TÓPICOS ESPECIAIS INTEGRADORES EM ESTATÍSTICA A3

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TÓPICOS ESPECIAIS INTEGRADORES
EM ESTATÍSTICA – A3
1- Em um hospital, na ala de neonatal, com a finalidade de estudar a influência da dieta
alimentar no ganho de peso de prematuros, um grupo de recém-nascidos (com pesos
entre 1500 g e 2000 g) foi dividido em dois grupos de cinco crianças, submetido a dietas
diferentes. Na tabela a seguir, estão representados o ganho médio diário, em gramas.
Sabe-se que a variância das dietas A, e B são, respectivamente: 14,30 e 47,20. Sabe-se
também que os dados são provenientes de populações que possuem distribuição normal
e são independentes.
A B
22 42
31 30
31 28
26 26
27 25
Tabela - Dietas submetidas aos recém-nascidos
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: tabela com sete linhas e duas colunas. Na linha um, colunas um e dois, lê-se, respectivamente: A e B.
Na linha dois, colunas um e dois, lê-se, respectivamente: 22 e 42. Na linha três, colunas um e dois, lê-se,
respectivamente: 31 e 30. Na linha quatro, colunas um e dois, lê-se, respectivamente: 31 e 28. Na linha cinco, colunas
um e dois, lê-se, respectivamente: 26 e 26. Na linha seis, colunas um e dois, lê-se, respectivamente: 27 e 25.
 
Nessas condições, teste a igualdade de médias, considerando somente as dietas A e B,
com α = 0,05.
Resposta correta
 -1,96 < - 0,798 < 1,96; logo, ao nível de significância de 5%, há possibilidade de as médias serem iguais.
Sua resposta está correta.
1- Dados fornecidos:
• Para Dieta A: XA = 27,4 , sA = 3,78, nA = 5
• Para Dieta B: XB = 30,2, sB = 6,87, nB = 5
2- Calculando o desvio-padrão combinado (erro padrão): 
O desvio-padrão combinado é calculado como:
Substituindo os valores dados: 
3- Calculando o valor Z (estatística de teste): 
A estatística de teste Z é dada por: 
4- Interpretação do valor Z:
• Você calculou que Zcalc=−0,798.
• Ao nível de significância de 5%, o valor crítico de Z (usando a distribuição normal padrão) é
±1,96.
5- Conclusão: 
Como −1,96<−0,798<1,96, significa que o valor calculado de Z está dentro do intervalo crítico. Portanto, ao
nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula de que as médias
das duas dietas são iguais.
Assim, ao nível de significância de 5%, podemos concluir que não há diferença estatisticamente significativa
entre as médias das duas dietas (Dieta A e Dieta B).
 Portanto, ao nível de significância de 5%, há possibilidades de as médias serem iguais.
2- Uma empresa produz vários artigos artesanais. Considere que o peso de um dos
artigos artesanais produzidos seja normalmente distribuído (isto é, possui uma
distribuição normal), apresentando uma média de 20 gramas e com desvio-padrão de 4
gramas. Nessas condições, qual a probabilidade de que uma unidade, selecionada ao
acaso, tenha pesos entre 16 e 22 gramas? Assinale a alternativa correta. 
Resposta correta
53,28%
Sua resposta está correta.
Para calcular P(16<X<22) usando a distribuição normal, dado que μ=20 e σ=4, vamos seguir os passos:
1. Padronização para obter os valores Z: 
Primeiro, calculamos os valores Z para os limites inferiores e superiores do intervalo:
2. Consultando a tabela de distribuição normal padrão:
Usamos a tabela para encontrar as probabilidades correspondentes aos valores Z.
• Para Z=−1, na tabela de distribuição normal padrão, encontramos P(Z<−1)=0,1587
• Para Z=0,5, na tabela de distribuição normal padrão, encontramos P(Z<0,5)=0,6915
3. Calculando a probabilidade desejada: 
A probabilidade P(16<X<22) pode ser calculada como a diferença das probabilidades acumuladas nos
valores Z correspondentes:
P(16<X<22)=P(−1<Z<0,5)=P(Z<0,5)−P(Z<−1) 
P(16<X<22)=0,6915−0,1587
P(16 < X < 22) = 0,5328
4. Conclusão:
Portanto, a probabilidade de X estar entre 16 e 22, dado que X segue uma distribuição normal com média
μ=20 e desvio padrão σ=4, é 0,5328 ou 53,28%.
3 - Um vendedor trabalhou comercializando um determinado produto, em sete bairros
residenciais de uma mesma cidade, em um mesmo período do ano. O diretor comercial
decidiu verificar se o desempenho do vendedor oscilava em virtude do bairro trabalhado,
ou seja, se as diferenças eram significativas. De acordo com esse estudo, o diretor
comercial poderia elaborar uma estratégia para cada bairro ou manter uma para todas.
 
Para isso, elaborou a tabela a seguir:
 
BAIRRO A B C D E TOTAL
Vendas
observada
s
9 11 25 20 15 80
Valores
esperados
16 16 16 16 16 80
Tabela - Vendas em bairros residenciais de um município
#PraCegoVer: tabela com três linhas e sete colunas. Na linha um, colunas um, dois, três, quatro, cinco, seis
e sete, lê-se, respectivamente: Bairro, A, B, C, D, E e Total. Na linha dois, colunas um, dois, três, quatro,
cinco, seis e sete, lê-se, respectivamente: Vendas observadas. 9; 11; 25; 20; 15 e 80. Na linha três, colunas
um, dois, três, quatro, cinco, seis e sete, lê-se, respectivamente: Valores esperados, 16; 16; 16;16; 16 e 80.
Nessas condições, com nível de significância de 5%, podemos concluir que haverá
necessidade de se elaborar uma nova estratégia de vendas, visto que as cidades C e D
têm um total de vendas superior à esperada? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta
Rejeita-se H0 em prol de H1, pois o qui-quadrado calculado é maior que o tabelado.
Sua resposta está correta.
Dados os dados observados para os bairros e a hipótese nula H0 de que não há diferenças significativas
entre os bairros, e a hipótese alternativa H1 de que os bairros C e D são significativamente melhores que os
outros, podemos proceder da seguinte forma:
1. Graus de liberdade (GL): 
Para um teste qui-quadrado em uma tabela de contingência, os graus de liberdade são calculados como 
(r−1)×(c−1), onde rrr é o número de linhas e c é o número de colunas. Aqui, parece que temos 5 bairros, 
então o número de graus de liberdade seria (5−1)=4.
2. Cálculo do qui-quadrado (χ2): 
Você iniciou o cálculo do χ2 usando a fórmula para cada célula da tabela de contingência. Vamos completar 
esse cálculo:
Dados os valores observados:
• Bairro A: 9
• Bairro B: 11
• Bairro C: 25
• Bairro D: 20
• Bairro E: 15
Suponhamos que esses valores são observados em uma tabela de contingência com 5 bairros.
Vamos calcular χ2:
Onde:
• Oi são os valores observados.
• Ei são os valores esperados sob a hipótese nula H0.
Primeiro, precisamos calcular os valores esperados Ei. Sob H0, os valores esperados são iguais para todos 
os bairros, calculados como a média dos valores observados.
Agora, somamos todos os valores calculados:
χ2=3,0625+1,5625+5,0625+1+0,0625
χ2=10,75
3. Comparação com o valor crítico: 
Para um teste qui-quadrado com 4 graus de liberdade (GL = 4), o valor crítico de χ2 para um nível de
significância de 5% é aproximadamente 9,49 (como mencionado na sua questão).
Como χ2 = 10,75 é maior que χ2crıˊtico=9,49, podemos rejeitar a hipótese nula H0 ao nível de significância de
5%. Isso sugere que há evidências de que pelo menos um dos bairros (C ou D) é significativamente melhor
do que os outros em termos do critério analisado.
Portanto, concluímos que há diferenças estatisticamente significativas entre os bairros, com base nos dados
fornecidos e no teste qui-quadrado realizado.
Portanto, há diferença significativa, ao nível de 5%, para os bairros C e D, pois X2
calc > X2
tab. 
4- Com o período das chuvas, muitas árvores caem, e a interrupção de energia elétrica
acontece com mais frequência. Suponha que, em um determinado bairro, a interrupção de
energia elétrica ocorra segundo uma distribuição de Poisson, com média de uma por mês
(4 semanas).
 
Nessas condições, qual é a probabilidade de que haja interrupção de energia, dado que
uma já ocorreu, em um intervalo de menos de uma semana? Assinale a alternativa
correta.
Resposta correta
22,12%
Sua resposta está correta.
Estamos trabalhando com uma distribuição exponencial e calculando probabilidades associadas a ela.
Vamos organizar e reescrever os cálculos para maior clareza:
:
1. Determinando o parâmetroλ: 
Você definiu λ=1/4=0,25. Isso indica que estamos lidando com uma distribuição exponencial com parâmetro
λ=0,25.
2. Função densidade de probabilidade: 
Para uma distribuição exponencial com parâmetro λ, a função densidade de probabilidade f(t) é dada por:
3. Calculando a probabilidade P(t<1):
Para encontrar a probabilidade de t ser menor que 1, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da
distribuição exponencial: 
P(t<1)=1−e−λ
Substituindo λ=0,25: 
P(t<1)=1−e−0,25 1⋅
P(t<1)=1−e−0,25
Calculando e−0,25:
e−0,25 ≈ 0,7788
Portanto, P(t<1)=1−0,7788
P(t<1)=0,2212
4. Conclusão:
Portanto, a probabilidade de t ser menor que 1, seguindo uma distribuição exponencial com λ=0,25, é
0,2212 ou 22,12%.
Esses são os passos completos para calcular a probabilidade conforme descrito na sua questão, utilizando 
a distribuição exponencial.
5- Em uma empresa, o departamento de Recursos Humanos (RH) fez um estudo sobre os
salários dos funcionários e constatou ser uma distribuição normal, com média de R$
2000,00 e desvio-padrão de R$ 500,00.
 
Nessas condições, qual a porcentagem de funcionários que recebem até R$ 2200,00 de
salário nessa empresa? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta
65,542%
Sua resposta está correta.
Para calcular a probabilidade P(X=2200) para uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal
N(2000,5002), siga estes passos:
1. Distribuição normal padrão: 
Primeiro, você está corretamente padronizando a variável X para Z, que segue uma distribuição normal
padrão N(0,1).
Dada a distribuição de X:
• Média μ=2000
• Desvio padrão σ=500
2. Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
Você consultou a tabela da distribuição normal padrão para encontrar o valor correspondente a Z=0,4
Na tabela, P(Z≤0,4) é aproximadamente 0,6554.
3. Calculando a probabilidade P(X=2200): 
Agora, a probabilidade P(X=2200) pode ser interpretada como a probabilidade de X estar exatamente em
2200, o que corresponde a P(Z=0,4) na distribuição normal padrão.
Portanto, 
P(X=2200)=P(Z=0,4)
P(X=2200)≈0,6554
4. Conclusão: 
Assim, a probabilidade de X ser exatamente 2200, dado que X segue uma distribuição normal com média
2000 e desvio padrão 500, é 0,6554 ou 65,54%.
6- Em um laboratório de análises clínicas, um estagiário será contratado para trabalhar
sozinho quando seus resultados não discordarem estatisticamente dos resultados de uma
analista experiente, em um nível de confiabilidade de 95%.
 
Os resultados de nitrogênio na ureia do sangue são mostrados a seguir:
 
Resultados   encontrados   pelo
estagiário
Média: 14,5 mg/dL
Desvio-padrão: 0,5 mg/dL
6 amostras
Resultados encontrados pela analista
Média: 13,9 mg/dL
Desvio-padrão: 0,4 mg/dL
5 amostras
 
Nessas condições, o teste de hipóteses revela se o estagiário está apto para trabalhar
sozinho? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta
Está apto para trabalhar sozinho, pois tcalc < ttab
Sua resposta está correta.
Vamos realizar um teste t para comparar as médias de duas amostras, uma do estagiário e outra do analista
experiente, para determinar se há diferença significativa entre elas. Vamos revisar os cálculos e interpretar
os resultados passo a passo:
1. Cálculo do desvio padrão agrupado (Sagrupado): 
O desvio padrão agrupado é calculado usando a fórmula:
Dados os valores:
• S1=0,5, n1 = 6 (dados do estagiário)
• S2=0,4, n2=5 (dados do analista experiente)
Vamos calcular Sagrupado:
Arredondando, temos Sagrupado≈0,458.
2. Cálculo do valor de t: 
O valor de t é calculado pela fórmula:
Dados os valores médios:
• X1=14,5 (média do estagiário)
• X2=13,9 (média do analista experiente)
Substituindo os valores calculados: 
3. Comparação com o valor crítico ttab:
 Para um teste t com n1+n2−2=9−2=7 graus de liberdade (onde n1, n2 são os tamanhos das amostras), o
valor crítico de ttt para um nível de significância de 95% (considerando uma distribuição bilateral) é
aproximadamente ttab=2,262.
Como tcalc=2,164 é menor que ttab=2,262, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 95%.
Isso significa que não há evidência estatística suficiente para afirmar que há diferença significativa entre as
médias do estagiário e do analista experiente. Portanto, com base na análise, o estagiário é considerado
apto para trabalhar sozinho.
Portanto, com base nesses cálculos e na interpretação dos resultados do teste t, concluímos que o 
estagiário está apto para trabalhar sozinho.
Consultando a tabela “t”, encontramos o valor tabelado ttab = 2,262. Como tcalc < ttab, a um nível de
significância de 95%, concluímos que o estagiário está apto para trabalhar sozinho.
7- Em um estudo acerca das alturas entre a população de um determinado município,
obteve-se uma distribuição normal, cuja média é de 170 cm, e o desvio-padrão, 5 cm.
 
Nessa situação, o que se pode afirmar sobre a probabilidade de um homem apresentar
estatura entre 165 cm e 180 cm? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta
81,85%
Sua resposta está correta.
Para determinar a área sob a curva normal padrão entre Z1=−1 e Z2=2, vamos seguir os seguintes passos:
1. Definição de Z1 e Z2: 
Você já calculou corretamente os valores padronizados Z1 e Z2: 
Isso significa que Z1 = -1 e Z2 = 2.
2. Consultando a tabela da distribuição normal padrão: 
Você precisa encontrar a área sob a curva normal entre Z1 = -1 e Z2 = 2.
• Para Z=−1, consultando a tabela da distribuição normal padrão, você encontrará o valor da
área à esquerda de Z=−1.
• Para Z=2, consultando a tabela da distribuição normal padrão, você encontrará o valor da
área à esquerda de Z=2.
3. Calculando a área entre Z1 e Z2: 
A área entre Z1 e Z2 na distribuição normal padrão é dada por: P(Z1<Z<Z2)=P(Z<Z2)−P(Z<Z1)
Portanto, você precisa encontrar P(Z<2) e P(Z<−1)na tabela da distribuição normal padrão.
• Para Z=2, na tabela da distribuição normal padrão, a área é aproximadamente 0,9772.
• Para Z=−1, na tabela da distribuição normal padrão, a área é aproximadamente 0,1587.
4. Calculando a área sob a curva: 
Agora, calcule a área entre Z1=−1 e Z2=2
P(−1<Z<2)=P(Z<2)−P(Z<−1)
P(−1<Z<2)=0,9772−0,1587
P(−1<Z<2)=0,8185
Portanto, a área sob a curva normal padrão entre Z1=−1 e Z2=2 é aproximadamente 0,8185 ou 81,85%
8- Uma empresa que fabrica lâmpadas fez um estudo sobre o tempo de duração desses
produtos. O responsável pelo estudo apresentou a função densidade de
probabilidade para .
 
Nessas condições, podemos afirmar que a probabilidade de que uma lâmpada dure mais
do que 1400 horas será de:
Resposta correta
24,66%
Sua resposta está correta.
Estmaos lidando com uma distribuição exponencial, onde a função densidade de probabilidade é dada por:
 f(t)=λ e⋅ −λt.
Vamos revisar os passos para determinar a probabilidade P(t>1400), onde você já determinou que λ=0,001:
1. Função densidade de probabilidade: 
A função densidade de probabilidade para a distribuição exponencial é: f(t)=λ e⋅ −λt
Com λ=0,001, temos: 
f(t)=0,001 e⋅ −0,001t
2. Calculando a probabilidade P(t>1400): 
Para calcular P(t>1400), utilizamos a função de sobrevivência da distribuição exponencial, que é 
P(t>t0)=e−λt0, onde t0 é o ponto de interesse.
Portanto, 
P(t>1400)=e−0,001 1400⋅
P(t>1400)=e−1,4
3. Valor numérico: 
Calculando e−1,4
e−1,4 ≈ 0,2466
Portanto, a probabilidade de ttt ser maior do que 1400, seguindo uma distribuição exponencial com λ=0,001,
é 0,2466 ou 24,66%.
9- Jogando futebol no videogame, Cezar espera vencer, empatar e perder com igual
frequência. Cezar joga futebol no videogame com frequência, mas suspeita que seus
próprios jogos não estavam seguindo esse padrão. Assim, providenciou uma amostra
aleatória de 24 jogos e registrou seus resultados:
 
Resulta
do
Vitória Derrota Empate
Jogos 4 7 13
Tabela - Resultados das partidas de jogadas
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: tabela com duas linhas e quatro colunas. Ne linha um, colunas um, dois, três e quatro, lê-se,
respectivamente: Resultado, Vitória, Derrotae Empate. Na linha dois, colunas um, dois, três e quatro, lê se,
respectivamente: Jogos, 4, 7, e 13.
 
Cezar quer usar esses resultados para realizar um teste de qui-quadrado, para determinar
se a distribuição de seus resultados discorda de uma distribuição uniforme discreta.
 
Nessas condições, qual é o valor da estatística de teste e intervalo do valor-P. Assinale a
alternativa correta.
•Resposta correta
Sua resposta está correta.
Utilizaremos um teste qui-quadrado para verificar se a distribuição observada de resultados (vitória, derrota
e empate) em 24 jogos/partidas é significativamente diferente da distribuição esperada, onde cada categoria
deveria ocorrer 8 vezes, assumindo uma distribuição uniforme.
Vamos revisar os cálculos e interpretação passo a passo:
1. Valor esperado: 
Dado que existem 24 jogos/partidas e 3 categorias (vitória, derrota e empate), esperamos que cada 
categoria ocorra 24/3=8 vezes. Portanto, o valor esperado é 8 para cada categoria.
2. Cálculo do teste qui-quadrado (X2): 
O teste qui-quadrado é calculado pela fórmula:
onde Oi é o número observado de ocorrências na categoria i e E i é o número esperado de ocorrências na
categoria i.
Dados:
• Observações: Vitória (4), Derrota (7), Empate (13)
• Esperados: Vitória (8), Derrota (8), Empate (8)
Calculando X2:
3. Graus de liberdade (GL):
Para um teste qui-quadrado com 3 categorias, os graus de liberdade são GL=3−1=2
4. Valor-P: Para determinar o valor-P, você consulta a tabela qui-quadrado com GL=2 e X2=5,25.
• Para um nível de significância de 5% (ou seja, α=0,05):
• O valor-P encontrado na tabela qui-quadrado é 0,05<valor-P<0,10
Isso significa que, com um nível de significância de 5%, não podemos rejeitar a hipótese nula de que a 
distribuição observada dos resultados (vitória, derrota, empate) não difere significativamente da distribuição 
esperada. Em outras palavras, não há evidência suficiente para concluir que as frequências observadas 
diferem das frequências esperadas ao nível de significância de 5%.
10- Um laboratório farmacêutico descobriu uma nova droga para o tratamento de uma
determinada doença. Para avaliar esse novo tratamento, foi feito um ensaio clínico. Dos
50 pacientes com novo tratamento, 36 se curaram, e, dos 45 tratados com a terapia
antiga, 29 se curaram.
 
Nessas condições, usando significância de 99%, podemos afirmar que o novo tratamento
é significativamente melhor que o anterior? Assinale a alternativa correta.
Resposta correta
 O novo tratamento não é significativamente diferente do anterior, pois o valor observado (0,793) é menor
que o tabelado (2,367).
Sua resposta está correta.
Usando o teste de diferença de proporções para comparar a eficácia de um novo tratamento em relação a
um tratamento antigo, com base nas proporções de curados observadas.
Vamos revisar os cálculos e interpretação passo a passo:
1. Proporções observadas:
• Novo tratamento (pnov): pnovo=36/50=0,72
• Antigo tratamento (pantigo): pantigo=29/45=0,644
2. Proporção total: 
3. Cálculo do valor de t:
Para calcular ttt, utilizamos a fórmula: 
Substituindo os valores: 
4. Graus de liberdade (GL):
Os graus de liberdade para o teste t de diferença de proporções são GL=nnovo+nantigo−2=50+45−2=93
5. Valor crítico e região crítica:
• Você determinou que o quantil t tal que P(t>q)=0,01 é q=2,367.
• Portanto, a região crítica para um nível de significância de 1% (α=0,01) é RC={t>2,367}.
•
6. Interpretação:
• O valor observado de t é t=0,793.
• Como 0,793 não está na região crítica {t>2,367}, não temos evidências suficientes para 
rejeitar a hipótese nula H0.
• Portanto, concluímos que o novo tratamento não é estatisticamente significativamente
diferente do tratamento antigo ao nível de significância de 1%.
Isso significa que, com base nos dados disponíveis e no teste realizado, não há evidências para afirmar que
o novo tratamento é melhor que o antigo em termos de proporção de curados. Logo, o novo tratamento não 
é significativamente diferente do antigo.
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