Matemática em Contexto Trigonometria e Sistemas Lineares (116)

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a) 
x y z
y z
z
3 2 6
4 2 0
5 10





2 1 5 2
2 5
5
Temos um sistema linear 3 3 3 já escalonado (quantidade de equações 5 quantidade de incógnitas). 
Da terceira equação do sistema, chegamos a z 5 2.
Fazendo z 5 2 na segunda equação do sistema, obtemos:
4y 2 2 ? 2 5 0 ~ 4y 5 4 ~ y 5 1
Fazendo y 5 1 e z 5 2 na primeira equação do sistema, obtemos:
3x 2 2 ? 1 1 2 5 26 ~ 3x 5 26 ~ x 5 22
Logo, esse sistema é possível e determinado e o conjunto solução é S 5 {(22, 1, 2)}.
 b) 
2 1 2 5
2 1 5
1 5
5






x y z w
y z w
z w
w
9 2 3 1
2 4 6
5 2 3
0 9
O sistema linear é 4 3 4 e já está escalonado.
A quarta equação do sistema permite dizer que esse sistema é impossível; logo, o conjunto solução é 
S 5 0.
 c) 



1 1 5
2 5
x y z
y z
0
3 6 0
Temos um sistema linear 2 3 3 já escalonado (quantidade de equações < quantidade de incógnitas).
Quando um sistema linear escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos um coefi-
ciente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as equações que faltam podem 
ser consideradas como 0 5 0. 
A incógnita que tem coeficiente igual a 0 é chamada incógnita livre; quando conveniente, essa incóg-
nita pode ser omitida na equação.
Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Assim, fazendo z 5 a, com a é R, descobrimos a solução geral.
Da segunda equação do sistema, obtemos: 
3y 2 6a 5 0 ~ y 5 2a
Fazendo z 5 a e y 5 2a na primeira equação do sistema, obtemos:
x 1 2a 1 a 5 0 ~ x 5 23a
Portanto, esse sistema é possível e indeterminado e o conjunto solução é S = {(23a, 2a, a)}, com a é R.
d) 
2 1 2 5
1 5



x y z t
z t
2 2
2 3 1
Aqui o sistema linear é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incóg-
nitas). Ele tem 2 incógnitas livres: y e t.
Para determinar a solução geral, fazemos y 5 a e t 5 b, com a é R e b é R, e substituímos nas equações.
2z 1 3b 5 1 ~ 2x 5 1 2 3b ~ z 5 
2 b1 3
2
2x 2 a 1 
2 b1 3
2
 2 b 5 2 ~ 4x 5 2a 2 1 1 3b 1 2b 1 4 ~ 4x 5 2a 1 5b 1 3 ~ x 5 
a1 b12 5 3
4
Portanto, o conjunto solução é S = 
a1 b1
a
2 b
b









2 5 3
4
, ,
1 3
2
, , com a é R e b é R.
Para aprender o processo de escalonamento, é necessário apresentar o conceito de sistemas lineares 
equivalentes.
Um sistema linear em que todos os termos independentes são nulos, como 
o sistema do exemplo c, é chamado de sistema linear homogêneo.
Fique atento
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Atividades Não escreva no livro.
	34.	Verifique se os sistemas lineares dados em cada item 
são equivalentes.
 a) 
x y
y
x y
x
6
2
e
2 8
4






1 5
5
1 5
5
 b) 
x y z
y z
z
x y z
x y
x
10
2 5
1
e
7
8
5








1 1 5
1 5
5
1 2 5
1 5
5
 c) 
x y z
y z
z
x y z
x y
x
0
2 0
0
e
0
1
0








1 1 5
1 5
5
1 2 5
1 5
5
	35.	Classifique e resolva no caderno os sistemas lineares 
escalonados.
 a) 
x y z
y z
z
2 3 0
2 1
2 6




2 1 5
2 5
52
 b) 
x y z
y z
z
5 2 3
4 5
0 8




2 1 5
2 5
5
 c) 2 1 5
2 5



x x x
x x
3 2 2
0
1 2 3
2 3
 d) 
x y z w
y z w
z w
w
0
5
2 1
2






2 1 2 5
1 1 5
2 2 5
2 5
 e) 

1 2 1 5
2 5
a b c d
c d
2 2
0
 f) 
x y
y
3 5 6
2 1



2 5
5
	36.	Os sistemas lineares 


x y
x y
20
4
1 5
2 5 e 1 5
2 5
2 32
3 20



ax y
x by
 
são equivalentes. Calcule os valores de a e b.
	37.	Junte-se com um colega e observem os dois planos 
cartesianos abaixo, cujos eixos estão com mesma gra-
duação, cada um contendo a representação gráfica de 
um sistema linear 2 3 2. É possível afirmar que esses 
sistemas lineares são equivalentes? Argumentem de-
fendendo a resposta de vocês.
x
y
 
x
y
Sim.
Não.
Não.
a) Sistema linear possível e determinado e 
S 5 {(4, 21, 23)}.
b) Sistema linear 
impossível e S 5 0.
35. c) Sistema linear possível e 
indeterminado e 
S 5 ¸¯ k
3
1 2
, k, k̆ ˝, com k é R.
35. d) Sistema linear 
possível e determinado e 
S 5 {(21, 4, 3, 22)}.
a 5 
4
3
 e b 5 2.
Sim, pois os dois 
sistemas lineares 
têm como conjunto 
solução S 5 {(4, 3)}.
35. e) Sistema linear possível e indeterminado e S 5 {(2 2 2a, a, b, b)}, 
com a é R e b é R.
35. f) Sistema linear possível e determinado e S 5 ¸¯ , 
1
2
17
6
˘˝.
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, os sistemas lineares 
x y
x y
10
2



1 5
2 5 e 
x y
x y
3 2 26
2 5 8



1 5
2 5 2 são equivalentes, pois apresentam 
como conjunto solução S 5 {(6, 4)}.
Atividades resolvidas
	 1.	Calcule os valores de a e b para que os sistemas lineares 



x y
x y
9
5
2 5
1 5 e 
ax y
x by
12
2 20



1 5
2 5 sejam equivalentes.
Resolu•‹o
Primeiro resolvemos o sistema linear 
2 5
1 5



x y
x y
9
5
, por exemplo, adicionando as duas equações:
2x 5 14 ~ x 5 7
Substituindo x por 7 na primeira equação desse sistema, obtemos:
7 2 y 5 9 ~ y 5 7 2 9 ~ y 5 22
Para que os dois sistemas sejam equivalentes, S 5 {(7, 22)} também deve ser o conjunto solução do outro sistema 
linear dado. Então:
ax 1 y 5 12 ~ a ? 7 1 (22) 5 12 ~ 7a 2 2 5 12 ~ 7a 5 14 ~ a 5 2
2x 2 by 5 20 ~ 2 ? 7 2 b ? (22) 5 20 ~ 14 1 2b 5 20 ~ 2b 5 6 ~ b 5 3
Portanto, para os sistemas lineares dados serem equivalentes, devemos ter a 5 2 e b 5 3.
Ilu
s
tr
a
ç
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B
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P3_127a147_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 134P3_127a147_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 134 9/17/20 10:18 AM9/17/20 10:18 AM