Razões de Comprimento em Triângulos

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Observe os triângulos ABC e MNO a seguir, nos quais estão indicados os pares de ângulos congruentes desses triângulos.
A
B
C
N
M
O
18 cm
15 cm
8 cm
10,75 cm
12,9 cm
9,6 cm
	a) Qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados AB MNe ?
	b) Qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados AC MOe ?
	c) E qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados BC NOe ?
	d) As razões que você calculou são todas iguais? O que você pode concluir sobre os triângulos ABC e MNO?
9,6
8
 5 1,2
12,9
10,75
 5 1,2
18
15
 5 1,2
Sim. Resposta esperada: Eles são semelhantes.
Explore para descobrir
Situação 3
Esquadro
Você se lembra do teorema de Pitágoras? Trata-se de um teorema 
muito importante, que é utilizado em várias áreas de estudo, além da 
Matemática, e cujo nome homenageia o filósofo e matemático grego 
Pitágoras de Samos (c. 570 a.C.-c. 495 a.C.). Ele relaciona as medidas de 
comprimento dos lados de um triângulo retângulo: o quadrado da me-
dida de comprimento do maior lado (a hipotenusa) é igual à soma dos 
quadrados das medidas de comprimento dos outros lados (os catetos). 
Lembre-se de que, em um triângulo retângulo, o maior lado (que é oposto ao ângulo reto) é 
chamado de hipotenusa, os outros dois lados (que são perpendiculares entre si) são chamados 
de catetos, e os ângulos agudos são complementares (a soma das medidas de abertura é 90°).
Fique atento
	a) Considere um triângulo retângulo cujos lados têm medidas de comprimento a, b e 
c, sendo a a maior medida. Escreva no caderno a relação entre essas medidas de 
comprimento usando o teorema de Pitágoras. 
	b) Considere um esquadro como o da foto, cujos lados menores têm medidas de com-
primento de 15 cm e 20 cm. Utilizando o teorema de Pitágoras, determine a medida 
de comprimento do maior lado desse esquadro.
a2 5 b2 1 c2
25 cm
O esquadro é um 
instrumento muito 
usado na Engenharia 
e na Arquitetura para 
traçar retas paralelas e 
retas perpendiculares. 
Ele também pode 
ser usado para medir 
comprimentos e 
traçar alguns ângulos. 
Este esquadro tem a 
forma de um triângulo 
retângulo (triângulo 
que tem um dos 
ângulos internos com 
medida de abertura 
de 90°).
Professor, o estudo do teorema de Pitágoras é proposto pela 
BNCC para o 9o ano do Ensino Fundamental. Se necessário, 
faça retomadas de conteúdos ao longo deste capítulo a fim 
de resgatar conceitos e relações que os estudantes já viram.
Explorando a semelhan•a de tri‰ngulos
Todas as situações citadas nesta página e na anterior envolvem uma mesma figura 
geométrica plana: o triângulo.
Vamos retomar alguns conhecimentos que você já deve ter visto sobre essa figura 
e aprofundar o estudo.
Lembre-se de 
que dois ângulos 
são congruentes 
quando têm a 
mesma medida 
de abertura.
Fique atento
Professor, nesta atividade, os estudantes têm a oportunidade de explorar e retomar os estudos de 
semelhança de triângulos que fizeram no Ensino Fundamental. Observe as respostas dadas por eles e, se 
necessário, faça retomadas sobre o assunto. Na próxima página, a formalização desse estudo será retomada.
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Dotta2/Arquivo da editora
Não escreva no livro.
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Formalizando o conceito de 
semelhança de triângulos
Os triângulos ABC e MNO da página anterior são semelhantes. Veja a definição de 
semelhança de triângulos.
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes 
(homólogos) são congruentes e os lados correspondentes (homólogos) têm 
medidas de comprimento proporcionais.
Observe os triângulos ABC e A8B8C8.
A8
B8 C8
c8
a8
b8
A
B C
c
a
b
Esses triângulos são semelhantes, pois satisfazem todas as condições da definição. 
Veja como indicamos.
nABC á nA8B8C8 ^ $
µ
µ
µ
µ
µ







à 8
à 8
à 8
8
5
8
5
8
A A
B B
C C
a
a
b
b
c
c
e 5 k (razão de semelhança)
A razão de semelhança dos triângulos corresponde à razão das medidas de com-
primento de dois lados homólogos quaisquer dos triângulos. 
Se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, então quaisquer 
outros elementos lineares homólogos desses triângulos também têm medidas de 
comprimento proporcionais com razão k.
 
A A8
B
ch
Ca
b
B8 C8a8
c8h8 b8
nABC á nA8B8C8 ^ 
8
5
8
5
8
5
8
5
1 1
8 1 8 1 8
a
a
b
b
c
c
h
h
a b c
a b c
 5 k
Quando a razão de semelhança de dois triângulos é k 5 1, dizemos que, além de semelhantes, 
eles também são congruentes. Nesse caso, além dos três ângulos correspondentes (homólogos) 
serem congruentes, os três lados correspondentes (homólogos) também são congruentes entre si.
Fique atento
O símbolo á 
significa 
“semelhante”, 
o símbolo ^ 
significa “se, e 
somente se”, e o 
símbolo à significa 
“congruente”.
Fique atento
Qual é a razão de 
semelhança dos 
triângulos ABC e 
MNO da página 
anterior? k 5 1,2
Reflita
Professor, se necessário, retome com os estudantes a congruência de triângulos, que foi estudada no 
Ensino Fundamental.
Professor, ressalte aos 
estudantes que os 
cálculos 
a 1 b 1 c e a8 1 b8 1 c8 
correspondem à medida 
de perímetro de cada 
triângulo.
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No triângulo ABC, a é a medida de 
comprimento do lado BC, 
b é a medida de comprimento 
do lado AC e c é a medida de 
comprimento do lado AB.
Não escreva no livro.
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