Funções de Impostos e Tarifas

Prévia do material em texto

Funções definidas por mais 
de uma sentença
Imposto de renda
Os impostos são valores cobrados das pessoas ou das empresas, pelo governo, 
para que as instituições públicas funcionem e garantam à população educação, saúde, 
segurança, iluminação, infraestrutura, entre outros serviços.
Um dos impostos mais importantes no Brasil é o Imposto sobre a Renda das Pessoas 
Físicas (IRPF), também chamado de imposto de renda, que é recolhido pela Receita 
Federal. A parcela do imposto que uma pessoa deve pagar por ano é calculada de 
acordo com os rendimentos dela. Quanto maior o rendimento, maior é a parcela.
A porcentagem dos rendimentos a pagar ao governo é definida por faixas com 
alíquotas diferentes para cada uma delas. Por exemplo, quem tem rendimentos mensais de R$ 2.000,00 tem 
a alíquota igual a 7,5%. Mas quem tem rendimentos mensais iguais a R$ 3.000,00 tem a alíquota igual a 15%, 
e quem tem rendimentos mensais de R$ 5.000,00 tem a alíquota igual a 27,5% (alíquotas do ano de 2020).
	a) A relação entre os rendimentos mensais de uma pessoa e a alíquota é uma função afim? Justifique.
	b) Você já tinha ouvido falar do IRPF? Pesquise a importância desse imposto.
Situação 1
Professor, as sugestões para o desenvolvimento deste tópico encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Todo ano algumas 
pessoas físicas 
precisam declarar, 
entre outras 
informações, os valores 
recebidos no ano 
anterior.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os recursos arrecadados com o imposto de renda são necessários para 
vários setores do país, como educação, segurança e saúde.
Conta de água
No Brasil, a tarifa a pagar pela água residencial é definida de acordo com 
o gasto de água: quanto maior for o gasto, maior é a tarifa a pagar. Isso 
geralmente ocorre de acordo com faixas de consumo.
Observe a tabela de faixa de consumo e tarifa de água residencial em 
Manaus (AM).
O cálculo da tarifa é feito considerando o consumo nas diferentes faixas. 
Por exemplo, veja como é calculada a tarifa para o consumo de 32 m³ de água.
•	 Primeiro, identifica-se que 32 m3 5 10 m3 1 10 m3 1 10 m3 1 2 m3. Para 
cada um desses termos, paga-se uma tarifa diferente.
•	 Pelos primeiros 10 m3, pagam-se 3,9860 R$/m3, o que resulta em R$ 39,86, 
pois 10 ? 3,9860 5 39,86.
•	 Pelos próximos 10 m3, pagam-se 7,7260 R$/m3, o que resulta em R$ 77,26, 
pois 10 ? 7,7260 5 77,26.
•	 Pelos próximos 10 m3, pagam-se 11,7940 R$/m3, o que resulta em R$ 117,94, 
pois 10 ? 11,7940 5 117,94.
•	 Pelos últimos 2 m3, pagam-se 16,0660 R$/m3, o que resulta em R$ 32,13, arredondados, pois 2 ? 16,0660 5 
5 32,132.
O total então é R$ 39,86 1 R$ 77,26 1 R$ 117,94 1 R$ 32,13 5 R$ 267,19. 
a)	Qual é a tarifa que uma família paga se o gasto mensal for de 18 m3? R$ 101,67
b)	Escreva no caderno as leis de 2 funções: a que fornece a tarifa, em reais, para um consumo de água entre 
0 e 10 m3, e a que fornece a tarifa, em reais, para um consumo de água entre 11 e 20 m3.
Dragana Gordic/Shutterstock
Situação 2
t(c) 5 3,9860 ? c, para 0 , c , 10; t(c) 5 237,40 1 7,7260 ? c, para 11 , c , 20.
Professor, é importante ressaltar aos estudantes que eles devem considerar apenas valores inteiros para o consumo.
Fonte de consulta: ÁGUAS DE MANAUS. 
Legisla•‹o e tarifas. Disponível em: https://
www.aguasdemanaus.com.br/legislacao-e 
-tarifas/. Acesso em: 29 maio 2020.
Tarifa de consumo de água 
residencial em Manaus
Faixa de 
consumo 
(em m3)
Tarifa de 
água 
(em R$/m3)
0 a 10 3,9860
11 a 20 7,7260
21 a 30 11,7940
31 a 40 16,0660
41 a 60 18,5370
Acima de 60 21,1360
Não escreva no livro.
57
052a073_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 57052a073_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 57 9/1/20 1:56 PM9/1/20 1:56 PM
Explorando as funções definidas por 
mais de uma sentença
Existem algumas funções que são formadas por mais de uma sentença. Vamos 
explorar um pouco funções desse tipo.
No Explore para descobrir acima, foi trabalhada a função F, que, como você concluiu nos itens a a f, não é 
uma função afim, mas pode ser expressa usando as leis de duas funções G e H. A lei dessa função F pode ser 
expressa da seguinte maneira: F( ) 5
G( ) ,
H( ) .




x
x x
x x
, se 2
, se 2
Funções como essa são chamadas funções definidas por mais de 
uma sentença. Em funções desse tipo, a lei da função depende do valor 
de x, como ocorre no caso de F, em que F(x) é dada por uma lei, se x , 2, 
e é dada por outra lei, se x . 2.
Observe ao lado a representação gráfica de outro exemplo de função 
definida por mais de uma sentença.
Essa função é dada pela lei: F( ) 5
<
1 .
x
x x
x x
2 , se 3
3, se 3



Observe que, nesse caso, cada um dos dois trechos da representa-
ção gráfica dessa função coincide com parte da representação gráfica 
de uma função afim, por isso essa função também é chamada função 
afim por partes.
Para uma função F: R ñ R, tem-se:
•	 F(0) 5 28; •	 F(1) 5 23; •	 F(2) 5 2; •	 F(3) 5 1,5; •	 F(4) 5 1; •	 F(5) 5 0,5.
a)	 No caderno, identifique os pontos da forma (x, F(x)), para x é {0, 1, 2, 3, 4, 5}, represente-os em um plano cartesiano 
e responda: F é uma função afim? Justifique.
b)	 Seja G: ]2ÿ, 2] ñ R uma função tal que G(x) 5 F(x), para x é D(G). A partir dessas informações e das informações do 
enunciado, responda e justifique: G poderia ser uma função afim?
c)	 Sabendo que G é, de fato, uma função afim, construa no mesmo plano cartesiano do item a o gráfico de G e indique a 
lei de G.
d)	 Seja H: [2, 1ÿ[ ñ R uma função tal que H(x) 5 F(x), para x é D(H). A partir dessas informações e das informações do 
enunciado, responda e justifique: H poderia ser uma função afim?
e)	 Sabendo que H é, de fato, uma função afim, construa no mesmo plano cartesiano do item c o gráfico de H e indique a 
lei de H.
f)	 Então, podemos estabelecer que:
•	 G(x) 5 F(x), para x é D(G) 5 ]2ÿ, 2]; • H(x) 5 F(x), para x é D(H) 5 [2, ÿ[; • D(F) 5 R.
Como podemos interpretar a união dos gráficos de G e H? E como podemos expressar F(x)? Podemos interpretar a 
união dos gráficos de G e H como o gráfico de F. F(x) pode ser expressa como sendo igual a G(x), se x , 2, e igual a H(x), se x . 2.
Não escreva no livro.
Explore para descobrir
a) O gráfico encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
Os pontos são (0; 28), (1; 23), (2; 2), (3; 1,5), (4; 1) e (5; 0,5).
A função F não é uma função afim, pois os pontos representados no plano cartesiano não são colineares (isto é, não pertencem a 
uma mesma reta).
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
O gráfico encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
G(x) 5 5x 2 8
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
O gráfico encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
H(x) 5 2
1
2
x 1 3
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
1 2 3 4
1
0
2
3
4
5
6
7
8
21
y
x
O símbolo ÿ pode ser utilizado para denotar intervalos, observe alguns exemplos a seguir.
•		A notação]2ÿ, 2] corresponde a {x é R | x , 2}, que representa o intervalo dos números reais menores do que ou 
iguais a 2.
•		A notação]2ÿ, 2[ corresponde a {x é R | x < 2}, que representa o intervalo dos números reais menores do que 2.
•		A notação [2, 1ÿ[ corresponde a {x é R | x . 2}, que representa o intervalo dos números reais maiores do que ou 
iguais a 2.
•		A notação]2, 1ÿ[ corresponde a {x é R | x > 2}, que representa o intervalo dos números reais maiores do que 2.
Fique atento
58
052a073_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 58052a073_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 58 9/1/20 1:56 PM9/1/20 1:56 PM