Triângulos e Suas Propriedades

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIÂNGULOS 
Prof. Wellington Nishio 
TRIÂNGULOS 
 
Definição 
Dados três pontos A, B e C não colineares, a reunião 
dos segmentos 
____
AB , 
____
AC e 
____
BC chama-se triângulo 
ABC. 
 
Indicação: triângulo ABC = ABC 
 
Elementos 
a) Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do 
ABC . 
b) Lados: os segmentos 
____
AB (de medida c), 
____
AC (de 
medida b) e 
____
BC ( de medida a) são os lados do 
triângulo. 
c) Ângulos: os ângulos 

BAC ou 

A , 

ABC ou 

B e 

ACB ou 

C são os ângulos do ABC (ou ângulos 
internos do ABC ). 
 
Classificação: 
a) Quantos aos lados, os triângulos se classificam em: 
- Equiláteros: os três lados são congruentes; 
- Isósceles: dois lados são congruentes; e 
- Escaleno: os três lados não são congruentes. 
 
 
Obs: 
- Num triângulo com dois lados congruentes é 
isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo 
oposto à base é o ângulo do vértice. 
- Num triângulo isósceles, os ângulos da base são 
iguais 
- Num triângulo equilátero cada ângulo mede 60º. 
 
 
b) Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam 
em: 
- Retângulo: têm um ângulo reto; 
- Acutângulo: têm os três ângulos agudos; 
- Obtusângulo: têm um ângulos obtuso. 
 
 
Síntese de Clarineaut 
A partir dos lados, podemos classificar os triângulos 
em relação aos ângulos. 
 
- Acutângulo: a2 < b2 + c2 
- Retângulo: a2 = b2 + c2 
- Obtusângulo: a2 > b2 + c2 
 
Desigualdade nos triângulos(Condição de 
Existência de um Triângulo) 
 
1º - Ao maior lado opõem-se ao maior ângulo 
2º - Em todo triângulo, cada lado é maior que a 
diferença entre os outros dois e menor que a soma. 
 
 
Soma dos ângulos internos de um triângulo(Lei 
Angular de Tales) 
A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 
180º. 
 
Considerando as medidas dos ângulos, temos: 
 
Ângulo externo 
Ângulo externo é o ângulo formado por um lado do 
triângulo e um prolongamento de outro lado do 
triângulo. 
O ângulo externo é o suplementar do seu ângulo 
interno adjacente. 
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à 
soma dos dois ângulos internos adjacentes a ele. 
 
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BC
AM BM MC
2
= = =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cevianas de um Triângulo 
São segmentos de reta, com origem em um vértice de 
um triângulo e chegam ao lado ou prolongamento do 
lado oposto ao vértice. 
 
 
 
 
 
Principais Cevianas 
 
Mediana 
É um segmento com extremidades num vértice e no 
ponto médio do lado oposto. 
As três medianas de um triângulo interceptam-se num 
mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes 
tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. 
G é o baricentro do triângulo. 
Nota: O baricentro é o centro da gravidade do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Mediana no Triângulo Retângulo 
Em um triângulo retângulo, a medida da mediana 
relativa à hipotenusa é a metade dela(hipotenusa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Base Média do Triângulo 
Dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos 
nos pontos médios de dois lados desse triângulo é 
paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade 
desse terceiro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bissetrizes internas 
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com 
extremidades num vértice e no lado oposto, que divide 
o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. 
As três bissetrizes internas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto que está a igual 
distância dos lados do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• , β, θ são ângulos internos do triângulo. 
• x, y, z são ângulos externos do triângulo. 
•  + x = β + z = θ + y = 180º 
• x + y + z = 360º(Soma dos ângulos externos). 
•  + β = y 
• β + θ = x 
•  + θ = z 
Os segmentos 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ , 𝑍𝐶̅̅̅̅ 𝑒 𝐵𝑌̅̅ ̅̅ são cevianas do 
triângulo ABC. 
• 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐵𝑁̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐶𝑃̅̅ ̅̅ são medianas do triângulo ABC. 
• G é o ponto de encontro das medianas(Baricentro). 
• O Baricentro também pode ser chamado de Centro de 
Gravidade do Triângulo. 
• 𝐴𝐺̅̅ ̅̅ = 2𝐺𝑀̅̅̅̅̅, 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 2𝐺𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ = 2𝐺𝑃̅̅ ̅̅ 
• 𝐴𝐺̅̅ ̅̅ =
2
3
𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ =
2
3
𝐵𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ =
2
3
𝐶𝑃̅̅ ̅̅ 
• 𝐺𝑀̅̅̅̅̅ =
1
3
𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐺𝑁̅̅ ̅̅ =
1
3
𝐵𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐺𝑃̅̅ ̅̅ =
1
3
𝐶𝑃̅̅ ̅̅ 
I é o ponto de encontro das bissetrizes(Incentro) do 
triângulo ABC. 
BC
MN
2
=
 
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Bissetrizes externas 
Bissetriz externa de um triângulo é o segmento, com 
extremidades num vértice e no prolongamento do lado 
oposto, que divide o ângulo externo desse vértice em 
dois ângulos congruentes. 
 
 
 
Alturas 
A altura de um triângulo é o segmento de reta 
perpendicular a reta suporte de um lado do triângulo 
com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao 
lado considerado. 
As três retas suportes das alturas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
Mediatriz 
Mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento de 
reta e que passa pelo ponto médio deste segmento. 
Em regra, Mediatriz não é uma ceviana. 
 
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-
se num mesmo ponto que está a igual distância dos 
vértices do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Observação 
Todo triângulo é inscritível e circunscritível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. No triângulo retângulo ABC, a mediana AM forma 
com a bissetriz BF o ângulo ˆBFM . O valor de ˆBFM é 
 
a) 
3
B̂
2
 
b) 
5
B̂
2
 
c) 
B̂
2
 
d) B̂ 
 
2. Em um triângulo ABC, o ângulo externo de vértice A 
mede 116º. Se a diferença entre as medidas dos 
ângulos internos ĈeB̂ é 30º, então o maior ângulo 
interno do triângulo mede 
a) 75º 
b) 73º 
c) 70º 
d) 68º 
 
𝐵𝑃̅̅ ̅̅ é uma bissetriz externa do triângulo ABC. 
O é ponto de encontro das alturas(Ortocentro) 
P é o ponto de encontro das 
mediatrizes(Circuncentro). 
Triângulo Circunscrito 
O Incentro é o centro da circunferência inscrita no 
triângulo. 
Triângulo Inscrito 
O Circuncentro é o centro da circunferência 
circunscrita no triângulo 
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s 
u 
a r 
 b 
t 
 
3. Num triângulo ABC, o ângulo CÊB mede 114º. Se E 
é o incentro de ABC, então o ângulo  mede 
a) 44º 
b) 48º 
c) 56º 
d) 58º 
 
4. Seja o triângulo equilátero DEF, inscrito no triângulo 
isósceles ABC, com AB=AC e DE paralelo a BC. 
Tomando-se 𝐴𝐷𝐸 = 𝛼, 𝐶𝐸𝐹 = 𝛽 e 𝐷𝐹𝐵 = 𝛾 pode-se 
afirmar que 
a) 𝛼 + 𝛽 = 2𝛾 
b) 𝛾 + 𝛽 = 2𝛼 
c) 2𝛼 + 𝛾 = 3𝛽 
d) 𝛽 + 2𝛾 = 3𝛼 
 
5. Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo 
são diretamente proporcionais aos números 2,3 e 4, 
tem-se que suas medidas valem 
a) 40°, 60° e 80° 
b) 30°, 50° e 100° 
c) 20°, 40° e 120° 
d) 50°, 60° e 70° 
 
6. Na figura, r // s e t ⊥ u. O valor de a – b é 
 
a) 100° 
b) 90° 
c) 80° 
d) 70° 
 
 
 
 
 
7. Na figura, ACAB= , M é o ponto de encontro das 
bissetrizes dos ângulos do triângulo ABC e o ângulo
CM̂B é o triplo do ângulo Â, então a medida de  é 
a) 15o 
b) 18o 
c) 24o 
d) 36o 
 
 
8. Na figura abaixo, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se 
o ângulo  mede 40º, quanto mede o ângulo XYZ? 
a) 40º 
b) 50º 
c) 60º 
d) 70º 
e) 90º 
 
 
9. Observe a figura abaixo: 
 
O maior ângulo formado entre as retas t e s vale: 
a) 55º 
b) 75º 
c) 85º 
d) 110º 
e) 115º 
 
10. No triângulo ABC o ângulo A mede 110º. Qual a 
medida do ângulo formado pelas retas que fornecem as 
alturas relativas aos vértices B e C? 
a) 60º 
b) 80º 
c) 70º 
d) 75º 
e) 65º 
 
11. No triângulo retângulo ABC, representado na figura 
abaixo, AH é a altura relativa à hipotenusa e AM é a 
mediana. Nestas condições, a medida do ângulo x 
assinalado é: 
a) 55º 
b) 65º 
c) 70º 
d) 75º 
e) 80º 
 
 
 
12. O triângulo cujos lados medem 6cm, 7cm e 10cm é 
classificado como 
a) equilátero e retângulo 
b) escaleno e acutângulo 
c) isósceles e acutângulo 
d) escaleno e obtusângulo13. Se na figura, AB = AC e BC = CD = DA, então o 
valor do ângulo α, em graus, é: 
 
a) 30 b) 36 c) 45 d) 60 
 
14. Um triângulo ABC tem dois lados congruentes que 
formam entre si um ângulo de 42º. Um dos outros dois 
ângulos internos desse triângulo mede: 
a) 39º. 
b) 48º. 
c) 58º. 
d) 69º. 
 
15. Na figura, BN é a bissetriz do ângulo B̂ . Se  50º= 
e Ĉ 30º= , então a medida x do ângulo ˆHBN é 
 
a) 5º. b) 10°. c) 15º. d) 20º 
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 a b x 
M N 
A 
A 
B C 
M N 
P 
16. Sendo AD a bissetriz do ângulo ˆBAC do triângulo 
ABC, a relação verdadeira é 
 
a) ˆB̂ C−  = − 
b) ˆ ˆC B−  = − 
c) ˆB̂ C − = − 
d) ˆB̂ C + = + 
 
17. Sendo E o baricentro do triângulo ABC, AE = 10cm, 
EN = 6cm, e CE = 14cm, o valor, em cm, de x + y + z é 
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
 
 
 
18. Na figura abaixo, os segmentos AM e AN são 
iguais. Pode-se dizer que o ângulo x mede: 
 
a b
a)
2
b)a b
a b
c)
2
d) 2a b
+
+
−
−
 
 
19. Nessa figura o triângulo ABC é isósceles de base 
BC, o ângulo ANM vale x e o ângulo NPC vale 3x, 
sabendo-se que, o triângulo MNP é equilátero, o valor 
de ângulo BMP é: 
a) 2x 
b) 3x 
c) 4x 
d) 5x 
 
 
 
 
20. Considere o triângulo isósceles ABC onde AB = AC. 
Prolongando-se o lado AB de um segmento BM tal que 
med(ACM) med(BMC) 20
 
− =  podemos concluir que o 
ângulo BCM mede: 
a) 9° 
b) 10° 
c) 13° 
d) 15° 
 
21. Considere: 
I – Um triângulo isósceles PRQ, de base PQ e a altura 
RH. 
II – Dois pontos T e S sobre RH, de tal modo que o 
triângulo PTQ seja equilátero e o triângulo PSQ seja 
retângulo em S. 
Considerando somente os ângulos internos dos 
triângulos, se somarmos as medidas de ˆR̂ e S,
obteremos o dobro da medida de T̂. Sendo assim, a 
medida do ângulo ˆTPR é 
a) 5º 
b) 15º 
c) 30º 
d) 45º 
 
22. Na figura, ˆBCA e CÂD, ˆADB medem, 
respectivamente, 60°, 30° e 110°. A medida de ˆDBC é 
 
a) 15°. 
b) 20°. 
c) 25°. 
d) 30°. 
 
23. Um triângulo ABC tem dois lados congruentes que 
formam entre si um ângulo de 42º. Um dos outros dois 
ângulos internos desse triângulo mede 
a) 39º. 
b) 48º. 
c) 58º. 
d) 69º. 
 
24. Dado um triângulo qualquer, é FALSO afirmar que 
a) uma de suas alturas pode coincidir com um de seus 
lados. 
b) suas alturas podem interceptar-se num ponto 
externo a ele. 
c) o incentro é o centro da circunferência nele inscrita. 
d) o circuncentro é o encontro das suas medianas. 
 
25. Na figura, AB = AC e BC = CM. O valor de x é 
 
a) 50°. 
b) 45°. 
c) 42°. 
d) 38°. 
 
 
 
 
 
 
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26. Na figura, AH é altura do triângulo ABC. Assim, o 
valor x é 
 
a) 20º 
b) 15º 
c) 10º 
d) 5º 
 
27. Num triângulo RST a medida do ângulo interno R é 
68º e do ângulo externo é 105º. Então o ângulo interno 
T mede 
a) 52º 
b) 45º 
c) 37º 
d) 30º 
 
28. Um triângulo ABC de base BC = (x + 2) tem seus 
lados AB e AC medindo, respectivamente, (3x - 4) e (x 
+ 8). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base 
BC é 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
29. No quadrilátero ABCD, o valor de y – x é igual a 
 
a) 2x 
b) 2y 
c) 
x
2
 
d) 
y
2
 
 
 
 
 
30. Se ABC é um triângulo, o valor de α é 
a) 10° 
b) 15° 
c) 20° 
d) 25° 
 
 
 
 
 
 
 
31. Se 2x + 3, 5 e 3x - 5 são as três medidas, em cm, 
dos lados de um triângulo, um valor que NÃO é possível 
para x é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
 
32. No triângulo ABC da figura, x é a medida de um 
ângulo interno e z e w são medidas de ângulos 
externos. Se z + w = 220° e z - 20° = w, então x é 
 
 
a) complemento de 120° 
b) complemento de 60° 
c) suplemento de 140° 
d) suplemento de 50° 
 
33. Num triângulo ABC, se o ângulo do vértice A mede 
70º, então o ângulo determinado em BÎC (I é o incentro 
do triângulo ABC) é: 
a) 95º 
b) 110º 
c) 125º 
d) 135º 
 
34. Em relação aos triângulos, marque V para 
verdadeiro e F para falso. Em seguida, assinale a 
alternativa com a sequência correta. 
( ) Triângulo acutângulo é todo triângulo que possui dois 
lados agudos. 
( ) Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos 
externos é igual a 360º. 
( ) Triângulo obtusângulo é todo triângulo que possui 
um dos ângulos internos obtuso. 
( ) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é 
igual a soma das medidas dos ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
a) F - V - V - V 
b) V - F - F - F 
c) F - F - F - V 
d) V - V - V – F 
 
35. Observe a figura abaixo: 
 
A reta r é paralela a reta s, então o valor de x + y é: 
a)180° 
b) 230° 
c) 250° 
d) 280° 
e) 300° 
 
36. Um triângulo tem lados que medem 6, 9 e c, com c 
inteiro. O número máximo de c e: 
a) 6 
b) 7 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
 
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37. Determinar a medida do ângulo do vértice A do 
triângulo ABC, com ACAB= , sabendo-se que os 
segmentos FAeEF,DE,CD,BC são congruentes. 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
e) 36º 
 
 
 
 
 
38. Calcular o valor do ângulo  na figura a seguir, 
sabendo que ED = EF. 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 30º 
e) 40º 
 
 
39. Em um triângulo ABC, isósceles de base BC, as 
bissetrizes dos ângulos internos B e C se encontram 
em um ponto G de modo que o ângulo BGC seja o triplo 
do ângulo interno A. Podemos afirmar que a medida do 
ângulo interno A, em graus, é 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 72 
e) 80 
 
40. No triângulo ABC, o ângulo que as bissetrizes 
internas, CMeAS formam entre si é de 120º. Calcular 
o ângulo formado pela altura AH com a bissetriz AS, 
sabendo que o ângulo  do triângulo é o quíntuplo do 
ângulo Ĉ . 
a) 10º 
b) 20º 
c) 30º 
d) 40º 
e) 60º 
 
41. No triângulo ABC calcular o ângulo formado pela 
altura AH com a bissetriz AS, quando a diferença 
entre os ângulos que a bissetriz AS forma com o lado 
oposto BC é de 20º. 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
e) 25º 
 
42. Num triângulo ABC, a altura AH forma com a 
bissetriz interna AS um ângulo de 20º e as bissetrizes 
dos ângulos externos ĈeB̂ formam um ângulo de 30º. 
Calcular o maior ângulo do triângulo. 
a) 130º b) 120º c) 150º d) 144º e) 110º 
43. CEeBD são as bissetrizes internas relativas aos 
ângulos ĈeB̂ de um triângulo ABC. O ângulo 
BÊC = 95º e o ângulo CD̂B = 82º. Calcular o menor 
ângulo do triângulo. 
a) 48º 
b) 58º 
c) 74º 
d) 45º 
e) 56º 
 
44. Determine a medida do ângulo interno A no 
triângulo ABC da figura abaixo, sabendo-se que, BD é 
a bissetriz do ângulo interno B, e CD a bissetriz do 
ângulo externo C. 
a) 60º 
b) 80º 
c) 100º 
d) 110º 
e) 120º 
 
 
 
 
 
 
45. Num triângulo ABC, as bissetrizes dos ângulos 
externos do vértice B e C formam um ângulo de medida 
50º. Calcule o ângulo interno do vértice A. 
a) 110º 
b) 90º 
c) 80º 
d) 50º 
e) 20º 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
A) 1, 4, 5, 16, 31, 34, 43 
B) 2, 3, 6, 11, 13, 15, 20, 21, 22, 30, 35, 39, 40, 41, 42 
C) 10, 18, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 38, 44, 45 
D) 7, 8, 12, 14, 17, 19, 23, 24, 25, 36, 37 
E) 9