Matemática_Contexto__aplicações_Volume_único_2018-619-621

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Paralelepípedo retângulo
planificado
 FIQUE ATENTO!
Um paralelepípedo retângulo é um prisma reto em que 
qualquer face serve de base.
4) Cubo ou hexaedro regular.
 Quando, em um prisma reto, a base é uma região 
poligonal regular, temos um prisma regular. Um 
exemplo é o cubo ou hexaedro regular, que é um 
caso particular de paralelepípedo retângulo, no qual 
cada face é uma região quadrada. Assim:
Prisma regular é um prisma reto cuja base é uma 
região poligonal regular.
Cubo ou 
hexaedro regular Cubo planificado
 FIQUE ATENTO!
Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um pa-
ralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.
Examine essa classificação em um diagrama:
par
a
le
lepípedos retangula
res
prismas retos
cubos
poliedros
 FIQUE ATENTO!
Todo cubo é um paralelepípedo retângulo, mas nem todo 
paralelepípedo retângulo é cubo.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra Cálculo da diagonal de um paralelepípedo 
retângulo e de um cubo
No paralelepípedo de dimensões a, b e c, temos:
a
b
c
x
d
C
GH
E
A B
F
D
d 5 medida da diagonal do paralelepípedo
x 5 medida da diagonal da base
Na figura podemos localizar 2 triângulos retângulos:
b
A B
x
D
a
c
D B
d
H
x
• Como o triângulo ABD é retângulo em A, temos, pe-
la relação de Pitágoras:
 x2 5 a2 1 b2 (I)
• Como o triângulo DBH é retângulo em D, temos, pe-
la relação de Pitágoras:
 d2 5 x2 1 c2 (II)
• Substituindo (I) em (II), vem:
 d2 5 x2 1 c2 5 a2 1 b2 1 c2 ⇒ d 5 1 1 a b c2 2 2
No cubo, como ele é um caso particular de parale-
lepípedo retângulo, temos:
x
a
a
a
d
d 5 1 1 a a a2 2 2 5 3a2 5 a 3
d 5 a 3
CAPêTULO 20 • POLIEDROS: PRISMAS E PIRÂMIDES 617
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C20_606a648.indd 617 8/22/18 2:57 PM
16. Quanto mede o comprimento da diagonal de um 
paralelepípedo retângulo no qual as medidas 
de comprimento das dimensões são 10 cm, 
6 cm e 8 cm? 
17. Um cubo tem 10 3 de medida de comprimen-
to de aresta. Calcule a medida de comprimen-
to de sua diagonal. 
18. Em um cubo, a soma das medidas dos compri-
mentos de todas as arestas é 48 cm. Calcule a 
medida do comprimento da diagonal do cubo.
19. A diagonal de um paralelepípedo retângulo me-
de 20 2 . As dimensões desse paralelepípedo 
são proporcionais aos números 5, 4 e 3, res-
pectivamente. Calcule as dimensões desse 
paralelepípedo. 
5 5 5 5 5 5Faça
a
5
b
4
c
3
k a 5k,b 4k,c 3k.⇒




ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
Em todo prisma, consideramos:
• superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
• superfície total: é formada pelas faces laterais e pe-
las bases;
• área lateral (A
<
): é a medida da área da superfície 
lateral;
• área total (A
t
): é a medida da área da superfície total.
1. Em um prisma hexagonal regular, o compri-
mento da aresta da base mede 3 cm e o com-
primento da aresta da face lateral mede 6 cm. 
Calcule a medida da área total.
r
s
Montado
r
s
base
base
Planificado
Resolução
Na figura, temos:
r 5 medida da aresta lateral 5 6 cm
s 5 medida da aresta da base 5 3 cm
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
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m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Então:
Medida da área lateral 5 A
<
 5 6(r ? s) 5
5 6(6 ? 3) 5 108 cm2
Medida da área da base 5 medida da área da 
 região limitada pelo hexágono regular
A região hexagonal é formada por 6 regiões 
triangulares equiláteras.
Já vimos que a área de 
uma região triangular 
equilátera de lado , é da-
da por A 5 
, 3
4
2 
.
s
Nesse caso, temos:
A
b
 5 6 ? 
s 3
4
2 
 5 6 ? 
3 3
4
2 
 5 
27 3
2
 cm2
Como são 2 bases, temos:
2A
b
 5 2 ? 
27 3
2
 5 27 3 cm2
Medida da área total 5 medida da área late-
ral 1 medida da área das bases
Nesse caso, a medida da área total é dada por:
A
t
 5 A
<
 1 2A
b
 5 (108 1 27 3 ) cm2
Como 3 . 1,7, temos A
t
 . 153,9 cm2.
2. Uma indústria 
precisa fabri-
car 10 000 cai-
xas de sabão 
com as medi-
das da figura
14 cm
40 cm
20 cm
 ao lado. Desprezando as abas, calcule, aproxi-
madamente, quantos metros quadrados de 
papelão serão necessários.
Resolução
A caixa tem a forma de um paralelepípedo re-
tângulo:
b
Montado
c
a
a
b c
Planificado
Todo paralelepípedo retângulo é formado por 
6 faces:
• 2 regiões retangulares de medidas a e b;
• 2 regiões retangulares de medidas a e c;
• 2 regiões retangulares de medidas b e c.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
UNIDADE 9 • POLIEDROS E CORPOS REDONDOS618
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C20_606a648.indd 618 8/22/18 2:57 PM
 FIQUE ATENTO!
Se 1 m 5 100 cm, então 1 m2 5 10 000 cm2.
Daí, temos:
Medida da área total 5 A
t
 5 2ab 1 2ac 1 2bc 5
5 2(ab 1 ac 1 bc)
No exercício dado:
Medida da área de cada caixa 5
5 A
t
 5 2(14 ? 20 1 20 ? 40 1 14 ? 40) 5
5 2(280 1 800 1 560) 5 3 280 cm2
Como são 10 000 caixas, temos:
A 5 3 280 ? 10 000 5 32 800 000 cm2 5 3 280 m2
Serão necessários pelo menos 3 280 m2 de pa-
pelão.
3. Dispondo de uma folha de cartolina com dimen-
sões medindo 50 cm de comprimento por 30 cm 
de largura, pode-se construir uma caixa aberta 
cortando um quadrado cujo lado tem compri-
mento medindo 8 cm em cada canto da folha (ver 
figura). Quantos centímetros quadrados de ma-
terial são necessários para que seja construída 
essa caixa?
8 cm
50 cm
30 cm
Resolução
Montando a caixa, temos a figura abaixo:
34 cm
14 cm
8 cm
Observando a caixa montada, verificamos que 
temos:
• duas regiões retangulares com dimensões 
medindo 34 cm por 8 cm:
 A
1
 5 34 ? 8 5 272 cm2
• duas regiões retangulares com dimensões 
medindo 14 cm por 8 cm:
 A
2
 5 14 ? 8 5 112 cm2
• uma região retangular com dimensões medin-
do 34 cm por 14 cm (fundo da caixa):
 A
3
 5 34 ? 14 5 476 cm2
Il
u
s
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a
ç
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s
: 
B
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s
/A
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u
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o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Portanto, a quantidade de material usado é:
2A
1
 1 2A
2
 1 A
3
 5 2 ? 272 1 2 ? 112 1 476 5
5 544 1 224 1 476 5 1 244 cm2
Outra resolução:
A região retangular com dimensões medindo 
50 cm por 30 cm tem medida de área de:
50 ? 30 5 1 500 cm2
Cada “canto” é um quadrado cujo comprimento 
do lado mede 8 cm e, portanto, com medida de 
área de 8 ? 8 5 64 cm2.
Como são 4 cantos, temos 4 ? 64 5 256 cm2.
Para fazer a caixa, são necessários
1 500 2 256 5 1 244 cm2 de material.
4. Quantos centímetros quadrados de papelão são 
gastos para fazer uma caixa de sapatos do tipo e 
tamanho abaixo?
17 cm
10 cm
32 cm
2 cm
Resolução
A
t
 5 2(ab 1 ac 1 bc)
Nesse caso, a 5 32 cm, b 5 17 cm e c 5 10 cm.
Assim:
A
t
 5 2(32 ? 17 1 32 ? 10 1 17 ? 10) 5
5 2(544 1 320 1 170) 5 2(1 034) 5 2 068 cm2
Logo, A
t
 5 2 068 cm2.
A aba da tampa é formada por 4 regiões retangu-
lares: 2 cujas medidas de comprimento dos lados 
são 2 cm por 17 cm e 2 cujas medidas do compri-
mento dos lados são 2 cm por 32 cm.
Assim: A 5 2 ? 2 ? 17 1 2 ? 2 ? 32 5 68 1 128 5 196
Quantidade total 5 2 068 cm2 1 196 cm2 5
5 2 264 cm2 de papelão
Portanto, são gastos 2 264 cm2 de papelão para 
fazer essa caixa de sapatos.
CAPêTULO 20 • POLIEDROS: PRISMAS E PIRÂMIDES 619
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