Propriedades de Retas

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II. As	retas	r e s são concorrentes se, e somente se, têm coeficientes angulares diferentes ou 
se	existe	o	coeficiente	angular	de	uma	delas	e	não	existe	o	da	outra:
mr % ms ] r concorre com s y mr e Y ms ] r concorre com s
y
r
α β
0 x
s
y
r
α
0 x
s
As	propriedades	apresentadas	em	I	e	II	permitem	enunciar:
Duas retas não verticais, r e s, de equações reduzidas y 5 mr x 1 qr e y 5 ms x 1 qs, respec-
tivamente,	são:
• Paralelas distintas se, e somente se, mr 5 ms e qr % qs.
y
r
qr
qs
α α
0 x
s
y
s
α β
0 x
r
y
qr � qs
α
0 x
r � s
• Concorrentes se, e somente se, mr % ms.
• Paralelas coincidentes se, e somente se, mr 5 ms e qr 5 qs.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
86
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98
.
CAP 02.indb 86 04.10.10 13:53:21
30 Dadas as seguintes retas:
 (r) y 5 4x 1 3
 (s) y 5 4x 2 7
 (t) 8x 2 2y 1 6 5 0
 (u) y 5 9x
 (v) x 5 2
 Descrever a posição relativa entre:
a) r e s c) s e u
b) r e t d) s e v
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Temos:
•	 mr 5 4 e qr 5 3
•	 ms 5 4 e qs 5 27
•	 A	forma	reduzida	da	equação	da	reta	t é y 5 4x 1 3; 
logo, mt 5 4 e qt 5 3.
•	 mu 5 9 e qu 5 0
•	 Não	existe	mv.
 Portanto:
a) mr 5 ms e qr % qs ] r e s são paralelas distintas.
b) mr 5 mt e qr 5 qt ] r e t são paralelas coinci-
dentes.
c) ms % mu ] s e u são concorrentes.
d) y ms e Y mv ] s e v são concorrentes.
31 As retas r e s têm equações 2x 2 3y 2 1 5 0 e 
(k 2 3)x 1 y 2 7 5 0, respectivamente. Determi-
nar o número real k para que essas retas sejam 
paralelas.
32 Determinar a equação reduzida da reta r, que pas-
sa pelo ponto P e é paralela à reta s representada 
abaixo.
Resolução
 Representando na forma reduzida as equações das 
retas r e s, temos:
 (r) y 5 2x ___ 
3
 2 1 __ 
3
 
 (s) y 5 2(k 2 3)x 1 7
 Logo: mr 5 2 __ 
3
 e ms 5 2(k 2 3)
 Para que r e s sejam paralelas, seus coeficientes 
angulares devem ser iguais, isto é:
 2 __ 
3
 5 2(k 2 3) ] k 5 7 __ 
3
 
1 3 4
2
�2
y
O
B
P
s
A
x
Resolução
 A reta s passa pelos pontos A(1, 2) e B(4, 0); logo, seu 
coeficiente angular ms é dado por:
 ms 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 2 2 0 ______ 
1 2 4
 5 2 2 __ 
3
 
 A reta r passa pelo ponto P(3, 22); logo, sua equação 
fundamental é: y 2 (22) 5 mr (x 2 3)
 Para que sejam paralelas, as retas r e s devem ter o 
 mesmo coeficiente angular, assim: mr 5 ms 5 2 2 __ 
3
 ;
 logo: (r) y 2 (22) 5 2 2 __ 
3
 (x 2 3)
e, portanto, a equação reduzida da reta r é:
y 5 2 2x ___ 
3
 
33 Obter uma equação da reta r que passa pelo 
ponto P(25, 1) e é paralela à reta s de equação 
6x 1 3y 2 1 5 0.
Resolução
 Representando na forma reduzida a equação da reta s,
 obtemos y 5 22x 1 1 __ 
3
 ; portanto, ms 5 22.
 Para que sejam paralelas, as retas r e s devem ter 
o mesmo coeficiente angular; então mr 5 ms 5 22; 
assim, como r passa pelo ponto P(25, 1), temos:
 (r) y 2 1 5 22[x 2 (25)]
 Portanto, uma equação da reta r é: 2x 1 y 1 9 5 0
34 Dada uma reta r de um plano, chama-se feixe plano 
de retas paralelas a r o conjunto de todas as retas 
paralelas a r contidas nesse plano.
a) Obter a equação do feixe plano de retas paralelas 
à reta r de equação 3x 1 2y 2 5 5 0.
b) A partir da equação do feixe, obtida no item a, 
determinar a equação da reta s pertencente ao 
feixe e que passa pelo ponto P(2, 6).
Resolução
a) Para obter a equação de todas as retas do plano 
cartesiano paralelas a r, basta substituir, na equa-
ção 3x 1 2y 2 5 5 0, o termo independente (25) 
por um parâmetro k que possa assumir todos os 
valores reais; isto é:
 3x 1 2y 1 k 5 0, com k 9 V
 Note que, para qualquer valor atribuído a k, 
obtemos a equação de uma reta com o mesmo 
coeficiente angular de r e, portanto, a reta assim 
obtida é paralela a r.
b) Para obter a equação da reta s que pertence 
ao feixe e passa por P(2, 6), basta substituir na 
equação do feixe as variáveis x e y por 2 e 6, 
respectivamente, obtendo o valor conveniente 
de k; isto é:
 3 3 2 1 2 3 6 1 k 5 0 ] k 5 218
 Assim, a equação da reta s é: 3x 1 2y 2 18 5 0
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CAP 02.indb 87 04.10.10 13:53:22
64 Considere as retas r, s, t, u, v e z de equações:
 (r) y 5 5x 1 2
 (s) y 5 5x 2 4
 (t) 10x 2 2y 1 4 5 0
 (u) 15x 2 3y 1 1 5 0
 (v) x 5 7
 (z) x 5 4
 Descreva a posição relativa entre:
a) r e s c) s e u e) u e v
b) r e t d) t e v f ) v e z
65 Para que valor real de p as retas de equações 
( p 2 1)x 1 5y 1 1 5 0 e 2px 1 y 2 2 5 0 são paralelas?
66 As retas r e s têm equações kx 1 2y 2 5 5 0 e
 y 5 5x ___ 
4
 1 2, respectivamente. Para que valores reais
 do parâmetro k essas retas são concorrentes?
67 Obtenha uma equação geral da reta r que passa pelo 
ponto P(5, 4) e é paralela à reta s representada no 
plano cartesiano a seguir.
68 Qual é a equação reduzida da reta r que passa pelo 
ponto P(23, 1) e é paralela à reta s representada no 
plano cartesiano abaixo?
70 Em um paralelogramo ABCD, tem-se: A(3, 1), B(1, 7) 
e C(5, 2), em que A e B são vértices consecutivos. 
Obtenha uma equação geral da reta CD.
71 Atribuindo todos os valores reais ao parâmetro q da 
equação y 5 3x 1 q, obtêm-se as equações de infi-
nitas retas paralelas entre si. Obtenha a equação de 
uma dessas infinitas retas que forma com os eixos 
coordenados um triângulo de área 4.
69 Determine a equação reduzida da reta r que passa 
pelo ponto P e é paralela à reta s, nos seguintes 
casos:
a) P(2, 5) e (s) 3x 1 y 2 2 5 0
b) P(0, 1) e (s) y 5 24x 1 2
c) P(0, 0) e (s) 2x 2 3y 1 1 5 0
EXERCÍCIOS pROpOStOS
5
135°
4
y
P
s
x
2�3
4
1
y
P
s
x
Resolva os exercícios complementares 52 a 56 e 92.
72 Considere a equação 2x 1 y 1 k 5 0, sendo k um 
parâmetro real.
a) Determine o valor de k para que essa equação 
represente uma reta que passa pelo ponto 
P(5, 21).
b) Atribuindo a k cada um dos valores: 2, 4 e 6, re-
presente no plano cartesiano as três retas assim 
obtidas. Qual a posição relativa dessas retas?
c) Atribuindo a k os infinitos valores reais, obtêm- 
-se infinitas retas. Qual é a posição relativa des-
sas infinitas retas? Por quê?
73 (FGV) Considere a receita R de uma indústria como 
a quantia em dinheiro recebida por ela com a 
venda dos milhares de litros de suco que produz, 
e o custo de produção C como a quantia gasta por 
ela para produzir esse suco. Chamamos de lucro 
dessa empresa a diferença, quando positiva, entre 
a receita e o custo de produção, e de prejuízo, essa 
diferença, quando negativa. Sabendo que a receita 
R e o custo de produção C, referentes à quantidade 
x em milhares de litros de suco produzidos e vendi-
dos por essa empresa, variam de acordo com as leis 
R 5 2x e C 5 x 1 3, em milhares de reais:
a) Represente R e C num mesmo sistema cartesiano.
b) Interprete o significado:
•	 do	ponto	P 5 (xP, yP), comum às duas curvas;
•	 da	posição	relativa	das	duas	curvas	para	x , xP e 
para x . xP , de acordo com a situação apresentada.
Retas perpendiculares
O	gráfico	abaixo	mostra	duas	retas	perpendiculares,	r e s, de coeficientes angulares mr e ms, 
respectivamente.
y
r
A
B C
α
O
90° � α
x
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EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
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CAP 02.indb 88 04.10.10 13:53:23