Matemática Interligada Geometria Espacial e Plana (36)

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A
B
C
D
P Q
Rua A
Rua B
R
u
a
 C
R
u
a
 D
Terreno
69
 45. Na festa junina de um colégio, os alunos de uma 
turma ficaram encarregados de fazer as bandeiri-
nhas, as quais teriam o formato de um triângulo 
equilátero de 20 cm de lado. Foram en tregues aos 
alunos 100 folhas retangulares com 1,23 m de com-
primento e 1 m de largura.
a ) Quantos metros quadrados de papel foram en-
tregues aos alunos?
b ) Quantas bandeirinhas poderão ser feitas, sa-
bendo que a cada 7 bandeirinhas haverá uma 
sobra de, aproximada mente, 19 cm
2 de pa-
pel? ( Considere √
―
 3 5 1,73. )
 46. Dizemos que duas figuras planas são equivalentes 
quando têm a mesma área. Determine o valor de x, 
sabendo que o triângulo e o trapézio representa-
dos são equivalentes.
 43. (Enem) Um terreno com o formato mostrado na 
figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser 
dividido em quatro lotes de mesma área.
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão 
para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.
Dos esquemas abaixo, em que lados de mesma 
medida têm símbolos iguais, o único em que os 
quatro lotes não possuem, necessariamente, a 
mesma área é:
e )
d )
c )
a )
b )
44. (Ufpel-RS) O Brasil é considerado mundial-
mente o país do futebol. Em copas ou outros 
torneios, esse esporte está sempre presente 
e muito orgulho tem trazido para nosso 
povo, ao receber títulos significativos como o 
Pentacampeonato Mundial.
O brasileiro, independentemente de classe 
econômica, desde cedo tem familiaridade 
com a bola de futebol. 
Nos cálculos propostos a seguir, estamos su-
pondo uma bola de couro que tem sua super-
fície coberta com pentágonos e hexágonos 
regulares.
Baseando-se em seus conhecimentos e consi-
derando que os hexágonos que cobrem a bola 
têm a distância do centro ao ponto médio dos 
seus lados igual a 3 cm, determine:
a ) a área de cada hexágono.
b ) o perímetro de cada pentágono.
3 cm
4 cm
5 cm
3 cm
x
47. (Enem) Para decorar a fachada de um edifício, 
um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo 
1 m, conforme a figura abaixo. Nesta figura, 
os pontos A, B, C e D são pontos médios dos 
lados do quadrado e os segmentos AP e QC
medem 
1―
4
 da medida do lado do quadrado. 
Para confeccionar um vitral, são usados dois 
tipos de materiais: um para a parte sombreada 
da figura, que custa R$ 30,00 o m 2 , e outro para 
a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), 
que custa R$ 50,00 o m 2 . De acordo com esses 
dados, qual é o custo dos materiais usados na 
fabricação de um vitral?
a ) R$ 22,50
b ) R$ 35,00
c ) R$ 40,00
d ) R$ 42,50
e ) R$ 45,00
As ruas A e B
são paralelas.
As ruas C e D
são paralelas.
e
Veja na Assessoria pedagógica comentários e sugestões 
de trabalho com esta tarefa. 
Na tarefa 43, por se tratar de uma 
questão do Enem, embora estejamos 
usando “comprimento do segmento”, 
por exemplo, aparece a expressão “lados 
de mesma medida” para indicar que os 
lados têm comprimentos iguais.
 18 √
―
 3 cm 
2
 10 √
―
 3 cm 
 123 m 
2
 7 000 bandeirinhas 
x 5 1,5 cm 
b
No trabalho com a tarefa 44, explique aos alunos que o centro de um hexágono regular coincide com o vértice comum aos seis triângulos 
equiláteros obtidos na decomposição desse hexágono.
Na tarefa 47, por se tratar de uma questão do Enem, embora estejamos usando “comprimento do segmento”, por exemplo, aparece as expressões 
“lado medindo 1 m” e “medem 
1―
4
 da medida do lado do quadrado” para indicar, respectivamente, que o comprimento do lado do quadrado
é 1 m e que os comprimentos dos segmentos AP e QC são iguais a 
1―
4
 do comprimento do lado do quadrado.
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 Ladrilhamento
Nas páginas anteriores, estudamos os poliedros e como calcular a área de algumas figuras 
geométricas planas. Agora, vamos estudar um tipo de composição de figuras geométricas planas 
chamado ladrilhamento, cujos padrões se repetem e podem ser estendidos por todo o plano.
O ladrilhamento ou pavimentação do plano consiste em cobrir completamente uma superfí-
cie com polígonos sem que haja falhas entre eles e sem sobreposição. Dizemos que as peças utili-
zadas, também chamadas ladrilhos ou tesselas, cobrem ou pavimentam o plano. Um ponto que 
resulte da interseção de três ou mais ladrilhos é chamado vértice da pavimentação ou nó.
Entre os tipos de ladrilhamento possíveis, vamos considerar neste livro os ladrilhamentos com 
as condições a seguir.
• As peças são polígonos regulares.
• Duas peças apenas se intersectam em um lado ou em um vértice.
• A distribuição das peças é a mesma ao redor de cada vértice.
Um ladrilhamento com essas características, formado por um único tipo de polígono (peça), é 
chamado ladrilhamento regular. Já um ladrilhamento com essas características, porém formado 
por mais de um tipo de polígono, é chamado ladrilhamento semirregular.
Ladrilhamento regular
Um exemplo de ladrilhamento regular é o formado por quadrados congruentes, posicionados 
lado a lado, conforme exemplo a seguir. Note que o quadrado satisfaz às condições apresentadas 
para cobrir o plano em um ladrilhamento regular.
No caso do quadrado, por exemplo, é possível formar um ângulo de 3608 ao redor de um dos 
vértices, agrupando 4 quadrados congruentes. Porém, não é possível fazer o mesmo com pentá-
gonos regulares congruentes, no qual um de seus ângulos internos tem medida 1088. Nesse caso, 
não é possível formar um ângulo de 3608 ao redor de um dos vértices.
• Como você faria para determinar quais polígonos regulares e congruentes podem formar um 
ladrilhamento regular?
Composição com 
sobreposição. 
Composição com espaço 
entre os polígonos (falha).
Um exemplo de polígono que não pode ser usado para cobrir o plano em um ladrilhamento 
regular é o pentágono regular, pois, quando pentágonos regulares são dispostos ao redor de um 
dos vértices, ocorre sobreposição ou falha.
Espera-se que os alunos relatem um procedimento viável, com o objetivo de 
generalizar os padrões observados, e que percebam que a soma das medidas 
dos ângulos internos dos polígonos regulares em torno de um vértice seja igual a 360º.
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