Campos Escalares e Vetoriais

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Campos escalares e vetoriais
16 de Junho de 2021
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Campos escalares
Campo escalar é a lei de correspondência que associa a cada ponto do espaço, ou de uma
parte do espaço, uma grandeza escalar.
Se P = P (x, y, z) então u = f(P ) = f(x, y, z).
Geometricamente, um campo escalar se caracteriza pelas superf́ıcies de ńıvel.
Denomina-se superf́ıcie de ńıvel de um campo escalar o lugar geométrico dos pontos
aos quais a função escalar do campo associa um certo valor constante:
f(x, y, z) = c, onde c = constante.
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Exemplos
1) Seja f(x, y, z) = x2 − z, D(f) ⊂ R3.
Superf́ıcies de ńıvel: f(x, y, z) = c, c constante.
z = x2 é a superf́ıcie de ńıvel da função f(x, y, z) = x2 − z quando c = 0.
Quando c = −1, temos f(x, y, z) = x2 − z = −1. Portanto, z = x2 + 1.
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Seja f(x, y, z) = x2 + y2 − z, D(f) ⊂ R3.
Superf́ıcies de ńıvel: f(x, y, z) = c.
Temos que z = x2 + y2 é a superf́ıcie de ńıvel de f quando c = 0.
Temos que z + 1 = x2 + y2 é a superf́ıcie de ńıvel de f quando c = 1.
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Se w = f(x, y), D(w) ⊂ R3, então f(x, y) = c com c constante fornece as curvas de
ńıvel da função w.
Por exemplo, se z = f(x, y) = x2 + y2 então com x2 + y2 = c obtemos as curvas
de ńıvel de f , como ilustrado na figura da direita abaixo.
A função escalar w = f(x, y) associado ao ponto (x, y) pode representar, por exemplo,
a temperatura em (x, y), a pressão atmosférica, a velocidade do vento, a intensidade
do campo magnético e assim por diante.
As curvas de ńıvel recebem denominações especiais dependendo da natureza do
campo.
Isotermas, para um campo de temperatura.
Linhas equipotenciais, para um campo potencial elétrico.
Isobáricas, para um campo de pressão em um sistema fechado.
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Campos vetoriais
Se a cada ponto P do espaço, ou de uma região do espaço, associarmos um vetor ~f = ~f(P ),
então está definido um campo vetorial.
Por exemplo,
~f(x, y) = x~i− y~j define um campo vetorial sobre o R2;
~f(x, y) = x~i define um campo vetorial sobre o R2;
~f(x, y, z) = − y√
x2+y2
~i + x√
x2+y2
~j − z√
x2+y2
~k define um campo vetorial sobre o R3.
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Representação geométrica de um campo vetorial
Tomamos alguns pontos P do domı́nio da função vetorial e desenhamos o vetor ~f(P ) como
uma seta com a origem em P .
(1) ~f(x, y) = y~j
(x, y) ~f
(0, 1) 1~j
(1, 1) 1~j
(2, 1) 1~j
(1, 2) 2~j
(0, 2) 2~j
(0, 0) 0~j
(1, 0) 0~j
(1, 3) 3~j
. . . . . .
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Representação geométrica de um campo vetorial
Tomamos alguns pontos P do domı́nio da função vetorial e desenhamos o vetor ~f(P ) como
uma seta com a origem em P .
(1) ~f(x, y) = y~j
(x, y) ~f
(0, 1) 1~j
(1, 1) 1~j
(2, 1) 1~j
(1, 2) 2~j
(0, 2) 2~j
(0, 0) 0~j
(1, 0) 0~j
(1, 3) 3~j
. . . . . .
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(2) ~f(x, y) = x~i− y~j.
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(2) ~f(x, y) = x~i− y~j.
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A representação no espaço segue o mesmo procedimento.
(3) ~f(x, y, z) = − x
(x2+y2+z2)3/2
~i− y
(x2+y2+z2)3/2
~j − z
(x2+y2+z2)3/2
~k.
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A representação no espaço segue o mesmo procedimento.
(3) ~f(x, y, z) = − x
(x2+y2+z2)3/2
~i− y
(x2+y2+z2)3/2
~j − z
(x2+y2+z2)3/2
~k.
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Resolver os exerćıcios 1 à 7 da seção 4.2 do livro texto.
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