Análise de Investimentos e Risco Financeiro

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Resumo da aula 6
Na aula anterior, vimos:
▪ o conteúdo sobre os métodos de análise de investimentos (por meio 
dos fluxos de caixa aplicados a corporate finance): 
▪ TIRM;
▪ IL;
▪ payback simples (PS) e
▪ payback descontado (PD).
▪ conceitos de modelagem matemática que permitem ao investidor:
▪ calcular;
▪ compreender a correlação linear existente entre duas variáveis e
▪ estabelecer projeções a partir de séries históricas.
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Valor esperado (E), desvio-padrão (σ) e risco 
financeiro: introdução ao value at risk (VaR)
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Valor esperado
▪ É quando o analista busca encontrar o valor mais provável para 
determinada variável, considerando as diversas probabilidades 
de ocorrência de cada resultado. 
▪ O cálculo do valor esperado é muito utilizado para estimar o 
retorno médio de um ativo e, a partir daí, tomar decisões de 
investimento. 
▪ É importante observar o risco financeiro, uma vez que o cálculo 
do valor esperado não leva em consideração o grau de 
dispersão dos resultados possíveis em relação ao retorno 
médio esperado.
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Fórmula: valor esperado
Onde:
▪ (𝐸) = valor esperado;
▪ 𝑃𝑗 = probabilidade de ocorrência de cada resultado 𝑟𝑗;
▪ 𝑟𝑗 = resultado de cada ocorrência e
▪ 𝑛 = total de resultados considerados para calcular a média 
ponderada.
𝑬 = ෍
𝒋=𝟏
𝒏
(𝒓𝒋 × 𝑷𝒋)
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Conceito de risco
O conceito de risco depende da probabilidade de ocorrência de 
determinado evento:
▪ se a probabilidade < 100% , existe risco e
▪ se a probabilidade = 100%, não há risco.
Estatisticamente, “o risco pode refletir a dispersão dos 
resultados em relação ao valor médio esperado” (FEUSER, 2021, 
p. 91 apud ASSAF NETO, 2016, p. 218).
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Desvio-padrão
Segundo Feuser (2021, p.91), para calcular o risco de um ativo, utiliza-se 
o desvio-padrão, σ, “que mede a dispersão em torno do valor 
esperado”. Denomina-se risco financeiro “a probabilidade de um 
resultado diferente do esperado”. No entanto, alguns autores “ilustram 
que o risco somente existiria se o resultado ficasse abaixo do valor 
esperado.”
Em linhas gerais, a distribuição normal de probabilidades é uma ótima 
referência para os analistas estimarem e perceberem o risco financeiro 
de um ativo. Segundo Gitman (2010, p. 212), de forma simplificada, pode 
ser feita a seguinte interpretação: “68% dos resultados possíveis 
estarão no máximo 1 (um) desvio-padrão, 95% dos resultados estarão a 
no máximo dois desvios-padrão do valor esperado e 99% dos resultados 
estarão a no máximo três desvios-padrão do valor esperado.”
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Variabilidade do retorno esperado e 
probabilidade normal de ocorrência
A figura a seguir ilustra a análise a ser realizada considerando a 
distribuição normal de probabilidades.
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Observe que a figura apresenta um histórico de retorno de cada ocorrência e que o valor esperado calculado é 
igual a 100, com um desvio-padrão de aproximadamente 2.
Considerando a distribuição normal de probabilidades, é possível afirmar que existe uma probabilidade de, 
aproximadamente, 68% dos retornos estarem entre 98 e 102, uma vez que essa probabilidade considera o valor 
médio esperado mais ou menos uma vez o desvio-padrão. 
Da mesma forma, se o analista desejar obter uma chance de acerto de 95,45% no valor de retorno, deverá 
considerar que os retornos poderão apresentar valores entre 96 e 104, ou seja, iguais ao valor médio esperado 
e mais ou menos duas vezes o desvio-padrão. 
Caso deseje ter uma probabilidade de acerto de 99,99% nas projeções, deverá considerar que os retornos 
possíveis estarão entre 92 e 108, uma vez que o valor médio esperado mais ou menos quatro vezes o 
desvio-padrão resulta nos referidos valores.
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Dinâmica 1: Refletindo 
sobre o valor esperado
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Dinâmica 1
Reflita e defina quais das características a seguir são vantagens (V) e 
quais são desvantagens (D) do valor esperado.
1. Permite-nos antecipar resultados futuros.
2. Tem alta taxa de risco, pois ignora o risco. 
3. Possui um centro de medidas da distribuição de probabilidade.
4. É inaceitável para tomada de decisões pontuais. 
5. Permite-nos analisar o investimento de longo prazo de uma variável.
6. Dificulta a avaliação de probabilidades de resultados diferentes. 
7. Reduz a informação a uma possibilidade/resposta.
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Resposta
As vantagens(V) e as desvantagens(D) do valor esperado são: 
1. Centro de medidas da distribuição de probabilidade. (V) 
2. Investimento de longo prazo de variável. (V) 
3. Reduz a informação a uma possibilidade/resposta. (V) 
4. Permite-nos antecipar resultados futuros. (V) 
5. A taxa de risco é alta, pois ignora o risco. (D) 
6. A dificuldade para avaliar probabilidades de resultados diferentes. (D) 
7. Inaceitável para decisões pontuais. (D) 
Fonte: Disponível em https://www.calculatored.com/lang/pt/expected-value-calculator . Acesso em: 23 jun. 2021.
https://www.calculatored.com/lang/pt/expected-value-calculator
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Introdução ao value at risk (VaR)
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Value at risk (VaR)
O value at risk (VaR) – em português, valor em risco – é a perda máxima, 
expressa em reais, de determinado ativo em determinado período, associado a 
um intervalo de confiança. 
São várias as metodologias para o cálculo do VaR. Tais metodologias se dividem, 
basicamente, em modelos paramétricos e não paramétricos. 
A maior perda estimada pode ser calculada tanto pelo conhecimento prévio de 
uma distribuição normal de probabilidades quanto a partir de um histórico dos 
movimentos do próprio ativo em análise. 
Nesse último caso, a presunção é de que as variações futuras do ativo se 
distribuirão da mesma forma que o comportamento registrado historicamente. 
Sendo assim, o valor em risco fará, necessariamente, referência a uma estimativa 
de perda máxima, um lapso temporal e um intervalo de confiança.
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Dinâmica 2: Exercício –
Valor em risco
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Vamos praticar!
O exemplo a seguir será usado para aplicarmos os cálculos 
do valor em risco, mas considera um histórico de apenas 40 
dias úteis, a fim de melhor evidenciar as variações e tornar 
assertiva a demonstração dos cálculos.
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Exemplo – cálculo do valor em risco em 
títulos do Tesouro Nacional
Os títulos públicos do Tesouro Nacional têm oferecido taxas altamente atrativas a 
quem desejar investir. No entanto, um investidor identificou que os preços 
unitários dos títulos têm oscilado bastante tanto para mais quanto para menos. 
Embora os títulos públicos do Tesouro Nacional sejam considerados 
investimentos de baixíssimo risco, um analista de investimento foi procurado 
para informar qual poderia ser a perda máxima para um dia caso o investidor 
decidisse adquirir uma Letra do Tesouro Nacional.
Questão-chave (VaR): qual é o valor máximo de perda para um dia de um 
investimento de R$ 100.000,00 em Letras do Tesouro Nacional com vencimento 
para 01/01/2025, considerando o histórico dos últimos 40 dias úteis e um 
intervalo de confiança de 95%? Para responder à pergunta, o analista de 
investimento calculou o (VaR) e emitiu o seu parecer conforme segue:
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Exercícios – Valor em risco – Resolução
Para calcular o valor em risco – ou, simplesmente, o (VaR) –, os passos são os seguintes:
1. ordenar os valores históricos dos preços unitários a LTN-01/01/2025 e calcular a variação diária em 
percentual;
2. ordenar as variações diárias percentuais em ordem crescente, para verificar as perdas máximas 
ocorridas em relação à quantidade de ocorrências analisadas;
3. calcular o VaR = (perda máxima registrada no intervalo de confiança desejado) e
4. realizar a análise.
Depois de consolidar os dados históricos e organizar os dados para o cálculo do valor em risco, o analista 
verificou que, para um intervalo de confiança de 95%, considerando um histórico de 40 dias úteis, a 
LTN-01/01/2025 apresentou uma perda máxima de (0,4341%).
Em complemento, verificou que a perda máxima registrada para 97,5% das ocorrências foi de (0,5085%) e 
que a maior perdajá registrada no período de 40 dias foi de (0,6200%).
Sendo assim, considerando um investimento de R$ 100 mil, a maior perda para um dia, considerando um 
intervalo de confiança de 95%, em um histórico de 40 dias úteis, está estimada em - 0,4341%, ou seja, perda 
máxima de até R$ 434,10, pois R$ 100.000 × 0,4341% = R$ 434,10. Dessa forma, o VaR (95%) é igual a 
R$ 434,10 ou -0,4341%.
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Intervalo
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Índice de Sharpe e coeficiente de variação (CV)
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Índice de Sharpe
Segundo Ross e Westerfield (2015, p. 345), o índice de Sharpe “é o prêmio médio pelo 
risco do capital próprio ao longo de um período de tempo dividido pelo 
desvio-padrão.”
Alguns analistas chamam o índice de Sharpe de índice de recompensa pelo risco, pois, 
em linhas gerais, ele basicamente informa o quanto de retorno determinado ativo 
oferece para cada unidade de risco financeiro.
O índice de Sharpe pode ser expresso pela seguinte fórmula:
Outra análise sobre o risco financeiro de um ativo também pode ser observada usando 
as mesmas variáveis que compõem o cálculo do índice de Sharpe. É o caso do 
coeficiente de variação. 
𝐼𝑆 =
𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 (𝐸)
desvio−padrão 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜𝑠 (𝜎)
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Coeficiente de variação (CV)
Segundo Gitman (2010, p. 212), o coeficiente de variação (CV), “consiste em 
uma medida de dispersão relativa que é útil na comparação dos riscos de 
ativos com diferentes retornos esperados.” 
Tal coeficiente consiste na divisão do desvio-padrão dos retornos de um 
ativo pelo valor de retorno esperado. 
Por essa razão, a interpretação do indicador é de que, quanto maior for o 
coeficiente de variação dos seus retornos históricos, maior será o seu nível 
de risco financeiro e, por consequência, deveriam ser esperados maiores 
retornos. A expressão do cálculo do coeficiente de variação é a seguinte:
𝐶𝑉 =
desvio−padrão 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜𝑠 (𝜎)
𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 (𝐸)
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Dinâmica 3: Exercício –
Coeficiente de Variação e 
Índice de Sharpe
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Dinâmica 3
Vamos continuar com o exemplo trabalhado no exercício anterior, dos títulos do Tesouro 
Nacional, para melhor evidenciar a aplicação prática tanto do coeficiente de variação quanto 
do índice de Sharpe. 
Questão-chave (IS e CV): embora sejam considerados títulos de renda fixa, os títulos 
públicos podem tornar-se títulos de renda variável se o investidor resgatar o valor investido 
antecipadamente. Sendo assim, acompanhar as variações nos preços dos títulos tem sido 
uma preocupação para os analistas de investimentos. 
Considerando essa preocupação e os dados a seguir apresentados, responda:
a) Qual das duas Letras do Tesouro Nacional apresenta maiores oscilações nos seus preços 
e, por consequência, maiores riscos: LTN-01/01/2023 ou LTN-01-01/2025?
b) Qual das duas LTNs apresenta maiores prêmios para cada unidade de risco financeiro?
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Dinâmica 3
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Dinâmica 3
Observe que o retorno diário esperado para a LTN-01/01/2025 resultou em 0,1191%, com um 
desvio-padrão de 0,3770%. 
Já o retorno diário esperado para a LTN-01/01/2023 resultou em 0,0868%, com um desvio-padrão de 
0,2369%. 
Dessa forma, o retorno médio diário esperado para a LTN-01/01/2025 resultou maior que o esperado 
para a LTN-01/01/2023. Ainda falta, contudo, verificar o nível de risco financeiro.
Na análise do coeficiente de variação dos retornos dos dois títulos, verificou-se que a 
LTN-01/01/2025 apresentou uma variação de 3,17 vezes, enquanto a LTN-01/01/2023 variou apenas 
2,73 vezes. 
Sendo assim, a análise é de que a LTN-01/01/2025 apresenta maior nível de risco, embora o seu 
retorno também seja maior.
Essa constatação abre espaço para uma importante indagação: essa rentabilidade adicional da 
LTN-01/01/2025 sobre a LTN-01/01/2023 se justifica dado os seus respectivos níveis de risco? 
Para responder a tal questionamento, analisaremos agora o índice de Sharpe calculado para os 
investimentos.
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Dinâmica 3
Note que o índice de Sharpe calculado para a LTN-01/01/2025 resultou em 0,32, ou 
seja, os históricos apresentaram 0,32 de retorno para cada unidade de risco 
(desvio-padrão). 
Já o mesmo índice calculado para a LTN-01/01/2023 resultou em 0,37, ou seja, os 
históricos apresentaram 0,37 de retorno para cada unidade de risco. 
Sendo assim, verifica-se que o prêmio pelo risco da LTN-01/01/2023 é maior que o 
prêmio pelo risco da LTN-01/01/2025 e, por essa razão, os analistas de 
investimentos poderiam sugerir que se optasse pelo investimento na 
LTN-01/01/2023. 
Embora a LTN-01/01/2025 tenha apresentado um retorno diário esperado maior 
(0,1191% > 0,0868%), a decisão de optar pelo investimento na LTN-01/01/2023 se 
justifica em razão de esse título apresentar um prêmio maior para cada unidade 
de risco se comparado ao prêmio pelo risco oferecido pela LTN-01/01/2025.
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Dinâmica 4: Estudo de 
caso – Decisão de 
investimento
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Dinâmica 4
O mercado financeiro tem oferecido retornos com alto grau de volatilidade. Por um lado, alguns ativos 
oferecem retornos bem superiores às médias de mercado e, por outro, alguns investimentos 
apresentam significativos prejuízos.
Diante da popularização do compartilhamento de informações e recomendações de investimento por 
diversos canais, Amadeu, que trabalha em uma empresa aérea, decidiu começar a arriscar-se um pouco. 
Sacou então uma pequena quantia que possuía na sua previdência privada, cujo rendimento era fixo, 
para investir em ações de empresas que se encontram diretamente na bolsa de valores.
Algumas agências de investimento afirmam, nas suas publicações, que a bolsa de valores deve valorizar 
muito nos próximos meses. Por outro lado, alguns analistas dizem que, por conta de a economia ainda 
não estar estabilizada, algumas ações que, em períodos anteriores, ofereceram retornos podem vir a 
oferecer prejuízos nos próximos períodos. Sendo assim, o momento ainda é de cautela.
No entanto, esses mesmos analistas afirmam que o mercado de renda variável é uma boa oportunidade 
para potencializar o rendimento dos investimentos.
Amadeu analisou os retornos de duas ações que possuem forte correlação com os movimentos de 
mercado e, agora, precisa decidir em que ação deverá concentrar os seus investimentos.
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Dinâmica 4
Os dados históricos dos retornos da carteira de mercado e das ações da 
empresa M e da empresa Q são os seguintes:
Considerando o caso apresentado, responda às questões a seguir.
Período Mercado M Q
-12 7,52% 5,58% 8,96%
-11 -2,50% -1,97% -2,73%
-10 0,92% 0,54% 0,93%
-9 0,33% 0,30% 0,43%
-8 1,68% 0,50% 1,98%
-7 4,37% 2,59% 4,63%
-6 0,50% 0,20% 0,53%
-5 -1,04% -0,31% -1,10%
-4 4,39% 3,04% 4,54%
-3 3,26% 1,94% 3,33%
-2 0,03% 0,03% 0,04%
-1 6,62% 3,26% 7,82%
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Dinâmica 4
1. Calcule os valores dos betas das ações de M e Q, com os seus respectivos coeficientes 
de determinação. Caso realize esse cálculo utilizando a planilha do Excel, será 
necessário utilizar as seguintes funções:
2. Interprete os valores calculados na questão anterior e indique em que ação Amadeu 
deve concentrar os seus investimentos, considerando cada um dos seguintes cenários:
▪ cenário 1 – apresenta um mercado aquecido para os próximos períodos e
▪ cenário 2 – exige cautela e, embora sejam esperados retornos superiores aos da 
renda fixa, existe a possibilidade de, eventualmente, os retornos do mercado caírem, 
em razão de ajustes de posição nas carteiras de investimento dos grandes 
investidores.
covariância (ação x mercado) COVARIAÇÃO.P
variância (mercado) VAR.P
beta (covariância/variância) COVARIAÇÃO.P/VAR.P
índice de correlação com o mercado CORREL
coeficiente de determinação (R²) POTÊNCIA
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Dinâmica 4
Segundo Feuser (2021, p. 13) “O beta é um coeficiente que mede a tendência de 
uma ação se mover junto com o mercado e, por essa razão, o beta é a variável 
que expressa o risco sistêmico de um ativo.”
Feuser (2021, p. 14-15) complementa: “Desse modo,para o cálculo do beta de 
uma ação, serão necessárias as séries históricas de retornos da respectiva ação 
e do mercado ao qual se deseja referenciar. O beta será calculado, então, ao se 
efetuar a regressão linear das duas séries históricas, o que significa dizer que o 
beta é a variável que mede a inclinação da reta de regressão, ou seja, resultado 
da seguinte equação: covariância dos retornos do ativo analisado em relação aos 
retornos do mercado, dividido pela variância dos retornos do mercado.”
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Fórmula
Onde:
▪ 𝛃 = índice beta do ativo;
▪ 𝑪𝒐𝒗 𝑹𝒂 ;𝑹𝒎 = covariância dos retornos do ativo 𝒂 em relação aos retornos de 
mercado; 
▪ 𝑹𝒂 = retornos do ativo 𝒂;
▪ 𝑹𝒎 = retornos da carteira de mercado referencial. Por exemplo, o índice Brasil (IBX), 
que é um índice composto das 100 ações mais negociadas na BMF&Bovespa, ou o 
Ibovespa (Ibov), que é o índice representativo dos retornos da bolsa de valores do 
Brasil e
▪ 𝝈𝟐 (𝑹𝒎) = variância dos retornos da carteira de mercado. É o desvio-padrão dos 
retornos da carteira de mercado elevado ao quadrado.
𝛃 =
𝑪𝒐𝒗 𝑹𝒂 ;𝑹𝒎
𝝈𝟐 (𝑹𝒎)
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Resolução
1 M Q
beta (𝜷) 0,6458 1,1426
covariância (ação x mercado) 0,000559949 0,000990976
variância (mercado) 0,000867092 0,000867092
covariância/variância 0,645777778 1,142872795
índice de correlação com o mercado 0,975642658 0,997267784
coeficiente de determinação (R²) 0,9519 0,9945
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Dinâmica 4
2. Os coeficientes de determinação das duas ações têm valores superiores a 0,95 e, por 
essa razão, evidenciam que os retornos das respectivas ações se movimentam na mesma 
direção dos retornos de mercado, com forte correlação. Servem, portanto, de base para 
boas estimativas. 
▪ Caso Amadeu entenda que o cenário 1 deve concretizar-se, deverá optar por investir nas 
ações da empresa Q, uma vez que o beta calculado para essa ação resultou em 1,1429. 
Isso quer dizer que é esperado um retorno 14,29% maior em relação ao mercado, podendo 
também cair na mesma proporção. 
▪ Caso Amadeu entenda que a ocorrência do cenário 2 é mais provável, deverá optar por 
investir nas ações da empresa M, uma vez que o beta calculado para essa ação resultou 
em 0,6458. 
Isso quer dizer que é esperado um retorno de apenas 64,58% em relação aos retornos 
oferecidos pelo mercado, da mesma forma que, se o mercado oferecer prejuízos, ele estará 
protegido em razão de ser esperado também um movimento menos intenso, devido ao 
beta calculado ser menor que 1, ou seja, 0,6458.
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Fechamento da aula
Recomendamos que você refaça 
os exercícios!
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Como citar este material:
FEUSER, Carlos Eduardo Prado; KRAUS, Marlene Hillesheim. Aula 7: 
Modelagem matemática. Rio de Janeiro: FGV, 2023.