GEO PLANA PRO

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227PROMILITARES.COM.BR
GEOMETRIA PLANA: 
TRIÂNGULOS
CONCEITOS INICIAIS
NOÇÕES AXIOMÁTICAS
Alguns elementos geométricos são tão primitivos que dispensam 
qualquer de� nição, dentre eles estão o ponto 
O ponto
O ponto é representado por uma letra maiúscula do nosso 
alfabeto.
A reta
A reta é a reunião de in� nitos pontos alinhados, é um elemento 
que não possui largura apenas comprimento. A reta é representada 
por uma letra minúscula do nosso alfabeto ou ainda com símbolos 
que veremos a frente.
O plano 
É compreendido como uma superfície plana que não faz curva. 
Planos são � guras geométricas bidimensionais formadas pela reunião 
de in� nitas retas, perpendiculares a uma reta dada, dispostas lado a 
lado
POSTULADOS PRINCIPAIS
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa 
por eles.
• Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma 
reta.
• Três pontos não colineares determinam um único plano que 
passa por eles.
• Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e 
apenas uma, reta paralela à primeira (Euclides).
DETERMINAÇÃO DO PLANO
Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo 
plano.
Um único plano � ca determinado por:
a) Três pontos não colineares
b) Uma reta e um ponto exterior
c) Duas retas concorrentes
d) Duas retas paralelas distintas
POSIÇÕES RELATIVAS
ENTRE PONTOS
a) Coincidentes
b) Distintos
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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ENTRE RETAS
a) Concorrentes: um ponto de interseção
b) Paralelas Coincidentes: in� nitos pontos de interseção
≡r s
c) Paralelas Paralelas: não há pontos de interseção
Retas paralelas são retas coincidentes ou são retas coplanares 
que não possuem ponto em comum.
• Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são 
paralelas entre si.
DEFINIÇÕES E REPRESENTAÇÕES
I. Reta
A reta é um elemento in� nito e dessa forma sua representação é 
mais complexa a partir somente de um desenho então pelo próprio 
postulado de determinação da reta, tendo conhecido 2 pontos A e 
B que pertencem a uma reta podemos representar uma reta por 

AB.
II. Semirreta
Podemos entender como um elemento que possui início mas não 
possui � m, pode-se entender também como a reta com um de seus 
lados tendo sido “cortado”, assim podemos ter a semirreta de início 
em A e na direção de B ( )AB ou a semirreta de início em B e na direção 
de A ( )AB .
III. Segmento de Reta
O segmento de reta possui início e � m e dessa forma é o único 
mensurável, que se pode medir. É simbolizado pelos pontos dos seus 
extremos ( )AB .
CLASSIFICAÇÕES DOS SEGMENTOS
I. Consecutivos
São os segmentos que onde termina o primeiro o seguinte 
imediatamente continua.
II. Colineares
São segmentos que estão alinhados, ou seja, sobre a mesma reta.
AB e CD são colineares e ambos estão sobre a reta r
III. Consecutivos 
São os segmentos ao mesmo tempo consecutivos e colineares
PERPENDICULARIDADE
Retas perpendiculares ( )⊥ são retas concorrentes que formam 
ângulos adjacentes suplementares congruentes.
• Num plano, por um ponto dado de uma reta, passa uma 
única reta perpendicular à reta dada.
• A projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto 
de interseção da reta com a perpendicular a ela passando pelo 
ponto dado.
Na � gura acima, o ponto P’ é a projeção ortogonal do ponto P 
sobre a reta r.
• A projeção ortogonal de um segmento de reta não 
perpendicular a uma reta sobre ela, é o segmento 
determinado sobre a reta pelas projeções dos extremos do 
segmento original.
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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Na � gura acima, o segmento A'B' é a projeção ortogonal do 
segmento de reta AB sobre a reta r.
DISTÂNCIAS
• A distância entre dois pontos A e B é a medida do 
segmento de reta AB.
• A distância entre um ponto e uma reta é distância do 
ponto ao pé da perpendicular à reta conduzida pelo ponto.
• A distância entre duas retas paralelas é distância entre um 
ponto qualquer de uma das retas e a outra reta.
ÂNGULOS
Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem.
Notações: ˆAOB; OA OB; Ô; α.
O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas 

OA e 

OB são os 
lados do ângulo.
Um ângulo determina dois setores angulares, um convexo e outro 
côncavo, exceto no caso de semirretas opostas.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois 
ângulos congruentes.
ProBizu
A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que 
equidistam dos lados de um ângulo.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
 =
ˆ ˆAOC BOD
Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) se, e somente se, 
os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados 
do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
• Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos 
opostos pelo vértice.
• As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são 
semirretas opostas.
ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, possuem um lado 
em comum.
ˆAOB e ˆAOC são 
ângulos consecutivos
OA é o lado comum
ˆAOB e ˆBOC são 
ângulos consecutivos
OB é o lado comum
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são adjacentes se, e somente se, são consecutivos e 
não possuem pontos internos comuns.
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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Os ângulos ˆAOB e 
ˆBOC, que possuem 
lado comum OB, são 
ângulos adjacentes.
ÂNGULO RASO
Ângulo raso é o ângulo determinado por duas semirretas opostas. 
Um ângulo raso mede 180º.
ÂNGULO SUPLEMENTAR ADJACENTE
Dado o ângulo ˆAOB, o ângulo suplementar adjacente de ˆAOB é 
o ângulo determinado pelas semirretas 

OB e 

OC, semirreta oposta à 
semirreta 

OA, ou seja, determinado por um dos lados do ângulo e 
pela semirreta oposta ao outro lado.
A medida do ângulo suplementar adjacente de θ é 180º – θ.
ÂNGULO RETO
Ângulo reto é aquele que é igual a seu suplementar adjacente. A 
medida de um ângulo reto é 90º.
De fato, se θ é um ângulo reto, temos: θ = 180º – θ ⇔ θ = 90º.
ÂNGULO AGUDO E ÂNGULO OBTUSO
Ângulo agudo é aquele que é menor que um ângulo reto e ângulo 
obtuso é aquele que é maior que um ângulo reto.
ˆAOB é um ângulo 
agudo
α < 90º
ˆCOD é um ângulo 
obtuso
β > 90º
UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARES
A. SISTEMA SEXAGESIMAL − GRAU (°)
Um sistema sexagesimal é um sistema de numeração de base 60, 
ou seja, cada submúltiplo é 60 vezes menor que o anterior.
Para medidas angulares, é comum adotar um sistema sexagesimal 
com unidade de medida 1 grau (1º) que é 
1
90
 de um ângulo reto.
Um grau pode ser dividido em 60 minutos e cada minuto dividido 
em 60 segundos.
( )= ⋅ ⇔ =
=
=
1
1º ângulo reto 1 ângulo reto 90º
90
1 ângulo raso 180º
1 ângulo de uma volta 360º
Submúltiplos do grau:
Minuto: = ⋅ ⇔ =
1
1' 1º 1º 60'
60
Segundo: = ⋅ ⇔ = ⇔ =
1
1'' 1' 1' 60'' 1º 3600''
60
B. SISTEMA DECIMAL − GRADO (gr)
Um sistema decimal é um sistema numeração de base 10, ou seja, 
cada submúltiplo é 10 vezes menor que o anterior.
Para medidas angulares, utiliza-se um sistema decimal com 
unidade de medida 1 grado (1 gr), que equivale a 
1
100
 de um ângulo 
reto.
( )= ⋅ ⇔ =
=
=
1
1 gr ângulo reto 1 ângulo reto 100 gr
100
1 ângulo raso 200 gr
1 ângulo de uma volta 400 gr
231
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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C. SISTEMA CIRCULAR OU RADIOMÉTRICO − RADIANOS 
(rad)
O ângulo de 1 radiano (1 rad) é o ângulo central em uma 
circunferência de raio R que determina um arco de comprimento R 
sobre essa circunferência.
O sistema circular ou radiométrico adota como unidade de 
medida 1 radiano (1 rad).
Como o comprimento de uma circunferência de raio R é 2πR, 
então um ângulo de uma volta mede 2πrad.
( )= ⋅
π
= π
= π
π
=

1
1 rad ângulo de uma volta
2
1 ângulo de uma volta 2 rad
1 ângulo raso rad
1 ângulo reto rad
2
D. RELAÇÕES ENTRE AS UNIDADES
180º = 200 gr = π rad
E. NÚMERO COMPLEXO
Número complexo é um número que apresenta mais de uma 
unidade de um mesmo sistema para exprimir uma grandeza.
Exemplos: 2h 30min10seg e 15°20’32”.
Número incomplexo é um número que apresenta uma única 
unidade de um sistema para exprimir uma grandeza.
Exemplos: 135,2 min e 65,32°.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Ângulos complementares são ângulos cujas medidas somam um 
ângulo reto (90º).
⇓
α + β = 90º
α e β são 
complementares
O complemento de um ângulo é o ângulo que, junto ao 
primeiro, forma um par de ângulos complementares. Portanto, o 
complemento de x é 90º – x.
Complemento de x = 90º − x
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Ângulos suplementares são ângulos cujas medidas somam um 
ângulo raso (180º).
⇓
α + β = 180º
α e β são suplementares
O suplemento de um ângulo é o ângulo que, junto ao primeiro, 
forma um par de ângulos suplementares. Portanto, o suplemento de 
x é 180º – x.
Suplemento de x = 180º − x
As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são 
perpendiculares.
ÂNGULOS REPLEMENTARES
Ângulos replementares são ângulos cujas medidas somam um 
ângulo de uma volta (360°).
⇓
α + β = 360º
α e β são 
replementares
O replemento de um ângulo é o ângulo que, junto ao primeiro, 
forma um par de ângulos replementares. Portanto, o replemento de 
x é 360º – x.
ProBizu
Complemento de x = 90º − x
Suplemento de x = 180º − x
Replemento de x = 360º − x
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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ÂNGULOS NOS PONTEIROS DO RELÓGIO
Vamos analisar o problema de identi� car o ângulo θ entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos.
Figura 1 Figura 2
O ângulo entre as marcações de horas é =
360º
30º
12
 e o ângulo entre as marcações de minutos é =
360º
6º
60
.
A velocidade angular do ponteiro das horas é =
30º
0,5º min
60 min
 e a velocidade angular do ponteiro dos minutos é =
360º
6º min
60 min
.
Às H horas em ponto, o ângulo entre os ponteiros do relógio é = ⋅ˆAOB 30º H.
Entre H horas em ponto e H horas e M minutos, passaram-se M minutos. Nesse período, o ponteiro das horas deslocou-se 
= ⋅ = ⋅ˆBOD 0,5º min M min 0,5º M e o ponteiro dos minutos deslocou-se = ⋅ = ⋅ˆAOC 6º min M min 6º M. Assim, há duas possibilidades para o ângulo 
entre os ponteiros das horas e dos minutos:
1°. Se o ponteiro dos minutos não ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 1), temos:
θ = = + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ˆ ˆ ˆ ˆCOD AOB BOD AOC 30º H 0,5 M 6º M 30º H 5,5º M.
2°. Se o ponteiro dos minutos ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 2), temos:
θ = = − − = ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ˆ ˆ ˆ ˆCOD AOC AOB BOD 6º M 30º H 0,5 M 5,5º M 30º H.
A expressão para o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos pode ser representada de maneira 
única como 
⋅ − ⋅
θ =
60º H 11º M
2
.
Os segmentos de reta são os lados do triângulo e as extremidades 
dos segmentos de reta, os vértices do triângulo.
Lados: AB, AC, BC Vértices: A, B, C
Os ângulos internos do triângulo são os ângulos formados pelos 
lados do triângulo.
Ângulos internos: BAC Aˆ ˆ= , ABC Bˆ ˆ= , BCA C =
Os ângulos externos são formados por um lado do triângulo e o 
prolongamento do lado adjacente, e são o suplementar adjacente do 
ângulo interno de mesmo vértice.
Ângulos externos: A AB’ , ABC B
 = , C CA’ 
DEFINIÇÕES E RELAÇÕES ANGULARES
DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Um triângulo é a � gura geométrica formada por três segmentos 
de reta consecutivos dois a dois unidos por suas extremidades.
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 
QUANTO AOS LADOS
Se um triângulo possui três lados de medidas iguais, ele é dito 
equilátero.
Triângulo Equilátero
Os triângulos equiláteros possuem três lados de medidas iguais e 
três ângulos internos iguais de medida 60°.
Se um triângulo possui dois lados de medidas iguais, ele é dito 
isósceles.
Triângulo Isósceles
O lado desigual de um triângulo isósceles, quando houver, é 
chamado de base e o ângulo interno oposto a ele, ângulo do vértice.
Os ângulos adjacentes à base de um triângulo isósceles são iguais.
Se um triângulo possui lados de medidas distintas duas a duas, 
ele é dito escaleno.
Triângulo Escaleno
ProBizu
Todo triângulo equilátero é também isósceles, mas a recíproca não 
é verdadeira.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
QUANTO AOS ÂNGULOS
Se um triângulo possui os três ângulos agudos, ele é dito 
acutângulo.
α, β, γ < 90°
Triângulo Acutângulo
Se um triângulo possui um ângulo reto, ele é dito retângulo.
Triângulo Retângulo
Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é 
chamado hipotenusa, e os lados adjacentes ao ângulo reto são 
chamados catetos.
Se um triângulo possui um ângulo obtuso, ele é dito obtusângulo.
θ > 90°
Triângulo Obtusângulo
RETAS PARALELAS CORTADAS
POR UMA TRANSVERSAL
r s �
� � �
� � �
�
�
�
��
1 3 5 7
2 4 6 8
   
   
Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
t determinando oito ângulos, conforme a � gura acima, então 
ˆ ˆ ˆ ˆ1 3 5 7= = = , ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 6 8= = = e os ângulos do segundo grupo são o 
suplemento dos ângulos do primeiro grupo.
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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Os pares de ângulos 3 5 = e ˆ ˆ4 6= são denominados alternos 
internos.
Os pares de ângulos 1 7 2 8   � � � são denominados alternos 
externos.
Os pares de ângulos 4 5 180 � � � e ˆ ˆ3 6 180� �  são denominados 
colaterais internos.
Os pares de ângulos 1 8 180 � � � e 2 7 180 � � � são denominados 
colaterais externos.
Os pares de ângulos 1 5 + , ˆ ˆ2 6= , ˆ ˆ3 7= e 4 8 + são denominados 
correspondentes.
Se dois pares de ângulos alternos são iguais ou dois pares de 
ângulos correspondentes são iguais ou dois pares de ângulo colaterais 
são suplementares, então as retas r e s são paralelas.
ProBizu
Se r||s, então ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 3 5 2 4� � � � , ou seja, a soma dos ângulos voltados 
para um lado é igual à soma dos ângulos voltados para o outro 
lado
r
s
i
2
3
4
5
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
DE UM TRIÂNGULO
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
A B C� � �� � � �180
Demonstração:
Se DE || BC, então DAB ABCˆ ˆ= e EAC ACBˆ ˆ= . Logo,
DAB BAC CAE DAE
ABC BAC ACB A B C
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .
� � � �
� � � � � � �180 180 
ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos 
internos não adjacentes.
A B Ce� � �� �
B
C
Âe
A D
Demonstração:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA C A C A B C A B Ce e e� � � � � � � � � �180

Corolário: A soma das medidas dos três ângulos externos de um 
triângulo é igual a 360°.
DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO
RELAÇÃO ENTRE LADOS E ÂNGULOS
Teorema: Num triângulo qualquer, ao maior (menor) lado, opõe-
se o maior (menor) ângulo. Mais precisamente, em um ∆ABC, tem-se 
ˆ ˆA B> se, e somente se, BC > AC.
Demonstração:
(Volta) Seja BC > AC, então marquemos no segmento BC, um 
ponto D tal que CD = AC. O triângulo ADC é isósceles, portanto 
ˆ ˆ ˆ ˆA DAC ADC B� � � .
(Ida) Seja ˆ ˆA B> . Não podemos ter BC = AC, pois se teria ˆ ˆA B= .
Também não podemos ter BC < AC, pois a demonstração anterior 
implicaria ˆ ˆA B< . Portanto, a única possibilidade é BC > AC.
DESIGUALDADE TRIANGULAR
Teorema: Cada lado de um triângulo é menor que a soma dos 
outros dois.
Logo, em um triângulo ABC, de lados a, b e c, temos: 
a b c
b a c
c a b
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
.
235
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
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Demonstração:
Tomemos um ponto D na reta AB de forma que B está 
entre A e D e que BD = BC. Como o ∆DBC é isósceles, temos 
ADC BDC BCD ACDˆ ˆ ˆ ˆ� � � .
Aplicando a desigualdade (1.1) ao ∆ADC, tem-se AC < AD = AB + 
BD = AB + BC, como queríamos demonstrar.
Corolário: A menor distância entre dois pontos é o segmento de 
reta que os une.
Exemplo:
Sejam os pontos A e B do mesmo lado de uma reta r. Identi� que 
o ponto C ∈ r tal que AC + CB assume o valor mínimo.
Seja B’ a re� exão do ponto B em relação à reta r, então BC = B’C. 
O menor caminho de A a B’ é o segmento de reta que une esses dois 
pontos. Como AC + CB = AC + CB’, então o ponto C que faz AC + CB 
assumir o valormínimo é a interseção do segmento AB’ com a reta r.
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são ditos congruentes (símbolo ≡) se, e somente 
se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de 
modo que: seus lados são ordenadamente congruentes e seus ângulos 
são ordenadamente congruentes.
� � � �
� � �
� � �
�
�ABC A B C
AB A B AC A C BC B C
A A B B C C
’ ’ ’
’ ’; ’ ’; ’ ’
’; ’; ’� � � � � �
��
��
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA DE 
TRIÂNGULOS
CRITÉRIO LADO – ÂNGULO – LADO (L.A.L.)
Se dois lados de um triângulo e o ângulo por eles formado 
forem congruentes a dois lados de outro triângulo e ao ângulo por 
eles formados, respectivamente, então esses dois triângulos são 
congruentes (postulado).
AB A B
A A
AC A C
ABC A B C
B B
BC
L A L
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � �
�
�
� �
’ ’
’
’ ’
’ ’ ’
’
. . .� �
� �
BB C
C C
’ ’
’� ��
�
�
��
�
�
�
CRITÉRIO ÂNGULO – LADO – ÂNGULO (A.L.A.)
Se um dos lados de um triângulo e os ângulos adjacentes a esse 
lado forem congruentes a um dos lados de outro triângulo e aos 
ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, então esses dois 
triângulos são congruentes (teorema).
ˆ ˆ ’
’ ’
ˆ ˆ ’
’ ’ ’
’ ’
ˆ
. . .
B B
BC B C
C C
ABC A B C
AB A B
A
A L A
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � �
�
�
� �
ˆ̂ ’
’ ’
A
AC A C�
�
�
��
�
�
�
Demonstração:
Se AC = A’C’, então temos:
AC A C
C C
BC B C
ABC A B C
L A L
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � �
� �
’ ’
’
’ ’
’ ’ ’
. . .
  .
Se AC ≠ A’C’, então podemos supor, sem perda de generalidade, 
que AC > A’C’. Marca-se sobre AC um ponto D tal que DC = A’C’. 
Por L.A.L., temos ∆DBC ≡ ∆A’B’C’ e, portanto, CBD C B A CBAˆ ’ ˆ ’ ’ ˆ= = ,
donde D ≡ A e AC = DC = A’C’, o que contradiz a hipótese inicial.
Logo, sempre que ˆ ˆ ’B B= , BC = B’C’ e ˆ ˆ ’C C= , temos AC = A’C’
e, consequentemente, ∆ABC = ∆A’B’C’, como queríamos demonstrar.
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GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Teorema do triângulo isósceles:
Em um triângulo ABC qualquer, AB = AC se, e somente se, ˆ ˆB C= .
Demonstração:
(Ida) Supondo AB = AC e associando o ∆ABC a ele mesmo 
somente com a mudança da ordem dos vértices, temos:
AB AC
BAC CAB
AC AB
ABC ACB B C
L A L
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � � �
� �
ˆ ˆ ˆ ˆ
. . .
(Volta) Supondo ˆ ˆB C= e associando o ∆ABC a ele mesmo 
somente com a mudança da ordem dos vértices, temos:
CBA BCA
BC CB
BCA CBA
ABC ACB AB AC
A L A
ˆ ˆ
ˆ ˆ
. . .
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � � �
� �
Corolário: Um triângulo é equilátero (isto é, com todos os lados 
congruentes) se, e somente se, é equiângulo (isto é, seus ângulos são 
todos congruentes). Portanto, um triângulo equilátero possui três 
ângulos iguais a 60°.
CRITÉRIO LADO – LADO – LADO (L.L.L.)
Se os três lados de um triângulo são respectivamente congruentes 
aos três lados de outro triângulo, então esses dois triângulos são 
congruentes (teorema).
AB A B
BC B C
AC A C
ABC A B C
A A
B
L L L
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � �
�
� �
’ ’
’ ’
’ ’
’ ’ ’
’
. . .
� �
� ��
�
�
�
��
�
�
�
B
C C
�
� �
’
’
Demonstração:
Como BC = B’C’, vamos fazer coincidir B ≡ B’ e C ≡ C’ com A 
e A’ em lados opostos de BC = B’C’. Há três casos possíveis, como 
mostrado nas � guras a seguir.
 
Vamos analisar o caso representado na primeira � gura. Os outros 
dois casos podem ser abordados de forma análoga.
O ∆ABA’ é isósceles, então BAA BA Aˆ ’ ˆ ’= , e o ∆ACA’ 
também é isósceles, então CAA CA Aˆ ’ ˆ ’= . Portanto, 
BAC BAA CAA BA A CA A BA C B A Cˆ ˆ ’ ˆ ’ ˆ ’ ˆ ’ ˆ ’ ’ ˆ ’ ’� � � � � � .
Logo, temos AB = A’B’, ˆ ˆ ’A A= e AC = A’C’, o que, pelo critério 
L.A.L., implica ∆ABC = ∆A’B’C’.
Teorema: Qualquer ângulo externo é maior que os ângulos 
externos não adjacentes.
Demonstração:
Vamos provar que o ângulo externo BADˆ é maior que B̂. A 
demonstração de que BADˆ é maior que Ĉ é completamente análoga.
Seja M ponto médio de AB. Prolonga-se CM até C’ tal que CM 
= MC’.
237
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Como CM = C’M, BMC AMCˆ ˆ ’= e BM = AM, então, pelo critério 
L.A.L., ∆BMC ≡ ∆AMC’, o que implica MAC MBCˆ ’ ˆ= .
Mas C’ é um ponto interior ao ângulo BADˆ , então 
BAD BAC C AD BAC Bˆ ˆ ’ ’ ˆ ˆ ’ ˆ� � � � , como queríamos demonstrar.
CRITÉRIO LADO – ÂNGULO – ÂNGULO OPOSTO 
(L.A.AO.)
Se um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, 
de dois triângulos são ordenadamente congruentes, então esses dois 
triângulos são congruentes.
BC B C
C C
A A
ABC A B C
B B
AB
L A Ao
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � �
�
�
� �
’ ’
’
’
’ ’ ’
’
. . .
� �
� �
� �
AA B
AC A C
’ ’
’ ’�
�
�
��
�
�
�
Demonstração:
Supondo por absurdo que BC = B’C’, ˆ ˆ ’C C= e ˆ ˆ ’A A= , e que 
∆ABC e ∆A’B’C’ não são congruentes, o que implica AC ≠ A’C’ (pois, 
se fossem iguais os triângulos seriam congruentes pelo critério L.A.L.).
Supondo ainda, sem perda de generalidade, que AC > A’C’. 
Vamos coincidir B B≡ ’ e C C≡ ’ . Como ˆ ˆ ’C C= , então o ponto A’ 
está sobre o lado AC. Mas, BA Cˆ ’ é um ângulo externo do ∆ABA’, 
não adjacente ao ângulo BAAˆ ’ , então BA C A A BAAˆ ’ ˆ ’ ˆ ˆ ’� � � , o 
que contradiz a nossa hipótese. Portanto, ∆ABC = ∆A’B’C’, como 
queríamos demonstrar.
CRITÉRIO ESPECIAL DE CONGRUÊNCIA DE 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Se dois triângulos retângulos têm um cateto e a hipotenusa, 
respectivamente, congruentes, então esses dois triângulos são 
congruentes.
ˆ ˆ ’
’ ’
’ ’
’ ’ ’
’ ’
ˆ ˆ ’
A A
AB A B
BC B C
ABC A B C
AC A C
B B
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � �
�
�
90
ˆ̂ ˆ ’C C�
�
�
��
�
�
�
Demonstração:
Como AB = A’B’, vamos fazer coincidir A ≡ A’ e B ≡ B’ com C e C’ 
em lados opostos de AB.
Como BC = B’C’, então o ∆CBC’ é isósceles e ˆ ˆ ’C C= .
BC B C
C C
A A
ABC A B C
LAAo
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
� � � �
� �
’ ’
’
’
’ ’ ’� �
� � �90
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO
LUGAR GEOMÉTRICO
Um lugar geométrico (LG) é o conjunto de todos os pontos que 
possuem uma determinada propriedade.
Assim, se o conjunto L é o lugar geométrico dos pontos que 
possuem uma propriedade p, então:
1°) Se o ponto A ∈ L, então A possui a propriedade p; e
2°) Se o ponto A possui a propriedade p, então A ∈ L.
Exemplo:
Uma circunferência de centro em um ponto O e raio r é o lugar 
geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância constante 
e igual a r do ponto O.
MEDIATRIZES
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento 
pelo seu ponto médio.
A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos 
equidistantes das extremidades do segmento.
Demonstração:
Seja um ponto P ∈ m, onde m é a mediatriz do segmento AB, 
então ∆PMA ≡ ∆PMB (caso especial de congruência para triângulos 
retângulos), então PA = PB, ou seja, P equidista das extremidades do 
segmento.
238
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Seja P um ponto equidistante das extremidades de um segmento 
AB. Se M é o ponto médio de AB, então PA = PB.
Assim, considerando os triângulos PAM e PBM, temos PA = AB, 
AM = BM e MP é comum, portanto, pelo critério de congruência 
L.L.L., ∆PAM ≡ ∆PBM, o que implica PMA PMBˆ ˆ= = 90 , ou seja, P 
pertence à mediatriz de AB.
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se em um 
único ponto denominado circuncentro e que equidista dos vértices 
do triângulo.
Demonstração:
Sejam m1, m2 e m3 as mediatrizes dos lados AB, AC e BC do 
triângulo ABC, respectivamente.
Se {O} = m1 ∩ m2, então, temos:
O m OA OB
O m OA OC
OB OC O m
� � �
� � �
�
�
�
��
� � � �1
2
3 .
Portanto, {O} = m1 ∩ m2 ∩ m3 e OA ≡ OB ≡ OC, como queríamos 
demonstrar.
O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência 
circunscrita ao triângulo.
POSIÇÕES DO CIRCUNCENTRO EM
RELAÇÃO AO TRIÂNGULO
O circuncentro é interior ao triângulo, se o triângulo é acutângulo.
O circuncentro está sobre o ponto médio da hipotenusa, se o 
triângulo é retângulo.
O circuncentro é exterior ao triângulo, se o triângulo é 
obtusângulo.
239
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BRBISSETRIZES
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois 
ângulos congruentes.
A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que 
equidistam dos lados de um ângulo.
Demonstração:
Seja um ponto P ∈ β bissetriz de AOBˆ . Traçam-se as perpendicu-
lares por P aos lados do ângulo.
Nos triângulos POC e POD, temos PO lado comum, POC PODˆ ˆ=
e PCO PDOˆ ˆ= = 90, então, pelo critério de congruência LAAO, 
∆POC = ∆POD, o que implica PC = PD, ou seja, P equidista dos lados 
do ângulo.
Seja P um ponto que equidista dos lados do ângulo AOBˆ .
Nos triângulos POC e POD, temos PO lado comum e PC = PD, 
então, pelo critério de congruência especial para triângulos retângulos, 
∆POC ≡ ∆POD, o que implica POC PODˆ ˆ= , ou seja, P pertence à bissetriz 
do ângulo AOBˆ .
Observação
• As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semir-
retas opostas.
• As bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas 
opostas.
• As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.
BISSETRIZES INTERNAS DE UM TRIÂNGULO
Uma bissetriz interna de um triângulo é um segmento com 
extremidade em um vértice e no lado oposto e que divide o ângulo 
desse vértice em dois ângulos adjacentes congruentes.
BAA A AC AAˆ ’ ’ ˆ ’� � é bissetriz relativa ao vértice A do ∆ABC
Observação
Um segmento que tem uma extremidade em um vértice de um 
triângulo e a outro no lado oposto a esse vértice é denominado 
ceviana.
As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em 
um único ponto denominado incentro e que equidista dos lados 
do triângulo.
Demonstração:
Sejam AA’ , BB’ e CC’ as bissetrizes relativas aos vértices A, B 
e C do triângulo ABC, respectivamente.
Se I AA BB�� � �’ ’, então, temos:
I AA IE IF
I BB ID IF
ID IE I CC
� � �
� � �
�
�
�
��
� � � �
’
’
’
Portanto, I AA BB CC�� � � �’ ’ ’ e ID IE IF≡ ≡ , como 
queríamos demonstrar.
O incentro de um triângulo é o centro da circunferência inscrita 
no triângulo.
240
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
BISSETRIZES EXTERNAS DE UM TRIÂNGULO
Uma bissetriz externa de um triângulo é uma reta que divide um 
ângulo externo do triângulo em dois ângulos adjacentes congruentes.
Assim como as três bissetrizes internas, as três bissetrizes externas 
também equidistam dos lados do triângulo.
Cada bissetriz externa é perpendicular à bissetriz interna do 
mesmo vértice.
As três bissetrizes externas intersectam-se duas a duas 
determinando três pontos denominados ex-incentros.
Os ex-incentros são equidistantes dos três lados do triângulo e são 
centros dos três círculos ex-inscritos.
A bissetriz interna oposta a um lado passa pelo ex-incentro 
determinado pelas bissetrizes externas dos ângulos adjacentes a esse 
lado.
Note que as demonstrações das propriedades das bissetrizes 
externas e dos ex-incentros são análogas às das bissetrizes internas 
e do incentro, pois correspondem aos mesmos lugares geométricos.
ALTURAS
Uma altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular 
à reta suporte de um lado do triângulo e com extremidades nesta reta 
e no vértice oposto ao lado considerado.
241
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
ORTOCENTRO
As três alturas de um triângulo (ou seus prolongamentos) 
concorrem em um único ponto denominado ortocentro.
Demonstração:
Sejam BE e CF duas alturas do ∆ABC que se cortam no ponto H, e 
seja AD a ceviana passando por H.
#AFHE é inscritível � � �FAH FEHˆ ˆ �
BFC BEC BFECˆ ˆ #� � � �90 é inscritível � � �FEH FCBˆ ˆ �
CHD AHFˆ ˆ� � � �90 �
� � � � � � � � � �� � � � �CDH CHD DCHˆ ˆ ˆ180 180 90 90� �
Logo, AD BC⊥ , ou seja, AD também é uma altura do ∆ABC, 
o que implica que as três alturas do triângulo encontram-se em um 
único ponto.
Outra forma de provar a concorrência das três alturas é traçar 
pelos vértices A, B e C retas paralelas aos lados opostos.
Assim, #ABCJ e #ACBK são paralelogramos, o que implica BC || AJ 
|| AK e BC = AJ = AK, logo A é ponto médio de KJ e, como AH BC1 ⊥ ,
então AH KJ1 ⊥ . Assim, conclui-se que AH1 é a mediatriz do lado KJ 
do ∆IJK.
Analogamente BH2 e CH3 também são mediatrizes de KI e IJ, 
respectivamente.
O ponto de encontro das três mediatrizes de um triângulo é o 
circuncentro do triângulo. É fácil garantir a sua existência e unicidade, 
pois ele é o ponto que equidista dos três vértices.
Como AH1, BH2 e CH3 são as três mediatrizes do ∆IJK, eles se 
encontram no ponto H circuncentro do ∆IJK e, consequentemente, 
ortocentro do ∆ABC.
• Se o triângulo é acutângulo, o ortocentro está no interior do 
triângulo.
• Se o triângulo é retângulo, o ortocentro coincide com o vértice 
do ângulo reto.
• Se o triângulo é obtusângulo, o ortocentro está no exterior 
do triângulo.
Nas � guras seguintes, H é o ortocentro dos triângulos.
ProBizu
O simétrico do ortocentro de um triângulo em relação a um de 
seus lados está sobre o círculo circunscrito ao triângulo.
242
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Demonstração:
CAH CBH
H Cˆ ’ ˆ ’
’
= =

2
CBH BHD AHE CAH
CBH CBH DH DH
ˆ ˆ ˆ ˆ ’
ˆ ˆ ’ ’
� � � � � � �
� � � �
90 90
Logo, a interseção H’ do prolongamento de AD com o círculo 
circunscrito é o simétrico de H em relação ao lado BC, o que demonstra 
a proposição inicial.
TRIÂNGULO ÓRTICO
O triângulo órtico é o triângulo formado pelos pés das alturas de 
um triângulo.
Triângulo acutângulo
Triângulo obtusângulo
No triângulo retângulo o triângulo órtico não está de� nido.
ProBizu
Em qualquer triângulo acutângulo, o ortocentro é o incentro do 
triângulo órtico, e seus vértices são ex-incentros do triângulo órtico.
Em qualquer triângulo obtusângulo, o ortocentro é um dos ex-
incentros do triângulo órtico, o vértice do ângulo obtuso é o 
incentro do triângulo órtico, e os outros dois vértices são os outros 
dois ex-incentros do triângulo órtico.
Demonstração:
BFH BDH BDHFˆ ˆ #� � � �90 é inscritível � �FBH FDHˆ ˆ
CEH CDH CDHEˆ ˆ #� � � �90 é inscritível � �ECH EDHˆ ˆ
FBH ECH A FDH EDHˆ ˆ ˆ ˆ ˆ� � � � � �90
Logo, DH é bissetriz do ângulo FDEˆ . Analogamente, EH e FH são 
bissetrizes dos ângulos DEFˆ e DFEˆ , respectivamente, o que implica que 
H é o incentro do ∆DEF.
Observando ainda que os lados AB, BC e AC são perpendiculares 
às bissetrizes internas do ∆DEF, então eles são bissetrizes externas do 
∆DEF e, consequentemente, os vértices A, B e C são ex-incentros do 
∆DEF.
A demonstração para o triângulo obtusângulo é análoga. Basta 
considerar o triângulo DEF como triângulo órtico do triângulo 
obtusângulo BCH.
MEDIANAS, BASES MÉDIAS E BARICENTRO
BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO
Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois 
lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e é igual à 
metade do terceiro lado. Esse segmento é denominado base média 
do triângulo, relativa ao terceiro lado.
Demonstração:
Seja a reta r || AB por C, e D a interseção de r e MN.
MAN DCN
AN CN
MNA DNC
AMN CDN CD AM MN DN
ˆ ˆ
ˆ ˆ
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � � � � �
Como CD ≡ AM ≡ MB e CD || MB, então o quadrilátero BMDC é 
um paralelogramo, o que implica MD || BC e MD ≡ DC. Portanto, MN
|| BC e MN
BC
=
2
.
Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma 
extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no 
terceiro lado, então esta extremidade é o ponto médio do terceiro 
lado.
MEDIANAS E BARICENTRO
Uma mediana de um triângulo é um segmento com extremidades 
em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto.
BM ≡ MC ⇒ AM é a mediana relativa ao vértice A do ∆ABC.
243
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
ProBizu
As três medianas de um triângulo interceptam-se em um único 
ponto denominado baricentro. O baricentro divide as medianas na 
razão 2:1, onde a parte maior é a que contém o vértice.
Demonstração:
Seja {X} = BN ∩ CP, D e E pontos médios de BX e CX, 
respectivamente.
No ∆ABC, N e P são pontos médios de AC e AB, respectivamente, 
então NP || BC e NP
BC
=
2
.
No ∆XBC, D e E pontos médios de BX e CX,respectivamente, 
então DE || BC e DE
BC
=
2
.
⇒ NP || DE ∧ NP ≡ DE ⇒ #NPDE é um paralelogramo.
Como as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio, 
então NX ≡ XD ≡ DB e PX ≡ XE ≡ EC.
Logo, a mediana BN intercepta a mediana CP em um ponto X que 
divide as medianas na razão 2:1.
Seja {Y} = AM ∩ CP, então analogamente Y divide as medianas 
AM e CP na razão 2:1, portanto, X ≡ Y.
Chamando esse ponto de X ≡ Y ≡ G, então {G} = AM ∩ BN ∩ CP
e 
AG
GM
BG
GN
CG
GP
= = =
2
1
.
Observação
O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
DIVISÃO DE SEGMENTOS
DIVISÃO INTERNA
Um ponto M divide um segmento AB internamente na razão k > 
0, quando M pertence ao segmento AB e 
AM
MB
k= .
Os segmentos AM e MB são ditos segmentos aditivos, pois sua 
soma é igual a AB.
Seja AB = d, então:
AM
MB
k
AM
k
MB AM MB
k
d
k
AM
dk
k
MB
d
k
� � � �
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�
1 1 1
1 1
Se 0 < k < 1 ⇒ dk < d ⇒ AM < MB, então M está mais próximo de A.
Se k = 1 ⇒ AM = MB, então M é ponto médio de AB.
Se k > 1 ⇒ dk > d ⇒ AM > MB, então M está mais próximo de B.
Exercício Resolvido
01. Um ponto M divide o segmento AB, de 18 cm, internamente 
na razão 
2
7
. Calcule MA e MB.
Resolução:
MA
MB
MA MB
k
MA k
MB k
� � � � �
�
�
�
�
�
2
7 2 7
2
7
Segmentos aditivos:
AB = MA + MB = 18 ⇒ 2k + 7k = 18 ⇔ k = 2
⇒ MA = 2k = 2 · 2 = 4 e MB = 7k = 7 · 2 = 14
Nesse exemplo, as contas foram feitas usando uma constante de 
proporcionalidade.
DIVISÃO EXTERNA
Um ponto N divide um segmento AB externamente na razão 
0 < k ≠ 1, quando N pertence à reta suporte do segmento AB, mas não 
ao próprio segmento, e 
NA
NB
k= .
Os segmentos NA e NB são ditos segmentos subtrativos, pois o 
módulo da sua diferença é igual a AB.
Seja AB = d, então:
NA
NB
k
NA
k
NB NA NB
k
d
k
NA
dk
k
NB
d
k
� � � �
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�
1 1 1
1 1
Se 0 < k < 1 ⇒ dk < d ⇒ NA < NB, então N está à esquerda de A.
Se k > 1 ⇒ dk > d ⇒ NA > NB, então N está à direita de B.
Exercício Resolvido
02. Um ponto N divide o segmento AB, de 18 cm, externamente 
na razão 
4
7
. Calcule NA e NB.
Resolução:
Observe, inicialmente, que, como a razão de divisão externa 
é 
4
7
1< , então NA < NB e o ponto N deve estar à esquerda do 
segmento AB.
244
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
NA
NB
NA NB NB NA AB
� � � �
�
�
� � �
4
7 4 7 7 4 3
18
3
6
(segmentos subtrativos)
⇒ NA = 4 · 6 = 24 e NB = 7 · 6 = 42
Nesse exemplo, as contas foram feitas usando as propriedades 
das razões e proporções.
DIVISÃO HARMÔNICA
Os pontos M e N dividem um segmento AB harmonicamente na 
razão 0 < k ≠ 1, quando os pontos M e N dividem o segmento AB, 
respectivamente, internamente e externamente na mesma razão k, ou 
seja, AM
MB
NA
NB
k= = .
Os pontos M e N são chamados conjugados harmônicos de AB
na razão k.
Seja AB = d, então:
AM
dk
k
MB
d
k
�
�
� �
�1 1
 e NA
dk
k
NB
d
k
�
�
� �
�1 1
.
0 1
1 1
2
1 2
� � � � � �
�
�
�
�
�
k MN NA AM
dk
k
dk
k
dk
k
k MN MB NB
d
k
d
k
dk
k
� � � � �
�
�
�
�
�
1
1 1
2
12
Assim, para qualquer 0 < k ≠ 1, temos:
MN
dk
k
�
�
2
12
Teorema: Se M e N dividem o segmento AB harmonicamente na 
razão 0 < k ≠ 1, então A e B dividem o segmento MN harmonicamente 
na razão k
k
k
’ �
�
�
1
1
.
Exercício Resolvido
03. Os pontos M e N dividem o segmento AB, de 10 cm, 
harmonicamente na razão 
2
3
. Calcule MN.
Resolução:
Observe, inicialmente, que, como a razão de divisão é 
2
3
1< , então 
o ponto N deve estar à esquerda do segmento AB.
Vamos calcular primeiro a medida dos segmentos aditivos (divisão 
interna):
AM
MB
AM MB AM MB AB
AM MB
� � � �
�
�
� � � �
� � � � � � � �
2
3 2 3 2 3 5
10
5
2
2 2 4 3 2 6
Agora, vamos calcular a medida dos segmentos subtrativos (divisão 
externa):
NA
NB
NA NB NB NA AB
NA NB
� � � �
�
�
� � �
� � � � � � � �
2
3 2 3 3 2 1
10
2 10 20 3 10 30
A distância entre os conjugados harmônicos é MN = NA + AM = 
20 + 4 = 24
Alternativamente, poderíamos utilizar a fórmula desenvolvida 
anteriormente, como segue:
MN
dk
k
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
� � � �
2
1
2 10
2
3
2
3
1
40
3
5
9
40
3
9
5
24
2 2
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E 
EXTREMA RAZÃO (DIVISÃO ÁUREA)
Um ponto P divide internamente um segmento de reta AB
segundo uma razão áurea (ϕ) quando a primeira parte está para a 
segunda parte assim como o segmento todo está para a primeira 
parte, ou seja,
PA
PB
AB
PA
� � �
O ponto P assim obtido é denominado ponto áureo de AB e o 
segmento PA, segmento áureo de AB.
Note que o segmento áureo (PA) é a média geométrica entre o 
segmento dado (AB) e o outro segmento aditivo (PB).
Sejam AP = a, PB = b, AB = a + b, onde o ponto P divide AB
auricamente, temos:
PA
PB
AB
PA
a
b
a b
a
a
b
b
a
� � � �
�
� � � � � �
� � � � � � � �
� �
�
�
� � �
�
�
� �
�
�
1
1
1
1 0
1 5
2
2
��
�
�0 1 5
2
�
� �
�
�
1 5
2
1 618,
O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre o maior 
lado e o menor lado é igual à razão áurea.
Seja um retângulo áureo cujo maior lado possui medida a e o 
menor lado possui medida b tais que 
a
b
� �. Se colocarmos esse 
retângulo adjacente a um quadrado cujo lado mede a, obtemos um 
retângulo áureo semelhante com lado maior de medida a + b e lado 
menor de medida a.
245
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Construção do retângulo áureo.
1°) Construa um quadrado APQD;
2°) Marque o ponto médio M do lado AP do quadrado;
3°) Trace o arco de circunferência com centro M passando 
pelos vértices opostos do quadrado Q e D;
4°) A interseção do prolongamento do lado AP com o arco de 
circunferência é um vértice do retângulo áureo (B); e
5°) A interseção da perpendicular a AB passando por B com o 
prolongamento de DQ é o outro vértice do retângulo áureo (C).
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas secantes 
quaisquer segmentos correspondentes proporcionais.
Sejam as retas r1 || r2 || r3 || ... || rn-1 || rn , então 
A A
B B
A A
B B
A A
B B
n n
n n
1 2
1 2
2 3
2 3
1
1
� � � �
�

.
Demonstração:
Vamos efetuar a demonstração para dois pares de segmentos. A 
generalização segue facilmente por indução � nita.
Sejam r1 || r2 || r3, s’ || s passando por B1, e C e D os pés das alturas 
traçadas por A2 e B2 no ∆B1B2A’2.
S
B A B D B B A C A C
B D
B A
B BB B A1 2 2
1 2 2 1 2 2 2
2
1 2
1 22 2
’
’ ’ ’ ’
�
�
�
�
� � .
O #A1A2A’2B1 é um paralelogramo, então B1A’2 = A1A2 e, portanto, 
A C
B D
A A
B B
2
2
1 2
1 2
’
= .
Os ∆A’2B2A’3 e ∆B2A’2B3 possuem a mesma base e a mesma altura, 
logo possuem a mesma área. Assim, temos:
S S
A A B D B B A C A C
B D
A A
BA B A B A B2 2 3 2 2 3
2 3 2 2 3 2 2
2
2 3
22 2
’ ’ ’
’ ’ ’ ’ ’ ’
� �
�
�
�
� �
BB3
O #A2A3A’3A’2 é um paralelogramo, então A’2A’3 = A2A3 e, 
portanto, A C
B D
A A
B B
2
2
2 3
2 3
’
= .
Logo, 
A C
B D
A A
B B
A A
B B
CQD2
2
1 2
1 2
2 3
2 3
’
. . .� � � � .
Exercício Resolvido
04. Determine o valor de x, sendo r, s e tretas paralelas.
Resolução:
Como as retas r, s e t são paralelas, os segmentos de reta 
determinados sobre as duas transversais são proporcionais. 
Assim, temos: x x
4
6
8
4 6
8
3� � �
�
� .
246
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Exercício Resolvido
05. Determine os valores de x e y, sendo r, s e t retas paralelas.
Resolução:
Como as retas r, s e t são paralelas, os segmentos de reta 
determinados sobre as duas transversais são proporcionais. Atente, 
entretanto, para a correspondência entre os segmentos em cada 
uma das transversais.
Em uma das transversais, são determinados segmentos de medida 
3, 2 e y e, na outra transversal, segmentos de medida 5, x e 6, 
respectivamente. Assim, temos:
3
5
2
6
2 5
3
10
3
3 6
5
18
5
� � � �
�
� � �
�
�
x
y
x y
Uma outra maneira de identi� car os segmentos proporcionais e 
traçar uma paralela a uma das transversais, de forma que o ponto 
de interseção dessas retas seja exterior às retas r e t.
r
s 35
x
2
y
2
63
ty
TEOREMA DAS BISSETRIZES
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
A bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o 
lado oposto internamente em segmentos proporcionais aos lados 
adjacentes.
Seja AD a bissetriz interna do ângulo  de um triângulo ABC, 
então BD
AB
DC
AC
= .
Demonstração:
Seja CE || AD e BAD DACˆ ˆ� � �, então AEC ACEˆ ˆ� � �.
Portanto, o ∆ACE é isósceles e AE = AC.
Pelo teorema de Tales, temos BD
AB
DC
AE
BD
AB
DC
AC
CQD� � � � �. . . .
Exercício Resolvido
06. Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10, 
determine o maior segmento que a bissetriz interna do ângulo  
determina sobre o lado BC.
Resolução:
D
10
B
A
12
C
8
x 10 – x
O maior segmento determinado pelo pé da bissetriz, D, sobre BC 
é o correspondente ao maior dos lados adjacentes ao vértice A, 
ou seja, BD.
Sendo BD = x, pelo teorema das bissetrizes internas, temos:
12 8
10
120 12 8 20 120 6
x x
x x x x�
�
� � � � � � � .
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
A bissetriz externa de um dos ângulos de um triângulo divide o 
lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados 
adjacentes.
Seja AE a bissetriz interna do ângulo  de um triângulo ABC, 
então 
BE
AB
CE
AC
= .
247
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Demonstração:
Seja CF || AE e CAE EADˆ ˆ� � �, então AFC ACFˆ ˆ� � �.
Portanto, o ∆ACF é isósceles e AF = AC.
Pelo teorema de Tales, temos 
BE
AB
CE
AF
BE
AB
CE
AC
CQD� � � � �. . . .
Exercício Resolvido
07. Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10, 
determine a distância entre o pé da bissetriz externa do ângulo  
e o vértice mais próximo do lado BC.
Resolução:
12
10
8
CB E
A
�
�
x
O pé da bissetriz externa está do junto ao menor lado. Assim, 
devemos calcular a medida de CE = x.
Pelo teorema das bissetrizes externas, temos:
12
10
8
12 80 8 4 80 20
�
� � � � � � � �
x x
x x x x .
DIVISÃO HARMÔNICA 
PELOS PÉS DAS BISSETRIZES
As bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice 
de um triângulo dividem o lado oposto harmonicamente na razão dos 
lados adjacentes ao vértice.
Sendo AD e AE as bissetrizes interna e externa, respectivamente, 
partindo do vértice A do ∆ABC, então BD
DC
BE
CE
AB
AC
= = .
CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIUS
Sejam dados dois pontos � xos A e B, e uma razão 0 < k ≠ 1. A 
circunferência de Apolônius (CA) dos pontos A e B na razão k é o lugar 
geométrico dos pontos do plano cuja razão das distâncias aos pontos 
A e B é igual a k, ou seja, P C
PA
PB
kA� � � .
Se AB = d, então o raio do círculo de Apolônius é r
dk
k
A �
�2 1
.
Demonstração:
Os pontos M,N ∈ L.G. são os pontos que dividem o segmento AB 
harmonicamente na razão k, ou seja, 
MA
MB
AN
BN
k= = .
Seja P ∈ L.G., então PA
PB
k= .
Logo, 
PA
PB
MA
MB
= , o que implica que PM é bissetriz interna do 
ângulo P̂ do ∆APB.
Além disso, 
PA
PB
AN
BN
= , o que implica que PN é bissetriz externa do 
ângulo P̂ do ∆APB.
Portanto, PM PN⊥ e M e N são ponto � xos, então o lugar 
geométrico procurado é um círculo de diâmetro MN, onde M e N são 
os conjugados harmônicos do segmento AB na razão k.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Se dois triângulos possuem lados respectivamente proporcionais, 
então são semelhantes.
� � � � �ABC A B C
a
a
b
b
c
c
 ’ ’ ’
’ ’ ’
248
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulos 
são respectivamente congruentes.
Dois triângulos de lados respectivamente paralelos são semelhantes.
Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre duas 
linhas homólogas é igual à razão de semelhança.
CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1° caso: (A.A.) Se dois triângulos possuem dois ângulos 
respectivamente congruentes, então são semelhantes.
ˆ ˆ ’
ˆ ˆ ’
’ ’ ’
B B
C C
ABC A B C
�
�
�
�
�
��
� � �
2° caso: (LPALP) Se dois triângulos possuem dois lados proporcionais 
adjacentes a ângulos congruentes, então são semelhantes.
b
b
c
c
A A
ABC A B C’ ’
’
’ ’ ’
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
∼
3° caso: (LPLPLP) Se dois triângulos possuem os três lados 
respectivamente proporcionais, então são semelhantes.
a
a
b
b
c
c
ABC A B C
’ ’ ’
’ ’ ’� � � � �
Exercício Resolvido
08. Considere os quadrados da � gura de lados a e b (a > b). Então 
x é igual a
a) 
b
a b
2
−
b) 
a
a b
2
−
c) 
ab
a b+
d) 
ab
a b−
Resolução: A
11
22
a b
bb
a a – – bb
bb
x
Os triângulos retângulos “1” e “2” possuem lados paralelos, logo 
são semelhantes.
Assim, temos: 
a b
b
b
x
x
b
a b
�
� � �
�
2
.
Exercício Resolvido
09. (AFA 2005) Considere o triângulo ABC, de lados AB = 15, 
AC = 10, BC = 12 e seu baricentro G. Traçam-se GE e GF paralelos a 
AB e AC, respectivamente, conforme a � gura abaixo. O perímetro 
do triângulo GEF é um número que, escrito na forma de fração 
irredutível, tem a soma do numerador com o denominador igual a
B
E M F
C
G
A
a) 43
b) 40
c) 38
d) 35
249
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Resolução: B
Como G é o baricentro do triângulo ABC, então GM
AM
=
1
3
.
Como GE || AB e GF || AC, então ∆GEF ~ ∆ABC (A.A.) e a razão de 
semelhança é 
GM
AM
=
1
3
, obtida a partir das medianas homólogas.
Como a razão entre os perímetros dos triângulos também é igual 
à razão de semelhança, temos:
2
2
2
15 10 12
1
3
2
37
3
p
p
p
pGEF
ABC
GEF
GEF� � �
� � � .
Como a fração obtida acima já se encontra em sua forma 
irredutível, então a soma de seu numerador e seu denominador é 
igual à 37 + 3 = 40.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a � gura a seguir:
� �ABC ABH A A A
BC
AB
AC
AH
AB
BH
a
c
b
h
c
n
a h b c
c a n
~ . . .� � � � � �
� � � �
� � �
� �
�
� 2
��
��
� �ABC ACH A A A
BC
AC
AC
CH
AB
AH
a
b
b
m
c
h
b a m
~ . . .� � � � � �
� � � � � �2
� �ABH ACH A A A
AB
AC
AH
CH
BH
AH
c
b
h
m
n
h
h m n
~ . . .� � � � � �
� � � � � �2
� � � � � � � � �� � � � � �
� � �
b c a m a n a m n a a a
a b c
2 2 2
2 2 2
(Teorema de Pitágoras)
� �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� � �
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
h m n b
a
c
a
a
b c
b c
b c b c
h b c
a · h = b · c b² = a · m c² = a · n
h² = m · n
1 1 1
2 2 2h b c
� � a² = b² + c²
As relações b2 = a · m e c2 = a · n mostram que cada cateto é a 
média geométrica da hipotenusa e da sua projeção sobre a hipotenusa.
A relação h2 = m · n mostra que a altura é a média geométrica das 
projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Considerando a lei dos cossenos, conclui-se que o recíproco do 
teorema de Pitágoras também é verdadeiro, assim um triângulo de 
lados a, b e c, onde a é o maior lado, é retângulo se, e somente se, 
a2 = b2 + c2.
Exercício Resolvido
10. (ITA 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. 
Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa BC, 
respectivamente. Se a medida de BE é 2 1�� � cm e a medida de 
AD é 1 cm, então AC mede, em cm,
a) 4 2 5− .
b) 3 2− .
c) 6 2 2− .
d) 3 2 1�� � .
e) 3 4 2 5− .
Resolução: C
Observemos inicialmente que, em um triângulo retângulo, a 
mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa. 
Portanto, AD = BD = DC = 1.
EC BC BE� � � � �� � � �2 2 1 3 2
Sabemos também que, em um triângulo retângulo, o quadrado 
de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção. 
Assim, no triângulo retângulo ABC, temos:
AC BC EC AC uc
2
2 3 2 6 2 2 6 2 2� � � � �� � � � � � � . .
TEOREMA DE MENELAUS
Se uma reta determina sobre os lados de um triângulo ABC os 
pontos L, M e N, conforme a � gura, então
LA
LB
MB
MC
NC
NA
� � � 1
250
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
Demonstração:
Seja AD a paralela a LN passando por A. Pelo teorema de Tales, 
temos:
LN AD
LB
MB
LA
MD
LA
LB
MB
MD
 � � � � � 1
LN AD
MD
NA
MC
NC
NC
NA
MD
MC
 � � � � � 1
Multiplicando as duas expressões, temos:
LA
LB
MB
MD
NC
NA
MD
MC
LA
LB
MB
MC
NC
NA
� � � � � � � �1 1.
Exercício Resolvido
11. Na � gura a seguir, calcule a razão 
OBOE
.
B
A CE
D
O
2x 3x
3y
y
Resolução:
Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo BCE com secante 
AOD, temos:
AE
AC
OB
OE
DC
DB
x
x
OB
OE
y
y
OB
OE
� � � � � � � � �1
2
5
3
1
5
6
TEOREMA RECÍPROCO DE MENELAUS
Se L, M e N são pontos sobre as retas suportes dos lados AB, 
BC e AC, respectivamente, e 
LA
LB
MB
MC
NC
NA
� � � 1, então L, M e N estão 
alinhados.
Demonstração:
Suponha que a reta NM corta o lado AB no ponto L’. Pelo teorema 
de Menelaus, 
L A
L B
MB
MC
NC
NA
’
’
� � � 1. Como é dado que 
LA
LB
MB
MC
NC
NA
� � � 1, 
então 
LA
LB
L A
L B
=
’
’
, ou seja, os pontos L e L dividem o segmento AB 
na mesma razão e, portanto, são coincidentes. Logo, L, M e N estão 
alinhados.
TEOREMA DE CEVA
Seja um triângulo ABC e três cevianas AD, BE e CF concorrentes, 
então
A
F
P
E
CDB
DB EC FA
1 EC DB FA EA DC FB
DC EA FB
⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Demonstração:
Aplicando o teorema de Menelaus no ∆ABD com a secante CPF, 
temos:
FA
FB
PD
PA
CB
CD
� � � 1
Aplicando o teorema de Menelaus no ∆ACD com a secante BPE, 
temos:
BD
BC
PA
PD
EC
EA
� � � 1
Multiplicando as duas expressões, temos:
FA
FB
PD
PA
CB
CD
BD
BC
PA
PD
EC
EA
DB
DC
EC
EA
FA
FB
� � � � � � � � � �1 1
Exercício Resolvido
12. Calcule x na � gura a seguir.
A
9
F
6
B 12 D 8 C
3
E
P
x
Resolução:
Aplicando o teorema de Ceva, temos:
DB
DC
EC
EA
FA
FB x
x� � � � � � � � � �1
12
8
3 9
6
1
27
4
6 75, .
251
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
TEOREMA RECÍPROCO DE CEVA
Seja um triângulo ABC e três cevianas AD, BE e CF tais que 
DB
DC
EC
EA
FA
FB
� � � 1, então as três cevianas concorrem em um único 
ponto.
Demonstração:
Seja P a interseção de AD e BE, seja F’ a interseção de CP com o 
lado AB e suponha que 
DB
DC
EC
EA
FA
FB
� � � 1.
Pelo teorema de Ceva, temos: 
DB
DC
EC
EA
F A
F B
� � �
’
’
1.
Comparando as duas igualdades, conclui-se que FA
FB
F A
F B
=
’
’
.
Logo, os pontos F e F’ dividem o lado AB internamente na mesma 
razão, o que implica F ≡ F’ e, consequentemente, a ceviana CF passa 
pelo ponto P.
LEI DOS COSSENOS
Seja um triângulo ABC de lados BC = a, AC = b e AB = c, então
B
A b
c
a
C
A
B
C
a b c bc A2 2 2 2� � � �cos 
b a c ac B2 2 2 2� � � �cos 
c a b ab C2 2 2 2� � � �cos 
Demonstração:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD, 
temos: m2 + h2 = c2.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, 
temos: (b – m)2 + h2 – a2.
b m h a b bm m h a
b bm c a
c
�� � � � � � � � � �
� � � �
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
��� ��
No triângulo retângulo ABD, temos: cos cosA
m
c
m c A� � � � .
� � � � � � � � � �b bm c a a b c bc A C Q D
2 2 2 2 2 22 2 cos . . .
Exercício Resolvido
13. (EEAR 2001) Dois lados consecutivos de um paralelogramo 
medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo de 60°. As 
medidas das diagonais desse paralelogramo são tais que o número 
que expressa
a) o seu produto é racional.
b) a sua razão é maior que 2.
c) a sua soma é maior que 32.
d) a sua diferença é irracional.
Resolução: D
Lei dos cossenos no triângulo ABD:
d d2 2 28 12 2 8 12 60 112 112 4 7� � � � � � � � �cos 
Lei dos cossenos no triângulo ABC:
D D2 2 28 12 2 8 12 120 304 304 4 19� � � � � � � � �cos 
D d� � � �4 19 4 7 
SÍNTESE DE CLAIRAUT
Seja um triângulo ABC, onde a, b e c representam as medidas dos 
lados e a é o maior lado, então 
252
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
∆ABC é acutângulo ⇔ a² < b² + c²
∆ABC é retângulo ⇔ a² = b² + c²
∆ABC é obtusângulo ⇔ a² > b² + c²
Demonstração:
Se a é o maior lado do triângulo, então o ângulo  é o maior 
ângulo.
Pela lei dos cossenos, temos:
a² = b² + c² – 2bc · cos  ⇔ 2bc · cos  = (b² + c²) = a².
a² > b² + c² ⇔ cos  < 0 ⇔  é obtuso e o ∆ABC é obtusângulo.
a² = b² + c² ⇔ cos  = 0 ⇔  = 90° e o ∆ABC é retângulo.
a² < b² + c² ⇔ cos  > 0 ⇔  é agudo e o ∆ABC é acutângulo.
Exercício Resolvido
14. Classi� que os triângulos a seguir quanto aos ângulos.
a) triângulo de lados 8, 15 e 18.
b) triângulo de lados 8, 15 e 17.
c) triângulo de lados 8, 15 e 16.
Resolução:
a) 18² = 324 > 289 = 15² + 8², então o triângulo é obtusângulo.
b) 17² = 289 = 15² + 8², então o triângulo é retângulo.
c) 16² = 256 < 289 = 15² + 8², então o triângulo é acutângulo.
LEI DOS SENOS
Seja um triângulo ABC de lados BC = a, AC = b e AB = c e raio do 
círculo circunscrito R, então
a
A
b
B
c
C
R
sen sen sen� � �
= = = 2
Demonstração:
�A BC A
a
R
a
A
R’ sen
sen
� � � �
2
2
Adotando procedimento análogo para os outros vértices, temos 
a
A
b
B
c
C
R C Q Dsen sen sen . . .� � �
� � � � �2 .
Exercício Resolvido
15. (EEAR 2008) Num triângulo ABC, são dados  = 45°, ˆ , ˆA B= =45 30 
e AC = 6 cm. Então BC = _____ cm.
a) 4 3
b) 6 2
c) 3 2/
d) 2 2/
Resolução: B
Lei dos senos:
BC
A
AC
B
BC
BC cm
sen sen sen sen� � � �
� � � �
� � � �
45
6
30
2
2
6
1 2
6 2
RELAÇÃO DE STEWART
Seja um triângulo ABC de lados BC = a, AC = b e AB = c, e a 
ceviana AP = x que divide o lado BC em dois segmentos BP = n e 
CP = m, então
253
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
2 2 2b x c
1
am mn an
�� �� ��
Demonstração:
Seja APBˆ � �, então APCˆ � �180 �. Aplicando a lei dos cossenos 
aos triângulos APB e APC, temos:
c n x nx
x n c
nx
2 2 2
2 2 2
2
2
� � � � �
� �
cos cos� �
b m x mx m x mx
b m x
mx
2 2 2 2 2
2 2 2
2 180 2
2
� � � �� � � � � �
� �
� �
cos cos
cos
 � �
�
x n c
nx
b m x
mx
mx mn mc nb nm nx
nb x m
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
� �
�
� �
�
� � � � � � �
� � �nn mc mn m n
nb ax mc amn
b
am
x
mn
c
an
� � � � �� �
� � � � �
� � � �
2
2 2 2
2 2 2
1
Exercício Resolvido
16. Calcule x na � gura abaixo.
Resolução:
Pela relação de Stewart, temos:
4
2 8 2 6
6
6 8
1 1
12
3
4
1
12
3
4
9 3
2 2 2 2 2
2
�
�
�
�
�
� � � � � � � �
� � � �
x x x
x x
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (MACKENZIE)
O triângulo PMN acima é isósceles de base MN. Se p, m e n são os 
ângulos internos do triângulo, como representados na � gura, então 
podemos a� rmar que suas medidas valem, respectivamente,
a) 50º, 65º, 65º
b) 65º, 65º, 50º
c) 65º, 50º, 65º
d) 50º, 50º, 80º
e) 80º, 80º, 40º
02. (EEAR)
Se ABC é um triângulo, o valor de α é:
a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º
03. (EEAR) 
No quadrilátero ABCD, o valor de y – x é igual a:
a) 2x b) 2y c) x
2
d) y
2
04. (EEAR) Seja um triângulo ABC, conforme a � gura. Se D e E são 
pontos, respectivamente, de AB e AC, de forma que =AD 4, =DB 8,
=DE x, =BC y, e se DE || BC, então:
a) y = x + 8 b) y = x + 4 c) y = 3x d) y = 2x
254
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
05. (EEAR) Os ângulos  e B̂ são congruentes. Sendo  = 2x + 15º 
e = − °B̂ 5x 9 . Assinale a alternativa que representa, corretamente, o 
valor de x.
a) 2º b) 8º c) 12º d) 24º
06. (MACKENZIE) Na � gura abaixo, a e b são retas paralelas.
A a� rmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a 
medida do ângulo α é:
a) um número primo maior que 23.
b) um número ímpar.
c) um múltiplo de 4.
d) um divisor de 60.
e) um múltiplo comum entre 5 e 7.
07. (EEAR) Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 
5 5 cm de comprimento e a soma dos catetos é igual a 15 cm. As 
medidas, em cm, dos catetos são:
a) 6 e 9 b) 2 e 13 c) 3 e 12 d) 5 e 10 
08. A � gura abaixo tem as seguintes características:
- o ângulo Ê é reto;
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD;
- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.
O segmento AC, em unidades de comprimento, mede:
a) 8
b) 12
c) 13
d) 61
e) 5 10
09. No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi 
prolongado, como mostra a � gura, até o ponto P, formando-se o 
triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.
O comprimento do segmento PC é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
10. (EEAR) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é:
a) 22
3
 b) 16
3
 c) 22 d) 16
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. Na � gura, AN e BM são medianasdo triângulo ABC, e ABM é um 
triângulo equilátero cuja medida do lado é 1.
A medida do segmento GN é igual a:
a) (2 2)
3
b) ( 6)
3
c) ( 5)
3
d) ( 7)
6
e) ( 6)
6
02. Os pontos A, B, C, D, E e F estão em AF e dividem esse segmento 
em 5 partes congruentes. O ponto G está fora de AF, e os pontos H e 
J estão em GDe GF, respectivamente.
Se GA, HC e JE, são paralelos, então a razão 
HC
JE
 é:
a) 5
3
 
b) 3
2
 
c) 4
3
 
d) 5
4
 
e) 6
5
 
255
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
03. (FUVEST) Na � gura, ABC e CDE são triângulos retângulos,
= =AB 1, BC 3 e BE = 2DE. Logo, a medida de AE é:
a) 3
2
 
b) 5
2
 
c) 7
2
 
d) 11
2
 
e) 13
2
 
04. (FUVEST) Na � gura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta 
r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são 
os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá 
estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA = DÊB?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
05. (FUVEST) Na � gura, o triângulo ABC é retângulo com catetos 
BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o 
ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC,
de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se =
3
DE ,
2
 então a área 
do paralelogramo DECF vale:
a) 63
25
b) 12
5
c) 58
25
d) 56
25
e) 11
5
06. (EFOMM) Num triângulo ABC, as bissetrizes dos ângulos externos 
do vértice B e C formam um ângulo de medida 50º. Calcule o ângulo 
interno do vértice A.
a) 110º
b) 90º
c) 80º
d) 50º
e) 20º
07. (AFA) Seja ABCD um quadrado, ABE um triângulo equilátero e E 
um ponto interior ao quadrado. O ângulo AÊD mede, em graus,
a) 55 b) 60 c) 75 d) 90
08. (AFA) Seja o triângulo equilátero DEF, inscrito no triângulo isósceles 
ABC, com =AB AC e DE paralelo a BC. Tomando-se A
∧
DE = α, CÊF = β
e D
∧
FB = γ, pode-se a� rmar que:
a) α + β = 2γ b) γ + β = 2α c) 2α + γ = 3β d) β + 2γ = 3α
09. (AFA) Sejam r e s retas paralelas. A medida do ângulo α, na � gura 
abaixo, é:
a) 115º b) 125º c) 135º d) 145º
10. (EPCAR) Considere as retas r e s (r || s) e os ângulos ê, î e â da 
� gura abaixo:
Pode-se a� rmar que:
a) ê + î + â = 270º
b) ê + î + â = 180º
c) ê + î = â
d) ê + î + â = 90º
11. (FUVEST) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver � gura). Nele, 
está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas 
condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:
a) ( )
( )+
 bh
h b
b) ( )
( )+
 2bh
h b
c) ( )
( )+
 bh
h 2b
d) ( )
( )+
bh
2h b
e) ( )
( )+  
 bh
2 h b
 
12. (EFOMM) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm 
e 13 cm. Em seguida, foi construído um segmento de reta com maior 
comprimento possível, contido internamente na região interna ao 
círculo maior e externa ao menor. O valor do segmento é:
a) 8,5 cm
b) 11,75 cm
c) 19,25 cm
d) 24 cm
e) 27 cm
256
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
13. (ESPCEX) Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios 
desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a 
esses dois círculos é:
a) 12 cm
b) 24 cm
c) 30 cm
d) 32 cm
e) 26 cm
14. O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. A 
corda intersecta a diagonal do quadrado em A, sendo que =QA 6 cm
e =AB 4 cm.
Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS, em 
cm, é igual a:
a) 2 10. 
b) 5 2. 
c) 2 15. 
d) 6 2. 
e) 7 2. 
15. (FUVEST) Os pontos A, B e C são colineares, =AB 5, =BC 2 e 
B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência 
com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD 
passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com 
AD. Então, +AP BP vale?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
16. No triângulo retângulo abaixo, os catetos AB e AC medem, 
respectivamente, 2 e 3. A área do quadrado ARST é que porcentagem 
da área do triângulo ABC?
a) 42%
b) 44%
c) 46% 
d) 48% 
e) 50% 
17. Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 2 cm e 2,5 cm. Seja h a 
medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h2 expresso em cm2
é, aproximadamente, igual a:
a) 0,54
b) 0,56
c) 0,58
d) 0,60
e) 0,62 
18. Seja o triângulo isósceles ABC de vértice A. Sabendo que os 
segmentos BC, CD, DE , EF e FA são congruentes, o ângulo do vértice 
do triângulo é igual a:
a) 10º
b) 15º
c) 18º
d) 20º
e) 22,5º
19. (CMRJ) Em uma exposição artística um escultor apresentou sua 
obra prima, intitulada “as torres vizinhas”. Repare que a mesma 
consta de duas hastes paralelas de ferro fundidas perpendicularmente 
em uma mesma base e escoradas por dois cabos de aço retilíneos, 
como mostra a � gura abaixo. As alturas das hastes medem, 
respectivamente, 6 metros e 2 metros. Desprezando-se a espessura 
dos cabos, determine a distância do ponto de interseção dos cabos à 
base da escultura.
a) 2,25 m
b) 2,00 m
c) 1,75 m
d) 1,50 m
e) 1,25 m
20. (ITA) Considere o triângulo ABC, onde AD é a mediana relativa 
ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o 
segmento MP paralelo a AD, onde P é o ponto de intersecção desta 
paralela com o prolongamento do lado AC (� g. 1). Se N é o ponto de 
intersecção de AB com MP, podemos a� rmar que:
a) MN + MP = 2BM
b) MN + MP = 2CM
c) MN + MP = 2AB
d) MN + MP = 2AD
e) MN + MP = 2AC
257
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
21. (CN) As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo 
retângulo medem 17 cm e 23 cm. A medida da mediana traçada 
do ângulo reto é:
a) 5 2 cm
b) 4 2 cm
c) 3 2 cm
d) 2 2 cm
e) 2 cm
22. (AFA) Na � gura abaixo o perímetro do triângulo equilátero ABC é 
72 cm, M é o ponto médio de AB e =CE 16 cm. Então, a medida do 
segmento CN, em cm, é um sétimo de:
a) 51
b) 50
c) 49
d) 48
23. (EFOMM) Considere um triângulo retângulo de catetos 9 cm e 
12 cm. A bissetriz interna relativa à hipotenusa desse triângulo mede, 
em cm,
a) 
36
2
7
b) 
25
2
7
c) 
4
2
15
d) 
7
2
5
e) 3 2
5
24. (ESPCEX) Na � gura, o raio da circunferência de centro O é 
25
cm
2e a corda MP mede 10 cm.
A medida, em centímetros, do segmento PQ é:
a) 25
2
 
b) 10 
c) 5 21 
d) 21 
e) 2 21 
25. As cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares no ponto P, 
sendo que AP = 6, PB = 4 e CP = 2. O raio desse círculo mede:
a) 5
b) 6
c) 3 3
d) 4 2
e) 5 2
26. Em 2013, uma empresa exportou 600 mil dólares e, em 2014, 
exportou 650 mil dólares de um certo produto. Suponha que o grá� co 
das exportações y (em milhares de dólares) em função do ano x seja 
formado por pontos colineares. Desta forma, a exportação triplicará 
em relação à de 2013 no ano de:
a) 2036
b) 2038
c) 2035
d) 2037
e) 2034
27. Nesta � gura, ABCD é um retângulo e DH é um arco de 
circunferência cujo centro é o ponto M.
O segmento EH, em unidades de comprimento, mede:
a) − +1 5
2
 
b) +2 5
2
 
c) 1
3
 
d) 1
2
 
e) 5
2
28. (ESPCEX) Na � gura abaixo, a circunferência de raio 3 cm tangencia 
três lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área deste retângulo é 
igual a 72 cm², a medida do segmento EF, em cm, é igual a:
a) 3 5 
b) 6 5
5
 
c) 6 5 
d) 12 5
5
 
e) 12 5
258
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
29. (ESPCEX) Em um triângulo ABC, =BC 12 cm e a mediana relativa 
a esse lado mede 6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB 
mede 9 cm, qual a área desse triângulo? 
a) 235 cm 
b) 22 35 cm 
c) 26 35 cm 
d) 2
35
cm
2
 
e) 23 35 cm
30. Na � gura abaixo, temos um retângulo ABCD com medidas 
=AB 10 m e =BC 5 m. Suponha que = =AE AF 2 m, que os segmentos 
EC e FG sejam paralelos e que a circunferência tangencie os segmentos 
EC e FG.
O diâmetro da circunferência, em metros, mede:
a) 2
b) 5
2
 
c) 26 109
109
 
d) 13 109
50
 
e) 27 109
110
31. (EN) Um triângulo inscrito em um círculo possui um lado de 
medida 42 3 oposto ao ângulo de 15º. O produto do apótema do 
hexágono regular pelo apótema do triângulo equilátero inscritos nesse 
círculo é iguala:
a) +3( 3 2)
b) +4(2 3 3)
c) +8 3 12
d) +2(2 3 3)
e) +6( 2 1)
32. Na � gura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio 
de CD . Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e 
raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M e raio 2 cm, 
sendo P e D pontos de intersecção desses arcos.
A distância de P até CB, em centímetros, é igual a:
a) 4
5
b) 19
25
c) 3
4
d) 7
10
e) 17
25
33. (AFA) Na � gura abaixo existem n triângulos retângulos onde ABC 
é o primeiro, ACD o segundo e APN é o n-ésimo triângulo. A medida 
do segmento HN é:
a) a n
n
b) +
+
a n 1
n 1
c) −
−
a n 1
n 1
d) +a n 1
n
34. (EPCAR) Uma empresa imobiliária colocou num outdoor de uma 
cidade do interior de Minas Gerais o anúncio como reproduzido abaixo.
Considerando que o terreno loteado é em forma de triângulo, como 
no desenho acima, onde as ruas Tales e Euler se cruzam sob ângulo 
obtuso, é correto a� rmar que os números MÍNIMO e MÁXIMO de 
lotes no Loteamento do Matemático são, respectivamente, iguais a
a) 56 e 63.
b) 57 e 64.
c) 57 e 63.
d) 48 e 64.
e) 49 e 65.
35. (EPCAR) Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um 
único triângulo por vez, usando os 12 palitos sem parti-los.
Ele veri� cou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos 
isósceles, z triângulos equiláteros e w triângulos escalenos.
A soma x + y + z + w é igual a
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (CN 1999) Na � gura, DE é paralela a BC e AM é bissetriz interna 
do triângulo ABC. Sabendo que AD = 6, AE = x, DB = 2, EC = 5, BM = 
6 e MC = y. Então x + y é igual a:
259
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
02. (CN 2002) Considere um quadrado ABCD e dois triângulos 
equiláteros ABP e BCQ, respectivamente, interno e externo ao 
quadrado. A soma das medidas dos ângulos ADPˆ , BQPˆ e DPQˆ é 
igual a:
a) 270º
b) 300º
c) 330º
d) 360º
e) 390º
03. (CN 2001) Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados 
opostos NÃO são paralelos. Se as medidas dos lados opostos AB e 
DC são, respectivamente, iguais a 12 e 16, um valor possível para o 
segmento de extremos M (ponto médio do lado AD) e N (ponto médio 
do lado BC) é:
a) 12,5
b) 14
c) 14,5
d) 16
e) 17
04. (CN 1996) Considere as a� rmativas sobre o triângulo ABC:
I. Os vértices B e C são equidistantes da mediana AM. M é o ponto 
médio do segmento BC;
II. A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distância de 
G ao ponto N, médio do segmento AC;
III. O incentro I é equidistante dos lados do triângulo ABC;
IV. O circuncentro S é equidistante dos vértices A, B e C.
O número de a� rmativas verdadeiras é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
05. Na � gura CÂB = 90°, BC = 2 · BM = 10 cm e ED = 2 · EN. Se
DP = 15 cm e AN = 7,5 cm, calcule MP.
a) 4 cm
b) 4,5 cm
c) 5 cm
d) 5,5 cm
e) 6 cm
06. (CN 2008) Teoricamente, num corpo humano de proporções 
perfeitas, o umbigo deve estar localizado num ponto que divide a 
altura da pessoa na média e extrema razão (razão áurea), com a 
distância aos pés maior que a distância à cabeça. A que distância, 
em metros, dos pés, aproximadamente, deverá estar localizado o 
umbigo de uma pessoa com 1,70 m de altura, para que seu corpo seja 
considerado em proporções perfeitas?
Dados: Usar 2,24 para raiz quadrada de 5.
a) 1,09
b) 1,07
c) 1,05
d) 1,03
e) 1,01
07. (CN 1988) Considere o quadrilátero ABCD onde med AB cm� � � 5 ,
med BC cm� � � 7 5, , med CD cm� � � 9 , med AD cm� � � 4 e 
med BD cm� � � 6 . O ângulo ABCˆ deste quadrilátero é igual a:
a) BCD
ADCˆ
ˆ
+
2
b) BAD ADC BCDˆ ˆ ˆ� �
c) BAD BCDˆ ˆ+
d) 2 � �BCD ADCˆ ˆ
e) ADC BAC BCDˆ ˆ ˆ� � �2
08. (CN 2006) Num determinado triângulo escaleno ABC, o 
ângulo BÂC é igual a 90°. Sabe-se que AB = c, AC = b e BC = a.
Internamente ao segmento BC, determina-se o ponto P de modo 
que 
� � � �c b c b
BP
a
� �
� . O perímetro do triângulo APC é dado pela 
expressão:
a) ( )2b a b
a
+
b) ( )2c a b
a
+
c) ( )2b b c
a
+
d) ( )2c b c
a
+
e) ( )2b a c
a
+
09. (EPCAR 3º ANO) Em um casarão abandonado, um portão medindo 
3 m de altura por 2 m de largura se abre bruscamente girando 30°, 
conforme � gura abaixo.
A
B
R'
30°30°30°
Esse fato faz com que uma aranha, 
seguindo sua teia, se desloque da posição 
A para a posição B’, sendo A’ e B’, 
respectivamente, as extremidades superior 
e inferior do portão após o processo. É 
correto a� rmar que a distância que separa 
A e B’, em metros, é igual a:
a) 17 4 3−
b) 11 3−
c) 11 3+
d) 17 4 3+
10. (ESPCEX) Um tenente do Exército está fazendo um levantamento 
topográ� co da região onde será realizado um exercício de campo. Ele 
quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou 
os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que 
ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele � ncou no 
chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 
9 metros de B, � xou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal 
modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de 
3
π
rad para o ângulo ACB. Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
a) 9√3 metros
b) 3√3 metros
c) 9 3
2
 metros
d) √3 metros
e) 4,5 metros
DESAFIO PRODESAFIO PRO
1 (ITA) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos 
M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N 
é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm², é:
a) 3,36
b) 3,60
c) 4,20
d) 4,48
e) 6,72
2 (ITA) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comumAB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de 
CD. Se MN = CN = 2 cm, então a altura relativa ao lado CD. do 
triângulo ACD mede, em cm,
260
GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS
PROMILITARES.COM.BR
a) 60
3
 
b) 50
3
 
c) 40
3
 
d) 30
3
 
e) 2 6
3
 
3 (IME) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz 
relativa ao ângulo Â. Sabe-se que 
AB
AC AD, r
AC
= = e que 
C = α. Portanto o valor de sen²α é:
a) 3r 1
4
− 
b) 3r 1
4r
− 
c) r 3
4
+ 
d) 3r 1
4r
+ 
e) 3r 1
4
+
4 (ITA) Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 
cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é 
bissetriz do ângulo ACB e seja E um ponto do prolongamento 
de CD, na direção de D, tal que  DBE DCB.= A medida, em cm, 
de CE é:
a) 11 6
3
 
b) 13 6
3
 
c) 17 6
3
 
d) 20 6
3
 
e) 25 6
3
 
5 (IME) Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos 
BD e DC, e a medida da mediana AM é a média geométrica 
entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC 
de medida a. Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo 
ABC em função de a. 
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. A
02. B
03. C
04. C
05. B
06. D
07. D
08. E
09. C
10. B
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D
02. A
03. C
04. A
05. A
06. C
07. C
08. A
09. C
10. A
11. D
12. D
13. B
14. C
15. D
16. D
17. C
18. B
19. D
20. D
21. D
22. D
23. A
24. E
25. E
26. D
27. A
28. D
29. C
30. C
31. A
32. A
33. B
34. C
35. D
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. D
02. B
03. A
04. D
05. C
06. C
07. C
08. A
09. A
10. A
DESAFIO PRO
01. A
02. A
03. D
04. E
05. 
( )
( )
( )
=
+= = →
+ =
+
− + = → + =
+ = → + =
   ⋅ ⋅   + +   
− + = → − =
⋅ ⋅
 + = =
 →
− = =
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
ab
m
n m a b c
acc b b c
n
b c
mnb c b c
1 2
am mn an am an
b c
2 b c a 2
ab ac
a a
b c b c
bcb c a 2
1 b c
a a 2a aa2 22
3a 2b c a 2 b
4
a 2 a 2b c c2 4
ANOTAÇÕES