Circunferência Trigonométrica

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Observações
•	 Em uma circunferência trigonométrica, o eixo das abscissas também é chamado 
eixo dos cossenos, e o eixo das ordenadas também é chamado eixo dos senos.
•	 Quando 0 < t < p, observamos que sen t 5 sen a e cos t 5 cos a, em que a é a 
medida de abertura do ângulo central que subtende o arco de medida de compri-
mento t. Assim, temos a conexão entre seno e cosseno de um número real e seno 
e cosseno de um ângulo.
•	 A relação fundamental entre seno e cosseno é válida para qualquer número real t: 
sen2 t 1 cos2 t 5 1
Observe nas figuras a seguir o que acontece com os valores de sen t (ordenada do 
ponto P) e cos t (abscissa do ponto P ), quando P coincide com um dos pontos A(1, 0), 
B(0, 1), A8(21, 0) e B8(0, 21) dos eixos da circunferência trigonométrica. Repare que, 
como definimos anteriormente, sen 90° 5 1 e cos 90° 5 0.
y
x
O
A Š P
t 5 0 (0°)
sen 0 5 0
cos 0 5 1
y
x
O
B Š P
A
1
t 5 
p
2
 (90°)
y
x
O21
A8 Š P A
t 5 p (180°)
sen p 5 0
cos p 5 21
y
x
O
B8 ä P
A
21
t 5 
p3
2
 (270°)
y
x
O 1
A Š P
t 5 2p (360°)
sen 2p 5 0
cos 2p 5 1
Redução ao 1o quadrante
Para medidas de abertura de ângulos obtusos, você já viu que podemos calcular 
o seno e o cosseno associando-os ao ângulo complementar. O mesmo ocorre para o 
seno e o cosseno de números reais quando P está no 2o quadrante da circunferência 
trigonométrica.
Na próxima página vamos mostrar por que essas relações são válidas e como pode-
mos calcular o seno e o cosseno de números reais, com P em qualquer quadrante. Para 
isso, vamos usar a simetria dos pontos na circunferência trigonométrica.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
sen 
p
2
 5 1
cos 
p
2
 5 0
sen 
p3
2
 5 21
cos 
p3
2
 5 0
59
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Para determinar o seno ou o cosseno de um número real em que P está no 2o qua-
drante, basta compará-lo com o número real correspondente do 1o quadrante, simétri-
co em relação ao eixo y. 
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
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n
s
/A
rq
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iv
o
 d
a
 e
d
it
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Il
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s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
2
p
 < x < p (ponto P no 2o quadrante)
y
x
O
p
4
3p
4
y
x
O
60° 60°
2p
3
(120°)
p
3
(60°)
p
5 p 2
p
5
p
sen
2
3
sen
2
3
sen
3






p
5 2 p 2
p
5 2
p
cos
3
4
cos
4
cos
4






Para determinar o seno ou o cosseno de um número real em que P está no 3o qua-
drante, basta compará-lo com o número real correspondente do 1o quadrante, simétrico 
em relação à origem dos eixos. 
p < x < 
3
2
p
 (ponto P no 3o quadrante)
y
x
O
p
6
7p
6
y
x30°
30°
7p
6
(210°)
p
6
(30°)
O
p
5 2
p
2 p 5 2
p
sen
7
6
sen
7
6
sen
6






p
5 2
p
2 p 5 2
p
cos
7
6
cos
7
6
cos
6






Para determinar o seno ou o cosseno de um número real em que P está no 4o qua-
drante, basta compará-lo com o número real correspondente do 1o quadrante, simétri-
co em relação ao eixo x. 
3
2
p
 < x < 2p (ponto P no 4o quadrante)
y
x
O
p
3
5p
3
y
x45°
45°
7p
4
(315°)
p
4
(45°)
O
p
5 2 p 2
p
5 2
p
sen
7
4
sen 2
7
4
sen
4






p
5 p 2
p
5
p
cos
5
3
cos 2
5
3
cos
3






60
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