Matematicas Simplificadas-168

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CAPÍTULO 11
 NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos
⁄ En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de 
los primeros en admitir la utilidad de que los 
números negativos tuviesen raíces cuadradas. 
Fue el primero en escribir las reglas de suma, 
resta y producto de los complejos.
⁄ En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler 
simbolizó la raíz cuadrada de −1 con la 
letra i (por imaginario), introdujo la forma binómica i 2 = −1 y con él 
defi nitivamente se introducen los imaginarios a la matemática.
⁄ Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fun-
damental del álgebra: todo polinomio con coefi cientes complejos tiene 
al menos una raíz compleja, y estableció en 1831 la interpretación geo-
métrica de los complejos: x + y i → (x, y ).
⁄ Otros términos que han sido usados para referirse a los números com-
plejos son: “sofi sticados” por Cardano, “sin sentido” por Néper, “inex-
plicables” por Girard, “incomprensibles” por Huygens e “imposibles” 
(diversos autores).
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Re
se
ña
HISTÓRICA
 11 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
478
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Números imaginarios
El conjunto de los números imaginarios surge de la necesidad de obtener la raíz cuadrada de un número negativo para 
lo cual se define como unidad imaginaria: i = −1.
Número imaginario puro
Se denomina así a los números de la forma bi donde b es un número real y b ≠ 0.
Ejemplos
Las siguientes cantidades son números imaginarios puros:
2i , −4i , 
6
5
i , 3 i
En los siguientes ejemplos se ilustra cómo obtener números imaginarios puros:
1 Obtén el resultado de: −25.
Solución
Se expresa el radicando como: −25 = 25(−1) y se aplican los teoremas correspondientes de radicales:
− = −( ) = − = −25 25 1 25 1 5 1
Se sustituye − =1 i para obtener:
− = − =25 5 1 5i
2 ¿Cuál es el resultado de 2
25
16
− − ?
Solución
Se aplica el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior y se obtiene como resultado:
2
25
16
2
25
16
1 2
25
16
1 2
25
16
2
5
4
− − = − −( ) = − − = − = −i i
EJERCICIO 110
Representa las siguientes raíces en términos de la unidad imaginaria i:
 1. −16 5. −625 9. −125 13. 3 + −36
 2. −36 6. −8 10. −162 14. 2 − −112
 3. −49 7. −50 11. − 12
49
 15. 
2
3
1
6
45+ −
 4. –121 8. −54 12. –
75
4
 16. 
4
5
2
7
98− −
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
 CAPÍTULO 11
 ÁLGEBRA • Números complejos
479
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Suma y resta
Para realizar estas operaciones se suman o restan los coefi cientes de i:
ai + bi − ci = (a + b − c) i
1 Efectúa la siguiente operación: − + −36 4 9.
Solución
Se obtienen los números imaginarios puros:
− = −( ) = − =36 36 1 6 1 6i − = −( ) = − =9 9 1 3 1 3i
Se remplazan los radicales y se realiza la operación para obtener como resultado:
− + − = + ( ) = + = +( ) =36 4 9 6 4 3 6 12 6 12 18i i i i i i
2 ¿Cuál es el resultado de: − + − − −5
2
3
45
1
2
20 ?
Solución
Se expresan las raíces en términos de la unidad imaginaria:
− = −( ) =5 5 1 5i − = ⋅ −( ) =45 3 5 1 3 52 i − = ⋅ −( ) =20 2 5 1 2 52 i
Se sustituyen los números y se realizan las operaciones:
− + − − − = + ( ) − ( )5
2
3
45
1
2
20 5
2
3
3 5
1
2
2 5i i i
 = + −5 2 5 5i i i
 = + −( )5 2 5 5 i
 = 2 5 i
3 Determina el resultado de: 
1
2
4
2
5
9
1
3
25− + − − − .
Solución
Se extraen las raíces, se multiplican por los coefi cientes y se realiza la operación para obtener como resultado:
1
2
4
2
5
9
1
3
25
1
2
2
2
5
3
1
3
5
6
5
− + − − − = ( )+ ( ) − ( ) = + −i i i i i
55
3
i
 = + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =1
6
5
5
3
8
15
i i
4 Realiza la siguiente operación: − + − − − − −72 48 162 300.
Solución
Se expresa cada uno de los radicales en términos de la unidad imaginaria:
− = ⋅ ⋅ − =72 36 2 1 6 2i − = ⋅ ⋅ − =48 16 3 1 4 3i
− = ⋅ ⋅ − =162 81 2 1 9 2i − = ⋅ ⋅ − =300 100 3 1 10 3i
(continúa)