Potência com Expoente Racional

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Lição 15 Seção 3 : Potência com expoente racional positivo
• As expressões do Quadro VIII também são ı́mpares e a análise sobre crecimento/de-
crescimento e concavidade é a mesma feita para o Quadro IV .
Quadro V
1−1
x
y
Gráfico de E(x) = xα
quando α é uma fração
irredut́ıvel > 1 com numera-
dor par e denominador ı́mpar.
Exemplos com:
x4/3 x12/5
x38/9 x132/13
y
=
x
y
=
−
x
Quadro VI
1−1
x
y
y = 1
Gráfico de E(x) = xα
quando α é uma fração
irredut́ıvel < 1 com numera-
dor par e denominador ı́mpar.
Exemplos com:
x2/21 x4/11
x2/9 x2/3
y
=
−
x
y
=
x
Quadro VII
1−1
x
y
y = −1
Gráfico de E(x) = xα
quando α é uma fração
irredut́ıvel > 1 com nume-
rador ı́mpar e denominador
ı́mpar.
Exemplos com:
x5/3 x17/5
x61/9 x81/5
y
=
x
Quadro VIII
1−1
x
y
y = 1
y = −1
Nesse caso α é uma
fração irredut́ıvel < 1
com numerador ı́mpar e
denominador ı́mpar.
Exemplos com:
x5/43 x3/13
x7/17 x13/19
y
=
x
• Como
4
3
<
5
3
<
12
5
<
17
5
<
38
9
<
61
9
<
132
13
<
81
5
temos que:
– Para x > 1 :
1 < x4/3 < x5/3 < x12/5 < x17/5 < x38/9 < x61/9 < x132/13 < x81/5 ;
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Lição 15 Seção 3 : Potência com expoente irracional positivo
– Para 0 < x < 1 :
1 > x4/3 > x5/3 > x12/5 > x17/5 > x38/9 > x61/9 > x132/13 > x81/5 > 0 .
Note que as expressões dos Quadros IX e X , a seguir, só estão definidas para x ≥ 0 pois
todas elas envolvem ráızes de ı́ndice par. Elas só se anulam na origem.
Quadro IX
1
1
x
y
Gráfico de E(x) = xα
quando α é uma fração
irredut́ıvel > 1 com numera-
dor ı́mpar e denominador par.
Exemplos com:
x5/4 x5/2
x59/12 x83/6
y
=
x
Quadro X
1
x
y
y = 1
Gráfico de E(x) = xα
quando α é uma fração
irredut́ıvel < 1 com numera-
dor ı́mpar e denominador par.
Exemplos com:
x5/42 x3/14
x7/16 x13/18
y
=
x
3.3 Potência com expoente irracional positivo
Note que as expressões dos Quadros XI e XII a seguir só estão definidas para x ≥ 0 pois
trata-se de potências com expoentes irracionais. Além disso, elas só se anulam na origem.
Quadro XI
1
1
x
y
Gráfico de E(x) = xα
quando α é um núme-
ro irracional > 1.
Exemplos com:
x
√
2 xπ
x
√
26 x
√
105
y
=
x
Quadro XII
1
x
y
y = 1
Gráfico de E(x) = xα
quando α é um núme-
ro irracional < 1.
Exemplos com:
x
√
2 /5π x2/π
x1/
√
2π x
3√7 /π2
y
=
x
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Lição 15 Seção 3 : Em resumo
3.4 Em resumo
Com relação às potências xα com expoente α > 0 , relembramos:
(i) Elas são crescentes no intervalo [ 0 ,∞) e seus gráficos passam por ( 0 , 0 ) e ( 1 , 1 ) ;
(ii) No intervalo [ 0 ,∞) elas têm concavidade voltada para cima quando α > 1 e têm
concavidade voltada para baixo quando 0 < α < 1 ;
(iii) Seus gráficos no intervalo [ 0 ,∞) têm o aspecto mostrado nas figuras a seguir. Na figura
à esquerda apresentamos o aspecto do gráfico no caso α > 1 (é do tipo x2) e no da
direita exibimos o aspecto do gráfico no caso 0 < α < 1 (é do tipo
√
x ).
y
=
x
1
1
y
=
x
1
1
No curso de Cálculo I vamos aprender a diferenciar com mais clareza os gráficos de x2 e
de xα em [ 0 ,∞) , quando α > 1 , sobretudo quando estamos próximos da origem. Idem para
os gráficos de
√
x e de xα em [ 0 ,∞) , quando 0 < α < 1 .
(iv) Vimos também, na página 298, a seguinte propriedade para a potência xα quando α > 0 :
ela assume todos os valores reais positivos à medida que x varia no intervalo ( 0 ,∞) ,
ou seja, dado K > 0 , existe x = L ∈ ( 0 ,∞) tal que Lα = K. Aliás, dado K > 0
sabemos quando vale L . Evidentemente, L = K1/α.
Você pode visualizar esse fato nas figuras abaixo.
xα com α > 1
L = K1/α
K
xα com 0 < α < 1
L = K1/α
K
(v) Destacamos uma outra propriedade desta potência: ela cresce ultrapassando todos os
números reais positivos à medida que x cresce indefinidamente no intervalo ( 0 ,∞).
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