Matemática_Contexto__aplicações_Volume_único_2018-670-672

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58. A figura abaixo mostra uma peça formada por um 
cilindro que tem 3 cm de medida de comprimen-
to por 2 cm de medida de diâmetro e um hemis-
fério que tem 2 cm de medida de raio. Sendo 
maciça, qual é a medida do volume dessa peça?
59. A soma de todas as medidas de comprimento das 
arestas de um cubo é 36 cm. Uma esfera está 
inscrita nesse cubo (figura abaixo). Qual é a me-
dida da área da superfície dessa esfera?
 
60. Um reservatório tem a forma de um hemisfério 
acoplado a um cilindro (figura abaixo). Qual será 
a medida do volume, em litro, de um líquido que 
ocupe totalmente o reservatório? 
8 m
8 m
8 m
61. Duas esferas são concêntricas e seus raios me-
dem 3 m e 2 m. Qual é a medida do volume do só-
lido compreendido entre as superfícies esféricas? 
62. Qual é a medida do volume de um hemisfério cuja 
base, assentada no solo, tem uma área medindo 
25p cm2? 
63. Em uma esfera de raio R circunscrevemos um 
cone reto cuja medida da geratriz é igual à medi-
da do diâmetro da base. O raio da base do cone 
mede r. Calcule a medida do volume do cone em 
função do raio que mede R da esfera. 
g 5 2r
R
r
Il
u
s
tr
a
ç
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s
: 
B
a
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m
a
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n
s
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rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
64. Em uma esfera de raio medindo 2R está inscrito 
um cilindro. A base do cilindro tem raio medin-
do R. Calcule a medida do volume e a medida da 
área total do cilindro.
R
2R
65. A razão entre a medida do volume e a medida da 
área de uma esfera é igual a 3 m. Calcule a me-
dida do volume da esfera.
66. As medidas dos volumes de uma esfera e de um 
cilindro reto são iguais. A medida do raio da es-
fera é igual à medida do raio da base do cilindro. 
Calcule a medida da altura h do cilindro em fun-
ção do raio medindo R da esfera. 
67. Na figura, a esfera está inscrita em um cilindro 
reto. Sejam V
1
 a medida do volume da esfera e V
2
 
a medida do volume do cilindro. Demonstre que, 
nesse caso, a medida do volume V
1
 é igual a 
2
3
 da 
medida do volume V
2
.
R
68. Um copo cuja forma é a de um cilindro equilá-
tero de raio medindo r está cheio de água. Ver-
tendo-se a água em um cálice hemisférico de 
raio medindo R, verifica-se que a água enche 
totalmente o cálice. Calcule o valor de r em fun-
ção de R.
69. Um reservatório tem a forma de um hemisfério 
acoplado a um cilindro, conforme a figura abaixo. 
Quantos metros quadrados tem a superfície ex-
terna desse reservatório?
20 m
10 m
 
UNIDADE 9 • POLIEDROS E CORPOS REDONDOS668
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C21_649a681.indd 668 8/22/18 2:59 PM
OUTRAS APLICAÇÕES
Fuso esférico
Um fuso esférico é uma parte da superfície esfé-
rica, gerada pela rotação (de a graus ou radianos) 
de uma semicircunferência de raio medindo R com 
as extremidades em um eixo. A área do fuso é pro-
porcional ao ângulo a, de maneira que quando a 
medida da abertura do ângulo a for 360° (ou 2p 
rad) tem-se a medida da área da superfície esfé-
rica, ou seja, 4pr2. Encontre a fórmula que permi-
te obter a medida da área do fuso em função do 
raio medindo R e da medida de abertura do ângu-
lo a para graus e para radianos.
arco 
equatorial
fuso
a
R
Resolução
Pelo enunciado, temos: 
A
4 R
m( )
360
m( )
2
fuso
2
graus rad
5
a
5
a
p ° p
.
Então:
A
m( )
360
4 R
m( ) R
90
(m( ) emgraus)
fuso
graus 2
2
5
a
? 5
a
a
°
p
p
°
A
m( )
2
4 R 2m( )R (m( ) emradianos)
fuso
rad 2 2
5
a
? 5 a a
p
p
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Cunha esférica
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma cunha esférica é uma parte da esfera, gerada 
pela rotação (de a graus ou radianos) de um semi-
círculo de raio que mede R com as extremidades em 
um eixo. A medida do volume da cunha é proporcio-
nal à medida de abertura do ângulo a, de maneira 
que quando a for 360° (ou 2p rad) tem-se a medida 
do volume da esfera, ou seja, 
4
3
R3
p . Encontre a fór-
mula que permite obter a medida do volume da 
cunha em função do raio que mede R e da medida 
de abertura do ângulo a para graus e para radianos.
Resolução
arco 
equatorial
cunha
R
a
a
R
R
R
R
Pelo enunciado: 
V
4
3
R
m( )
360
m( )
2
cunha
3
graus rad
5
a
8
5
a
p
p
.
Então:
A
m( )
360
4
3
R
m( ) R
270
(m( ) emgraus)
cunha
graus 2
2
5
a
? 5
a
8
a
°
p
p
A
m( )
2
4 R
2m( )R
3
(m( ) emradianos)
cunha
rad 2
3
5
a
? 5
a
a
p
p
 FIQUE ATENTO!
A medida da área total da superfície de uma cunha 
equivale à medida da área do fuso acrescida da me-
dida da área de um círculo de raio que mede R.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
70. Uma cunha esférica correspondente a um ân-
gulo de medida de abertura de 72° tem medida 
de volume igual a 6,4 m3. Calcule a medida da 
área do fuso esférico determinado por es-
sa cunha na esfera. Considere p 5 3. 
71. Supondo que uma laranja seja esférica, cada 
um de seus gomos corresponde a uma cunha 
e a cada cunha corresponde um fuso. Se o fuso 
de um gomo dessa laranja tem medida de área 
5p cm2 e a laranja tem medida de área 
100p cm2, calcule a medida da abertura do ân-
gulo do fuso. E, se todos os gomos tivessem a 
mesma medida de abertura de ângulo, quantos 
gomos teria essa laranja? 
72. Uma esfera de 2 cm de medida de raio é sec-
cionada por um plano. A medida da área da 
secção assim obtida é igual à medida da área 
de um fuso de 36° dessa esfera. A que distância 
do centro da esfera está situado o plano? 
73. De uma esfera de raio medindo 10 cm retira-se 
uma cunha de 30°. Pretende-se colorir a su-
perfície total dessa cunha. Calcule a medida do 
volume de tinta necessário, em litro, sabendo-
-se que se gasta 1 cm3 por cm2 de superfície. 
Considere p 5 3. 
EXERCÍCIOS
CAPêTULO 21 • CORPOS REDONDOS: CILINDRO, CONE E ESFERA 669
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Conhecendo a medida do volume da esfera, podemos mostrar intuitivamente por que a medida da 
área da superfície esférica é:
A 5 4pR2
Vamos imaginar uma esfera de raio medindo R como a reunião de sólidos que “parecem” pirâmides. 
De fato, esses sólidos não são pirâmides perfeitas, pois a base das pirâmides é plana e esses sólidos 
têm bases com superfície arredondada (as bases pertencem à superfície da esfera).
Contudo, tomando essas bases como sendo as menores possíveis, pode-se tratar essas superfícies 
arredondadas como superfícies planas, permitindo considerar os sólidos como “pirâmides”. Assim, 
podemos admitir que a medida do volume da esfera é equivalente à soma das medidas dos volumes 
de todas essas “pirâmides” de bases minúsculas.
S
R
Repare que a altura da “pirâmide” é o raio da esfera. Pensando desse modo, a superfície esférica 
fica dividida em um número infinitamente grande de “polígonos” (base das “pirâmides”).
Digamos então que a superfície esférica tenha ficado dividida em n polígonos (n suficientemente 
grande), cujas áreas são S
1
, S
2
, ..., S
n
.
Lembrando que a medida do volume de cada “pirâmide” é:
V
Sh
3
SR
3
5 5
e que S
1
 1 S
2
 1 ... 1 S
n
 5 A é a medida da área da superfície esférica, vem:
V
1
3
S R
1
3
S R
1
3
S R
1
3
(S S S )R
1
3
AR
1 2 n 1 2 n
5 1 1 1 5 1 1 1 5É É
ou seja:
4
3
R
1
3
AR A 4 R3 2
5 5p ⇒ p
Logo, a medida da área da superfície esférica de raio medindo R é: 
A 5 4pR2
 FIQUE ATENTO!
Esta demonstração é meramente intuitiva. Ela ajuda a entender melhor a conexão entre área e volume de 
uma esfera.
A rigor, precisaríamos usar a noção de limite para fazer a demonstração matemática.
MEDIDA DA ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
B
a
n
c
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m
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g
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o
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