Área e Volume de Esferas

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4. A ESFERA
Consideremos um ponto C e um número real posi-
tivo r qualquer.
A esfera de centro C e raio r é o conjunto de todos 
os pontos do espaço que estão a uma distância com 
medida menor ou igual a r do ponto C.
A “casquinha” ou a fronteira da esfera chama-se 
superfície esférica.
C r
PQ
C 5 centro da esfera
CP 5 raio da esfera
PQ 5 diâmetro da esfera
r 5 medida do raio da esfera
MEDIDA DA ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Na figura abaixo estão desenhados 3 círculos má-
ximos. A medida da área da superfície esférica é dada 
pelo quádruplo da medida da área de um dos círculos 
máximos, ou seja:
A 5 4pr2
Por exemplo, se a medida do raio de uma esfera é 
9 cm, a medida da área da superfície esférica será 
dada por:
A 5 4pr2 . 4 ? 3,14 ? 92 5 1 017,36 cm2
Essa fórmula será justificada depois de aprender-
mos a calcular a medida do volume da esfera.
r
EXERCÍCIOS
47. Determine a medida da área de uma superfície 
esférica cujo raio mede 6 cm. 
48. Em uma esfera, o diâmetro mede 10 cm. Qual é 
a medida da área da superfície dessa esfera?
49. Quantos metros quadrados de plástico são gas-
tos aproximadamente para fazer o balão da figu-
ra abaixo? 
12 cm
Il
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B
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d
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ra
50. Na figura ao lado está repre-
sentado um hemisfério. Qual é 
a medida da área da superfície 
desse hemisfério? 
20 m
51. Quanto de borracha (em 
centímetros quadrados) se 
gasta para fazer a bola cuja 
medida está na figura? 
30 cm
52. A medida do diâmetro de uma esfera é igual à me-
dida do raio de outra esfera. Qual é a razão entre 
as medidas das áreas das superfícies esféricas? 
MEDIDA DO VOLUME DA ESFERA
Observe a figura abaixo, em que aparece a secção 
determinada em uma esfera de raio R por um plano b.
bR
O
d
r
A intersecção do plano b com a esfera é um círcu-
lo de raio medindo r. Se d é a medida da distância de O 
(centro da esfera) ao plano b, temos:
R2 5 d2 1 r2 ⇒ r2 5 R2 2 d2
Portanto, a medida da área da secção é dada por:
p(R2 2 d2)
 FIQUE ATENTO!
Se um plano secciona uma esfera, a secção é sempre um 
círculo.
A medida do volume da esfera será determinada 
utilizando-se o princípio de Cavalieri. Para isso, vamos 
considerar inicialmente um sólido S que será obtido da 
seguinte maneira: de um ci-
lindro equilátero de raio me-
dindo R e altura medindo 2R 
retiramos 2 cones de raio 
medindo R, altura medindo R 
e vértice P.
2R P
2R
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CAPêTULO 21 • CORPOS REDONDOS: CILINDRO, CONE E ESFERA 665
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C21_649a681.indd 665 8/22/18 2:58 PM
foi visto. Além disso, b também secciona o sólido S e a 
secção será uma coroa circular de raios medindo R 
e d, e também de área medindo p(R2 2 d2).
A igualdade das medidas das áreas das secções 
permite concluir, pelo princípio de Cavalieri, que a es-
fera E tem a mesma medida de volume que o sólido S, 
que como sabemos é 
4
3
R3
p .
Podemos então concluir que, se uma esfera tem 
raio medindo R, seu volume mede:
V
4
3
R35 p
 FIQUE ATENTO!
A reta OP
s ruu
 é paralela ao plano a.
O raio do círculo menor da coroa 
mede d, pois o nPXY indicado ao 
lado é retângulo e isósceles, para 
qualquer plano b.
Y
P
d
dX
A medida do volume do sólido S é tal que:
medida do volume de 
S R 2R 2
1
3
R R 2 R
2
3
R
4
3
R2
cilindro
2
2 cones
2 3 35 ? 2 ? ? 5 2 5
124 34
1 24 34
p p p p p
Agora podemos considerar, apoiados em um 
 plano a, esse sólido S e uma esfera E de raio medin-
do R, conforme mostra a figura:
b
a
R
E
d
O
d
r
P
2R
2R
S
Se um plano b, paralelo a a, seccionar a esfera E, 
a medida da área da secção será p(R2 2 d2) conforme 
B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Responda nos itens seguintes às questões pro-
postas na introdução deste capítulo, relativas ao 
planeta Terra:
a) Qual é a medida do seu volume e qual é a me-
dida da área de sua superfície?
b) Qual é a medida da área coberta de água 
(em km2) em sua superfície?
Resolução
a) Sabe-se que a linha do Equador mede 
40 000 km, aproximadamente.
R
comprimento igual a
40 000 km
Modelo matem‡tico
 Considerando a Terra uma figura de forma es-
férica, temos V
4
3
R35 p .
 Como C 5 40 000 km e C 5 2pR, vamos de-
terminar a medida de R, considerando 
p 5 3,14:
 40 000 5 2pR ⇒ R 5 
40000
2p
 . 6 369 km
 V
4
3
R
4
3
3,14 6369 1,08 10 km3 3 12 3
.5 5 ? ? ?p
 A medida da área da superfície da esfera é da-
da por A 5 4pR2. No caso do planeta Terra, 
como R . 6 369 km, temos:
 A . 4 ? 3,14 ? 6 3692 5 509 485 862,1 km2
 Portanto, a medida aproximada do volume da 
 Terra é 1,08 ? 1012 km3 e a medida aproximada 
da sua área é 5,09 ? 108 km2.
b) A medida da área coberta de água é:
 
3
4
A
3
4
5,09 10 3,82 10 km8 8 2
. .? ? ?
 A medida da área coberta de água é aproxima-
damente 3,82 ? 108 km2.
2. Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na 
vasilha abaixo?
5 cm
8 cm
14 cm
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UNIDADE 9 • POLIEDROS E CORPOS REDONDOS666
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C21_649a681.indd 666 8/22/18 2:58 PM
Resolução
Vamos calcular:
• a medida do volume do cilindro no qual 
 r 5 2,5 cm e h 5 8 cm:
 V 5 pr2h 5 p(2,5)2 ? 8 5 50p cm3
• a medida do volume da esfera na qual R 5 7 cm:
 V
4
3
R
4
3
(7)
1372
3
cm3 3 3
5 5 5p p
p
• a medida do volume da vasilha:
 V 50
1372
3
1522
3
cm2
5 1 5p
p
Considerando p 5 3,14, 
temos:
V . 1 593 cm3.
Como 1 cm3 5 1 mL, a 
medida do volume da 
vasilha é, aproximada-
mente, 1 593 m,.
5 cm
cilindro
esfera
14 cm
8 cm
3. Uma esfera é sec-
cionada por um pla-
no a distante 12 cm 
de seu centro. O 
raio da secção obti-
da mede 9 cm. Cal-
cule a medida do 
volume da esfera.
a
12 R
O
9 cm
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Resolução
Cálculo da medida do raio R da esfera:
R2 5 122 1 92 5 144 1 81 5 225 ⇒ R 5 15 cm
Cálculo da medida do volume:
V
4
3
R
4
3
(15)
4
3
3375 cm 4500 cm3 3 3 3
5 5 5 ? 5p p p p
Portanto, a medida do volume da esfera é 
4 500p cm3.
4. Um cone equilátero está inscrito em uma esfera. 
O raio da base do cone mede 2 cm. Calcule a me-
dida do volume da esfera.
Resolução
2
60° 30°
R
cos 30
2
R
3
2
2
R
R
4
3
4 3
3
5 5 5 5° ⇒ ⇒
Vamos calcular a medida do volume da esfera:
V
4
3
R
4
3
4 3
3
4
3
192 3
27
3
3
5 5 5 ? 5p p




p
256 3
27
cm3
5
p
Logo, a medida do volume da esfera é 
256 3
27
cm3p
.
EXERCêCIOS
53. Qual é a medida do volume de uma bola de bas-
quete cujo diâmetro mede 26 cm?
54. Um reservatório tem a 
forma de um hemisfé-
rio (figura ao lado). 
Qual é a medida do vo-
lume máximo de líqui-
do que cabe nesse 
reservatório, em litro? 
10 m
55. Considere uma laranja como uma esfera com-
posta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laran-
ja tem 8 cm de medida de diâmetro, qual é a 
medida do volume de cada gomo?
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56. O volume de uma esfera mede 
512
3
cm3p
. Calcu-
le a medida do raio e da área da superfície 
 esférica. 
57. Sabemos que uma boia (figura 
ao lado) serve para orientar 
os navios na entrada de um 
porto. Essa boia é formada 
por um hemisfério de 2 m de 
medida de diâmetro e por um 
cone que tem 80 cm de medi-
da de altura. Qual é a medida 
do volume da boia? 
CAPêTULO 21 • CORPOS REDONDOS: CILINDRO, CONE E ESFERA 667
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