Matemática Ciências e Aplicações V2-040-042

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Função cotangente
Para a definição dessa função será acoplado ao ciclo trigonométrico um 4? eixo 
orientado, tangenciando o ciclo no ponto B, que é extremidade do arco de -5 - rad.
Unindo o centro 0 à extremidade X do arco 
de x rad e prolongando esse raio, ele interceptará 
o eixo das cotangentes no ponto D.
Por definição, a medida algébrica do seg­
mento BD é a cotangente do arco de x rad.
A orientação do eixo das cotangentes é para 
a direita, sendo B sua origem e, no caso.com x no 
1? quadrante, temos cotg x = BD > 0.
Notemos que, quando x é um elemento do conjunto {0, ±Jt, ±2it, ...}, não existe 
o ponto D e não se define, então, cotg krt, k £ Z . Portanto, o domínio da função 
y = cotg x é D = {x £ IR | x * krc, k £ Z}. Da mesma forma que para a função tangente, 
o conjunto imagem da função cotangente é Im = [R.Os sinais da cotangente, nos diversos 
quadrantes, também são os mesmos da tangente, porém a função y = cotg x é decres­
cente nos quatro quadrantes.
Valores notáveis
B D Q Q Q Í O Q O Q B196 Calcule, se existir: 
a) cotg 5n/2 c) cotg 37t e) cotg 210°
b) cotg 2ti/3 d) cotg 5rt/3
4 0 MATEMATIÇA: ÇlÉNClA E APltCAÇÚCS
97 Calcule o valor da expressão y = —- Qt^ —+ ^ .
tg n/6 + cotg jt/6
98 Sendo x um arco do 2? quadrante, qual o sinal da expressão:
tg x ■ cotg (x + 7t/2)
y = --------------------------
cotg X • cotg (x + 7t)
E se x não for um arco de 2'.’ quadrante?
99 Determine o domínio da função f(x) = cotg (x + tt/3).
100 Qual o domínio da função y = tg x + cotg x?
Função secante
Seja x um arco do 1? quadrante e de extremidade X. A reta tangente ao ciclo, traçada 
pelo ponto X, intercepta o eixo dos cossenos no ponto S. Por definição,a medida algébrica 
do segmento ÕS é a secante do arco x.
No caso, temos sec x = OS > 0, 
pois o eixo das secantes (e, é claro, 
sua orientação) coincide com o eixo 
dos cossenos; além disso, temos 
sec x = OS > 1, pois o ponto S é 
externo ao ciclo.
Quando x = 2kjt, os pomos S e A 
coincidem (t // eixo dos senos) e 
OA = sec 2k7t = 1, k G 2 ; se, por outro 
lado, x = (2k + l)7t, os pontos S e 
A' coincidem, e OA' = sec (2k + 1 )it = 
= - i , k e Z.
No caso de x assumir um valor da
forma + ktr, k G Z , não existe o 2
ponto S e, conseqüentemente, não
está definida sec í - j - + kxj, k G Z.
Assim, o domínio da função y = sec x é D = + kjc, k
0 conjunto imagem da função y = sec x é Im = IR - ] - l , 1 [, pois o ponto S — quando 
existe — não pode ser, em hipótese alguma, interno ao ciclo.
IUNÇ0ES CIRCULARES
101 Considere no ciclo trigonométrico um arco do 1" quadrante que tenha extre­
midade P. Tome a reta t, tangente ao ciclo no ponto P, seja S o ponto em que 
t intercepta o eixo das secantes. Faça com que P percorra uma volta 
completa no ciclo e responda:
a) Em que quadrantes o ponto S se encontra à direita do centro O?
b) F. á esquerda de O?
c) Qual é o sinal da secante em cada quadrante?
102 Sendo x um arco do 3'-’ quadrante, qual o sinal da expressão:
sen x • cos x • sec x ..y = --------------------------------f
tg x • sec (x + 7t)
103
104
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106 
107
.. , , _ sec 7t - sec 2nEncontre o valor da expressão y = --------------------— .
cos 7t - sen 2tt
É possível termos sec x < -^ L ? E termos — — < sec x < — ? 2 2 2
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo:
a) f(x) = sec (x + 7t/2) b) y = sec x - tg x
Quais os valores de a- para os quais sec x = cos x?
Utilizando a Trigonometria no triângulo retângulo, determine o valor de sec 45°.
Função cossecante
Da mesma forma que a reta tangente ao ciclo, traçada pelo ponto X, intercepta o eixo 
dos cossenos no ponto S, ela intercepta também o eixo dos senos, desta feita no ponto C. 
Por definição, a medida algébrica do segmento
(JC é a cossecante do arco x. No caso, temos 
cossec x = 0C > 0, pois o eixo das cossecantes é o 
próprio eixo dos senos; além disso, cossec x = OC > 1, 
pois C é externo ao ciclo.
Se x assume algum dos valores n
2 + 2kjt,
o ponto C coincide com B (t // eixo dos cossenos) e
OB = cossec
V 2
+ 2ktt 1 
)
í .k e Z.
senos
(cossecantes)
,C
cossenos
\ (secantes)
U A TL m ATICA: CIÉNC.IA f APlICAÇflFS