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e) 4x2 1 16x 1 7 5 0
Organizando a equação: 4(x2 1 4x) 1 7 5 0
Completando o quadrado, temos: 4(x2 1 4x 1 4 2 4) 1 7 5 0 ~ 4[(x 1 2)2 2 4] 1 7 5 0
Organizando a equação: 4(x 1 2)2 2 16 1 7 5 0 ~ 4(x 1 2)2 2 9 5 0 ~ (x 1 2)2 5 
9
4
 
Extraindo a raiz quadrada dos dois membros: x 1 2 5 
x x
x x
6 ~
1 5 ~ 5 2
1 5 2 ~ 5 2
3
2
2
3
2
1
2
ou
2
3
2
7
2








Raízes da equação: 
7
2
e
1
2
2 2 .
De modo geral, ao fazer o completamento de quadrado temos que:
x2 1 px 5 0 ~ x
p p
2 4
0
2 2
1 2 5




	 1.	Determine, se existirem, as raízes da equação de 
2o grau em cada item, usando o cálculo do discri-
minante.
	a) x2 2 12x 1 35 5 0
	b) 2x2 2 3x 1 5 5 0
Resolução
	a) x2 2 12x 1 35 5 0
a 5 1, b 5 212 e c 5 35.
D 5 b2 2 4ac 5 (212)2 2 4 ? 1 ? 35 5
5 144 2 140 5 4
D 5 4 > 0 (há 2 raízes reais e diferentes)
x
b
a2
12 4
2
12 2
2
8 5
2 1 D
5
1
5
1
 5 7
x
b
a2
12 4
2
12 2
2
9 5
2 2 D
5
2
5
2
 5 5
Logo, as raízes da equação x2 2 12x 1 35 5 0 
são 7 e 5.
	b) 2x2 2 3x 1 5 5 0
a 5 2, b 5 23 e c 5 5.
D 5 b2 2 4ac 5
5 (23)2 2 4 ? (2) ? (5) 5 9 2 40 5
5 231 (D < 0)
Logo, a equação não tem raízes reais.
	 2.	Determine, se existirem, as raízes da equação de 
2o grau x2 2 7x 1 12 5 0.
Resolução
Usando a relação da soma e do produto dos zeros 
de uma equação de 2o grau, podemos tentar en-
contrar dois números cuja soma seja 7 (oposto de 
27) e cujo produto seja 12.
As possibilidades de produto de dois números in-
teiros iguais a 12 são:
1 ? 12 5 12
2 ? 6 5 12
3 ? 4 5 12
(21) ? (212) 5 12
(22) ? (26) 5 12
(23) ? (24) 5 12
Vejamos quais dessas 
possibilidades têm nú-
meros cuja soma soma 
é 7.
1 1 12 5 13
2 1 6 5 8
3 1 4 5 7
(21) 1 (212) 5 213
(22) 1 (26) 5 28
(23) 1 (24) 5 27
Assim, temos: (x 2 3)(x 2 4) 5 x2 2 7x 1 12 5 0 ~ 
~ x8 5 3 e x9 5 4
Raízes da equação: 3 e 4.
Verificação:
x2 2 7x 1 12 5 0
Para x 5 3: 32 2 7 ? 3 1 12 ~ 9 2 21 1 12 5 0
Para x 5 4: 42 2 7 ? 4 1 12 ~ 16 2 28 1 12 5 0
Atividades resolvidas
Essa estratégia de 
obtenção das raízes da 
equação de 2o grau é 
interessante quando 
a 5 1 e é possível 
encontrar facilmente dois 
números cuja soma e 
produto correspondam 
aos coeficientes da 
equação, como mostrado 
na resolução. Caso 
contrário, é possível usar 
outras estratégias de 
determinação dos zeros 
da função quadrática.
Fique atento
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	 3.	Determinem, se existirem, as raízes da equação de 
2o grau 2x
2 2 5x 1 3 5 0.
Resolução
Podemos dividir todos os termos por 2:
x x x x
5
2
3
2
0
5
2
3
2
2 22 1 5 ~ 2 5 2
Completando o quadrado, temos:
x x x
5
2
25
16
3
2
25
16
5
4
1
16
2
2
2 1 5 2 1 ~ 2 5 ~



x
x x
x x
~ 2 5 6 ~
2 5 ~ 5 5
2 5 2 ~ 5 5
5
4
1
4
5
4
1
4
6
4
3
2
ou
5
4
1
4
4
4
1







 
Raízes da equação: 
3
2
 e 1.
Verificação:
2x
2 2 5x 1 3 5 0
Se x 5 2 1 5 ~
3
2
: 2
3
2
5
3
2
3 0
2












5 ~ 2 1 5
3
2
9
2
15
2
3 0




Se x = 1: 2 ? 12 2 5 ? 1 1 3 5 0 ~ 2 2 5 1 3 5 0
	 4.	Determine, se existirem, os zeros da função quadrá-
tica dada pela lei F(x) 5 x2 2 10x 1 25.
Resolução
Para determinar os zeros da função F, basta deter-
minar as raízes da equação x2 2 10x 1 25 5 0.
Sabemos que: a 5 1, b 5 210 e c 5 25.
D 5 b2 2 4ac 5 (210)2 2 4 ? 1 ? 25 5 100 2 100 5 0
Se D 5 0, então há duas raízes reais iguais.
x
b
a2
10 0
2
10 0
2
8 5
2 1 D
5
1
5
1
 5 5
x
b
a2
10 0
2
10 0
2
9 5
2 2 D
5
2
5
2
 5 5
Logo, os zeros da função dada por F(x) 5
5 x2 2 10x 1 25 são 5 e 5, ou seja, F(5) 5 0.
	11.	Determine, se existirem, os zeros das funções quadrá-
ticas calculando o D em cada caso.
	a) F(x) 5 x2 2 3x
	b) F(x) 5 x2 1 4x 1 5
	c) F(x) 5 2x
2 1 2x 1 8
	d) F(x) 5 x2 1 10x 1 25
	e) F(x) 5 x2 2 8x 1 16
	 f) F(x) 5 25x
2 1 9x 1 1
	12.	(Ifsul-RS) As medidas do comprimento e da altura (em 
metros) do outdoor retangular, representado na figu-
ra abaixo, são exatamente as soluções da equação 
x
2 2 10x 1 21 5 0.
3 e 0.
Não tem zeros reais.
22 e 4.
25
4
Não tem zeros reais.
Atividades Não escreva no livro.
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse 
outdoor é:
	a) 10 m2. 	b) 20 m2. 	c) 21 m2. 	d) 24 m2.
	13. (FGV-RJ) Na resolução de um problema que recaía 
em uma equação do 2o grau, um aluno errou apenas 
o termo independente da equação e encontrou como 
raízes os números 2 e 214. Outro aluno, na resolução 
do mesmo problema, errou apenas o coeficiente do 
termo de primeiro grau e encontrou como raízes os 
números 2 e 16. 
As raízes da equação correta eram:
	a) 22 e 214. 
	b) 24 e 28. 
	c) 22 e 216. 
	d) 22 e 216. 
	e) 4 e 14. 
	14.	(Acafe-SC) Uma biblioteca possui 300 livros, todos do 
mesmo tamanho. Um funcionário pretende dividi-los 
igualmente entre as prateleiras da loja. Sabendo que, 
se os livros forem igualmente divididos entre 3 prate-
leiras a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais 
do que o previsto inicialmente. 
Assim, o número de prateleiras para colocar todos os 
livros é:
	a) múltiplo de 4.
	b) múltiplo de 3.
	c) entre 10 e 12.
	d) maior que 20.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa b.
 
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/I
F
S
U
L
, 
2
0
1
7.
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