IBEP - EM - Volume Único-160-162

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CONE CIRCULAR
Definição
Seja a figura ao lado, onde:
• C é um círculo de centro O, raio r, contido num plano a;
• V é um ponto não pertencente a a.
Se considerarmos nesta figura todos os segmentos, tais que uma
extremidade é um ponto do círculo e a outra é o ponto V, temos um
sólido geométrico chamado cone circular.
Elementos do cone
h
Cone reto e cone oblíquo
L~7
O ponto V é o vértice.
O círculo de centro O e raio r é a base.
Os segmentos com uma extremidade na circunferência da base e.-a outra no ponto V são as geratrizes.
A distãncia entre o vértice e o plano da base é a altura (h).
A reta OV é o eixo.
Quando o eixo é perpendicular ao plano da base, o cone é reto; quando não, o cone é obliquo.
h h
cone reto cone obliquo
Cone eqüiLátero
Nota
Num cone reto, as geratrizes são todas congruentes
entre si, e sendo g a geratriz, h a altura e r o raio da base,
aplicando a relação de Pitágoras, temos:
Um cone reto é eqüilátero quando a geratriz é igual ao dobro do raio da base.
Aplicando a relação de Pitágoras:
(2r)2 = h2+ r2
4r2 - r2= h2 => h2= 3r2
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Área de um cone
superficie lateral planificada
A área lateral de um cone é obtida por meio da expressão:
Sl = 1Tr 9
A área total de um cone é a soma da área da base com a área lateral.
ST = Sa + SL
ST = 1Tr2+ 1Tr 9 ~ ~ = 1Tr (r + g)
Volume de um cone
..o volume de um cone é dado pela expressão:
V = Sa' h
3 {
s, = 1Tr2 ~ área da base
onde h ~ altura
Exemplos:
1. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cone reto, de altura igual a 4 em e raio da base igual a 3 em.
g2 = h2 + r2
g2 = 42 + 32~ 9 = 5 em
Área da base:
\ = 1Tr2 ~ 5a = 1T32~ 5a = 91Tem'
Área lateral:
5L = 1Trg ~ 5L = 1T . 3 . 5 ~ 5L = 151T em'
Área da total:
5T = 5a + 5L ~ 5T = 91T+ 151T ~ 5T = 241T cm2
Volume:
", S· h 91T' 4
V = T~V= -3- ~ V= 121Tem-
2. Qual é o volume de um cone eqüilátero cujo raio da base é igual a 6 m?
cone eqüilátero ~ 9 = 2r h2 + r2 = g2~ h2 + r2= (2r)2
h2= 3r2 ~ h = r..[3 = 6 . ..[3 m
V = 1T' 62 . 6..[3 ~ V = 72..[3 1Tm3
3
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EXERCíCIOS
32. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de
um cone reto de altura 12 em e raio da base 5 em.
33. Determine a área total e o volume de um cone reto de geratriz
igual a 5 em e altura igual a 4 em.
34. Determine o volume de um cone eqüilátero cuja geratriz mede
8m.
35. Determine a área da base, a área lateral, a área total e o volume
de um cone eqüilátero cujo raio da base é 10 em.
36. Determine o volume de um cone eqüilátero cuja base é igual a
161T crn".
"
37. A área lateral de um cone reto é igual a 151T em". Calcule a área
total e o volume desse cone cujo raio da base é 3 em.
38. Calcule a área total e o volume de um cone eqüilátero cuja geratriz
é igual a 20 dm.
39. Determine a área da base e o raio da base de um cone reto de
altura 8 em e cujo volume é igual a 721T em".
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