CBMERJ - Álgebra - Módulo 11 - Logaritmo e Função Logarítmica

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ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
vídeos dentro da plataforma on-line e bons estudos! 
 
Logaritmo 
 
Definição: 
“Logaritmo de b na base a é igual ao expoente da base a que gera como 
resultado o valor b” 
 
 
a à base à 
b à logaritmando à 
x à logaritmo 
 
“ x é o expoente da base a que gera b como resultado ” 
 
⇒ à quem é o expoente do 5 que dá 125? à 3 
Logo, . 
 
⇒ à quem é o expoente do 3 que dá 81? à 4 
Logo, 
 
⇒ à quem é o expoente do 2 que dá ? à - 5 
Logo, 
 
 
Consequências da definição: 
 
01) 
Quem é o expoente da base a que dá zero? 
R: Não existe, pois toda potência de base a positiva e diferente de 1 gera 
resultado b positivo. 
 
 
02) 
Quem é o expoente da base a que dá 1 como resultado? 
R: Zero, pois toda potencia de base a positiva e diferente de 1 quando 
elevado a zero gera um como resultado. 
 
 
03) 
Quem é o expoente da base a que dá a como resultado? 
R: Um, pois toda potencia de base a positiva e diferente de 1 quando 
elevado a 1 gera ela mesma como resultado. 
 
 
04) 
⇒ 
⇒ 
 
Definições consideráveis 
 
01) 
Base 10 é a única que não precisa aparecer. 
 
02) 
Base e = 2,71828182..., se torna o logaritmo neperiano (ln) 
 
03) 
 
Propriedades de logaritmo 
 
01) 
⇒ 
 
02) 
⇒ 
 
03) 
⇒ 
 
04) 
⇒ 
 
05) 
⇒ 
 
Função Logarítmica 
 
Definição: 
Toda função que segue uma lei de formação do tipo 
 
com a base “a” sendo positiva e diferente de 1 e com o logaritmando “x” 
sendo positivo. 
 
Ex.: 
01) à Base maior que 1 à Função Crescente 
 
02) à Base entre 0 e 1 à Função Decrescente 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
2 
 
Gráfico 
⇒ 
X Y Ponto 
1/8 
 
1/4 
 
1/2 
 
1 
 
2 
 
4 
 
8 
 
 
 Base maior que 1 à Função Crescente 
 ⇒ 
X Y Ponto 
1/8 
 
1/4 
 
1/2 
 
1 
 
 
2 
 
 
4 
 
 
8 
 
 
 
 Base entre 0 e 1 à Função Decrescente 
 
Logaritmo inversa da exponencial 
 
 
 
 
 
Equações Logarítmicas 
1º tipo: 
 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
3 
⇒ 
 
 
Verificação para x = 4. 
 
 
Logo, 
 
 
⇒ 
 
 
Verificação para x = -3 
 
 
 
Verificação para x = -5 
 
 
 
Logo, 
 
 
2º tipo: 
 
⇒ 
 
 
Verificação para x = 123 
 
 
Logo, 
 
 
⇒ 
 
 
Verificação para x = 2 
 
 
Verificação para x = 6 
 
 
Logo, 
 
 
Inequações Logarítmicas 
1º tipo: 
Em resumo: se a base for maior que 1 mantemos o sinal da desigualdade 
e se a base for entre 0 e 1 invertemos o sinal da desigualdade. 
 
⇒ 
Solução 
 
 
Restrição 1: 
 
 
Restrição 2: 
 
 
Achando a interseção entre a solução e as restrições: 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
4 
Logo, 
 
 
2ºtipo: 
 
Em resumo: se a base for maior que 1 mantemos o sinal da desigualdade 
e se a base for entre 0 e 1 invertemos o sinal da desigualdade. 
 
⇒ 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
Restrição 
 
 
Achando a interseção entre a solução e a restrição 
 
 
Logo, 
 
 
 
QUESTÕES DE FIXAÇÃO E TREINAMENTO 
 
1) 
Determine o intervalo dos valores de 𝑥 de modo que os logaritmos abaixo 
possam ser definidos. 
 
A) log(𝑥 − 10) 
B) log5(2𝑥 − 31) 
C) log6(𝑥2 − 16) 
D) log1
3
(𝑥2 + 1) 
E) log5−2(𝑥3 − 𝑥) 
 
2) 
Determine o valor de 𝑏, de modo que os logaritmos abaixo possam ser 
definidos. 
 
A) log𝑏−5 6 
B) log2𝑏−1 3 
C) log𝑏
2
5 
D) log𝑏2−1 7 
 
3) 
Determine os valores dos logaritmos abaixo. 
 
A) log3 81 
B) log2
1
4
 
C) log10 1000 
D) log2
5
25
4
 
E) ln 𝑒3 
F) log8 32 
 
4) 
Determine os valores das expressões abaixo. 
 
A) log3 27 − 𝑒ln 5 + log 1000 
 
B) log5
1
625
− log(0,001) + 3log3 6 
 
C) 27log3 2 + log25 128 − log6 √6 
 
 
5) 
Realize as mudanças de base em cada um dos itens. 
 
A) log3 10 → (𝑏𝑎𝑠𝑒 7) = 
B) log11 21 → (𝑏𝑎𝑠𝑒 8) = 
C) log1
5
4 → (𝑏𝑎𝑠𝑒 12) = 
D) log1
2
√5 → (𝑏𝑎𝑠𝑒 10) = 
 
6) 
Sejam os valores de log 2 = 𝑎, log 3 = 𝑏 e log 7 = 𝑐, determine. 
 
A) log21 320 
B) log72 120 
C) log8 150 
D) log5 28 
E) log14 30 
 
 
 
7) 
Dadas as funções logarítmicas abaixo, defina como C, as crescentes e 
como D, as decrescentes. 
 
A) ( )f(x) = log2 5 
B) ( )g(x) = log1/9 2 
C) ( )h(x) = log 2/3 3 
D) ( )i(x) = log 0,3 5 
E) ( )j(x) = log 11 6 
F) ( )k(x) = log 3 19 
 
 
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5 
8) 
Resolva as inequações abaixo. 
 
A) log5(𝑥 − 1) > 0 
B) log3(2𝑥 + 6) 0 
D) log2(2 − 𝑥) > log2 3 
 
9) 
Determine o valor de x, de modo que log2 𝑥 + log2(𝑥 + 3) = 2. 
 
10) 
O valor da soma log
1
2
+ log
2
3
+ log
3
4
+ ⋯ + log
98
99
+ log
99
100
 é 
 
A) 2 
B) 3 
C) – 1 
D) - 2 
E) 0 
 
11) 
Seja a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥, determine o valor de 
 
A) 𝑓(1) = 
B) 𝑓(0,01) = 
C) 𝑓(100) = 
D) 𝑓(1000) = 
 
12) 
Qual dos gráficos abaixo representa a função 𝑓(𝑥) = log2 𝑥? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
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6 
E) 
 
13) 
Qual dos gráficos abaixo representa a função f(x) = log 1/3 x? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
14) 
Seja a função 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, podemos afirmar que 𝑓(1024) − 𝑓(64) é 
 
A) 4 
B) 3 
C) 2 
D) 1 
E) 0 
 
15) 
 Seja 𝑃 = log3 2 × log4 3 × … × log64 63, podemos afirmar que o valor 
de P é: 
 
A) 1/3 
B) 1/6 
C) 6 
D) 3 
 
16) 
Seja 𝑃 = log3 2 × log4 3 × … × log64 63, podemos afirmar que o valor 
de P é: 
 
A) 1/3 
B) 1/6 
C) 6 
D) 3 
 
17) 
Seja log 2 = 0,3 𝑒 log 3 = 0,48, podemos afirmar que log2 192 é: 
 
A) 7,2 
B) 8,0 
C) 6,4 
 
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7 
D) 7,6 
E) 3,9 
 
18) 
Seja a equação exponencial 5𝑥 = 15, podemos afirmar que o valor de 𝑥 
é: 
 
A) 1 + log3 5 
B) 1 − log5 3 
C) 1 − log3 5 
D) 1 + log5 3 
E) log5 3 − 1 
 
19) 
O valor do logaritmo de 81 numa base b, é o dobro do valor do logaritmo 
de 9 nessa mesma base b. Sendo assim, b é igual a 
 
A) 9 
B) 4 
C) 2 
D) 1 
E) 3 
 
20) 
O resultado da expressão é 𝑒ln 4 + 3(log9 225) − 10log 2 é: 
 
A) 15 
B) 17 
C) 19 
D) 21 
E) 13 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. 
Leia o texto e observe a imagem a seguir. 
No Brasil, a preservação natural de um cadáver é rara devido ao clima 
tropical e ao solo ácido, que aceleram a sua decomposição. Por isso, a 
múmia encontrada em Goianá, Minas Gerais, no século XIX é tão 
incomum. 
Adaptado de: www.museunacional.ufrj.br 
 
Passados 𝑡 anos após a morte deste ser humano, suponha que a massa 
m(t) de seu cadáver, medida em quilogramas, seja dada por 
, onde e > 1 é uma constante e C é um parâmetro 
relacionado às características morfoclimáticas da região onde 
originalmente se encontrava. Admitindo que passados t = 600 anos a 
múmia possuía exatos 4 kg, assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, o valor do parâmetro 𝐶. 
A) C = 
1
200
 loge 50 
B) C = 
1
300
 loge 20 
C) C = 
1
400
 loge 30 
D) C = 
1
500
 loge 40 
E) C = 
1
600
 loge 10 
 
2. 
 Se log 2 = x e log 3 = y, então log 288 é: 
 
A) 2x + 5y 
B) 5x + 2y 
C) 10xy 
D) x² + y² 
E) x² - y² 
 
3. 
 Seja f a função quadrática definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 +
(𝑙𝑜𝑔⬚1
3
𝑘) . 𝑥 + 2, com 𝑘 ∈ ℜ e k > 0. 
 
O produto dos valores reais de k para os quais a função f(x) tem uma raiz 
dupla é igual a: 
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
4. 
 Em um mesmo instante colocam-se 5 bactérias de um certo tipo em 
um recipiente e 5 bactérias de um segundo tipo em outro recipiente. 
Representando por f(t) a quantidade de bactérias do primeirotipo e por 
g(t) a do segundo tipo, t minutos após o início do experimento, observa-
se que f(t) = 9t + 4 e g(t) = 5 × 3t. 
 
Após iniciado o experimento, as quantidades de bactérias nos dois 
recipientes voltam a se igualar quando em ambos os recipientes 
existirem quantas bactérias? 
 
A) 7 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
E) 20 
 
5. 
 No país das comunicações, cuja população é x (em milhões de 
habitantes), uma notícia de interesse nacional foi divulgada e, t horas 
após a divulgação, o número de pessoas que tomaram conhecimento da 
notícia é dado por . Sabendo que, uma hora 
após a divulgação, a metade da população já tinha conhecimento da 
notícia, é correto afirmar que a população desse país, em milhões de 
habitantes, é, aproximadamente, 
Considere o logaritmo de cinco na base dois, aproximadamente, igual a: 
 
A) 2,32. 
B) 4,64 
C) 8,32 
D) 6,62 
E) 3,68 
 
 
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8 
6. 
Para fazer um gráfico em papel milimetrado com escala logarítmica, 
David precisa encontrar o logaritmo do número 2,5 . 10−18, na base 10, 
adotando em seu cálculo 𝑙𝑜𝑔102 = 0,301. O logaritmo do número 
procurado por David é: 
 
A) -17,301 
B) -18,398 
C) -17,699 
D) -18,699 
E) -17,602 
 
7. 
No plano cartesiano abaixo estão representados os gráficos das funções 
𝑓,  𝑔 e ℎ, todas definidas no conjunto dos números reais positivos por 
, e . 
 
O valor de log10 (abc) é: 
 
A) 1 
B) 3 
C) log10 3 
D) 1 + log10 3 
E) log10 2 × log10 3 × log10 5 
 
8. 
 Considerando as funções definidas por f(x) = 2𝑥+1 e g(x) = log2(x² - 
1), assinale o que for correto. 
 
A) f(g(x)) = 2(x² -1) 
B) Se g(x) = 3, então x é um número irracional. 
C) Se f(x) = 512, então x é ímpar. 
D) O domínio da função g(x) é o intervalo [-1, 1] 
 
9. 
 Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda 
quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou 
o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma 
fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento 
em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura 
máxima de 40 centímetros. A fórmula é h = 5 · log2(t + 1), em que t é o 
tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro. 
 
A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em 
quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima? 
 
A) 63 
B) 96 
C) 128 
D) 192 
E) 255 
 
10. 
 Sejam m, n e 𝑏 números reais positivos, com b ≠ 1. Se logb m = x e 
se logb n = y, então logb (m · n) + (
𝑛
𝑚
) é igual a: 
 
A) x 
B) 2y 
C) x + y 
D) 2x - y 
 
11. 
 Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração 
está diminuindo devido à adição de mais água. Suponha que a 
concentração Q(t) de sal no tanque, em gramas por litro (
𝑔
𝐿
), decorridas 
𝑡 horas após o início da diluição, seja dada por 
Q(t) = 100 × 5−0,3𝑡 
Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para 
que a concentração de sal diminua para 50 
𝑔
𝐿
. 
(Use log 5 = 0,7) 
 
A) 4 horas e 45 minutos. 
B) 3 horas e 20 minutos. 
C) 2 horas e 20 minutos. 
D) 1 hora e 25 minutos. 
E) 20 minutos. 
 
12. 
 Considerando 𝑙𝑜𝑔72 = 𝑤, temos que o valor de 𝑙𝑜𝑔414 pode ser 
expresso por : 
 
A) 
2
𝑤+1
. 
B) 
2𝑤
𝑤+1
. 
C) 
3𝑤
2
. 
D) 
2
𝑤
. 
E) 
𝑤+1
2𝑤
. 
 
13. 
 Considere a função logarítmica 𝑓: 𝑅+
∗ → 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔7( 𝑥). 
Quanto vale a razão 
𝑓(4)
𝑓(16)
? 
 
A) (
1
4
) 
B) √7 
C) 
1
4
 
D) √7
4
 
E) 
1
2
 
 
14. 
 A equação  𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 1 + 12. 𝑙𝑜𝑔𝑥2 3 tem duas raízes reais. O 
produto dessas raízes é: 
 
A) 0 
B) 1/3 
 
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9 
C) 3/2 
D) 3. 
E) 9. 
 
15. 
 Os alunos do curso de Meio Ambiente do campus Cabo de Santo 
Agostinho observaram que o número de flores em uma árvore 𝑋 segue o 
modelo matemático 𝐹(ℎ) = 16 − 𝑙𝑜𝑔2( 3ℎ + 1), onde 𝐹(ℎ) é a 
quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo 
de observação esta árvore estará com apenas 10 flores? 
 
A) 6 horas. 
B) 25 horas. 
C) 20 horas. 
D) 21 horas. 
E) 64 horas. 
 
16. 
Na figura, está representada parte do gráfico da função 𝑓 definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔   (𝑎𝑥 + 2) − 1, com 𝑎 ≠ 0 e o ponto 𝐴(1, −1) 
pertencente ao gráfico da função f. 
 
O valor de a é: 
 
A) 1 
B) 2 
C) -1 
D) -2 
E) 8 
 
17. 
A curva do gráfico abaixo representa a função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4𝑥 
 
A área do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 é: 
 
A) 12. 
B) 6. 
C) 3. 
D) 6
3
2
 . 
E) 6 . 
 
18. 
O gráfico a seguir é a representação da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 (
1
𝑎𝑥+𝑏
) 
 
O valor de 𝑓−1(−1) : 
 
A) −1 
B) 0 
C) −2 
D) 2 
E) 1 
 
19. 
Um pesquisador estuda uma população e determina que a equação 𝑁 =
𝑡9. 10−15N = t910-15 descreve a incidência de câncer, representada por N, 
em função do tempo 𝑡. Ele observa que 𝑁 cresce rapidamente, o que 
dificulta a análise gráfica dessa relação. Por isso, o pesquisador decide 
operar simultaneamente com as variáveis 𝑁 e 𝑡 a fim de representá-las 
como uma semirreta no plano cartesiano x × y. Para esse fim, suponha 
que o pesquisador escolha uma base 𝑏, positiva e distinta de 1, e que ele 
considere as seguintes operações para 𝑁 > 0 e 𝑡 > 0: 
 
Supondo que 𝑦 = 9𝑥 + 1 seja a equação que descreve a semirreta que 
o pesquisador obteve no plano cartesiano 𝑥 × 𝑦, e recordando que 1 =
( 𝑏), assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a escolha da 
base 𝑏 feita pelo pesquisador. 
 
A) 1 
B) 9 
C) 915 
D) 10−9 
E) 10−15 
 
20. 
 O sistema com 𝑏 > 1, tem 
como solução (a, b) igual a: 
 
A) (2,  11) 
B) (11,  2) 
C) (1,  11) 
D) (11,  1) 
E) (1,  2) 
 
21. 
Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de 
forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o 
período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o 
valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
10 
data futura. Um valor presente 𝑃 submetido a juros compostos com taxa 
𝑖, por um período de tempo 𝑛, produz um valor futuro 𝑉 determinado pela 
fórmula 
𝑉 = 𝑃 ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
 
 
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de 
𝑅$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima 
parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o 
desconto seja superior a 25% do valor da parcela. 
Utilize 0,2877 como aproximação para 𝑙𝑛 (
4
3
) e 0,0131 como 
aproximação para 𝑙𝑛 (1,0132). 
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a: 
 
A) 56ª 
B) 55ª 
C) 52ª 
D) 51ª 
E) 45ª 
 
22. 
Um cliente tem uma dívida de R$2.000,00 em um banco, com vencimento 
incluídos para daqui a 2 anos e juros compostos de 2% ao mês inclusos 
nesse valor. Sabendo-se que a gerente do banco informou ao cliente que 
ele poderia antecipar o pagamento em qualquer período até o 
vencimento e, nesse caso, terá direito a um desconto referente aos juros 
do período antecipado. 
 Como o cliente deseja ter um desconto de, pelo menos, R$ 400,00, 
conclui-se que a antecipação do pagamento, para essas condições, 
deverá ser em, pelo menos, 
Dados: log 1,02 = 0,0086 e log 2 = 0,3 
 
A) 12 meses 
B) 9 meses 
C) 10 meses 
D) 13 meses 
E) 11 meses 
 
Texto para as próximas 2 questões: 
Leia o texto para responder à(s) questão(ões) a seguir. 
 
Psicólogos educacionais podem utilizar modelos matemáticos para 
investigar questões relacionadas à memória e retenção da informação. 
Suponha que um indivíduo tenha feito um teste e que, depois de t meses 
e sem rever o assunto do teste, ele tenha feito umnovo teste, equivalente 
ao que havia feito anteriormente. O modelo matemático que descreve 
situação de normalidade na memória do indivíduo é dado por 𝑦 = 82 −
12 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑡 + 1), sendo y a quantidade de pontos feitos por ele no 
instante t. 
 
23. 
Considere agora que, após t meses da aplicação do teste inicial, a 
pontuação do indivíduo tenha caído 18 pontos na nova aplicação do 
teste. Adotando √10 ≅ 3,16, t é igual a: 
 
A) 25,1 
B) 30,6 
C) 32,3 
D) 32,4 
E) 28,8 
 
24. 
 Após t meses da aplicação do teste inicial, a pontuação de um 
indivíduo no novo teste caiu para 70 pontos. Assim, é correto concluir 
que esse novo texto ocorreu 𝑡 meses após o primeiro teste, com t igual a 
 
A) 11. 
B) 8. 
C) 15. 
D) 12. 
E) 9. 
 
25. 
Na figura abaixo estão representadas as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 e 
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 (
𝑥
2
). 
 
Sabendo-se que o ponto A tem abscissa 8, a área do quadrilátero 𝑂𝐴𝐵𝐶 
é: 
 
A) 53. 
B) 56. 
C) 1.014. 
D) 1.814. 
 
26. 
Dado que 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 3 e 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 = 2, assinale a alternativa que indique o 
valor de 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑏2.𝑎5
𝑐3
). 
 
A) 5 
B) -5 
C) 6 
D) -6 
E) 17 
 
27. 
 Uma calculadora tem duas teclas especiais, 𝐴 e 𝐵. Quando a tecla 𝐴 
é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo 
decimal desse número. Quando a tecla 𝐵 é digitada, o número do visor é 
multiplicado por 5. 
Considere que uma pessoa digitou as teclas 𝐵𝐴𝐵, nesta ordem, e obteve 
no visor o número 10. 
 
Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte 
número: 
 
A) 20 
B) 30 
C) 40 
D) 50 
 
28. 
Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de 
base 10, com expoente 𝑛 inteiro, para 10𝑛−
1
2 ≤ 𝑥 0 e 𝑥 ≠ 1 é 
A) 20 
B) 50 
C) 100 
D) 250 
E) 400 
 
41. 
Estima-se que, daqui a t semanas, o número de pessoas de uma cidade 
que ficam conhecendo um novo produto seja dado por 𝑁 =
20.000
1+19(0,5)𝑡. 
Daqui a quantas semanas o número de pessoas que ficam conhecendo 
o produto quintuplica em relação ao número dos que o conhecem hoje? 
 
A) 
𝑙𝑜𝑔   19−𝑙𝑜𝑔   7
1−𝑙𝑜𝑔   5
 
B) 
𝑙𝑜𝑔   19−𝑙𝑜𝑔   6
1−𝑙𝑜𝑔   5
 
C) 
𝑙𝑜𝑔   19−𝑙𝑜𝑔   5
1−𝑙𝑜𝑔   5
 
D) 
𝑙𝑜𝑔   19−𝑙𝑜𝑔   4
1−𝑙𝑜𝑔   5
 
E) 
𝑙𝑜𝑔   19−𝑙𝑜𝑔   3
1−𝑙𝑜𝑔   5
 
 
42. 
A soma dos montantes de 𝑛 depósitos anuais, de valor 𝑅 cada um, feitos 
nos anos 1,  2,  3  … 𝑛 a juros compostos e à taxa de juros anual i, 
calculados na data n, é dada pela fórmula: 𝑆 = 𝑅
[(1+𝑖)𝑛−1]
𝑖
. 
Se forem feitos depósitos anuais de 𝑅$ 20.000,00 à taxa anual de 20%, 
o número n de depósitos para que a soma dos montantes seja 
𝑅$ 148.832,00 é: 
 
A) 
𝑙𝑜𝑔   1,48832
𝑙𝑜𝑔   1,2
 
B) 
𝑙𝑜𝑔   3,48832
𝑙𝑜𝑔   1,2
 
C) 
𝑙𝑜𝑔   0,48832
𝑙𝑜𝑔   1,2
 
D) 
𝑙𝑜𝑔   4,48832
𝑙𝑜𝑔   1,2
 
E) 
𝑙𝑜𝑔   2,48832
𝑙𝑜𝑔   1,2
 
 
43.Para todos os inteiros 𝑛 de 1 a 2016, temos que: 
 
Sendo assim, a soma 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎2015 + 𝑎2016 é igual a: 
 
A) 8 
B) 7 
C) 6 
D) −6. 
E) −8. 
 
44. 
Sendo p e q números reais, com 𝑝 > 𝑞 e 𝑝 + 𝑞 > 0, definiremos a 
operação # entre 𝑝 e 𝑞 da seguinte forma: 𝑝 ≠ 𝑞 = 𝑝2 − 𝑞2 + 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 +
𝑞), com 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 + 𝑞) sendo o logaritmo na base 10 de (𝑝 + 𝑞). 
Utilizando-se essa definição, o valor de 10#(−5) é igual a: 
 
A) 176 − 𝑙𝑜𝑔 2 
B) 174 − 𝑙𝑜𝑔 2 
C) 76 − 𝑙𝑜𝑔 2 
D) 74 + 𝑙𝑜𝑔 2 
E) 74 − 𝑙𝑜𝑔 2 
 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
13 
45. 
Um automóvel 0 km é vendido por certo valor em 15/6/2016. No dia 15/6 
de cada ano, seu valor será 10% menor do que era no mesmo dia do ano 
anterior, isto é, desvaloriza-se 10% ao ano. Se após n anos seu valor for 
35% do que era quando 0 km, podemos concluir que 
Use a tabela abaixo: 
x 0,30 0,35 0,45 0,50 0,60 0,75 0,90 
ln(x) -1,204 -1,050 -0,799 -0,693 -0,511 -0,288 -0,105 
 
A) 𝑛 = 9 
B) 𝑛 = 11 
C) 𝑛 = 7 
D) 𝑛 = 10 
E) 𝑛 = 8 
 
46. 
Considere a aproximação: 𝑙𝑜𝑔 2 ≅ 0,3. É correto afirmar que a soma 
das raízes da equação 22𝑥 − 6 ⋅ 2𝑥 + 5 = 0 é: 
 
A) 7/3 
B) 2 
C) 5/3 
D) 4/3 
E) 1 
 
47. 
A solução da equação 𝑙𝑜𝑔 1 + 2. 𝑙𝑜𝑔 2 + 3. 𝑙𝑜𝑔 3 + 4. 𝑙𝑜𝑔 4 + ⋯ +
10. 𝑙𝑜𝑔 1 0 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 é: 
 
A) 
1
2!3!4!...9!
 
B) 
10
2!3!4!...9!
 
C) 
10!
2!3!4!...9!
 
D) 
(10)10
2!3!4!...9!
 
E) 
(10!)11
2!3!4!...9!
 
 
48. 
Adotando os valores 𝑙𝑜𝑔 2 = 0,30 e 𝑙𝑜𝑔 3 = 0,48, em que prazo um 
capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% 
ao ano? 
 
A) 5 anos e meio 
B) 6 anos 
C) 6 anos e meio 
D) 7 anos 
E) 7 anos e meio 
 
49. 
Determinada espécie de eucalipto apresenta uma relação que interliga 
seu tamanho (altura) com seu tempo de plantio, dada por ℎ(𝑡) = 26 +
𝑙𝑜𝑔3(1,5𝑡), em que h(t) é a altura dada em metros, e t indica o tempo em 
anos. 
Nesse caso, qual é o tempo necessário (em anos) para que a árvore de 
eucalipto atinja a altura de 28m? 
 
A) 4 
B) 7 
C) 2 
D) 5 
e) 6 
50. 
O número N de habitantes de uma cidade cresce exponencialmente com 
o tempo, de modo que, daqui a t anos, esse número será 𝑁 =
20000(1 + 𝑘)𝑡 , onde k é um número real. Se daqui a 10 anos a 
população for de 24 000 habitantes, daqui a 20 anos ela será de: 
 
A) 28 000 habitantes 
B) 28 200 habitantes 
C) 28 400 habitantes 
D) 28 600 habitantes 
E) 28 800 habitantes 
 
51. 
Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo 
necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade. 
Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua 
quantidade, daqui a t anos, é 𝑄 = 𝐴. 0,975𝑡. 
Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = -0,025, o valor da meia-vida 
dessa substância é aproximadamente: 
 
A) 25,5 anos 
B) 26,6 anos 
C) 27,7 anos 
D) 28,8 anos 
E) 29,9 anos 
 
52. 
Sob certas condições ambientais, o número de bactérias de uma colônia 
cresce exponencialmente (isto é, 𝑦 = 𝑎. 𝑏𝑥 , em que y é o número de 
bactérias e x o tempo), de modo que esse número dobra a cada hora. 
Se em determinado instante há n bactérias, quanto tempo levará para que 
seu número atinja o valor 20n? Use a tabela abaixo para resolver: 
x 1 2 3 4 5 
log x 0 0,30 0,48 0,60 0,70 
 
A) 4,1 horas 
B) 4,3 horas 
C) 4,5 horas 
D) 4,7 horas 
E) 4,9 horas 
 
53. 
Duas Adotando o valor 0,30 para log 2, a raiz da equação 23𝑥−6 = 51−𝑥 , 
arredondada para duas casas decimais, é: 
 
A) 1,32 
B) 1,44 
C) 1,56 
D) 1,65 
E) 1,78 
 
54. 
Considere o gráfico das funções reais f(x) = 2.log x e g(x) = log(2x), nos 
seus respectivos domínios de validade. 
A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que: 
 
A) não se interceptam. 
B) se interceptam em apenas um ponto. 
C) se interceptam em apenas dois pontos. 
D) se interceptam em apenas três pontos. 
E) se interceptam em infinitos pontos. 
 
55. 
Dados os números reais positivos 𝑥 e 𝑦, admita que x 𝑦 = 𝑥𝑦. Se 2
(𝑥 + 𝑦) = 16 (x+y), então 
𝑙𝑜𝑔 𝑥 −𝑙𝑜𝑔 𝑦 
2
 é igual a: 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
14 
A) 𝑙𝑜𝑔 
3√7
7
 . 
B) 𝑙𝑜𝑔 
2√5
5
 . 
C) 𝑙𝑜𝑔 
2√3
5
 . 
D) 𝑙𝑜𝑔 
√2
3
 . 
E) 𝑙𝑜𝑔 
√3
4
 . 
 
56. 
A reta definida por x = k, com k real, intersecta os gráficos de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔5𝑥 
e 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔5(𝑥 + 4) em pontos de distância 1/2 um do outro. Sendo 𝑘 =
𝑝 + √𝑞, com p e q inteiros, então p + q é igual a: 
 
A) 6. 
B) 7. 
C) 8. 
D) 9. 
E) 10. 
 
57. 
Adotando log 2 = 0,301, a melhor aproximação de 𝑙𝑜𝑔510 representada 
por uma fração irredutível de denominador 7 é: 
 
A) 8/7. 
B) 9/7. 
C) 10/7. 
D) 11/7. 
E) 12/7. 
 
58. 
Sendo 𝑥 = √
𝑎2
𝑏
6
, com 𝑙𝑜𝑔2𝑎 = 4 e 𝑙𝑜𝑔2𝑏 = 5 em que a e b são 
números reais não nulos e diferentes de 1, então 𝑙𝑜𝑔𝑥2 é igual a: 
 
A) 16 
B) 8 
C) 6 
D) 4 
E) 2 
 
59. 
Considerando 𝑙𝑜𝑔2  =  0,30 e 𝑙𝑜𝑔3  =  0,48, o número real x, solução 
da equação 5𝑥−1   =  150, pertence ao intervalo: 
 
A) ] − ∞, 0] 
B) [4,5[ 
C) ]1,3[ 
D) 0,2[ 
E) 5, +∞[ 
 
60. 
O número de bactérias 𝑁 em um meio de cultura que cresce 
exponencialmente pode ser determinado pela equação 𝑁 = 𝑁0𝑒𝑘𝑡 em 
que 𝑁0 é a quantidade inicial, isto é, 𝑁0 = 𝑁 (0) e k é a constante de 
proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 
8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para 
que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? 
(Dados: 𝐼𝑛 2 = 0,69 𝐼𝑛 5 = 1,61) 
 
A) 11 minutos e 25 segundos. 
B) 11 minutos e 15 segundos. 
C) 15 minutos. 
D) 25 minutos. 
E) 25 minutos e 30 segundos. 
 
61. 
Se 𝑙𝑜𝑔3[𝑙𝑜𝑔8(𝑙𝑜𝑔10𝑥)] = −1, então o valor de x é: 
 
A) 0,1 
B) 1 
C) 10 
D) 100 
E) 1000 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CBMERJ 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO QUESTÕES DE FIXAÇÃO E TREINAMENTO 
1) 
A) 𝑥 > 10 27 
B) >
31
2
 
C) 𝑥 4 
D) −1 1 
2) 
A) 𝑏 > 5 𝑒 𝑏 ≠ 6 
B) 𝑏 >
1
2
 𝑒 𝑏 ≠ 1 
C) 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 2 1535 
D) ℝ 
3) 
A) 4 
B) - 2 
C) 3 
D) -2 
E) 3 
F) 5/3 
4) 
A) 1 
B) 5 
C) 89/10 
 
5) 
A) 
log7 10
log7 3
 
B) 
log8 21
log8 11
 
C) −
log12 4
log12 5
 
D) −
𝑙𝑜𝑔√5
log 2
 
6) 
A) 
5𝑎+1
𝑏+𝑐
 
B) 
2𝑎+𝑏+1
3𝑎+2𝑏
 
C) 
2+𝑏−𝑎
3𝑎
 
D) 
2𝑎+𝑐
1−𝑎
 
E) 
𝑏+1
𝑎+𝑐
 
7) 
A) Crescente 
B) Decrescente 
C) Decrescente 
D) Decrescente 
E) Crescente 
F) Crescente 
 
8) 
A) 𝑥 > 2 
B) 𝑥 > −1 
C) 𝑥 > 0 
D) 𝑥