Matemática Ciências e Aplicações V2-010-012

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Relação entre as unidades grau e radiano
Como vimos, a circunferência tem 2n rad, da mesma forma que possui 360 graus. 
Podemos estabelecer, portanto, a correspondência entre radianos e graus:
2n ra d -------360°
ji ra d ------- 180°
ti/2 ra d ------- 90°
Para transformar um arco de 45° (ou um ângulo de 45°) em radianos, podemos 
estabelecer a regra de três simples:
ti ra d -------180°
x -------45°
Temos, então, x = 45° ■ 7t rad x = - í- ra d 
180° 4
Inversamente ao exemplo anterior, para transformar um arco de k/6 rad em graus, 
estabelecemos a regra de três simples:
7t ra d ------ 180°
k /6 ra d ------ x
Temos, então, x = 71/6 rad ' 180° => x = 30° 
7t rad
O comprimento de um arco
Fixada a medida de um arco (em graus ou radianos), seu comprimento depende do 
raio da circunferência em que esteja contido.
Por exemplo, um arco a, de 45° (ou 7t/4 rad), tomado sobre uma circunferência C, de 
12 cm de raio, tem comprimento maior que um arco o2 de mesma medida, tomado sobre 
uma circunferência C, de 6 cm de raio.
Podemos comprovar esse fato calculando os comprimentos f j e f 2 desses arcos:como um 
arco de 45°corresponde à oitava parte da circunferência, o comprimento de cada um dos arcos 
de 45° corresponde à oitava parte do comprimento da circunferência correspondente.
M A lfM À T irA : CIFNCIA f APHCAÇtttS
Temos, então:
f , = -4- • 2 Jt • 12 = 3jt st 9,42 cm eO
C2 = -7T ' 2tc • 6 = 1,5ju ^ 4,71 cm o
Observe que r, = 2r, =>■ T, 2€,
De modo geral, sendo AÔB o ângulo central de medida a rad da figura e AB o 
correspondente arco, de comprimento €, podemos estabelecer a regra de três simples:
que nos fornece a relação t = a ■ r , usada para calcular o comprimento de um arco 
de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente.--medido em 
radianos.
Um arco de 7t/3 rad, tomado sobre uma circunferência de 15 cm de raio, mede
€ = - 15 = 5 71 s 15,7 cm.
Para determinar o comprimento ^do arco AB assinalado na figura, fazemos:
Exemptoft —
Se uma circunferência de 3 m de raio contém um arco de 4,5 m de comprimento, 
tanto o ângulo central correspondente como o arco medem:
a = 4 ^ - = 1,5 rad
rUNÇÜES CIRCULARES
Para os exercícios a seguir, adote n = 3,14 quando necessário.
1 Observando a figura, disponha em ordem crescente de medidas os arcos 
ABC, ACB e BAC
B
2 Seja 20 cm o raio de uma circunferência. Calcule seu comprimento.
3 Uma circunferência tem perímetro de 50 m. Determine seu raio.
4 Exprima em radianos:
a) 60° b) 15°
5 Exprima em graus:
a) -y - rad c)
4
b) - y - rad d)
6 Disponha em ordem crescente as seguintes medidas de ângulos:
- y - rad, 50°, n rad, - y - rad, 90°
7 Em cada caso, determine o comprimento aproximado de um arco de
-5- rad, tomado sobre uma circunferência de raio:
3
a) 1 m b) 3 m c) 5 m d) 1,3 m e) -2_ m
71
8 Em cada caso, determine o comprimento aproximado de um arco de 45°, 
tomado sobre uma circunferência de raio:
a) 1 m b) 2 m c) 0,4 m d) 10 m e) 4 m
9 Calcule o comprimento de um arco AB definido em uma circunferência de 
diâmetro 10 cm por um ângulo central AOB de 2 rad.
c) 75° d) 225° e) 240°
-7 - rad 
0
e) ^ - r a d
3
5ti .—— rad
MATEMÁTICA: C1ÍNCIA l AP lItA ÇO ES