EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE DERIVADAS

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Exercícios resolvidos de Derivadas 
 
 
1.1 Derivada de uma função 
1. Calcule a derivada 
2. F(x)= x2+x 
F´(x)= 2x2-1 + 1 x1-1 
F´(x)= 2x1+ 1 x0 
F´(x)= 2x 
 
3. F(x)= 3x-1 
F´(x)= 3x1-1-11-1 
F´(x)= 3 
 
4. F(x)= x3 
 F´(x)=3x3-1 
 F´(x)= 3x2 
 
5. F(x)= 
𝟏
𝒙
 
 F´(x)= x-1 
 F´(x)= -1x-1-1 
 F´(x)= -1x-2 
 F´(x)= −
1
𝑥2
 
 
6. F(x)= 5x 
 F´(x)= 5 
 
 
 
 
 
 
 
g) F(x)= 
𝒙
𝒙+𝟏
 
 F´(x)= 
(𝑥)´∗(𝑥+1)−(𝑥+1)´∗𝑥
(𝑥+1)2
 
 F´(x)= 
𝑥+1−𝑥
(𝑥+1)2
 
 F`(x)=
1
(𝑥+1)2
 
 
2. A) Mostre que a função g (x) = 2x + 1 se x < 1 
 -x + 4 se x ≥ 1 
não é derivável em p=1 e esboce o gráfico. 
 
 
1a verificação 
 
Verificar se a função g(x) é CONTÍNUA. 
 
Para isso, o lim
𝑥→𝑝
𝑔(𝑥) = 𝑔(1) 
 
lim
𝑥→+1
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→+1
−𝑥 + 4 = (−1) + 4 = 3 
 
lim
𝑥→−1
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→−1
2𝑥 + 1 = 2 ∗ (1) + 1 = 3 e 
 
g(1)= -x+4= 3 
 
Se os limites laterais forem iguais a g(1), a função é contínua, mas 
ainda não provou se a função é derivável. 
 
2a verificação 
 
Para provar que a função é derivável, obedecemos a seguinte 
regra: lim
𝑥→+𝑝
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑝)
𝑥−𝑝
= lim
𝑥→−𝑝
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑝)
𝑥−𝑝
. Para facilitar o entendimento, 
se o limite lateral pela esquerda for igual o limite lateral pela direita 
a função é derivável no ponto p desejado. 
 
 
 
lim
𝑥→+1
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→+1
𝑔(𝑥)−𝑔(1)
𝑥−1
 
 
lim
𝑥→+1
(−𝑥+4)−3
𝑥−1
= lim
𝑥→+1
−𝑥−1
𝑥−1
= −1 
 
Terminado o primeiro limite lateral verificaremos o segundo. 
 
lim
𝑥→−1
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→−1
𝑔(𝑥)−𝑔(1)
𝑥−1
 
 
lim
𝑥→−1
(2𝑥+1)−3
𝑥−1
= lim
𝑥→−1
2𝑥−2
𝑥−1
= 2 
 
Vemos, por fim, que o limite lateral pela esquerda é diferente do 
limite lateral da direita e que são diferentes do valor da função no 
ponto, g(1)=3. Portanto a função g(x) não é diferenciável no ponto 
p=1. 
 
 
 
B) Esboce o gráfico 
 
 
 
 
 
No Ponto de inflexão, onde a seta está apontando, não é derivável, 
justamente onde o ponto p se encontra, na abscissa 1 e ordenada 
3.