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0 x
y
t
d < r
A
B
C
M
 λ 
0 x
y
t
C
d = r
 λ 
0 x
y
C
d > r
t
 λ 
Posições relativas entre 
reta e circunferência
Wassily Kandinsky foi um pintor e escritor russo 
que se destacou pela qualidade de suas obras, bem 
como por introduzir a abstração nas artes visuais.
Veja ao lado uma obra desse artista. Nela, pode-
mos observar a presença de várias representações 
de círculos, circunferências, partes de circunferên-
cias e retas, algumas das quais com pontos comuns.
De acordo com a posição entre uma circunferên-
cia e uma reta, podemos estabelecer relações, como 
mostraremos a seguir.
• t corta λ em 2 pontos.
Nesse caso, dizemos que t é secante a λ , 
e podemos destacar que:
› a distância d entre a reta secante e o 
centro da circunferência é menor do 
que o comprimento do raio. 
› M corresponde ao ponto médio de ‾AB .
• t toca λ em apenas 1 ponto.
Nesse caso, dizemos que t é tangente a 
λ , e podemos destacar que:
› a distância d entre a reta tangente e o 
centro da circunferência é igual ao com-
primento do raio.
› toda reta tangente a uma circunferên-
cia é perpendicular ao raio no ponto de 
tangência.
• t não toca λ . 
Nesse caso, dizemos que t é exterior a λ , 
e podemos destacar que:
› a distância d entre a reta exterior e o 
centro da circunferência é maior do que 
o comprimento do raio.
Com base na representação de 
uma circunferência, e, utilizando 
apenas linhas retas, é possível 
obter um formato parecido com 
uma coroa circular, como mostra 
a imagem acima. Nesse caso, as 
linhas traçadas representam 
retas secantes à circunferência. 
Quanto maior a quantidade de 
linhas retas traçadas, mais a 
figura central obtida na imagem 
final será parecida com uma 
circunferência.
Seja uma circunferência λ de centro C( a,b ) e raio r e uma reta t em um 
mesmo plano cartesiano. Quanto à posição da reta t em relação à circun-
ferência λ , temos 3 possibilidades:
Composição VIII, de Wassily Kandinsky, 1923. Óleo sobre tela, 
 140 cm 3 201 cm . Museu Solomon R. Guggenheim, Nova Iorque.
3
6
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
30
29
282726
25
24
2
3
2
2
2
1
2
0
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9
1
8
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7
1
6
1
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4
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3
12
11 10 9 8
7
6
5
4
3
2
1
Se possível, apresente aos alunos outras obras do artista Wassily 
Kandinsky. Algumas sugestões podem ser encontradas no site 
<https://www.wassilykandinsky.net/painting1896-1944.php>. 
Acesso em: 6 jun. 2020. 
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 R8. Determine a posição relativa entre a reta s: 8x 1 6y 1 9 5 0 e a circunferência 
λ: ( x 2 5 ) 
2
 1 ( y 1 2 ) 
2
 5 16 .
Resolução
A circunferência λ tem centro C ( 5, 2 2 ) e raio 4.
Calculando a distância do centro de λ à reta s:
Assim, os valores de k são 3 √ 
―
 2 ou 2 3 √ 
―
 2 . Como há dois valores para k, existem duas retas que 
satisfazem à condição imposta, ou seja, s 
1
 : x 2 y 1 3 √ 
―
 2 5 0 e s 
2
 : x 2 y 2 3 √ 
―
 2 5 0 .
Então, C ( 0, 0 ) e r 5 3 . De acordo com a equação da reta s, a 5 1 , b 5 2 1 e c 5 k . Assim, temos:
Como a distância entre a reta s e o centro da circunferência é igual ao comprimento do raio, 
segue que a reta s é tangente à circunferência λ .
 R10. A reta s: x 2 y 1 k 5 0 é tangente à circunferência λ: x 2 1 y 2 5 9 . De acordo com essas infor-
mações, calcule o valor de k.
Resolução
Se a reta s é tangente à circunferência λ , então a distância do centro de λ até a reta s é igual ao 
comprimento do raio, ou seja, d 5 r . Assim:
 d 5 
 |1 ?? 0 2 1 ?? 0 1 k| 
 ―― 
 √ 
――
 1 
2
 1 ( 21 ) 2 
 5 
k
 ― 
 √ 
―
 2 
 ä 
 |k| 
 ― 
 √ 
―
 2 
 5 3 
⏟
 
d 5 r
 ä |k| 5 3 √ 
―
 2 ä k 5 ± 3 √ 
―
 2 
 x 2 1 y 2 5 9
 ( x 2 0 ) 
2
 1 ( y 2 0 ) 
2
 5 3 
2
 
 d ( C, s ) 5 
 |2 ?? 1 1 1 ?? 1 1 2| 
 ― 
 √ 
―
 2 
2
 1 1 
2
 
 5 
 |2 1 1 1 2| 
 ― 
 √ 
―
 5 
 5 
5
 ― 
 √ 
―
 5 
 5 
5
 ― 
 √ 
―
 5 
 ?? 
 √ 
―
 5 
 ― 
 √ 
―
 5 
 5 √ 
―
 5 
Como a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor do que o comprimento do 
raio de λ , segue que s é secante a λ .
 R9. Considere a circunferência λ: ( x 2 1 ) 
2
 1 ( y 2 1 ) 
2
 5 5 . Determine a posição relativa da reta 
s: 2x 1 y 1 2 5 0 em relação à circunferência λ .
Resolução
Da equação da circunferência segue que C ( 1, 1 ) é o centro de λ e o comprimento do raio é √ 
―
 5 . 
Da equação da reta temos a 5 2 , b 5 1 e c 5 2 . 
Calculando a distância do centro de λ até a reta s, segue que:
 d ( C, s ) 5 
 |8 ?? 5 1 6 ?? ( 2 2 ) 1 9| 
 ― 
 √ 
―
 8 
2
 1 6 
2
 
 5 
 |37| 
 ― 
 √ 
―
 100 
 5 
37
 ― 
10
 5 3,7 , 4 
Se achar necessário, relembre 
aos alunos a expressão que 
permite calcular a distância 
entre um ponto e uma reta, 
assunto abordado no capítulo 4 
deste volume.
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