Lei dos Cossenos em Triângulos

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4 3
x
 8 
30
o
10
ª
55 3 A C 
B 
 x
 960 km
60
 
6
0
0
 k
m
o
42
 R13. Determine o valor de x no triângulo.
 R14. Determine a medida α no triângulo.
 R15. Uma das rotas de uma companhia aérea parte da 
cidade A, faz escala na cidade B e, finalmente, 
chega à cidade C. A companhia aérea pretende 
criar uma nova rota, que parta da cidade A e che-
gue à cidade C, sem que haja escalas. Utilizando o 
esquema abaixo, que apresenta a distância em 
linha reta entre as cidades A e B e entre as cidades 
B e C, determine a distância em linha reta entre as 
cidades A e C.
Substituindo II em I:
 a 2 5 b 2 2 m 2 
⏟
 
 h 
2
 
 1 c 2 2 2 ?? c ?? m 1 m 2 ä a 2 5 b 
2
 1 c 
2
 2 2 ?? c ?? m 
De III, segue que:
 a 
2
 5 b 
2
 1 c 
2
 2 2 ?? c ?? b ?? cos ̂ A 
 
 
⏟
 
m
 ä a 
2
 5 b 
2
 1 c 
2
 2 2bc ?? cos ̂ A 
De maneira análoga, podemos demonstrar que em um triângulo acutângulo valem as 
relações b 
2
 5 a 
2
 1 c 
2
 2 2ac ?? cos ̂ B e c 
2
 5 a 
2
 1 b 
2
 2 2ab ?? cos ̂ C .
Utilizando a lei dos cossenos, vamos determinar o comprimento do túnel apresentado na 
página anterior, isto é, a distância entre os pontos A e B.
Resolução
Utilizando a lei dos cossenos, segue que:
 5 
2
 5 10 
2
 1 ( 5 √ 
―
 3 ) 
2
 2 2 ?? 10 ?? 5 √ 
―
 3 ?? cos α ä 
ä 25 5 100 1 75 2 100 √ 
―
 3 ?? cos α ä
ä 100 √ 
―
 3 ? ? cos α 5 175 2 25 ä 
ä cos α 5 
150
 ― 
100 √ 
―
 3 
 ä cos α 5 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 ä α 5 308 
Resolução
Aplicando a lei dos cossenos, obtemos:
 x 
2
 5 ( 4 √ 
―
 3 ) 
2
 1 8 
2
 2 2 ?? 4 √ 
―
 3 ?? 8 ?? cos 30 
o
 ä 
ä x 
2
 5 48 1 64 2 2 ?? 4 √ 
―
 3 ?? 8 ?? 
 √ 
―
 3 
 ― 
2
 ä 
 ä x 
2
 5 112 2 96 ä x 
2
 5 16 ä x 5 √ 
―
 16 5 4 
Resolução
Utilizando a lei dos cossenos, temos:
 x 
2
 5 600 
2
 1 960 
2
 2 2 ?? 600 ?? 960 ?? cos 60 
o
 ä 
ä x 
2
 5 360 000 1 921 600 2 1 152 000 ?? 
1
 ― 
2
 ä
ä x 
2
 5 1 281 600 2 576 000 ä 
ä x 
2
 5 705 600 ä x 5 √ 
―
 705 600 5 840 
Portanto, a distância em linha reta entre as ci-
dades A e C é 840 km.
Vimos a demonstração para 
um triângulo acutângulo; 
porém, a lei dos cossenos 
também é válida para os 
triângulos retângulos e 
obtusângulos.
 ( AB ) 
2
 5 ( AC ) 
2
 1 ( BC ) 
2
 2 2 ?? ( AC ) ?? ( BC ) ?? cos ̂ C ä ( AB ) 
2
 5 70 
2
 1 80 
2
 2 2 ?? 70 ?? 80 ?? 
2 cos ( 180 
+
 2 120 
+
 ) 
 
 
 

 cos 120 
+
 ä
ä ( AB ) 
2
 5 4 900 1 6 400 2 11 200 ?? ( 2 
1
 ― 
2
 ) ä AB 5 √ 
―
 16 900 ä AB 5 130 é 130 m 
Se achar 
conveniente, peça 
aos alunos que, em 
duplas, realizem a 
demonstração da 
lei dos cossenos 
para triângulos 
obtusângulos e 
retângulos. Veja 
na Assessoria 
pedagógica essas 
demonstrações.
R
a
fa
e
l L
. G
a
io
n
R
a
fa
e
l L
. G
a
io
n
R
a
fa
e
l L
. G
a
io
n
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Não escreva no livro.
 45
o
 6
 x
3 2
 r r
 8
ª
 O
 
 60
 x
2x
 120
o
o
4 7 cm
A D
B C
x
x
10
6
60o
60
o
F
E
D 
C 
A 
B 
α
C B
E
F
AD
60
o
43
 51. Determine o valor do seno e do cosseno dos 
ângulos de:
a ) 150o
.
b ) 135o
.
c ) 110o
.
d ) 126o
.
e ) 152o
.
f ) 137 o.
 52. Determine o valor de x no triângulo a seguir.
 55. Determine o perímetro do paralelogramo.
 56. De um ponto A partem, em um mesmo instan-
te, dois móveis, M
1
 em direção a B , a uma velo-
cidade de 3 m/s, e M
2
 em direção a C , a uma 
velocidade de 5 m/s. Sabendo que o ângulo for-
mado entre os segmentos ‾AB e ‾AC mede 30o, 
determine a distância aproximada entre os mó-
veis após 12 segundos.
 57. Qual é o perímetro do quadrado ABCD na figura?
 58. (UFPE) Na ilus tração abaixo, ABCD e ABEF são 
retângulos, e o ângulo DÂF mede 60o. Se ‾AB
mede 2√
―
30, 
_
BE mede 6 e ‾BC me de 10, qual a 
distân cia entre os vértices C e F?
 53. Determine o comprimento do raio r da circunfe-
rência de centro O, sabendo que cos α 5
7―
25
 .
 59. Na figura, AB 5 4 cm , BC 5 5 cm e AC 5 6 cm . 
Determine o comprimento de ‾BD .
54. Desenhe um triângulo ABC em que estejam 
indicados os comprimentos de ‾AB , ‾BC e ‾AC , e 
peça a um colega que calcule cos B ̂. Em segui-
da, verifique se a resposta obtida está correta.
aproximadamente 34 m 
Veja a resposta na Resolução dos problemas e 
exercícios na Assessoria pedagógica.
x 5 3 √
―
 2 
20―
3
Resposta pessoal. Possível resposta: uma 
possibilidade é que se desenhe um triângulo 
tal que AB 5 3 cm , AC 5 5 cm e 
BC 5 5,8 cm e solicite que se calcule o cos B ̂ . 
1―
2
 cm 
 24 cm 
 56 u.c.
CF 5 14 
Na tarefa 58, 
por se tratar de 
uma questão 
de vestibular, 
embora 
estejamos 
usando 
“comprimento 
do lado”, por 
exemplo, 
aparece 
a palavra 
“mede” para 
se referir ao 
comprimento 
do lado do 
retângulo. 
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
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