Termodinamica e Fisica (18)

Prévia do material em texto

34 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS
encontrar simultâneamente u= ui e v = vj . De maneira análoga, escrevemos esta probabilidade na forma:
P(u,v) du dv = P (u,v)du
δu
dv
δv
onde o fator multiplicando P (u,v) é simplesmente o número de células infinitesimais de tamanho δuδv contidas
no intervalo delimitado por u e u+du e v e v+dv. A condição de normalização dada pela Eq. (1.40) é escrita na
Figura 1.4: Generalização do caso unidimensional. Aqui o espaço definido pelas variáveis u e v é particionado em unidades
de δu e δv.
forma: ∫ a2
a1
∫ b2
b1
P(u,v) du dv = 1. (1.50)
O valor médio de uma função F (u,v) também pode ser definido usando a densidade de probabilidade de modo
que a Eq. (1.44) se torna:
F (u,v) =
∫ a2
a1
∫ b2
b1
F (u,v)P(u,v) du dv. (1.51)
Logicamente que todas as propriedades relacionadas com o cálculo de valores médios permanecem válidas
uma vez que as duas formulações são equivalentes.
1.5. DISCUSSÃO GERAL DO PROBLEMA DA CAMINHADA ALEATÓRIA 35
Funções de Variáveis Aleatórias
Aqui consideramos um caso geral que será recorrente na análise de problemas físicos do ponto de vista estatístico.
Seja uma única variável u e suponha que φ(u) seja alguma função contínua de u. Se P(u) du é a probabilidade de
encontrar u no intervalo delimitado por u e u+du, qual é densidade de probabilidade W (φ) dφ correspondente
de encontrar φ no intervalo entre φ e φ+ dφ? Isto é feito somando-se todas as probabilidades para as quais u
assume valores em que φ fique dentro intervalo dφ; em símbolos:
W (φ) dφ=
∫
dφ
P(u) du
onde a integral é realizada no intervalo de u e u+du. Assim, podemos escrever a integral acima na forma:
W (φ) dφ=
∫ φ+dφ
φ
P(u)
∣∣∣∣dudφ
∣∣∣∣ dφ (1.52)
onde o módulo é usado afim de garantir que o lado esquerdo da equação tenha apenas valores positivos. Agora,
desde que dφ é pequeno, a integral acima se reduz a
W (φ) dφ= P(u)
∣∣∣∣dudφ
∣∣∣∣(φ+dφ−φ)
W (φ) dφ= P(u)
∣∣∣∣dudφ
∣∣∣∣ dφ. (1.53)
Os passos tomados da Eq. (1.52) até a Eq. (1.53) consideram que φ é uma função unívoca de u, i.e., temos
um único valor de u para cada valor de φ. Nem sempre isto é válido, conforme ilustrado na Fig. 1.5 onde temos
dois valores diferentes de u para o mesmo valor de φ. Nestes casos temos que considerar todas as contribuições
no cálculo da probabilidade W (φ) dφ que entram no intervalo de interesse.
Quando temos uma função de várias variáveis, os argumentos usados aqui podem ser generalizados para estes
casos conforme estudaremos futuramente.
Exemplo
1. (Reif., pg. 31) Suponha que um vetor B bi-dimensional de comprimento constante B = |B| é equiprovável de
ser encontrado em qualquer direção especificada pelo ângulo θ entre o vetor e o eixo vertical y. A probabilidade
P(θ) dθ que este ângulo fique entre θ e θ+dθ é então dada pela razão entre o intervalo angular dθ pelo intervalo
total 2π subtendido pelo círculo, assim:
P(θ) dθ = dθ
2π
.