 
da bomba. Contudo se faz necessária a verificação de condições de funcionamento, como o excesso 
de pressão em partes do sistema, ou, ainda, baixas pressões que levam ao fenômeno conhecido como 
cavitação. Para tanto, são aplicadas diversas equações, como a fórmula de Bresse, para o cálculo do 
diâmetro econômico da tubulação, assim como Normas Brasileiras Regulamentadoras (NBRs), que 
apresentam procedimentos e valores de referência. 
Para entender como é o processo de conferir força a um fluido para que este escoe no sentido con-
trário ao impelido pela gravidade, você pode observar os diversos produtos apresentados na forma de 
borrifadores, como perfumes, produtos de limpeza e álcool em gel.
Ao apertar com o dedo o mecanismo, o fluido 
contido no interior do frasco é impelido a escoar 
para fora. Mas o que isso tem a ver com bombas 
hidráulicas?
183
UNIDADE 7
Ao aplicar uma força sobre o mecanismo utilizado noproduto, o usuário confere energia 
ao fluido, que, incialmente, encontra-se em repouso, dentro da embalagem, com isso, a 
pressão dentro do frasco aumenta. A diferença de pressão entre o ambiente interno e 
externo do frasco faz com que o fluido escoe para fora. É possível notar que, se diferentes 
fluidos forem colocados no frasco, quanto maior for a viscosidade deste fluido, maior será 
a força necessária para induzir o escoamento. Da mesma forma, se a tubulação, pela qual 
o fluido escoa, for muito comprida ou de diâmetro reduzido, a força necessária para criar 
movimento também aumenta. É possível perceber que, ao aplicar uma força a qual gera um 
deslocamento, obtém-se quantidade de energia, já que energia pode ser tida como o pro-
duto da força e do deslocamento. Já a razão entre a quantidade de energia e o tempo resulta 
em potência, ou seja, uma grande potência é capaz de transferir uma grande quantidade 
de energia em pouco tempo, já com uma menor potência, também, é possível transferir 
mesma quantidade de energia, porém em maior tempo. Por isso, para atender às demandas 
de projeto, a bomba deve ter potência suficiente para transferir energia ao fluido de modo 
que este vença as forças viscosas e de atrito, garantindo vazão e pressão adequadas, sendo 
necessário, para tanto, o conhecimento do esquema hidráulico do recalque. 
DIÁRIO DE BORDO
184
UNICESUMAR
Em muitos casos, não é possível contar apenas com a diferença 
de energia potencial para impelir o escoamento de um fluido, seja 
pela necessidade de superar desníveis adversos, seja para vencer as 
perdas de carga, seja, ainda, para atingir determinadas pressões de 
projeto, para tanto, utilizam-se os sistemas de recalque. Um siste-
ma de recalque é aquele no qual o fluido precisa escoar no sentido 
contrário ao sentido da gravidade, ou aquele no qual é necessário 
conferir maior energia ao fluido para que este escoe com vazão e 
pressão adequados ao projeto (PORTO, 2006). Em ambos os casos, 
é necessário transferir uma quantidade de energia para o fluido, 
para tanto, utiliza-se as máquinas hidráulica, sendo estas divididas 
em dois grupos: hidráulicas motoras e as hidráulicas geradoras. Nas 
máquinas motoras, a energia hidráulica é convertida em energia 
mecânica, e este processo ocorre nas turbinas, como apresentado 
na Figura 1.
TURBINA
RIO
RIO
RIO
Figura 1 - Turbina, exemplo de máquina hidráulica motora
Descrição da Imagem: na figura, apresenta-se o desenho esquemático de uma usina hidroelétrica na qual é possível visualizar a 
turbina, responsável por converter a energia hidráulica da água em energia elétrica, o que a torna uma máquina hidráulica motora.
185
UNIDADE 7
Note que a turbina gera eletricidade a partir da energia hidráulica contida no rio, 
ou seja, ela recebe energia da água, o que a faz ser classificada como uma máquina 
motora, sendo o agente passivo na relação máquina-fluido. Já no caso das máquinas 
hidráulicas geradoras, o processo é exatamente o inverso, a energia de determinada 
fonte é convertida em energia hidráulica, nestes casos, a máquina é o agente ativo 
na relação máquina fluido. Existem diversos exemplos de máquinas geradoras, ou, 
como também são conhecidas, as máquinas geratrizes, e um deles é a hélice de um 
barco, que empurra a água para trás a partir da força de um motor que, por reação, 
empurra o barco para frente. Neste caso, a energia foi transferida do motor para o 
fluido, e, por isso, esta máquina hidráulica é classificada como geradora. 
O foco desta unidade, no entanto, está nas geratrizes que impelem o escoamento 
do fluido com a finalidade de transportá-lo, as conhecidas bombas hidráulicas. Estas 
máquinas são capazes de conferir energia ao fluido de modo este seja conduzido de 
acordo com a demanda de projeto, como pode ser observado na Figura 2.
Descrição da Imagem: na figura, apresenta-se o desenho esquemático de uma bomba hidráulica que succiona a água de um rio e 
a conduz para um reservatório elevado, para que, a partir deste, escoe por gravidade para as plantas. Na figura, nota-se, também, 
que a energia utilizada pela bomba para transportar o fluido é de origem solar uma vez que apresenta-se o desenho de um painel 
fotovoltaico.
Figura 2 - Bomba hidráulica, exemplo de máquina hidráulica geradora
186
UNICESUMAR
Note que a bomba hidráulica é capaz de transportar o fluido de uma região mais baixa para uma mais 
elevada, o que confere energia potencial a ele, ficando claro que, durante o processo, foi necessária a 
transferência de energia para o fluido. No caso da imagem, a fonte de energia é o Sol, que, convertido 
em eletricidade pelas placas fotovoltaicas, aciona a motobomba, que aplica uma força sobre o fluido o 
qual recebe energia e, por isso, escoa na direção desejada, ou seja, para o reservatório.
As máquinas hidráulicas geratrizes são classificadas em três grupos, de acordo com o funcionamento, 
sendo eles: as bombas de deslocamento positivo, bombas cinéticas e outras. Nas bombas de desloca-
mento positivo, os elementos móveis deslocam uma quantidade de fluido que é fixada pelas dimensões 
da bomba, por isso, também são conhecidas como volumétricas. Nas bombas cinéticas, as peças móveis 
(rotores ou hélices) induzem o aumento da velocidade do fluido, o que reduz a pressão na câmara de 
sucção. Desta forma, a atmosfera exerce força sobre o fluido, devido à diferença de pressão, gerando, 
assim, o movimento do fluido. As bombas classificadas como outras se utilizam de propriedades, como 
as diferenças de densidade e o consequente empuxo, o golpe de aríete, ou parafusos (Helicoides).
N.A.
Tanque pulmão
Impulsionando
Entre as geratrizes de deslo-
camento positivo, apresentam-
-se as bombas intermitentes, as 
bombas de ar comprimido e as 
rotativas. A bomba de pistão, 
apresentada na Figura 3, é clas-
sificada como deslocamento po-
sitivo intermitente uma vez que 
o fluido bombeado escoa, inter-
mitentemente, a cada ciclo do 
pistão. O funcionamento desta 
máquina é bastante simples, o 
êmbolo do pistão, ao ser puxado, 
aumenta o volume da câmara, o 
que reduz a pressão, desta forma, 
a atmosfera empurra o fluido 
para dentro da câmara por meio 
de uma válvula de sentido único. 
Quando o pistão é empurrado, 
o volume da câmara diminui, 
aumentando a pressão do flui-
do, que escoa, ascendentemen-
te, por meio de outra válvula de 
sentido único.
Figura 3 - Bomba de Pistão / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 259).
Descrição da Imagem: a figura apresenta um desenho esquemático de uma bomba 
de pistão na qual um êmbolo, ao ser puxado , succiona o fluido para dentro de uma 
câmara por meio de uma válvula de sentido único, na parte inferior da câmara, quan-
do o êmbolo é empurrado, esta válvula, naturalmente, se fecha e, simultaneamente, 
a outra se abre na parte superior da câmara, pelo qual o fluido escoa.
187
UNIDADE 7
A principal desvantagem deste 
tipo de bomba é a natureza pe-
riódica oscilatória, que impele 
o fluido, fazendo com que o 
resultado seja um escoamento 
intermitente. Já nas bombas 
de ar comprimido, também 
classificadas como geratrizes 
de deslocamento positivo, um 
compressor empurra o ar para 
dentro de uma câmara, herme-
ticamente fechada, fazendo com 
que a pressão interna se torne 
maior que a externa, o que faz 
com que o fluido escoe para 
fora, como pode ser observado 
na Figura 4.
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta um desenho esquemáti-
co de uma bomba de engrenagens, 
nesta, o fluido é empurrado da 
direita para a esquerda pelo movi-
mento das engrenagens..
Descrição da Imagem: a figura apresenta o desenho esquemático de uma bomba 
de ar comprimindo nesta é possível observar uma câmara contendo o fluido a ser 
transportado, a tubulação de saída encontra-se abaixo do nível do fluido, acima en-
contrasse a tubulação por onde é inserido o ar comprimido, este exerce uma pressão 
sobre a superfície do fluido que escoa ascendentemente pela tubulação de saída.
Compressor
Flange
Detector
nível
Ve
nt
Caixa de
esperaTanque de ar
comprimido
VR
VR
VF
VA
NA mín
Figura 4 - Bomba de ar comprimido / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 288).
As bombas de ar comprimido podem ser utilizadas para a condução de fluidos perigosos e abrasivos 
já que não há contato direto com as partes móveis e sensíveis do sistema, no caso, o compressor. Uma 
das principais limitações consiste na necessidade de sensores para evitar níveis muito elevados ou 
reduzidos de fluido dentro da câmara pressurizada, o que levaria à falha do sistema. Entre as bombas 
de deslocamento positivo rotativas encontram-se as geratrizes de engrenagens (Figura 5) cuja robustez 
garante o escoamento mesmo de fluidos viscosos, como graxa e melado.
Figura 5 - Bomba de engrenagens / 
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 259).
188
UNICESUMAR
Note que, em todos os casos apre-
sentados de geratrizes de desloca-
mento positivo, uma força é exer-
cida sobre o fluido, seja ela por 
pistões, ar comprimido seja en-
grenagens. A partir disso, a dife-
rença de pressão provoca o escoa-
mento do fluido. Já nas máquinas 
hidráulicas geradoras cinéticas, a 
energia transmitida para o fluido 
está na forma de energia cinética, 
ou seja, relacionada à velocida-
de, por isso, as bombas deste tipo 
contam com rotores ou hélices 
que giram em altas velocidades, 
induzindo o fluido à aceleração 
(PORTO, 2006).
Figura 6 - Bomba centrífuga
Descrição da Imagem: a figura é a foto de uma bomba centrífuga em corte de modo 
a permitir a visualização do rotor interno.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um desenho esquemático de uma bomba 
centrífuga em corte para a visualização dos componentes internos; visualiza-se, à 
direita, o motor que transfere a rotação por um eixo até o rotor, que, ao girar, au-
menta e velocidade do fluido, reduzindo a pressão na câmara de sucção, ao mesmo 
tempo em que empurra o fluido para a câmara de recalque.
Estas são as bombas mais populares sendo facilmente encontradas, comercialmente, e, segundo Aze-
vedo Neto (2015), elas representam mais de 90% das aplicações. Isso se deve ao alto rendimento, vo-
lume compacto e grande capacidade de transporte (vazão), contudo, em muitos casos, a viscosidade 
Motor
Saída
Entrada
VR
V1
do fluido constitui um desafio. 
Além disso, interrupção do for-
necimento de fluido a ser trans-
portado pode levar a danos ao 
mecanismo da bomba que, em 
muitos casos, são irreparáveis e/
ou altamente onerosos, por isso, 
este tipo de bomba exige um ri-
goroso controle das condições 
de operação. As bombas centrí-
fugas são encontradas em uma 
grande variedade de potências, 
podendo sua força motriz ser 
oriunda de motores elétricos ou 
da combustão, o que flexibiliza 
bastante as possibilidades de 
uso. O desenho esquemático de 
uma bomba centrífuga padrão é 
apresentado na Figura 7.
Figura 7 - Bomba centrífugas / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 271).
189
UNIDADE 7
Neste tipo de bomba, a velocidade do rotor induz o fluido à ace-
leração, reduzindo, assim, a pressão na câmara de sucção. Desta 
forma, a pressão atmosférica, agora maior que a pressão da câmara, 
empurra o fluido para dentro da bomba, e, a partir daí, é impelido 
pelo rotor na direção de recalque. Por isso, é fundamental que a 
câmara de sucção esteja preenchida pelo fluido antes do início 
do giro do rotor, pois este é dimensionado para o funcionamento 
em meios líquidos, quando opera em meio gasoso, não é capaz de 
reduzir a pressão na câmara de sucção, levando à falha da bomba. 
Desta forma, para que as bombas centrífugas funcionem, adequa-
damente, há a necessidade do escorva, ou seja, o preenchimento da 
câmara de sucção de líquido, expulsando, assim, os gases, antes do 
acionamento do rotor.
Entre as geratrizes classificadas como outras, encontram-se 
aquelas que transportam o fluido sem conferir a esta pressão ou 
velocidade, e um exemplo é o parafuso de Arquimedes, apresentado 
na Figura 8, que transporta uma quantidade de água, verticalmente, 
conferindo energia potencial.
Descrição da Imagem: a figura apresenta o desenho esquemático de uma bomba conhecida como parafuso de Arquimedes, neste 
uma estrutura helicoidal, apresentada a partir de um corte ilustrativo, ao girar dentro de uma tubulação de diâmetro justo impelido 
por um motor, conduz a água de forma ascendente.
Motor
GrandeNA
Comporta
de entrada
montante
NAjusante
a
L
Di
De
a: passo do parafuso; L: comprimento do parafuso; α: ângulo;
Di: diâmetro interno; De: diâmetro externo.
α
Figura 8 - Parafuso de Arquimedes / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 289).
190
UNICESUMAR
Pode-se, então, observar que, em todos os tipos de bombas, uma quantidade de energia deve ser conferida 
ao fluido para que o escoamento se processe com vazão e pressão, de acordo com as demandas de pro-
jeto. Deste modo, é necessário determinar a quantidade de energia por unidade de tempo que a bomba 
deve ser capaz de transferir para o fluido, ou seja, a potência da bomba, dada pela seguinte equação.
Se ficou curioso sobre os tipos de bombas, as vantagens e as limitações 
de cada uma, neste vídeo você pode obter mais informações a respei-
to, pois existem diversos tipos de bombas, frutos da engenhosidade 
humana, cada uma delas com características que implicam utilização 
em condições específicas. Algumas são mais úteis para líquidos vis-
cosos, como as bombas de engrenagens, enquanto outras são muito 
eficientes para líquidos mais fluidos, como a bomba centrífuga, por 
isso, a escolha correta da bomba depende do conhecimento do pro-
jetista em relação ao funcionamento da bomba e das propriedades 
do fluido. Assista a este interessante vídeo a respeito.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
P Q HH man� � �g
Onde:
PH = Potência Hidráulica (W)
g = Peso específico do fluido (N/m3)
Q = Vazão (m3/s)
Hman = Altura Manométrica (m.c.a)
É possível, também, realizar o cálculo de modo a se obter a potência da bomba em cavalo-vapor (CV), 
unidade de medida comercial, para tanto, pode-se empregar a seguinte equação:
P Q H
H
man�
� �g
75
Onde:
PH = Potência Hidráulica (CV)
g = Peso específico do fluido (kgf/m3)
Q = Vazão (m3/s)
Hman = Altura Manométrica (m.c.a)
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191
UNIDADE 7
A altura manométrica (Hman) é o resultado da soma do desnível geométrico (Hg) com a perda de carga 
da tubulação (Hf), podendo ser reescrito como:
H H H H Hman s r fs fr� � � �
Onde:
Hman = Altura Manométrica (m.c.a)
Hs = Altura Geométrica de Sucção (m.c.a)
Hr = Altura Geométrica de recalque (m.c.a)
Hfs = Perda de carga na tubulação de Sucção (m.c.a)
Hfr = Perda de carga na tubulação de Recalque (m.c.a)
Entende-se por tubulação de sucção toda aquela abaixo no nível da bomba, na qual o fluido escoa, 
devido à diferença da pressão atmosférica e o vácuo parcial no interior da bomba, já a tubulação aci-
ma da bomba, a qual recebe o fluido impulsionado pela bomba é denominada tubulação de recalque. 
A Combinação da sucção, com o recalque, as válvulas, as peças e o conjunto motobomba (motor + 
bomba) formam o esquema hidráulico apresentado na Figura 9.
VB
VR
N M
VR
Saída
Rs
NAs máx
Piezométrica NAs máx
Ri
H
m
an
 m
áx
H
g 
m
áx
H
r
H
s
hfr
hfi
DN Li i1
DN Lr r1
Descrição da Imagem: a figura apresenta o desenho de um esquema hidráulico típico; na parte de baixo da figura, apresenta-se o 
reservatório inferior (Ri) do qual a água é retirada e levada para o reservatório superior (Rs); temos a representação de uma bomba 
hidráulica, tubulações e válvulas ligando ambos os reservatórios. A distância entre o nível da água do reservatório inferior até a linha 
piezométrica é apresentada como altura manométrica máxima (Hman máx), a distância entre o nível da água do reservatório inferior 
até o nível da água do reservatório superior é apresentada como altura geométrica máxima (Hg máx).
Figura 9 - Esquema hidráulico típico / Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 262).
192
UNICESUMAR
Em um esquema típico de recalque, a peça mais abaixo é a válvula de retenção (VR), comumente, 
utiliza-seválvula de pé com crivo, sendo o crivo necessário para evitar a entrada de materiais estra-
nhos na bomba, enquanto a válvula impede o retorno do fluido para o reservatório inferior, evitando 
a necessidade de escorva. Acima da bomba, além da válvula de retenção, conta-se também com a 
válvula de bloqueio, necessária para regular a vazão, e, além destas, podem ser necessárias diversas 
outras peças, como registros, tês, uniões, entre outras. É importante frisar que os diâmetros nominais 
de sucção e recalque (DN), assim como os comprimentos (L), variam de acordo com a necessidade de 
projeto, influenciando, diretamente, na perda de carga e, consequentemente, na altura manométrica 
e na potência da bomba.
Também, é importante descrever que a potência hidráulica (PH) é diferente da potência real (PR) 
da bomba, pois se faz necessária a ponderação pelo rendimento do motor e da unidade geratriz uma 
vez que a potência hidráulica corresponde, apenas, à energia necessária para que o fluido realize o 
escoamento. Para determinar a potência ideal, a seguinte equação pode ser utilizada:
P P
I
H
Motor Bomba
�
�h h
Onde:
PI = Potência ideal (CV)
PH = Potência Hidráulica (CV)
hMotor = Rendimento do motor
hBomba = Rendimento da bomba
Os coeficientes de rendimento, do motor e da bomba são, comumente, disponibilizados pelo fabri-
cante, devendo sempre ser observadas as condições de pressão e temperatura recomendadas para o 
funcionamento adequado. Além disso, projetistas recomendam determinado coeficiente de segurança 
para motores elétricos, apresentados por Azevedo Neto (2015), na Tabela 1: 
Tabela 1 - Fator de segurança motores elétricos
Potência em CV Fator de segurança (Fs)
≤2 1,50
2 - 5 1,30
5 - 10 1,20
10 - 20 1,15
>20 1,10
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 265).
Tem-se, desta forma, o conceito 
de potência nominal do motor, 
ou seja, a potência necessária 
para fazer o conjunto moto-
bomba funcionar, adequada-
mente, com segurança e entre-
gando a vazão e a pressão para 
a qual foi dimensionado.
P P FN I s� �
Onde:
PN = Potência Nominal (CV)
PI = Potência ideal (CV)
FS = Fator de Segurança - Tabela 1
193
UNIDADE 7
A determinação da potência adequada ao projeto é de extrema importância para o funcionamento 
adequado do sistema, não é incomum observar o superdimensionamento de bombas baseado em uma 
falsa premissa de segurança. Ou seja, existem casos em que bombas com potências maiores do que as 
demandadas são instaladas no intuito de garantir o correto funcionamento do sistema. Contudo, além 
dos custos excessivos, uma bomba mal dimensionada ou um esquema hidráulico inadequado, pode 
gerar pontos de pressão extremamente baixa, denominadas vácuos parciais. 
Como apresentado na primeira unidade, os fluidos manifestam-se na forma de gases ou líquidos, e, 
a depender das condições de pressão e temperatura, tem-se, então, a propriedade denominada pressão 
de vapor. Esta propriedade identifica o valor da pressão na qual ocorre a transformação do fluido de 
líquido para gás, ou seja, quando o fluido é submetido a uma pressão maior que a pressão de vapor, 
o fluido torna-se um líquido, estando abaixo desta, torna-se um gás. Uma vez que a bombas criam 
ambientes de baixa pressão para succionar o fluido, essas podem criar condições de pressão abaixo da 
pressão de vapor de fluidos, como a água, vaporizando-a (PORTO, 2006).
Esta mudança de estado físico é conhecida como cavitação e está relacionada à vibração excessi-
va, ao ruído, podendo levar à interrupção do fluxo. Especialmente em bombas cinéticas, a cavitação 
pode levar à falha catastrófica da bomba pelo desgaste do rotor ou da hélice. Isso ocorre porque estes 
componentes giram em altas velocidades e, na maioria dos casos, são projetados para impelir líquidos, 
os quais têm viscosidade maior que gases. Quando estas partes da bomba trabalham em condições 
inadequadas, ou seja, impelindo gases, existe o risco de ruptura dos componentes constituintes, por 
isso, a necessidade de escorva e válvulas de retenção. Contudo, quando uma bomba centrífuga entre 
em cavitação, além dos problemas decorrentes do bombeamento de gases, o colapso das bolhas cria 
ondas de choque que podem escavar o material constituinte do rotor e da câmara de admissão.
Para determinar as condições de pressão na porção de sucção do esquema hidráulico, pode-se utilizar 
o parâmetro Net Positive Suction Head (NPSH), que compila os parâmetros pertinentes à avaliação 
das condições de pressão no interior da tubulação de entrada da bomba. Tem-se, desta forma, o NPSH 
disponível (NPSHD) característico da instalação hidráulica, e esta variável quantifica a pressão disponível 
para impelir o fluido ao escoamento. Vale lembrar que, nas bombas cinéticas, a pressão atmosférica 
empurra o fluido, diferentemente do que pode imaginar, a bomba não puxa, apenas reduz a pressão 
na cavidade de sucção. Ou seja, sem a pressão atmosférica, as bombas centrífugas não funcionariam, 
por maior que fosse a velocidade do rotor e a consequente redução da pressão. 
Já o NPSH requerido (NPSHR) é uma característica da bomba, sendo fornecido pelo fabricante. Este 
fator quantifica quanta energia a bomba é capaz de retirar da câmara de sucção, ou seja, determina o 
quanto a bomba consegue reduzir a pressão. Desta forma, se a bomba reduzir a pressão na câmara de 
sucção abaixo da pressão de vapor, o fluido torna-se líquido, gerando a cavitação, portanto, para evitar 
este fenômeno, a seguinte relação deve ser obedecida:
NPSH NPSH FD R s� �
Onde:
NPSHD = Net Positive Suction Head Disponível (m.c.a)
NPSHR = Net Positive Suction Head Requerido (m.c.a)
FS = Fator de Segurança – Comumente atribui-se 0,6 m.c.a
194
UNICESUMAR
O cálculo do NPSHD é função da pressão atmosférica, pressão de vapor do fluido, desnível geométrico 
e perda de carga do sistema hidráulico de sucção.
NPSH H H H HD V s fs� � � �0
Onde:
NPSHD = Net Positive Suction Head Disponível (m.c.a)
H0 = Pressão de atmosférica (m.c.a)
HV = Pressão de vapor do fluido (m.c.a)
HS = Altura da sucção (m.c.a)
Hfs = Perda de carga da sucção (m.c.a)
Os valores de referência de pres-
são atmosférica variam de acor-
do com a altitude da instalação 
do sistema e são apresentados 
na Tabela 2.
Tabela 2 - Pressão atmosférica em função da altitude 
Altitude (m) Pressão Atmosférica (m.c.a)
0 10,33
150 10,16
300 10,00
450 9,79
600 9,64
750 9,35
900 9,30
1000 9,12
1200 8,96
1500 8,62
1800 8,27
2100 8,00
2400 7,75
2700 7,50
3000 7,24
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 266).
Note que quanto maior a altitude, menor é a pressão atmosférica, e, assim, o fluido tende a passar, mais 
facilmente, para o estado gasoso, por isso, a altitude é fator determinante no projeto de bombeamento 
hidráulico. Outro fator diz respeito à temperatura do fluido, quanto maior o estado de agitação das 
partículas, maior é a pressão de vapor do fluido, ou seja, uma pequena redução da pressão do ambiente 
já é suficiente para que o fluido passe para o estado gasoso. Os valores de referência são apresentados 
na Tabela 3.
195
UNIDADE 7
Tabela 3 - Pressão de vapor em função da temperatura 
Temperatura (°C) Pressão de Vapor (m.c.a)
0 0,062
1 0,067
3 0,077
4 0,083
5 0,089
10 0,125
15 0,174
20 0,239
25 0,323
30 0,458
35 0,573
40 0,752
45 0,977
50 1,258
55 1,695
60 2,031
65 2,550
70 3,178
75 3,931
80 4,829
85 5,894
90 7,149
95 8,619
100 10,332
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 22).
Note que, na temperatura de 100 °C, a pressão de vapor é igual a uma atmosfera, ou seja, a água ga-
seifica-se mesmo sem redução da pressão. Já em temperaturas menores, a pressão de vapor diminui, 
tornando mais difícil a evaporação, por isso, resfriar o fluido pode ser uma técnica para evitar a cavita-
ção. Outros fatores que exercem forte correlação com a cavitação é a altura geométrica da sucção, que, 
juntamente com a perda de carga deste segmento do esquema hidráulico, reduzem o NPSHD. Para evitar 
a cavitação, busca-se maximizar o NPSHD, deste modo, a altura da sucção deve ser minimizada, mesmo 
queisso implique aumento da altura de recalque. Além disso, para reduzir a perda de carga da sucção, 
o diâmetro da sucção tende a ser maior, e as peças, como joelhos, podem ser substituídas por curvas.
Por isso, o dimensionamento apropriado do esquema hidráulico é fundamental para que o sistema 
funcione, adequadamente, buscando sempre minimização de custos envolvidos. Isto implica obter a 
menor potência de bomba capaz de fornecer energia necessária para o escoamento, assim como o 
menor diâmetro possível para a tubulação de sucção e recalque. Estas variáveis constituem um clássico 
problema de otimização, pois, ao reduzir o diâmetro dos tubos, reduz-se o custo da tubulação, contudo 
aumenta a perda de carga e, consequentemente, a potência necessária também aumenta. 
Em nosso Podcast, discutire-
mos a importância do correto 
dimensionamento dos sistemas 
de saneamento básico e as im-
plicações na qualidade de vida 
dos moradores. Não perca!
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196
UNICESUMAR
Várias foram as tentativas de determinação do diâmetro ideal (econômico), uma solução bastante em-
pregada, válida para bombas de funcionamento contínuo. Consiste na aplicação da fórmula de Bresse, 
que compreende os preços de eletricidade, dos materiais das tubulações, dos custos de implantação das 
tubulações e das máquinas empregadas, compilados em um coeficiente (AZEVEDO NETO, 2015).
D K Q� �
Onde:
D = Diâmetro de recalque (m.c.a)
Q = Vazão (m3/s)
K = Coeficiente de Bresse
Os valores do coeficiente de Bresse (K) sendo os valores recomendados na Tabela 4, em função da 
velocidade do escoamento.
Tabela 4 - Coeficiente de Bresse 
Velocidade (m/s) K
0,57 1,5
0,75 1,3
1,06 1,1
1,60 0,9
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 268).
Para bombas de funcionamento, em apenas algumas horas por dia, pode-se lançar mão da seguinte 
equação:
D t Q� ��
�
�
�
�
� �1 3
24
0 25
,
, Onde:
D = Diâmetro de recalque (m.c.a)
Q = Vazão (m3/s)
t = Tempo diário de funcionamento (horas)
Desta forma, pode-se adotar o seguinte roteiro para o cálculo de sistemas de bombeamento.
1°. Vazão de projeto: como apresentado no Ciclo de Aprendizagem 4, é possível estimar a vazão de 
projeto a partir de tabelas de referência ou de cálculos descritos nas NBRs referentes ao projeto. 
Um exemplo pode ser observado na NBR 12218, que trata dos projetos de distribuição de água 
para abastecimento público e apresenta o método específico para a determinação da vazão de 
demanda para uma população de habitantes.
2°. Pressão de projeto: quando se trata de um sistema de recalque com reservação superior, esta 
pressão pode ser desconsiderada, adotando-se apenas a altura manométrica para os cálculos. No 
entanto, nos casos em que a bomba alimenta, diretamente, equipamentos, a pressão necessária 
para o funcionamento destes deve ser adicionada à altura manométrica.
197
UNIDADE 7
3°. Diâmetro de Recalque: para a determinação do diâmetro de recalque, faz-se necessário iden-
tificar o tempo de funcionamento para a aplicação da fórmula de Bresse para contínuo, ou a 
fórmula para funcionamento em apenas algumas horas do dia.
4°. Diâmetro de Sucção: comumente, atribui-se o diâmetro de sucção como o imediatamente su-
perior na escala comercial, ou seja, se o diâmetro de recalque de um projeto é igual a 75 mm, 
utiliza-se para a sucção uma tubulação com diâmetro de 100 mm. Este é um parâmetro válido, 
desde que respeite os limites de velocidade mínimos e máximos apresentados pela legislação 
pertinente ao projeto. Novamente, tomando por exemplo os parâmetros estabelecidos pela 
NBR 12218, velocidades abaixo de 0,4 m/s em tubulações não são recomendadas, só sendo 
permitidas mediante justificativas técnicas.
5°. Esquema hidráulico: deve apresentar todas as tubulações com os respectivos comprimentos 
e diâmetros, assim como as demais peças e acessórios; sugere-se a elaboração de um croqui.
6°. Cálculo da perda de carga: nesta etapa, caso o valor encontrado seja maior que 10%, ou seja, 
uma redução maior que 10 cm na linha piezométrica a cada metro de tubulação, os diâmetros 
devem ser reajustados, e os cálculos refeitos. É importante frisar que os cálculos de perda de 
carga de sucção (Hfs) e de recalque (Hr) devem ser realizados, separadamente, uma vez que os 
diâmetros são distintos. Para tanto, são empregadas metodologias descritas no Ciclo de Apren-
dizagem 4, entre elas as fórmulas de Hazen-Williams, quando dentro das condições definidas, 
contudo preconiza-se a equação de Darcy-Weisbach, associada à fórmula de Celebrook-White.
7°. Alturas geométricas: o desnível de sucção e de recalque devem ser determinados, buscando 
sempre a redução da altura de sucção para evitar a possibilidade da ocorrência do fenômeno 
da cavitação.
8°. Potência hidráulica: este cálculo permite identificar a quantidade de energia necessária por 
unidade de tempo para que o escoamento ocorra de acordo com as demandas de projeto; o 
cálculo pode ser realizado de modo obter a potência em Watts ou em CV.
9°. Potência ideal: a partir do rendimento do conjunto motobomba pré-selecionado, pondera-se 
a potência hidráulica para a obtenção da potência ideal, o rendimento é um dado fornecido 
pelo fabricante e varia de acordo com as condições de uso, fabricantes e modelos.
10°. Potencia nominal: a partir da potência ideal e do desnível geométrico, escolhe-se o modelo 
da motobomba de acordo com as especificações do fabricante, deve-se considerar o fator de 
segurança de acordo com a Tabela 1.
11°. Cavitação: realiza-se o cálculo do NPSH, baseado nas condições de altitude da instalação do 
sistema (Tabela 2) e da pressão de vapor do fluido (Tabela 3) para verificar o atendimento da 
relação NPSH disponível e NPSH requerido. 
12°. Projeto final: além da lista detalhada de todos os materiais constituintes do sistema hidráuli-
co, deve-se calcular a vazão estimada, assim como a linha piezométrica, para a verificação da 
adequação do sistema proposto às demandas de projeto. 
198
UNICESUMAR
Para a análise final de um projeto de instalação hidráulica de recalque, faz-se necessária a compreensão 
das alterações do funcionamento da bomba e as implicações sobre a operação do sistema. Por exemplo, 
o aumento da perda de carga em decorrência de incrustações pode levar à redução da vazão, da mesma 
forma, o aumento do nível do reservatório inferior reduz o desnível geométrico e pode contribuir para 
o aumento da vazão. Além disso, a velocidade de rotação do rotor também exerce forte influência sobre 
os parâmetros de funcionamento do sistema, estabelecendo diferentes relações com a vazão, altura 
manométrica e pressão. A relação entre as rotações por minuto (RPM) do rotor associadas à vazão, 
segundo a seguinte equação: 
RPM
RPM
Q
Q
1
2
1
2
=
Ou seja, a velocidade de giro do rotor apresenta uma relação, diretamente, proporcional à vazão trans-
portada, já a altura de recalque obedece a uma relação quadrática com a velocidade do rotor dada pela 
seguinte equação:
RPM
RPM
H
H
1
2
2
2
1
2
� �
� �
�
Quanto à pressão do fluido dentro da tubulação, a relação é cúbica com a velocidade do rotor, dada 
pela equação:
RPM
RPM
P
P
1
3
2
3
1
2
� �
� �
�
Cumpre descrever que duas ou mais bombas podem utilizadas para o atendimento das demandas 
de projeto, podendo as associações serem realizadas em série ou em paralelo. Na primeira, em série, 
a saída de uma bomba é ligada à entrada da outra, fazendo com que o volume que passa por ambas 
seja igual. Neste caso, a vazão transportada é a mesma caso apenas uma das bombas fosse utilizada, 
contudo a pressão resultante é a soma das pressões impelidas por cada bomba. Já na associação em 
paralelo, a tubulação de sucção divide-se antes da entrada da bomba, unindo-se, novamente, apenas 
depois da passagem pelo sistema de impulsão. Neste caso, a pressão do sistema é a mesma caso apenas 
uma das bombas estivesse conectada, contudo a vazão corresponde à soma das vazões individuais das 
bombas. Estas relações são apresentadas,de forma resumida, na Tabela 5.
Tabela 5 - Associações de bombas 
Associação Vazão Pressão
Série Q1=Q2 P1+P2
Paralelo Q1+Q2 P1=P2
Fonte: o autor.
Ou seja, quando se objetiva aumentar a pressão e, consequentemente, a altura manométrica, a associa-
ção das bombas deve ser em série, quando o objetivo é o aumento da vazão, a associação deve ocorrer 
em paralelo.
199
UNIDADE 7
Muitos dos sistemas modernos de saneamento básico, que garantem 
a comodidade da vida em centros urbanos, dependem do trans-
porte de líquidos, como a água e o consequente e perigoso esgoto 
sanitário. Estima-se que a demanda por água para cada habitante 
brasileiro é cerca de 200 litros por dia, deste volume, 80% retorna 
como esgoto, ou seja, 160 litros de esgoto por dia por habitante. 
Este grande volume a ser transportado exige sistemas muito com-
plexos, os quais, em muitos casos, precisam escoar da jusante para 
montante, ou seja, no sentido contrário ao da gravidade. Para isso, 
são empregados diversos tipos de estações elevatórias munidas de 
bombas que, acopladas a potentes motores, são capazes de puxar e/
ou empurrar estes fluidos, por meio dos condutos. Seja para levar 
a água da estação de tratamento até sua casa, seja para levar o seu 
esgoto dos pontos mais baixos da bacia para a estação de tratamento, 
as bombas são fundamentais. A determinação das dimensões ideais 
de projeto, minimizando os custos sem comprometer a eficiência, 
pode constituir a diferença entre viabilidade ou não da implantação 
destes sistemas hidráulicos.
200
M
A
P
A
 M
EN
TA
L
Durante este ciclo de apren-
dizagem, foram analisadas 
diversas etapas para a de-
terminação da potência 
nominal das bombas em-
pregadas em sistemas hi-
dráulicos. A respeito dessas 
etapas, preencha as lacunas 
do fluxograma.
Hazen-Williams
Potência Ideal
Redimento
Potência Nominal
Peso Especí�co do �uído
Altura manométrica
Desnível Geométrico
Darcy-Weisbach
Descrição da Imagem: Mapa Mental organizado de forma vertical, tendo, no topo, um balão com os temos “Potência nominal”; 
deste balão principal ramificam-se dois balões, um a ser preenchido, e outro com as palavras “Potência ideal”, deste derivam-se 
outros dois balões, em um deles apresenta-se a palavra “rendimento”, e o outro deve ser preenchido. Deste balão a ser preenchido, 
ramificam-se três outros balões: no primeiro, há os termos “Peso específico do fluido”, no segundo, “Altura manométrica”, e o ter-
ceiro você deve preencher. No balão com os termos “Altura manométrica”, originam-se dois balões, um com a descrição “Desnível 
Geométrico”, e outro a ser preenchido, do qual derivam-se dois balões contendo os termos “Darcy-Weisbach” e “Hazen-Williams”.
201
A
G
O
R
A
 É
 C
O
M
 V
O
C
Ê
1. Uma bomba centrífuga foi instalada ao nível do solo com o objetivo de drenar a água que se 
acumula no fundo de um poço com 11 metros de profundidade, contudo, ao acionar a bomba, 
não se observa o escoamento do fluido. Para resolver o problema, será necessário:
a) Utilizar duas bombas associadas em série, ao nível do solo.
b) Utilizar duas bombas em paralelo, ao nível do solo.
c) Utilizar uma bomba de maior potência.
d) Reduzir o desnível geométrico da sucção.
e) Substituir a bomba, porque apresenta defeito, pois, mesmo nestas condições, uma vazão deveria 
ser observada.
2. Dimensione uma bomba capaz de transportar uma vazão de 30 l/s de água cujo peso específico 
é 10000 N/m3, o que equivale a 1000 kgf/m3, e a viscosidade é de 1,03·10-3 Pa·s, em um ambiente 
cuja gravidade é igual a 10 m/s2. Sabendo que o sistema deve superar um desnível de 5 metros 
e entregar uma pressão de 100 kPa, considere o rendimento do conjunto motobomba de 80%.
a) Potência Hidráulica (W).
b) Potência Hidráulica (CV).
c) Potência Ideal (CV).
d) Potência Nominal (CV).
3. Determine qual o diâmetro de recalque para o transporte de uma vazão de 30 l/s de água cuja 
massa específica é 1 g/cm3, e a viscosidade é de 1,03·10-3 Pa·s, em um ambiente cuja gravidade 
é igual a 10 m/s2, sabendo que os limites de velocidade são de 0,4 m/s a 0,75 m/s.
a) Funcionamento Contínuo.
b) Funcionamento de 8 horas por dia.
4. Qual a máxima altura de sucção para uma bomba centrífuga instalada a 750 de altitude em re-
lação ao nível do mar, que bombeia água a uma temperatura de 20 °C? Sabe-se que a perda de 
carga da sucção é de 1,489 m.c.a, e o NPSH requerido é de 2,5 m.c.a.
202
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
1. Alternativa correta letra D, pois, independentemente da potência da bomba, a altura de sucção não pode 
ser maior que 10,33 m.c.a, sendo esta o valor da pressão atmosférica ao nível do mar, ou seja, a força que 
empurra o fluido para dentro da bomba.
2. a. Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem,
P Q HH man� � �g
Substituindo as variáveis:
P N
m
m
s
mH � � � ��10000 30 10 153
3
3
Obtém-se:
P WH = 4500
b. Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem,
P Q H
H
man�
� �g
75
Substituindo as variáveis:
P
kgf
m
m
s
m
H �
� � ��1000 30 10 15
75
3
3
3
Obtém-se:
P CVH = 6
203
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
c. Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem,
P P
I
H
Motor Bomba
�
�h h
Substituindo as variáveis:
P CV
I =
6
0 80,
Obtém-se:
P CVI = 7 5,
d) Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem,
P P FN I s� �
Substituindo as variáveis:
P CVN � �7 5 1 2, ,
Obtém-se:
P CVN = 9
204
C
O
N
FI
R
A
 S
U
A
S 
R
ES
P
O
ST
A
S
3. a. Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem,
D K Q� �
Substituindo as variáveis:
D m s� � � �1 3 30 10 3 3
, /
Obtém-se:
D mm= 225 17, ou D mmcomercial = 250
b. Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem,
D t Q� ��
�
�
�
�
� �1 3
24
0 25
,
,
Substituindo as variáveis:
D m s� ��
�
�
�
�
� � � �1 3 8
24
30 10
0 25
3 3
, /
,
Obtém-se:
D mm=171 09, ou D mmcomercial = 200
4. Partindo da equação apresentada no ciclo de aprendizagem, 
NPSH NPSH FD R s� �
Inserindo a equação do NPSHD
H H H H NPSH FV s fs R s0 � � � � �
Isolando a variável de interesse.
H H F H NPSH HV s fs R s0 � � � � �
Substituindo as variáveis
9 35 0 239 0 6 1 489 2 5, . . , . . , . . , . . , . .mc a m c a m c a m c a m c a Hs� � � � �
Obtém-se:
5mc a Hs. . >
Ou seja, a máxima altura de sucção para o esquema hidráulico é de 5 m.
205
R
EF
ER
ÊN
C
IA
S
AZEVEDO NETO, J. M. Manual de hidráulica, 9. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2015.
ABNT. NBR 12218 – Projetos de distribuição de água para abastecimento público. Rio de Janeiro: ABNT, 2017.
PORTO, R. M. Hidráulica Básica. 3. ed. São Carlos: EESC-USP, 2006.
206
M
EU
 E
SP
A
Ç
O
8Noções Sobre 
Escoamento Variável 
em Condutos Forçados
Dr. Fernando Marcos Weronka
Com a finalidade de simplificação de cálculos no dimensionamento de 
tubulações, os parâmetros de vazão, velocidade e pressão são conside-
rados constantes, ao longo da tubulação, no entanto, em muitos casos, 
faz-se necessária a verificação dos fenômenos relativos à variação destas 
propriedades. Por este motivo, nesta unidade, você terá a possibilidade de 
entender como as variações das propriedades do escoamento no interior 
de um conduto forçado estão relacionadas ao fenômeno conhecido como 
golpe de aríete. Este golpe consiste em uma variação abrupta da pressão 
dentro do conduto, resultante da variação de vazão e velocidade, e, quando 
negligenciado, pode causar danos bastante onerosos aos sistemas hidráuli-
cos. Para tanto, os princípios da conservação de quantidade de movimento, 
associados ao princípio da continuidade embasam a teoria necessária para a 
previsão dos fenômenos relativos aos escoamentos variáveis, denominados 
transientes hidráulicos. Serão apresentados, além dos conceitos relativos 
aos fenômenos e às equações pertinentes, as causas e os efeitos assim 
como os equipamentos de proteção.
208
UNICESUMAR
São comercializados, atualmente, diversos tipos de registros para controle da vazão da água emtubula-
ções residenciais, entre eles os registros de pressão, gaveta e globo são os mais comuns. No entanto, mais 
recentemente, os registros de pastilhas cerâmicas têm ganhado destaque pela facilidade no uso. Estes se 
tornaram conhecidos como registros de um quarto de volta por serem capazes de fechar, completamente, 
a tubulação com um movimento de rotação de apenas 90 graus, o que traz conforto ao usuário pela 
velocidade e precisão no controle do fluxo da água. Este tipo de registro é considerado mais moderno, 
sendo o preferido pelos usuários dos sistemas hidráulicos, contudo podem criar sérios problemas caso 
o projetista negligencie o golpe de aríete causado pelo rápido acionamento deste dispositivo. Você sabia 
que a velocidade de fechamento de um registro pode acarretar elevação brusca da pressão dentro das 
tubulações com potencial de causar problemas ao funcionamento do sistema hidráulico?
Quando um fluido está em movimento dentro de uma tubulação, o princípio da continuidade está 
sendo aplicado, ou seja, a vazão transportada corresponde ao produto da área da seção do conduto e 
da velocidade do escoamento. Desta forma, entende-se que a massa de fluido transportado se mantém 
constante ao longo do escoamento, analogamente, a quantidade de energia deste escoamento também 
se mantém constante. Ou seja, o princípio da conservação de energia também é respeitado, portanto, 
a massa do escoamento multiplicada pela velocidade do escoamento deve permanecer constante ao 
longo do conduto. No entanto com a variação das propriedades da tubulação, tal qual a redução do 
diâmetro, devido ao acionamento de um registro, ocorre uma alteração na velocidade de transporte 
do fluido, podendo, até mesmo, chegar a zero caso o registro seja completamente fechado. A inércia do 
movimento do fluido faz com que o escoamento tenda a continuar fazendo com que a energia cinética 
passe a ser convertida em energia piezométrica, ou seja, pressão. Esta pressão está relacionada tanto à 
velocidade inicial do escoamento quanto à velocidade da redução da vazão, portanto, um escoamen-
to de alta velocidade, quando tem a vazão reduzida, abruptamente, apresenta fortes pressões sobre a 
tubulação e demais componentes hidráulicos, como bombas válvulas e registros. Por este motivo, o 
fenômeno conhecido como transiente hidráulico, que ocorre quando as propriedades do escoamento 
são alteradas, pode gerar grandes sobrecargas. O fenômeno relativo a estas sobrecargas ficou conhecido 
como golpe de aríete ou martelo hidráulico pela alta força com a qual atinge o sistema, desta forma, 
é fundamental que este seja considerado nos cálculos de dimensionamento de condutos forçados.
Para que entender mais facilmente do que se trata o golpe de aríete você pode fazer a observação de 
um dispositivo hidráulico presente em boa parte das residências, a caixa de descarga. Para que o vaso 
sanitário desempenhe adequadamente a função de afastar os dejetos o mais depressa possível faz-se 
necessário que este receba uma grande vazão, por isso comumente contam com uma caixa acoplada. 
A rede de distribuição raramente apresenta vazão suficiente, por isso a caixa acumula água entre os 
períodos de acionamento e libera-a em um curto espaço de tempo quando demandada, aumentando 
assim a vazão resultante. A caixa de descarga, conta com um sistema de fechamento automático, para 
que logo depois do acionamento, volte acumular água preparando o sistema para o próximo ciclo e 
limpeza do vaso sanitário. Neste momento de fechamento você poderá perceber um súbito golpe, 
podendo até mesmo ouvir um barulho, a interrupção abrupta de um fluxo de água dá origem ao 
fenômeno do transiente hidráulico, que está relacionado ao golpe de aríete, e é isso que você estará 
observando neste instante.
209
UNIDADE 8
Neste experimento, você pode perceber que, quando o dispositivo de controle 
da vazão da caixa de descarga se fecha, um movimento pode ser observado na água, 
dentro do reservatório, são as ondas de choque, as quais caracterizam o escoamento 
transiente. Estas ondas viajam pelo fluido, em alta velocidade, e, por serem ondas me-
cânicas, não são capazes de transportar matéria, apenas energia, ou seja, a velocidade 
de propagação da onda não pode ser confundida com a velocidade do escoamento. 
Esta energia que se apresenta na forma de ondas é o resultante da energia cinética 
do escoamento inicial, que, ao cessar, tende a continuar se movimentando por efeitos 
da inércia. Quando esta energia residual é observada em sistemas abertos, ondulações 
na superfície dos fluidos podem ser observadas, podendo, até mesmo, levar a uma 
sobrelevação de toda a superfície, ou seja, a energia cinética residual converte-se em 
energia potencial. No entanto, em sistemas fechados, esta conversão de energia não 
é possível, pelo limite físico imposto ao escoamento, logo, a energia cinética residual 
converte-se em pressão que pode levar, inclusive, à ruptura da tubulação. Entretanto a 
manifestação mais comum deste fenômeno é um forte impacto no sistema hidráulico, 
devido à variação de pressão no interior do mesmo, gerando um intenso ruído, o qual 
lembra a batida de martelo, tendo esta semelhança cunhado, ao longo do tempo, a 
origem do termo martelo hidráulico, ou golpe de aríete.
210
UNICESUMAR
Para o dimensionamento de condutos forçados e sistemas elevatórios, é comum que o projetista faça 
algumas considerações a respeito da dinâmica dos escoamentos, o que permite a simplificação dos 
cálculos sem, no entanto, prejudicar o resultado do procedimento. É o caso, por exemplo, da descon-
sideração da pressão gerada pela energia cinética uma vez que esta representa uma pequena fração da 
energia total dos escoamentos dentro das tubulações. Pois, enquanto a energia piezométrica está na 
escala de metros, a energia cinética é medida em poucos centímetros, quando respeitados os limites 
de velocidade recomendados pelos fabricantes de tubos e pela normatização.
Outra simplificação bastante comum consiste em considerar a vazão constante ao longo do es-
coamento, como os condutos comerciais apresentam diâmetros uniformes, isso implica velocidade 
também constante. No entanto, é sabido que tanto a vazão quanto a velocidade podem variar pela 
ação de válvulas, registros, acionamento e parada de bombas e turbinas, assim como pela presença de 
bolsões de ar e outras interrupções de fluxo. Devido à característica altamente fluida da água, estes 
fenômenos resultam em grandes alterações de pressão uma vez que, segundo a primeira Lei de Ne-
wton, um corpo em movimento tende a permanecer em movimento, assim como um corpo parado 
tende a permanecer neste estado até que forças ajam sobre ele. Ou seja, quando há alteração da vazão, 
a massa do fluido que estava em movimento tende a continuar em movimento, gerando, assim, ondas 
de choque que transitam em altas velocidades pelo fluido, caracterizando, então, o que se denomina 
escoamento transiente. 
DIÁRIO DE BORDO
211
UNIDADE 8
A aplicação da segunda Lei de Newton permite estimar o impacto deste fenômeno, pois esta rela-
ciona a força ao produto da massa e da aceleração de um corpo, portanto, com a variação da veloci-
dade do escoamento, tem-se uma aceleração, o que não se observa em escoamento uniforme. Logo, 
pela aplicação da segunda Lei de Newton, uma força é gerada uma vez que a água apresenta massa, 
e a variação de velocidade constitui uma aceleração do fluido, e esta força impacta as tubulações, as 
peças e os acessórios, por meio de um fenômeno denominado golpe de aríete, ou martelo hidráulico. 
O termo aríete faz alusão a uma arma de guerra medieval usada para romper portões, muros e 
barricadas, comumente, constituída de um tronco sólido, com uma cabeça de carneiro feita de metal, 
na extremidade, como pode ser observado na Figura 1.
No Podcast desta unidade, 
conversaremos sobre a neces-
sidade das simplificações nos 
dimensionamentos hidráulicos, 
o nível de impacto destas consi-
derações sobre o projeto finale 
o papel da modelagem no pro-
cesso de dimensionamento de 
sistemas hidráulicos comple-
xos. Está imperdível!
Figura 1 - Aríete arma de guerra
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma arma medieval chamada aríete, composta por um tronco de madeira com uma 
cabeça de carneiro, feita de metal, na extremidade. A figura mostra vários homens segurando a arma nos ombros e a empurrando 
em direção a um muro para que, desta forma, a força dos homens seja conduzida pela madeira até chegar na cabeça de carneiro 
cuja resistência é suficiente para suportar a pressão dos golpes capazes de derrubar o muro inimigo.
212
UNICESUMAR
Desta forma, acredita-se que o termo se popularizou pelo alto impacto que este fenômeno provoca 
sobre a estrutura física das instalações hidráulicas cuja magnitude está, diretamente, relacionada à taxa 
de variação da velocidade, ou seja, com a velocidade com que escoamento varia, já que este é o conceito 
de aceleração. Logo, quanto menor o tempo de fechamento de um registro, por exemplo, mais forte 
será o impacto do golpe do martelo hidráulico.
A aplicação deste conceito permite concluir que, caso a água seja incompressível, e a tubulação 
inelástica ocorra, o fechamento instantâneo de uma válvula à pressão gerada pelo escoamento sobre 
a tubulação tenderia ao infinito (AZEVEDO NETO, 2015). Na prática, entretanto, sempre existe um 
tempo, por menor que seja, para a interrupção do fluxo, e é possível estimar que a parada brusca do 
escoamento tem potencial de gerar pressões altíssimas capazes de provocar danos altamente onerosos. 
Desta forma, os fenômenos transitórios não podem ser desconsiderados no dimensionamento de tubu-
lações e sistemas de elevação, devendo ser estimados, permitindo a predição das pressões decorrentes, 
com intuito de conferir segurança e confiabilidade aos projetos hidráulicos.
Esta sobrepressão nas tubulações ocorre porque a energia cinética do escoamento, rapidamente, é 
convertida em energia de pressão, como por ser observado na Figura 2.
LINHA DE CARGA
VA
Q
V 2
2 x g
V
Figura 2 - Energia cinética
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 296).
Note que, com o fechamento da válvula de abertura (VA), a velocidade do escoamento é reduzida a 
zero, como a energia cinética é relativa à velocidade, sem ela, a energia cinética é nula. No entanto, 
respeitando o princípio de conservação de energia apresentado na Unidade 3, a energia que já está na 
forma de velocidade não pode ser destruída ou, apenas, desaparecer. Logo, é convertida em pressão 
uma vez que não há possibilidade da conversão em energia potencial, pela limitação geométrica da 
tubulação. Esta pressão excedente, se não houver rompimento da tubulação, cria uma onda no sentido 
contrário ao escoamento inicial, já que a pressão neste ponto da tubulação é maior que no reservatório 
que impelia o escoamento, inicialmente. Na Figura 3, é possível observar como este fenômeno ocorre, 
considerando cada seção da tubulação como uma lâmina de água com espessura infinitesimal.
Descrição da Imagem: a figura é uma representação esquemática na qual é possível observar um reservatório cujo nível do fluido 
está acima da tubulação, impelindo um escoamento com velocidade (v), logo, esta velocidade constitui uma quantidade de energia 
cinética dada na figura pela equação velocidade ao quadrado, dividida pelo dobro da gravidade. Na figura, também, é possível ob-
servar um esquema representando uma válvula de abertura ao final da tubulação através da qual escoa uma vazão (Q).
213
UNIDADE 8
Figura 3 - Escoamento transiente
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 297).
RESERVATÓRIO
RESERVATÓRIO
Vá
lv
ul
a “
R”
ab
er
ta
Vá
lv
ul
a “
R”
fe
ch
ad
a
Vá
lv
ul
a “
R”
fe
ch
ad
a
RESERVATÓRIO
D +
 
D 
D +
 
D 
He
v
e
v
654321
n n-
1
n-
2
n n-
1
n-
2
n n-
1
n-
2
654321
654321
e
v
No instante t1, o escoamento ocorre de modo uniforme, ou seja, a velocidade é constante ao longo da 
tubulação, pois a válvula “R” está aberta. Perceba que a velocidade tem o sentido do reservatório para 
a válvula, e o fluido apresenta infinitas lâminas, cada uma ocupando uma espessura infinitesimal da 
tubulação. Nesta representação do escoamento, cada lâmina de fluido comporta-se como um disco, 
movimentando-se através do tubo, onde o disco mais próximo à válvula é referido como “1”, e o mais 
próximo ao reservatório é referido como disco n. 
Descrição da Imagem: a figura consiste na representação esquemática de uma tubulação na qual, em uma das extremidades, 
encontra-se um reservatório e, na outra, uma válvula “R”; o diâmetro da tubulação é representado por “D”, a espessura da parede 
da tubulação por “e”, a velocidade do escoamento por “V”. Cada seção da tubulação apresenta um volume de controle de espessura 
infinitesimal, numerados a partir da válvula em ordem crescente; próximo ao reservatório encontram-se os volumes “n”, “n-1” e “n-2”. 
O esquema repete-se três vezes, cada uma representando um momento, descritos como “instante t1”, “instante t2” e “instante t3”.
214
UNICESUMAR
No instante t2, com o fechamento da válvula “R”, o disco 1 é comprimido por todos os demais discos 
pelo efeito da inércia do movimento do fluido, devido à impossibilidade de continuar com velocidade 
“V”, a energia cinética converte-se em pressão o que faz o tubo sofrer uma deformação elástica, pas-
sando do diâmetro “D” para o diâmetro “D+ΔD”. Isso também ocorre, sucessivamente, com os discos 
“2”, “3” e “4” até o disco “n”, como representado no instante t3. Esta onda de pressão transita por todo o 
comprimento da tubulação, e, como a pressão no interior do tubo, neste instante, tornou-se maior que 
a pressão no reservatório, o disco “n” é impelido para o interior do reservatório, devido aos esforços 
internos do fluido e a elasticidade do tubo. 
Note que não foram transportados os discos “1”, “2”, “3” e “4” através da tubulação, apenas a onda de 
pressão, fazendo com que a camada “n” passasse a se movimentar na direção oposta ao sentido inicial, 
ou seja, na válvula para o reservatório, dado este movimento com a mesma velocidade inicial, mas com 
sentido oposto, podendo ser referida como “-V”, enquanto a velocidade da onda de pressão é referida 
como celeridade. Quanto ao tempo necessário para o transcorrer deste fenômeno, é dado por:
t �
�2 L
c
Onde: 
t = Período da onda (s)
L = comprimento da tubulação (m)
c = celeridade de propagação da onda (m/s)
Entende-se, deste modo, que o disco “1” ficou sob efeito de uma sobrepressão pelo período “t ”, após 
este instante, sob efeito da velocidade “-V” tem-se um período “t ” no qual o disco “1” está sujeito a uma 
subpressão, originando, assim, um comportamento oscilatório de pressão, apresentado na Figura 4.
Sobre-pressão
Pressão
estática
Depressão
h
H =
a
2xL
C=�
Figura 4 - Onda de pressão ao longo da tubulação
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 297).
Descrição da Imagem: a figura mostra uma onda retangular na qual, por um período “t ”, a pressão permanece positiva (sobre-
pressão), seguida por um período “t ” de pressão negativa (depressão), ambas em relação à pressão estática.
215
UNIDADE 8
Perceba que, nesta onda, não se considera as perdas de carga, por isso, a amplitude da onda permanece 
igual ao longo do escoamento, caso o atrito seja considerado, a onda de pressão resultante assemelha-
ria-se à Figura 5.
Figura 5 - Onda de pressão considerando perda de carga
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 297).
Neste contexto, para a predição das pressões no interior das tubulações em escoamentos variáveis, 
faz-se necessário o conhecimento da velocidade de propagação das ondas de pressão, assim, pode-se 
utilizar, para a estimativa deste parâmetro, o método de Allievi, descrito pela equação:
c
D
E e
�
��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
1
1
ρ
ε
Onde: 
c = Celeridade da onda de pressão (m/s)
r = Massa específica do fluido (kg/m3)
e= Módulo de elasticidade do fluido (Pa)
E = Módulo de elasticidade da canalização (Pa)
e = Espessura da tubulação (m)
D = Diâmetro datubulação (m)
Aplicando esta equação para a água cuja massa específica (r ) é dada por 1000 kg/m3, e o módulo de 
elasticidade (e ) é de 2 GPa, pode-se obter:
c
k D
e
�
� �
9900
48 3,
Onde: 
c = celeridade de propagação da onda (m/s)
D = Diâmetro útil da tubulação (m)
e = Espessura do tubo (m)
k = Coeficiente em função dos módulos de 
elasticidade da tubulação
Descrição da Imagem: a figura mostra uma onda com picos arredondados, mas ainda com platô no topo, oscilando em torno de 
uma pressão média representada por uma linha tracejada.
216
UNICESUMAR
O coeficiente “ k ” pode ser obtido de acordo com a seguinte expressão:
Onde: 
k = Coeficiente em função dos módulos de elasticidade da tubulação
E = Módulo de elasticidade da canalização (Pa)
No entanto os valores para o coeficiente “ k ” são, comumente, parametrizados e adotados de acordo 
com a Tabela 1.
Tabela 1 - Valores para o coeficiente
Material Coeficiente “k”
Aço 0,5
Ferro Fundido 1
Concreto 5
Tubos Plásticos 18
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 289).
A partir da equação do coeficiente “ k ”, adotando o módulo de elasticidade “e” como infinito, ou seja, 
para uma tubulação indeformável, o valor de “ k ” tende a zero, o que aplicado à equação de Allievi 
resulta em uma celeridade de 1424,5 m/s. Este valor corresponde à velocidade do som na água, desta 
forma, entende-se que a celeridade está na ordem de 1000 m/s, sendo muito maior que a velocidade 
dos líquidos, que, na prática, permanece na ordem de 10 m/s (AZEVEDO NETO, 2015). No entanto 
o tempo necessário para a redução da vazão de um escoamento, como o fechamento de válvula, por 
exemplo, é fator determinante para o entendimento do mecanismo do fenômeno de transientes hi-
dráulicos, sendo denominado tempo de manobra. Classifica-se em manobra rápida ou lenta a partir 
da seguinte relação:
Tem-se uma manobra rápida quando:
t L
c
�
�2
Analogamente, a manobra é considerada lenta se:
t L
c
�
�2
Onde: 
t = Tempo de manobra (s)
L = Comprimento da tubulação (m)
c = celeridade (m/s)
Este parâmetro influencia, diretamente, no cálculo da sobrepressão máxima exercida na tubulação, 
desta forma, para manobras rápidas, a variação de energia na extremidade da linha é dada pala seguinte 
expressão:
1010
k= E
217
UNIDADE 8
h c v
ga �
�
Onde: 
ha = Aumento da pressão (m.c.a)
c = Celeridade da onda de pressão (m/s)
v = Velocidade do fluido (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
Esta pressão aplica-se a um comprimento a partir da extremidade fechada da tubulação dada pela 
seguinte equação:
C L c t
P � �
�
2
Onde: 
CP = Comprimento pressurizado (m)
L = Comprimento total da canalização (m)
c = Celeridade da onda de pressão (m/s)
t = Tempo de manobra (s)
A partir deste ponto, a pressão extra reduz, linearmente, até o início da tubulação, onde se torna nula, 
como observado na Figura 6.
Figura 6 - Distribuição da sobrepressão ao longo da tubulação, manobra rápida
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 299).
Descrição da Imagem: a figura representa uma tubulação de comprimento “L”, em cuja extremidade observa-se uma sobrepressão 
máxima “ha" que se estende pelo comprimento “CP”; a partir deste, ocorre uma redução até zerar no início da tubulação.
218
UNICESUMAR
Já para manobras lentas, para a determinação da pressão extra máxima, aplica-se a fórmula aproximada 
de Michaud-Vensano, dada pela seguinte equação:
h c v
g ta �
�
�
t
Onde: 
ha = Aumento da pressão (m.c.a)
c = Celeridade da onda de pressão (m/s)
v = Velocidade do fluido (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
t = Período da onda (s)
t = Tempo de manobra (s)
É comum, no entanto, inserir a equação do período na equação de Michaud-Vensano:
h c v
g
L
c
ta �
�
�
�2
A partir da manipulação algébrica, é possível obter:
h L v
g ta �
� �
�
2
Onde: 
ha = Aumento da pressão (m.c.a)
L = Comprimento total da canalização (m)
v = Velocidade do fluido (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
t = Tempo de manobra (s)
Neste caso, manobra lenta, a pressão reduz-se, linearmente, tendo o máximo próximo à extremidade 
fechada e o mínimo no início da tubulação, como apresentada na Figura 7.
Início Extremidade
L
ha g • t
2 • L • v
Figura 7 - Distribuição da sobrepressão ao longo da tubulação, manobra lenta
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 299).
Descrição da Imagem: a figura representa uma tubulação de comprimento “L”, na extremidade, observa-se uma sobrepressão 
máxima “ha", a partir desta, ocorre uma redução linear até zerar no início da tubulação. No entanto uma série de teorias e fórmu-
las visam à determinação da pressão máxima exercida pelo golpe de aríete, dentre elas destacam-se a fórmula De Sparre, Teoria 
Inelástica Johnson et al. e Teoria Elástica de Allievi, Gibson e Quick.
219
UNIDADE 8
Sendo a fórmula De Sparre dada por:
 h
L v
g t L v
g t H
a �
� �
�
�
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
2 1
2 1
2
Onde: 
ha = Aumento da pressão (m.c.a.)
L = Comprimento total da canalização (m)
v = Velocidade do fluido (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
t = Tempo de manobra (s)
H = Carga Inicial (m)
Nota-se que esta equação é um aperfeiçoamento da equação de Michaud-Vensano, contemplando, 
também, a pressão inicial da tubulação como forma de determinar a pressão extra com maior precisão. 
Da mesma forma, a Teoria Inelástica, além da pressão inicial da tubulação (H), admite a tubulação 
como, completamente, rígida (indeformável) e considera a água incompressível, ou seja, massa espe-
cífica constante em qualquer pressão, sendo dada pela equação:
h L v
g H t
L v g H t L va �
�
� � �
� � � � � � � ��
��
�
��2
42 2
2 2 2 2 2
Onde: 
ha = Aumento da pressão (m.c.a.)
L = Comprimento total da canalização (m)
v = Velocidade do fluido (m/s)
g = Gravidade (m/s2)
t = Tempo de manobra (s)
H = Carga Inicial (m)
Já a teoria elástica foi desenvolvida por Allievi, Gibson e Quick a qual contempla o comportamento 
elástico das tubulações, além da compressibilidade da água. Tem-se, então, a variação da pressão em 
decorrência do golpe de aríete apresentada no seguinte nomograma:
220
UNICESUMAR
Figura 8 - Gráfico de Allievi para golpe de aríete
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 300).
Neste nomograma, as linhas tracejadas numeradas de 1 a 17 correspondem ao intervalo de tempo até 
o sistema atingir a pressão máxima, enquanto as linhas diagonais apresentam a relação:
H h
H
a+
Onde: 
ha = Aumento da pressão (m.c.a.)
H = Carga Inicial (m.ca)
Descrição da Imagem: a figura apresenta um gráfico que relaciona o coeficiente “K” das tubulações com o fator “t” sobre “t ”, 
denominado fator de tempo “N”, a partir destes, obtêm-se a relação da variação de pressão e o intervalo de tempo até que esta 
seja atingida.
Constante “k” de tubulação
1 2 3 4 5 6 7 8
0
5
10
15
20
1,1 1,2 1,3 1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
10,0
15,0
Va
lo
re
s 
de
H
 +
 h H
a
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
14
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10
,0
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,0
Fa
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e 
te
m
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 “N
” =
 t/
221
UNIDADE 8
Ou seja, a relação entre a sobrepressão e a pressão inicial do sistema, entretanto, estes métodos con-
sistem em aproximações uma vez que o fenômeno do golpe de aríete é muito complexo, envolvendo 
inúmeras condições e variáveis (AZEVEDO NETO, 2015). Esta consiste em uma área de estudo, na 
qual a modelagem computacional encontra ampla aplicação, especialmente, em casos nos quais se 
exige precisão na estimativa de pressão no interior de tubulações sujeitas a fenômenos transitórios. 
Dentre os modelos matemáticos embarcados em softwares, destaca-se o Allievi, utilizado no software 
homônimo para a simulação de fenômenos hidráulicos transitórios.
Caso você tenha ficado curioso sobre como o software Allievi funciona 
para a simulação do fenômeno do golpe de aríete, selecionamos este 
vídeo com algumas instruções básicas de uso. Este programa pode 
ser muito útil tanto para a resolução de problemas teóricos como na 
atuação profissional. Vale muito a pena conferir!
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Paraimpedir que determinados 
valores máximos recomenda-
dos de pressão sejam ultrapas-
sados no interior dos condutos 
forçados, diversos modelos de 
dispositivos de segurança fo-
ram implementados, entre eles 
as válvulas de alívio, os tanques 
unidimensionais (TAUs), tan-
ques bidimensionais (TABs) e 
os volantes de inércia.
Dentro das válvulas de alí-
vio, apresentam-se dois grupos, 
o primeiro sendo o das Válvulas 
de Alívio com Mola (VAM) e 
o segundo composto pelas Vál-
vulas de Alívio com Ar Com-
primido (VAC). Em ambos os 
casos, estas válvulas são conec-
tadas à tubulação que se deseja 
proteger, sendo abertas quando 
o limite de pressão é alcançado, 
como pode ser visto na Figura 9.
02
01
03
04
05
01
02
03
04
05
Figura 9 - Válvula de Alívio (VAM)
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 301).
Descrição da Imagem: a figura apresenta o corte de uma válvula de alívio do tipo 
VAM com uma mola metálica espiralada.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6454
222
UNICESUMAR
Neste dispositivo, os componentes indicados por números representam, respectivamente, 01 – alavanca 
para travamento da haste na posição “aberta”; 02 - Parafuso bloqueador; 03 – Haste; 04 – Mola; 05 – 
Disco de vedação. Desta forma, quando a pressão na tubulação supera o valor predefinido, o disco de 
vedação é empurrado para cima, permitindo a passagem do fluido transportado da tubulação principal 
para a tubulação de purga, reduzindo, assim, a pressão. A mola utilizada no processo é dimensionada 
para resistir à determinada força, sendo esta que determina a pressão a ser resistida pela bomba, assim 
como a pressão capaz de acionar o dispositivo de purga. Nas válvulas do tipo VAC, no lugar das molas, 
encontram-se bolões de ar comprimido que mantêm o disco de vedação na posição até que a pressão 
predefinida seja superada, como pode ser visto na Figura 10.
Figura 10 - Válvula de Alívio (VAC)
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 302).
Note que, neste tipo de dispositivo, o ar empurra o disco de vedação para baixo, mantendo a tubulação 
de purga fechada, enquanto o líquido empurra o disco de vedação para cima, forçando a abertura da 
tubulação de purga. Quando a força do líquido supera a pressão predefinida pela válvula, é ajustada pelo 
ar comprimido, o líquido escoa pela tubulação de purga, aliviando a pressão na tubulação principal. 
Já nos tanques bidirecionais acumuladores de ar, sejam elas de pistão sejam de bexiga, respondem à 
variação da pressão da tubulação, recebendo o trabalho gerado pelo fluido, desta forma, o gás com-
prime-se ou se expande, amortecendo as pressões sobre a tubulação (Figura 11). 
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta o corte de uma válvula 
de alívio do tipo VAC na posição 
fechada.
223
UNIDADE 8
Figura 11 - Câmara de ar comprimido
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 304).
Tipo
bexiga
Gás ou ar
comprimido
Gás ou ar
comprimido
Posição 1 Posição 2
Tipo
Pistão
H O2
H O2
Gás ou ar
comprimido
Gás ou ar
comprimido
Posição 1 Posição 2
H O2
H O2
Note que o fluido transportado, representado na cor cinza clara, é capaz de transferir trabalho, dire-
tamente, para o gás do compartimento. Como o módulo de elasticidade dos gases é muito menor que 
dos líquidos, quando a água recebe pressão, transfere-a para o gás que se comprime (Posição 1), quando 
o escoamento está em subpressão, o gás no interior da câmara se expande (Posição 2). Desta forma, 
este dispositivo auxilia na proteção do sistema hidráulico, amortecendo as ondas de pressão, contudo, 
ainda se faz necessária a utilização da válvula de alívio uma vez que existe limite para a deformação do 
gás, no interior da câmara. Note que, diferentemente do caso das válvulas de alívio de gás comprimido 
(VAC), nos tanques bidimensionais pneumáticos o fluido não é purgado, a não ser que o limite de 
deformação do gás seja atingido, e a válvula de segurança seja acionada.
Descrição da Imagem: a figura 
apresenta o corte de quatro reser-
vatórios hidropneumáticos; nos 
dois primeiros, o gás está dentro 
de uma bexiga, sendo apresentadas 
duas posições: na posição 1, apre-
senta o gás condição de expansão, 
e, na 2, a condição de compressão 
pela força transferida pela água; 
logo abaixo, é apresentado um 
paralelo com pistões no qual, na 
posição 1, o gás está expandido, e, 
na posição 2, está comprimido pela 
força da água que empurra o pistão.
224
UNICESUMAR
Já no caso dos volantes, estes se valem do princípio da inércia para manter o movimento de bombas 
e turbinas em casos de falha, pois, por possuírem grande massa e estarem ligados ao eixo de rotação, 
tendem a continuar girando, mesmo tendo parado de receber energia rotacional. Isto faz com que o 
conjunto se desacelere, lentamente, evitando a variação abrupta do fluxo, e, assim, reduz-se a intensi-
dade do golpe de aríete. Um volante de inércia pode ser observado na Figura 12.
Figura 12 - Volante de Inércia
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 306).
Descrição da Imagem: a figura é a foto de uma turbina, na qual um grande disco de metal se conecta ao eixo de rotação, sendo 
este o volante de inércia.
Uma das utilizações dadas pela engenhosidade humana ao golpe de aríete é o carneiro hidráulico. Este 
se utiliza da sobrelevação de pressão gerada pelo fenômeno transitório para conduzir uma vazão de 
fluido no sentido contrário ao impelido pela gravidade, como uma bomba. No entanto, neste processo, 
não é utilizado energia externa, seja ela elétrica seja térmica, contudo uma parte do fluido é desprezada, 
deste modo, este mecanismo torna-se alternativa viável em locais de abundância de água e restrição ao 
acesso de energia. Observe o esquema de funcionamento do carneiro hidráulico na Figura 13.
225
UNIDADE 8
Figura 13 - Esquema de funcionamento do carneiro hidráulico
Descrição da Imagem: a figura é uma representação esquemática de um caneiro hidráulico, que mostra o reservatório como 
elemento “A”, tubulação de entrada “B”, tubulação de saída “F”, tanque de pressão “D” e válvula de fechamento rápido “E”; também 
apresenta uma seta indicando a direção do fluxo de “A” para “D” e de “E” para “D”.
Inicialmente, o fluido desloca-se do reservatório “A” para a válvula 
“E”, que está aberta permitindo o extravasamento. Quando deter-
minada velocidade é atingida, a válvula se fecha, abruptamente, 
gerando um golpe de aríete. Desta forma, tem-se uma onda de 
choque de “E” para o tanque de pressão “D” e outra de “A” para “D”, 
aumentando a pressão no interior do tanque e comprimindo o ar 
ali contido. Esta pressão é suficiente para empurrar a água para uma 
altura “H” pela tubulação “F” em função da carga inicial “h”, tendo 
diferentes rendimentos, como apresentado na Tabela 2.
Tabela 2 - Rendimento em função das alturas de carga e recalque
Relação h/H Rendimento
1:2 80
1:3 75
1:4 70
1:5 65
1:6 60
1:7 55
1:8 50
Fonte: Carvalho (1998, p. 98).
226
UNICESUMAR
Figura 14 - Carneiro hidráulico e variáveis de funcionamento
Fonte: Azevedo Neto (2015, p. 285).
Descrição da Imagem: a figura apresenta um esquema de funcionamento de um carneiro hidráulico no qual o “h” representa a 
altura de alimentação do carneiro, enquanto “H” representa a altura de recalque, o parâmetro “q” representa a vazão de alimentação 
e a “Q” a vazão de recalque. A figura também apresenta o detalhe do funcionamento da válvula cinética e o ar mantido sob pressão 
dentro do tanque de pressão.
Ou seja, para cada 1 metro de desnível “h”, o carneiro consegue empurrar a água a 2 m de altura “H”, 
contudo apenas 80% da vazão chega ao destino, sendo a restante extravasada, da mesma forma se hou-
ver um desnível de 1 metro e for necessário elevar a 8 metros, apenas 50% da vazão chega ao destino. 
O rendimento do carneiro pode ser calculado, por meio da seguinte equação:
h �
�
�
�
q H
Q h
100
Onde:
h = Rendimento
q = Vazão de recalque (m3/s)
Q = Vazão de alimentação (m3/s)
H = Altura de recalque (m)
h = Altura de alimentação do carneiro (m)
N.A.
Manancial
Vazão de
montante Q
A
H
h
Vazão de
recalque q
Fase escoamentolivre
Ar sob
pressão
Calota
Válvula
cinética
Deságue do
desperdício
Fase bombeamento
227
UNIDADE 8
É comum, em projetos hidráulicos, a utilização de considerações a respeito da dinâ-
mica dos fluidos assim como das propriedades dos condutos e acessórios, no entanto 
existem casos em que estas simplificações têm potencial de gerar problemas às ins-
talações, resultantes da execução do projeto. Este é o caso da vazão, normalmente, 
definida como constante, neste caso, existe o potencial de provocar grandes impactos 
sobre os componentes do sistema quando ocorre a variação deste parâmetro dentro 
da tubulação. Esta variação está relacionada, entre outros motivos, ao acionamento 
e à parada de bombas e turbinas, a partir da utilização de válvulas e registros, assim 
como em decorrência de sinistros, como bolsões de ar ou ruptura de tubulações. O 
efeito mais notado deste fenômeno é conhecido com transiente hidráulico, sendo 
caracterizado por uma série de ondas de choque, movimentando-se em altas veloci-
dades por meio do fluido, com grandes quantidades de energia. Esta energia, quando 
transferida para a estrutura, dá origem ao golpe de aríete, ou martelo hidráulico, o 
qual recebe esta denominação pelos fortes golpes assemelhando-se ao uso de um 
martelo, ou, até mesmo, da arma medieval com o mesmo nome. Portanto, entender 
o fenômeno, como ele se processa, suas causas e consequências é fundamental para 
a mitigação dos problemas em decorrência do mesmo, assim como na escolha dos 
mecanismos de proteção para, assim, garantir a estabilidade e a segurança das insta-
lações hidráulicas projetadas.
É importante destacar que o fenômeno do golpe de aríete também pode ser 
utilizado em prol das atividades humanas, e uma destas aplicações mais co-
nhecidas diz respeito ao carneiro hidráulico, dispositivo capaz de transportar 
água, no sentido contrário ao da gravidade, sem o consumo de eletricidade 
ou combustível no processo. Ficou curioso? Acesse o QR-code para ver o 
funcionamento e como construir o dispositivo apenas com peças simples.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6453
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L
Durante esta unidade, foram analisadas as variáveis pertinentes às variáveis e às 
equações pertinentes ao cálculo preditivo do golpe de aríete. Agora, preencha as 
lacunas do Mapa Mental.
Descrição da Imagem: o Mapa Mental inicia-se com um balão com a expressão “Golpe de Aríete”, do qual se 
ramifica um balão com a palavra “manobra”; deste se deriva dois balões, o da esquerda traz a palavra “rápida”, 
derivando dele três balões, um com a palavra “gravidade”, outro com a palavra “velocidade”, e outro que deve 
ser preenchido. O balão da direita a ser preenchido, ramificam-se 4 balões, o primeiro a ser preenchido, o 
segundo com os termos “De Sparre” o terceiro deve ser preenchido, e o quarto contém as palavras “Teoria 
elástica de Allievi, Gibson, Quick”.
GOLPE DE ARÍETE
Manobra
Rápida
Gravidade
Velocidade
De Sparre
Teoria elástica de Allievi, Gibson, Quick
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A
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 C
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M
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O
C
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1. Dada uma tubulação de 32 mm de diâmetro e 2,5 mm de espessura, constituída de PVC cujo 
módulo de elasticidade é de 3 GPa, que transporta uma vazão de 3 l/s de água cuja massa espe-
cífica é de 1 g/cm3 e módulo de elasticidade de 2·109 Pa, calcule:
a) A Celeridade do fenômeno transitório.
b) O aumento de pressão, em m.c.a. e kPa da tubulação caso ocorra uma manobra de fechamento 
rápido.
2. Considerando a celeridade da onda igual a 1400 m/s em uma tubulação de 9 metros de compri-
mento, qual o tempo de manobra máximo para que seja considerada rápida?
3. Uma tubulação de PVC (K=18) com 5 centímetros de diâmetro, 5 metros de comprimento e 5 
milímetros de espessura a qual transporta uma vazão de 5 litros por segundo, considerando 
que um registro demora 500 milisegundos para interromper, completamente, o fluxo, calcule o 
aumento da pressão, segundo:
a) A Celeridade da onda.
b) O Período da onda.
c) O aumento da pressão, segundo a fórmula de Michaud-Vensano.
d) O aumento da pressão, segundo a fórmula De Sparre, considerando a pressão inicial de 500 kPa.
e) O aumento da pressão, segundo a Teoria inelástica, de Johnson et al.
230
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1. a. Partindo da equação apresentada no Ciclo de Aprendizagem:
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1
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Substituindo as variáveis
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Pa m
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3
9 3,
���
Desta forma, obtém-se:
c m
s
=1420 286434,
b. Partindo da equação apresentada no Ciclo de Aprendizagem:
h c v
ga �
�
Substituindo a velocidade pela equação da continuidade
h
c Q
D
ga �
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2p
Substituindo as variáveis
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s
m s
m
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s
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�1420 286434 4 3 10
32 10
10
3 3
3 2
2
,
/
( )p
Desta forma, obtém-se:
h m c aa = 529 7943904, . .
h MPaa = 5 298,
Partindo da equação apresentada no Ciclo de Aprendizagem:
t L
c
�
�2
Substituindo as variáveis
t m
m s
�
�2 10 5
1400
,
/
Desta forma, obtém-se:
t s≤ 0 015,
Ou seja, para que seja considerada uma manobra rápida, o registro deve ser fechado em menos de 0,015 
segundos.
231
C
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2. a. Partindo-se da equação apresentada no Ciclo de Aprendizagem
c
k D
e
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� �
9900
48 3,
Substituindo as variáveis
c
m
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� �
9900
48 3 18 0 05
0 005
, ,
,
Obtém-se:
c m s= 655 2126, /
b. Partindo-se da equação apresentada no Ciclo de Aprendizagem
t �
�2 L
c
Substituindo as variáveis
t �
�2 50
655 2126
m
m s, /
Obtém-se:
c s= 0 152622,
c. Partindo-se da equação de Michaud-Vensano
h L v
g ta �
� �
�
2
Inserindo a equação da continuidade
h
L Q
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2 4
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Substituindo as variáveis:
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m m s
m
m
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232
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d. Partindo da equação De Sparre
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Inserindo a equação da continuidade
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h ma = 34 16478,
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233
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AZEVEDO NETO, J. M. Manual de hidráulica. 9. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2015.
CARVALHO, J. A. Aproveitamento de energia hidráulica para acionamento de roda d'água e carneiro 
hidráulico. Lavras: UFLA/FAEPE, 1998.
234
M
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SP
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235
M
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236
M
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9Prática de 
Laboratório
Dr. Fernando Marcos Weronka
Para o entendimento das propriedades dos fluidos e das dinâmicas dos 
escoamentos, é importantíssimo o conhecimento teórico a respeito das 
características dos líquidos e gases assim como das leis que regem os mo-
vimentos destes. No entanto, para que este conhecimento teórico ganhe 
aplicação prática, é fundamental que estes sejam testados na prática, per-
mitindo aobservação dos fenômenos referentes à hidráulica em tempo real. 
Por este motivo, esta unidade é dedicada às práticas de laboratório, para 
tanto, utiliza-se da plataforma digital de laboratórios virtuais da Algetec®, que 
possibilita as realizações das práticas relativas à hidráulica para engenharia 
civil, sem a necessidade de o aluno sair de casa. Destaca-se, no entanto, o 
alto grau de fidelidade dos equipamentos físicos replicados, virtualmente, 
permitindo o manuseio dos equipamentos de maneira individual e possi-
bilitando a repetição dos ensaios quantas vezes forem necessárias para a 
adequada compreensão dos conhecimentos que se deseja exemplificar.
238
UNICESUMAR
Sabendo que as práticas de laboratório são fundamentais para a assimilação de conteúdos relativos à 
engenharia, quanto à hidráulica não é diferente, por isso, busca-se a apresentação dos conteúdos teóri-
cos, disponibilizados até então, na forma de experimentos, trazendo a prática aos alunos de Engenharia 
Civil, na modalidade EAD. Neste contexto, é possível a realização de práticas de laboratório, referentes à 
disciplina de Hidráulica, de modo virtual?
Os laboratórios virtuais da Algetec® são desenvolvidos com base nos equipamentos físicos também 
comercializados pela empresa, deste modo, os resultados obtidos em meio virtual correspondem, fielmente, 
aos que seriam observados na prática real de laboratório. Assim sendo, a experiência prática, tão necessária 
ao aluno de engenharia civil, pode ser obtida, remotamente, devido ao alto grau de confiabilidade das 
simulações. Outra vantagem desta abordagem diz respeito à individualização do experimento, pois você 
terá a possibilidade de realizar todas as etapas da prática de laboratório, além de poder repeti-las quantas 
vezes julgar necessário. Deste modo a experimentação laboratorial, mesmo remota, cumpre a função de 
determinar valores utilizados nos cálculos, como a massa específica e a viscosidade e demais propriedades 
de fluidos, além de comprovar leis, como o princípio de Arquimedes. Possibilita, também, a visualização, 
de forma prática, da ocorrência de fenômenos até então abordados apenas de maneira teórica, como a 
perda de carga em condutos forçados ou a associação de bombas hidráulicas.
Nesta unidade, você terá a oportunidade de pôr a mão na massa em diversas oportunidades em práticas 
realizadas no laboratório virtual, por isso, preparamos para você os seguintes experimentos:
• Determinação da massa específica.
• Verificação da fórmula do empuxo (Princí-
pio de Arquimedes).
• Determinação da viscosidade de fluidos 
(Viscosímetro de Stokes).
• Perda de carga em tubulações.
• Associação de bombas hidráulicas.
239
UNIDADE 9
Em diversos cálculos apresentados nas unidades anteriores, a propriedade massa específica foi empregada, 
no caso da água é comum que este valor seja considerado 1g/mL, o que equivale a 1000 kg/m3. No entanto, 
como se sabe, este valor varia de acordo com as condições de pressão e temperatura do ambiente, além 
disso, impurezas contidas na água também podem afetar a densidade deste fluido, como no caso da água 
salgada do mar, mais densa que a água doce dos rios. Por este motivo, a determinação da massa específica 
em laboratório, além de auxiliar na compreensão do conceito desta propriedade, pode colaborar para a 
definição de valores utilizados nos cálculos quando há necessidade de maior precisão nos resultados. 
Ainda, antes de abordar os líquidos em movimento, uma das práticas da hidrostática aborda o princípio 
de Arquimedes, que explica como se processa o fenômeno de empuxo, sendo a magnitude deste relacionada 
à massa específica do fluido e do corpo submerso. O empuxo, por sua vez, é empregado no viscosímetro de 
Stokes para a determinação da viscosidade de diversos fluidos, entre eles a água, no entanto, é importante 
frisar que este experimento só é indicado para escoamentos com baixo número de Reynolds, pois, em 
escoamentos turbulentos, os resultados podem ser bastante variados, devido aos efeitos da turbulência. 
A viscosidade é uma propriedade dos fluidos que quantifica a resistência ao escoamento, logo, apresenta 
grande relação com a perda de carga em tubulações, a estimativa da perda de carga configura-se como um 
dos problemas de engenharia mais importantes na área da hidráulica. Compreendê-la, adequadamente, 
é fundamental para a elaboração de projetos de engenharia que envolvam fluidos, como vários sistemas 
urbanos, como a distribuição de água potável, drenagem pluvial e esgotamento sanitário. 
A perda de carga, entre outros fatores, também é imprescindível para o correto dimensionamento de 
bombas, as quais, em casos específicos, necessitam ser associadas, seja para o aumento da vazão (paralelas), 
seja para o aumento da pressão (série). Todas estas propriedades e estes fenômenos apresentam correlações 
e são bases para a estruturação do conhecimento técnico referente à hidráulica, na engenharia civil, por 
isso, preparamos estes experimentos para que você possa observá-los na prática.
DIÁRIO DE BORDO
240
UNICESUMAR
Uma das primeiras propriedades de um fluido estudada na hidráulica diz respeito à massa específica, 
representada pela letra grega ( ρ ), sendo esta obtida por meio da razão entre a massa de um fluido e 
o volume que este ocupa. Ou seja, em uma prática para a determinação desta propriedade, dois dados 
devem ser obtidos, a massa obtida por meio de uma balança e o volume aferido por diversas vidrarias 
comuns no laboratório, entre elas a proveta, que utilizaremos no experimento, aprestando na Figura 1.
Figura 1 - Medidas de massa e volume de líquidos
Fonte: Algetec®(2018).
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível visualizar sobre a bancada 
uma balança analítica, um Becker de 50 mL, um Becker de 250 mL, uma pipeta de 10 mL, um pipetador de borracha, suporte para 
pipeta, pisseta com água destilada e, ao fundo, diversas outras substâncias em garrafas âmbar; existe, também, um termômetro 
indicando a temperatura do ambiente, simulado em 20 °C.
Caminho para experimento:
Cursos > Demo Ciências Naturais (Física e Química) > Química > 
MEDIDAS DE MASSA E VOLUME DE LÍQUIDOS 
Roteiro para a prática de determinação da massa específica da água:
Materiais utilizados:
• Jaleco
• Luvas
• Béquer de capacidade volumétrica de 50 mL
• Béquer de capacidade volumétrica de 250 mL
• Pisseta com água destilada
• Pipeta de capacidade volumétrica de 10 mL
• Pipetador de borracha de três vias
• Balança Analítica
241
UNIDADE 9
Procedimento:
1º Passo - SEGURANÇA DO EXPERIMENTO
• Coloque os equipamentos de proteção individual 
localizados no Armário de EPIs.
2º Passo - PREPARO DO EXPERIMENTO
• Coloque sobre a mesa os materiais a serem utili-
zados no experimento, você poderá encontrá-los 
nas Gavetas.
3º Passo - EXECUÇÃO DO EXPERIMENTO
• Ligue a balança analítica.
• Coloque, no interior, a balança analítica, o béquer 
de capacidade volumétrica de 50 mL.
• Pressione o botão TARA.
• Coloque o béquer de capacidade volumétrica de 
50 mL na mesa.
• Conecte o pipetador de borracha de três vias à pi-
peta.
• Pressione o pipetador, expulsando a ar da parte de 
borracha.
• Selecione a pisseta. 
• Coloque 50 mL de água no béquer de capacidade 
volumétrica de 250 mL.
• Coloque a pipeta sobre o béquer de capacidade vo-
lumétrica de 250 mL.
• Insira a pipeta no recipiente e aperte em S até que a 
água atinja o menisco, como apresentado na Figura 2.
• Caso ultrapasse este nível, pressione E para esvaziar 
e tente novamente.
• Retire a pipeta do recipiente e clique em Retomar.
• Coloque a pipeta sobre o béquer de capacidade vo-
lumétrica de 50 mL.
• Aperte E até que todo o fluido tenha sido transfe-
rido.
• Retire a pipeta do recipiente e clique em Retomar.
• Coloque, no interior a balança analítica, o béquer 
de capacidade volumétrica de 50 mL.
• Anote o resultado exibido no visor.
Figura 2 - Medição laboratorial menisco
Fonte: Algetec® (2018).Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma 
captura de tela do laboratório virtual; nela, é possí-
vel visualizar, em detalhe, um líquido no interior de 
uma pipeta, como esperado, a superfície da deste 
apresenta uma curva côncava, tendo o ponto mais 
baixo no ponto central da pipeta, onde deve ser 
realizada a medição do volume contido na pipeta.
242
UNICESUMAR
4º Passo - ANÁLISE DE RESULTADOS
• Ao dividir o valor em gramas, exibido no visor da balança, por 10 mL, que é o volume de fluido 
coletado pela pipeta, a massa específica da água será calculada.
5º Passo - CONCLUSÃO
• O valor obtido para massa específica da água em g/mL deverá ser bastante próximo de 1.
• Ao converter a unidade de medida g/mL para kg/m3, o valor encontrado deverá se aproximar de 
1000 kg/m3, como utilizado em diversos cálculos, vale lembrar que 1 mL corresponde a 1 cm3.
Diversos fenômenos da hidráulica estão relacionados à massa específica do fluido, entre eles o empuxo, 
este responsável pela sensação de que o corpo se torna mais leve quando imerso em um fluido, como 
no caso de uma pessoa dentro de piscina com água. Esta força que empurra os corpos para cima, ou 
seja, no sentido contrário ao peso, foi descrita por Arquimedes, ainda na Grécia Antiga, o qual postulou: 
“Todo sólido imerso parcial ou totalmente em um líquido está sujeito a uma força vertical, de baixo para 
cima, denominada empuxo, correspondente ao peso do volume do líquido deslocado por este sólido”.
Desta forma, o princípio de Arquimedes pode ser descrito, matematicamente, como:
E gfluido fluido� �� �r
Onde:
E = Empuxo (N)
r fluido = Massa específica do fluido (kg/m3)
∀ fluido = Volume do fluido deslocado (m3)
g = Gravidade (m/s2)
Ou seja, o empuxo é uma força que empurra os corpos submersos para cima, reduzindo o peso aparen-
te destes, sendo essa força proporcional ao volume do corpo submerso, pois, quanto maior o volume 
deste, maior será o volume de fluido deslocado. 
P P Eaparente real� �
Onde:
Paparente = Peso Aparente (N)
Preal = Peso Real (N)
E = Empuxo (N)
Quanto à massa específica do fluido, essa também exerce influência sobre a força de empuxo, pois, 
como postulado por Arquimedes, a força que empurra o corpo para cima tem a mesma intensidade 
do peso do fluido deslocado.
243
UNIDADE 9
Para demonstração deste princípio, realiza-se o experimento com o cilindro de Arquimedes, este 
consiste de um recipiente contendo um cilindro de tamanho ajustado para ocupar todo o espaço inter-
no do recipiente. Desta forma, quando se pesa, com um dinamômetro, o cilindro fora da água, tem-se 
o peso real do mesmo, mas, quando se pesa o cilindro imerso em água, tem-se o peso aparente, logo, 
a diferença destas duas medidas resulta no empuxo exercido pela água sobre o cilindro. Ou seja, se a 
teoria de Arquimedes estiver correta, ao encher o recipiente com o mesmo fluido no qual o cilindro está 
imerso, o valor apresentado no dinamômetro será o mesmo o qual foi aferido no primeiro momento 
uma vez que o peso aparente somado ao empuxo é igual ao peso real.
Para auxiliá-lo no entendimento da dinâmica deste experimento e do 
princípio de Arquimedes, separamos este vídeo bastante instrutivo e 
interessante, no qual um exemplo é demonstrado.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Você terá a oportunidade de realizar este experimento, na prática, no laboratório virtual apresentado 
na Figura 3.
Cursos > Demo Ciências Naturais (Física e Química) > Física > Hidrostática
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar banquetas e 
bancadas, e sobre uma destas bancadas encontra-se um Becker de 250 mL, um dinamômetro suspenso em um suporte universal; 
conectado ao dinamômetro está um recipiente contendo o cilindro de Arquimedes, mais ao lado, pode-se observar uma pisseta 
com água destilada.
Figura 3 - Verificação do princípio de Arquimedes
Fonte: Algetec®(2018).
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6516
244
UNICESUMAR
Materiais utilizados:
• Béquer
• Água
• Suporte universal
• Dinamômetro
• Cilindro de Arquimedes
• Recipiente transparente
Procedimento:
1º Passo – Determinação do Peso Real do Cilindro
• Coloque o cilindro de Arquimedes na mesa. Para isso, acesse a 
câmera Dinamômetro e, em seguida, clique sobre o cilindro 
com o botão direito do mouse e selecione a opção Colocar 
na mesa.
• Calibre o dinamômetro, clicando sobre ele com o botão di-
reito do mouse e selecionando Calibrar dinamômetro.
• Observe que o dinamômetro, agora, está na posição zero.
• Posicione o cilindro embaixo do recipiente transparente. 
Para isso, altere o modo de visualização para Bancada, clique 
sobre o cilindro com o botão direito do mouse e selecione a 
opção Colocar embaixo do recipiente.
• Verifique o peso real do cilindro por meio da escala do di-
namômetro.
• Anote o valor exibido no dinamômetro como sendo o peso 
real do cilindro.
2º Passo – Colocando o Cilindro no Béquer
• Para que seja possível posicionar o béquer embaixo do di-
namômetro, é necessário levantar o dinamômetro antes. 
Para isso, clique com o botão direito sobre o instrumento e 
selecione Levantar dinamômetro.
• Posicione o béquer embaixo do dinamômetro, clicando com 
o botão direito do mouse sobre ele e selecionando a opção 
Colocar embaixo do dinamômetro.
• Retorne o dinamômetro para a posição inicial.
• Perceba que o cilindro, agora, está imerso na água.
• Verifique o valor indicado na escala do dinamômetro.
• Anote o valor aferido pelo dinamômetro, pois este representa 
o peso aparente do cilindro, ou seja, o peso real menos o 
empuxo.
245
UNIDADE 9
3º Passo - Preenchendo o Recipiente com Água
• Com o auxílio da pisseta, preencha, totalmente, o recipiente 
transparente com água. Para isso, clique com o botão di-
reito do mouse sobre a pisseta e selecione a opção Encher 
cilindro.
• Para despejar a água, basta clicar sobre a pisseta com o botão 
esquerdo do mouse.
• Retorne a pisseta para a mesa, clicando com o botão direito 
do mouse e selecionando a opção Retornar à mesa.
• Verifique o valor indicado na escala do dinamômetro.
• Nesta posição, o dinamômetro está aferindo o peso aparente 
somado ao peso do fluido deslocado, devendo este ser igual 
ao peso real aferido no passo 1 para que a teoria de Arqui-
medes tenha sido comprovada.
4º Passo - Análise de Resultados
Os resultados esperados para este experimento são:
• Peso real do cilindro. 
• Peso aparente do cilindro imerso em água.
• Peso do fluido deslocado (empuxo).
• Peso Aparente somado ao peso do fluido deslocado.
5º Passo - Conclusão
• Se o peso aparente somado ao peso do fluido deslocado for 
igual ao peso real, demonstra-se que a teoria de Arquimedes 
está correta.
Outra propriedade dos fluidos bastante importante na hidráulica 
diz respeito à viscosidade, que, em síntese, quantifica a resistência de 
um fluido ao escoamento, ou seja, quanto mais viscoso for o fluido, 
mais difícil é que este escoe. Para determinar, experimentalmente, 
a viscosidade de líquidos, muitos experimentos foram propostos, 
ao longo do tempo, entre eles o viscosímetro de Stokes, a partir da 
aplicação da lei homônima, esta apresenta a seguinte situação. Se 
uma esfera de massa e dimensões conhecidas for abandonada em 
um fluido, constitui-se um equilíbrio de forças quando a esfera 
atinge a velocidade terminal, pois, enquanto o peso da esfera puxa-a 
para baixo, o empuxo e a força de arrasto empurram a esfera para 
cima, logo, tem-se:
246
UNICESUMAR
Uma vez que a força peso é função do volume, da massa específica do corpo e da gravidade, e sabendo 
que, no caso da esfera, o volume é dado por:µ
Volume resfera =
4
3
3p
Tem-se o peso da esfera:
P F Ed� �
Onde:
P = Peso (N)
Fd= Força de arrasto (N)
E = Empuxo (N)
P r gesfera� � �
4
3
3π ρ
Onde:
P = Peso (N)
r= Raio da esfera (m)
resfera = Massa específica da esfera (kg/m3)
g = gravidade (m/s2)
Já o empuxo pode ser descrito como o produto da massa do fluido deslocado e a gravidade, de acordocom a seguinte equação:
Onde:
E = Empuxo (N)
r= Raio da esfera (m)
r fluido = Massa específica do fluido (kg/m3)
g = gravidade (m/s2)
E r gfluido� � �
4
3
3π ρ
Já para a força de arrasto, Stokes postulou a seguinte equação:
F V rd � � � �6π µ
Onde:
Fd = Força de arrasto (N)
= Viscosidade dinâmica fluido (kg/m3)
V= Velocidade Terminal da esfera (m/s)
r= Raio da esfera (m)
Juntando as três equações, obtém-se:
4
3
6 4
3
3 3π ρ π µ π ρr g F V r r gesfera d fluido� � � � � � � � � �
Isolando-se o termo de interesse, que, no caso, é a viscosidade, obtém-se:
µ
ρ ρ
�
� � � �
�
2
9
2r g
V
esfera fluido( )
4
3
6 4
3
3 3π ρ π µ π ρr g F V r r gesfera d fluido� � � � � � � � � �
247
UNIDADE 9
Como as dimensões do tubo através do qual a esfera se desloca não são infinitas, faz-se a seguinte 
consideração:
µ
ρ ρ
�
� � � �
� � �� ��
2
9 1 2 4
2r g
r R V
esfera fluido( )
, ( / )
Onde:
µ= Viscosidade dinâmica fluido (kg/m3)
r= Raio da esfera (m)
g = gravidade (m/s2)
resfera = Massa específica da esfera (kg/m3)
r fluido = Massa específica do fluido (kg/m3)
V= Velocidade Terminal da esfera (m/s)
R= Raio do tubo (m)
Agora, você terá a oportunidade de medir a viscosidade de três diferentes fluidos, utilizando um vis-
cosímetro de Stokes, apresentado na Figura 4.
Caminho para o Experimento: 
Cursos > Demo Labs Específicos de Engenharia > Laboratório de 
Mecânica dos Fluidos > Ensaio de viscosidade – Viscosímetro de Stokes
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar uma bancada, onde 
se encontram três tubos transparentes com graduação até 900 mm; observa-se, também, um cronômetro digital e quatro esferas 
de aço de diferentes diâmetros.
Figura 4 - Viscosímetro de Stokes
Fonte: Algetec®(2018).
248
UNICESUMAR
Roteiro para a prática de determinação da viscosidade dinâmica da água.
Materiais utilizados:
• Cronômetro
• Esferas
• Tubos
• Água
• Óleo
• Glicerina
PROCEDIMENTO
1º Passo - Experimento
• Clique no cronômetro.
• Clique em uma das esferas de metal e anote o diâmetro.
• Pressione e tecla Q em seu teclado para levar a esfera até o tubo com água.
• Com o tubo contendo água selecionado, pressione novamente Q para soltar 
a esfera e, simultaneamente, a barra de espaço para acionar o cronômetro.
• No instante em que a esfera tocar o fundo, pressione novamente barra de 
espaço para parar o cronômetro.
• Se sentir dificuldades em cronometrar o tempo, corretamente, reduza a escala 
de tempo e tente novamente.
• A partir da distância percorrida pela esfera, marcada na superfície do tubo, 
e do tempo registrado no cronômetro, calcule a velocidade de deslocamento 
da esfera.
• Repita o procedimento para os demais fluidos
2º Passo - Análise de Resultados
Sabendo que a massa específica da esfera (resfera ) é de 7850 kg/m3, a massa específica 
da água (r fluido ) igual a 1000 kg/m3, a massa específica do fluido 5w20 é igual a 852 
kg/m3, a massa específica da glicerina (r fluido ) igual a 1250 kg/m3, o diâmetro do 
tubo de 22 mm e a gravidade igual a 9,81 m/s2, aplicando a equação da viscosidade 
de Stokes, é possível determinar a viscosidade dos fluidos experimentados.
Neste vídeo que separamos para você, é realizado um experimento 
com o viscosímetro de Stokes para a determinação da viscosidade de 
fluidos. Isto pode ser muito interessante para o entendimento deste 
princípio. Acesse para saber mais.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6517
249
UNIDADE 9
3º Passo - Conclusão
Pode-se verificar se os valores encontrados no experimento são compatíveis aos 
encontrados na literatura, os valores reais da viscosidade cinemática dos fluidos 
utilizados neste experimento são:
• A viscosidade cinemática da água é de 9,86 × 10−7 m²/s.
• A viscosidade cinemática do óleo 5W20 é de 5,05 × 10−5 m²/s.
• A viscosidade cinemática da glicerina é de 6,61 × 10−4 m²/s.
A viscosidade é fundamental na hidráulica, pois tem relação direta com a perda de carga, esta como 
já abordamos, é a redução da pressão no interior de tubulações, devido aos efeitos de atrito interno 
do fluido e do fluido com as paredes. Portanto, faz-se necessário quantificar, corretamente, as perdas 
de energia interna do fluido para que os sistemas hidráulicos funcionem, adequadamente, resultan-
do em vazões e pressões, de acordo com as demandas de projeto. Muitas técnicas de cálculo foram 
desenvolvidas ao longo do tempo, uma vez que este problema configurou um desafio de engenharia, 
intensamente estudado por diversos pesquisadores.
Os modelos matemáticos desenvolvidos, normalmente, partem de observações experimentais, tais 
quais as que você terá a oportunidade de realizar no experimento apresentado na Figura 5.
Caminho para o experimento:
Cursos > Demo Labs Específicos de Engenharia > Laboratório de 
Mecânica dos Fluidos > Ensaio de viscosidade – Perda de carga distribuída
Descrição da Imagem: a imagem apresenta a captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar uma bancada, didática 
de hidráulica, composta por uma série de tubos, registros e bombas, além de dispositivos de medição e controle.
Figura 5 - Bancada Didática de hidráulica
Fonte: Algetec®(2018).
250
UNICESUMAR
1º Passo - Configuração da Bancada
Para iniciar o experimento, você deve posicionar, adequadamente, as válvulas do 
sistema, selecionando, no menu visualização, no canto superior esquerdo, a opção 
bombas ou pressione as teclas alt + 6 para obter a seguinte visualização:
Com as válvulas na posição indicada na Figura 6, clique em bancada, no menu visualização ou pres-
sione alt + 1 e feche todas as válvulas alinhadas à esquerda da bancada, exceto a do tubo no qual será 
realizado o experimento. Para a tubulação de 32 mm, segue a seguinte disposição:
Descrição da Imagem: a imagem apresenta a captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar duas bombas hi-
dráulicas, quatro registros que permitem a associação em série ou em paralelos das bombas, além disso, é possível observar dois 
manômetros e dois vacuômetros.
Figura 6 - Bombas hidráulicas
Fonte: Algetec®(2018).
Neste experimento, você poderá determinar a variação da perda de carga em função da vazão e dos 
diâmetros da tubulação.
251
UNIDADE 9
Para realizar a conexão com o 
manômetro em U, clique na tu-
bulação e, em seguida, no ma-
nômetro. Agora, deixaremos os 
elementos de medição e contro-
le dispostos na tela; clique com 
o botão direito do mouse sobre 
o manômetro em U e sobre o 
rotâmetro para obter visualiza-
ções apresentadas na Figura 8:
Descrição da Imagem: A imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar uma bancada didá-
tica de hidráulica, composta por uma série de tubos, registros e bombas, além de dispositivos de medição e controle, diferentemente 
da Figura 5, nesta, as válvulas estão posicionadas para o experimento de perda de carga distribuída.
Figura 7 - Bancada Didática de hidráulica com as válvulas ajustadas para o experimento de perda de carga
Fonte: Algetec®.
Note que é possível movimentá-las, livremente, pela tela, organizando de acordo com sua preferência. 
Agora, selecione, no menu visualização, a opção painel elétrico, ou pressione alt+3 para obter a vista 
apresentada na Figura 9.
Figura 8 - Manômetro em “U” e Rotâmetro
Fonte: Algetec® (2018).
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; 
nela, é possível observar, em detalhe, a esquerda manômetro em “U”, inicialmente, com 
as duas colunas do fluido indicador ajustadas ao nível zero na escala métrica do medi-
dor; à direita, observa-se o rotâmetro com destaque para a escala que mede a vazão 
do escoamento em litros por hora.
252
UNICESUMAR
Clique no botão Habilitar Bomba 1 e, em seguida, o botão verde 
Liga, assim, o escoamento começará a fluir pelo sistema. 
Clicando com o botão direito sobre o controle de vazão, a 
seguinte tela será exibida, conforme Figura10.
Figura 9 - Painel Elétrico de comando
Fonte: Algetec® (2018).
Figura 10 - Controlador de Vazão 
Fonte: Algetec® (2018).
Descrição da Imagem: A imagem apresenta a captura de tela do laboratório virtual; 
nela, é possível observar em detalhe o painel elétrico de comando contendo os botões 
e lâmpadas na seguinte ordem: da esquerda para direita, na linha superior, as lâmpadas 
indicativas: “Painel Energizado”, “Inversor Habilitado”, “Bomba 1 Operando” e “Bomba 
2 Operando”. Na linha inferior, os comandos: “Liga”, “Desliga”, Habilitar Bomba 1” e 
Habilitar Bomba 2”. Entre estas duas linhas, encontra-se o potenciômetro, que controla 
a vazão das bombas, e, abaixo deste um grande botão vermelho para “emergência”.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta a captura de tela do laboratório virtual; 
nela, é possível observar em detalhe o potenciômetro controlador de vazão do sistema..
253
UNIDADE 9
Selecionando bancada, no menu visualização, ou pressionando alt+1, você terá a seguinte disposição 
do sistema (Figura 11) e estará pronto para iniciar o experimento.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta a captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar uma bancada didática 
de hidráulica, apresentando, também, o manômetro em “U”, o controlador de vazão e o rotâmetro.
Figura 11 - Bancada Didática de hidráulica com os controladores e indicadores ajustados para a prática 
Fonte: Algetec®(2018).
2º Passo - Experimento
• Ajuste a vazão, por meio do controle de vazão até 1000 litros por hora, acompanhe a medida 
no Rotâmetro e anote a perda de carga observada no manômetro em U. 
• Repita o experimento para 2500 e 5000, utilizando as outras tubulações disponíveis (PVC 25 
mm, Cobre 28 mm e Acrílico 22 mm).
254
UNICESUMAR
3º Passo - Resultados
Os resultados obtidos podem ser organizados em uma tabela, como a que segue:
Diâmetro Vazão (L/H) Perda de carga (m)
PVC 32 mm 1000
PVC 32 mm 2500
PVC 32 mm 5000
PVC 25 mm 1000
PVC 25 mm 2500
PVC 25 mm 5000
Cobre 28 mm 1000
Cobre 28 mm 2500
Cobre 28 mm 5000
Acrílico 22 mm 1000
Acrílico 22 mm 2500
Acrílico 22 mm 5000
4º Passo - Conclusão
Pode-se observar que a perda de carga varia de acordo com a vazão do escoamento, 
diâmetro e material da tubulação, como previsto pelas equações teóricas. Nesta mesma 
bancada, é possível a realização da prática relativa à associação de bombas, diante de 
sistemas nos quais existe uma demanda variável por pressão ou por vazão, é comum 
se empregar a associação de bombas em série ou em paralelo. 
Na associação em série, duas ou mais bombas são colocadas, sequencialmente, em 
uma mesma linha, de modo que todo o fluido bombeado pela primeira bomba segue 
para a sucção da segunda, e assim sucessivamente. Nesse caso, a vazão que passa por 
cada bomba é igual, enquanto a altura manométrica ao final desse sistema equivale 
à soma dos incrementos de pressão em cada bomba, levando em conta as perdas que 
ocorrem nas tubulações adicionais que ligam uma bomba a outra.
Na associação em paralelo, têm-se duas ou mais bombas operando, simultanea-
mente, com um mesmo ponto de sucção e um mesmo ponto de descarga. Isso sig-
nifica que existe uma ou mais bifurcações conectando os tubos de sucção de todas 
as bombas, bem como bifurcações que ligam as tubulações de recalque. Assim, con-
sidera-se, em um modelo ideal, uma igual pressão de sucção entre todas as bombas 
e, analogamente, uma mesma pressão de descarga entre elas. A vazão, entretanto, 
corresponde à soma das vazões de cada bomba, individualmente.
Cursos > Demo Labs Específicos de Engenharia > 
Laboratório de Mecânica dos Fluidos > Ensaio de 
viscosidade – ASSOCIAÇÃO DE BOMBAS
Neste experimento, você poderá determinar a variação de vazão e pressão quando 
as bombas são dispostas em série ou em paralelo. 
255
UNIDADE 9
1º Passo - Configuração da Bancada
Para iniciar o experimento, você deve posicionar os marcadores e os controladores para que possa 
coletar os dados com facilidade, nos experimentos a seguir, para tanto: 
• Clique com o botão direito do mouse sobre o rotâmetro para que este seja exibido em destaque; 
este dispositivo indicará a vazão resultante da associação das bombas.
• Clique com o botão direito do mouse sobre o manômetro de Bourbon principal para que este 
seja exibido em destaque; este dispositivo indicará a pressão resultante da associação das bombas.
• Mude a visão para bombas por meio do painel de visualização ou pressione alt + 4.
• Clique com o botão direito do mouse sobre o manômetro de Bourbon da bomba 1 para que 
este seja exibido em destaque; este dispositivo indicará a pressão resultante da bomba 1.
• Clique com o botão direito do mouse sobre o manômetro de Bourbon da bomba 2 para que 
este seja exibido em destaque; este dispositivo indicará a pressão resultante da bomba 2.
• Ao final destes ajustes, você deverá ter em sua tela uma disposição semelhante à Figura 12.
Desta forma, o sistema está com as bombas configuradas para funcionar em paralelo, pois cada uma 
delas abduz água do reservatório, separadamente, unindo-se apenas na porção de recalque da tubulação.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar, em detalhe, as 
bombas do sistema associadas em paralelo, além dos medidores: manômetro individuais de cada bomba, o manômetro principal 
e o rotâmetro.
Figura 12 - Bombas da bancada didática de hidráulica associadas em paralelo 
Fonte: Algetec®(2018).
256
UNICESUMAR
• Altere a visualização para o painel elétrico pelo menu de visualização, ou pressionando alt + 3.
• Clique em Habilitar bomba 1 em seguida Habilitar bomba 2 e, então, no botão liga.
• Colete as pressões dos manômetros individuais, a pressão do manômetro principal e a vazão 
principal, estes são os dados da associação em paralelo.
• Clique no botão Desliga, em seguida, clique em Habilitar bomba 1, em seguida, Habilitar 
bomba 2.
• Mude a visualização para bombas no menu de visualização ou pressione alt + 4.
• Mude a posição da válvula B1 para a posição fechada.
• Mude a válvula A2 para a posição aberta.
• Mude a válvula B2 para a posição aberta.
Desta forma, você deverá obter uma disposição semelhante a apresentada na Figura 13.
• Altere a visualização para o painel elétrico pelo menu de visualização, ou pressionando alt + 3.
• Clique em Habilitar bomba 1, em seguida, Habilitar bomba 2, e, então, no botão liga.
• Colete as pressões dos manômetros individuais, a pressão do manômetro principal e a vazão 
principal, estes são os dados da associação em série, pois o recalque da bomba 1 está ligado à 
sucção da bomba 2.
• Clique no botão Desliga, em seguida, clique em Habilitar bomba 1, em seguida, Habilitar 
bomba 2.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma captura de tela do laboratório virtual; nela, é possível observar, em detalhe, as 
bombas do sistema associadas em paralelo, além dos medidores: manômetro individuais de cada bomba, o manômetro principal 
e o rotâmetro.
Figura 13 - Bombas da bancada didática de hidráulica associadas em série 
Fonte: Algetec®(2018).
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UNIDADE 9
As práticas de laboratório são elementos de aprendizagem essenciais para o aluno de 
engenharia, especialmente nas disciplinas práticas, como é o caso da hidráulica, e isso 
ocorre, pois, nestas, faz-se necessário compreender os fenômenos físicos para, então, 
prever suas ocorrências. Para tanto, é necessário que as propriedades dos elementos 
participantes sejam conhecidas, assim como os princípios físicos envolvidos. Neste 
sentido, as práticas de laboratório da disciplina de Hidráulica apresentam dois gran-
des objetivos. O primeiro consiste na determinação das propriedades dos fluidos, e o 
segundo na comprovação das leis adotadas como verdadeiras, ao longo da disciplina. 
Por exemplo, é muito comum adotar o valor da massa específica da água como 1000 
kg/m3, contudo, é importante determinar este valor, experimentalmente, seja para 
auxiliar na compreensão do que significa, seja para