Matemática em Contexto Função exponencial, logaritmica e sequências (33)

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Explorando a resolução de equações 
exponenciais
No capítulo anterior, em situações modeladas por funções exponenciais, você re-
solveu algumas equações exponenciais utilizando a estratégia de igualar as bases (po-
sitivas e diferentes de 1) das potências e, então, concluir que os expoentes são iguais.
Mas será que toda equação exponencial pode ser resolvida dessa maneira? Resol-
va as atividades a seguir e pense sobre isso.
1. Com um colega, calcule o valor de x em cada equação dada.
	a) 2x 5 4
	b) 2x 5 8
	c) 10x 5 1 000
	d) 2x 5 5
	e) 10x 5 8 000
	 f) 10x 5 990
2. Vocês encontraram alguma dificuldade ao tentar calcular o valor de x nos itens d, e e f? Se sim, expliquem.
3. Considerando ainda os itens d, e e f, pensem em potências de expoentes naturais e respondam: O valor de x em 
cada item está entre quais 2 números naturais consecutivos? E está mais próximo de qual deles?
x 5 2
x 5 3
x 5 3
Com os conhecimentos vistos até aqui, 
não é possível resolver a equação.
Com os conhecimentos vistos até aqui, não 
é possível resolver a equação.
Professor, é esperado que os estudantes não consigam 
resolver os itens d, e e f.
Resposta pessoal.
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Formalizando o conceito de logaritmo 
de um número
Considere as seguintes questões. 
	a) A que número x devemos elevar o número 2 para obter 8?
	b) E a que número x devemos elevar o número 3 para obter 
1
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?
Acompanhe as resoluções.
	a) 2x 5 8 ^ 2x 5 23 ^ x 5 3
Chamamos o número 3 de valor do logaritmo do número 8 na base 2. Repre-
sentamos assim: log2 8 5 3. 
Então:
log2 8 5 3 ^ 23 5 8
	b) 5 ^ 5
x x3
1
81
3
1
34
 ^ 3x 5 324 ^ x 5 24
Analogamente, o número 24 é o valor do logaritmo do número 
1
81
 na base 3 e 
é representado por log
1
81
3 5 24.
log
1
81
3 5 24 ^ 324 5 
1
81
Perceba que o valor 
do logaritmo é 
igual ao expoente 
da potência 
correspondente.
Fique atento
Dados os números reais positivos a e b, com a = 1, se b 5 ac, então o 
expoente c é o valor do logaritmo do número b na base a. Podemos 
representar esta definição em símbolos:
loga b 5 c ^ ac 5 b
3. d) x está entre 2 e 3. 
x está mais perto de 2 
do que de 3.
e) x está entre 3 e 4. 
x está mais perto de 4 
do que de 3.
f) x está entre 2 e 3. 
x está mais perto de 3 
do que de 2.
Professor, para o item f, 
os estudantes também 
podem perceber que x 
está bem próximo de 3.
2. Professor, o objetivo é que os estudantes percebam que a dificuldade dos itens d, e e f decorre do fato de 5 não ser potência de 
base 2, nem 8 000 e 990 serem potências de base 10. 
Com os conhecimentos vistos até aqui, 
não é possível resolver a equação.
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Veja a comparação das 2 maneiras de escrever.
Forma logarítmica
loga b 5 c
a: base do logaritmo.
b: logaritmando.
c: valor do logaritmo.
Forma exponencial
ac 5 b
a: base da potência.
b: valor da potência.
c: expoente da potência.
Veja mais alguns exemplos numéricos.
	a) log3 81 5 4 ^ 34 5 81
	b) 5 2 ^ 5
2




log 32 5
1
2
321
2
5
	c) 5 ^ 5( )log 5 2 5 55
2
	d) log8 1 5 0 ^ 80 5 1
Observações
•	 Condições de existência do logaritmo.
Pela definição, temos que:
loga b existe se e somente se b > 0, a > 0 e a = 1.
Assim, de acordo com as restrições impostas, não são definidos log3 (281), log10 0, 
log0 3, log22 8 e log1 6, por exemplo. 
•	 Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, log 2 é o logaritmo 
de 2 na base 10. Aos logaritmos na base 10 damos o nome de logaritmos deci-
mais ou logaritmos de Briggs.
Por exemplo, log 100 5 log 102 5 2.
Consequências da definição de logaritmo
1a) loga 1 5 0 , pois a0 5 1 qualquer que seja a > 0 e a = 1.
2a) loga a 5 1 , pois a1 5 a para todo a > 0 e a = 1.
3a) loga a
n 5 n , pois an 5 an para todo a > 0 e a = 1 e para todo n.
4a) a a Nlog
 5 N , com N > 0, a > 0 e a = 1.
Justificativa: Temos: loga N 5 x ^ ax 5 N
Substituindo x, obtemos: a a Nlog 5 ax 5 N
5a) loga x 5 loga y ^ x 5 y, com x > 0, y > 0, a > 0 e a = 1.
Justificativa: Se loga x 5 r e loga y 5 s, isto é, ar 5 x e as 5 y, temos:
•	 x 5 y ^ ar 5 as ^ r 5 s ^ loga x 5 loga y 
•	 loga x 5 loga y ^ r 5 s ^ ar 5 as ^ x 5 y
Substitua o valor 
de x nas equações 
dos itens a, b e c da 
atividade 1 do Explore 
para descobrir anterior 
e escreva no caderno 
as potenciações 
obtidas e o logaritmo 
associado a cada uma 
delas.
Reflita
Experimente aplicar a 
definição de logaritmo 
nos exemplos 
log3 (281), log10 0, 
log0 3, log22 8 e 
log1 6 e observe por 
que eles não são 
definidos.
Reflita
Se fosse possível 
aplicar a definição, 
obteríamos 
as seguintes 
potenciações, que não 
existem:
log3 (281) 5 x ^ 
^ 3x 5 281
log10 0 5 x ^ 10x 5 0
log0 3 5 x ^ 0x 5 3
log22 8 5 x ^ 
^ (22)x 5 8
log1 6 5 x ^ 1x 5 6
 1.	Determine o valor de cada logaritmo.
	a) log2 128 	b) log 93
Resolu•‹o
Representamos por x o valor de cada logaritmo.
	a) log2 128 5 x ~
def
 2x 5 128 ~ 2x 5 27 ~ x 5 7
Portanto, log2 128 5 7.
	b) 5 ~ ( ) 5 ~ 5 ~x x
x( )log 9 3 9 3 33
1
2 2
	 	5 ~ 5 ~
x
x
3 3
2
2 2 5 2 ~ x 5 4
Logo,  5log 9 4.3
Atividades resolvidas
a) 22 5 4 ^ log2 4 5 2
b) 23 5 8 ^ log2 8 5 3
c) 103 5 1 000 ^ log10 1 000 5 3
Não escreva no livro.
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