Matematicas Simplificadas-349

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9 
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1020
Determina los elementos de la elipse, cuya ecuación es:
x2 + 16y2 + 4x – 32y – 44 = 0
Solución
Se transforma la ecuación a su forma ordinaria,
 x2 + 16y2 + 4x – 32y – 44 = 0 S (x2 + 4x) + (16y2 – 32y) = 44
 (x2 + 4x) + 16(y2 – 2y) = 44
Se completa el trinomio cuadrado perfecto, (x2 + 4x + 4) + 16(y2 – 2y + 1) = 44 + 4 + 16
Al factorizar y simplifi car se obtiene: (x + 2)2 + 16(y – 1)2 = 64
Se divide entre 64, 
x y+( ) +
−( ) =
2
64
16 1
64
64
64
2 2
Forma ordinaria:
 
x y+( ) +
−( ) =
2
64
1
4
1
2 2
La ecuación representa una elipse horizontal de la forma: 
x h
a
y k
b
−( )
+
−( )
=
2
2 2
2
1
Se obtienen las coordenadas del centro, el semieje mayor y el semieje menor:
Centro C(– 2, 1); a = 8 y b = 2, c = a b2 2− = 64 4− = 60 2 15=
Por tanto, los elementos y la gráfi ca son:
Centro: C(h, k) = C(–2, 1)
Vértices V(h ± a, k)
V1(– 2 + 8, 1)= V1(6, 1)
V2(– 2 – 8, 1) = V2(– 10, 1)
Focos F(h ± c, k)
F
F
1
1
2 2 15 1 5 7
2 2 15 1 9 7
− +( ) = ( )
− −( ) = −
, 1
 1
. ,
, . ,(( )
 
Extremos del eje menor B(h, k ± b)
B1(– 2, 1+ 2) = B1(– 2, 3)
B2(– 2, 1 – 2) = B2(– 2, – 1)
LR
b
a
e
c
a
= = = =
= = =
2 2 4
8
8
8
1
2 15
8
15
4
2 ( )
 
Eje mayor: 2a = 16
Eje menor: 2b = 4
Eje focal: 2c = 4 15
X 
C V 1 
 
 F2 
2 
B 1 
 B 2 
 
V F1 
Y 
2
9
 GEOMETRÍA ANALÍTICA • Elipse
1021
Determina las coordenadas de los vértices de la elipse cuya ecuación es:
4x2 + 9y2 – 4x – 6y + 1 = 0
Solución
Se transforma la ecuación a su forma ordinaria:
4x2 + 9y2 – 4x – 6y + 1 = 0 S (4x2 – 4x) + (9y2 – 6y) = – 1
4(x2 – x) + 9 y y2 2
3
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = – 1 S 4
1
4
9
2
3
1
9
1 1 12 2x x y y− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = − + +
4
1
2
9
1
3
1
2 2
x y−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
 
S 
x y−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
1
2
1
4
1
3
1
9
1
2 2
, la ecuación tiene la forma de una elipse horizontal 
x h
a
y k
b
−( ) +
−( ) =
2
2
2
2 1 , con centro en 
1
2
1
3
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ y a2 = 
1
4
 S a = 
1
2
Se sustituyen el centro y el valor de a para obtener los vértices:
V h a k V V1 1 1
1
2
1
2
1
3
1
1
3
+( ) = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟, , , S V h a k V V2 2 2
1
2
1
2
1
3
0
1
3
−( ) = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟, , ,
3
Determina los elementos de las siguientes elipses:
 1. 
x y−( ) +
−( ) =
2
9
1
16
1
2 2
 10. 18x2 + 12y2 + 60x + 84y + 161 = 0
 2. x y−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −( ) =2
3
4 1 4
2
2
 11. 5x2 + 9y2 +30x – 36y + 36 = 0
 3. 
x y+( ) +
−( ) =
5
9
1
3
1
2 2
 12. 4x2 + 9y2 + 20x – 24y + 5 = 0
 4. 
x y2 2
16
2
25
1+
−( ) = 13. 4x2 + 25y2 + 4x – 120y + 45 = 0
 5. x2 + 16y2 – 10x + 64y + 73 = 0 14. x2 + 4y2 + 8y +3 = 0
 6. 4x2 + y2 – 16x – 6y – 11 = 0 15. 4x2 + 3y2 + 16x + 4 =0
 7. 36x2 + 16y2 + 180x – 24y + 90 = 0 16. 16x2 + 9y2 + 48x – 6y – 107 = 0
 8. 4x2 + 9y2 – 8x –36y + 4 = 0 17. 4x2 + 9y2 + 8x – 36y + 39 = 0
 9. 9x2 + 16y2 +42x – 24y + 57 = 0
 EJERCICIO 33
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
 9 
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1022
Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (1, – 6), (9, – 6) y la longitud de cada lado 
recto es 
9
2
.
Solución
Se localizan los vértices en el plano cartesiano:
 
X
Y 
C
V2 V1
De la gráfi ca se deduce que la elipse es horizontal con centro C(5, – 6), y V V a1 2 2 8= = , donde a = 4.
Al sustituir a = 4 en la fórmula del lado recto y despejar b, se obtiene:
LR
b
a
= =2 9
2
2
 
S 
2
4
9
2
2b =
 b2 = 9
 b = 3
Para encontrar la ecuación de la elipse se sustituyen las coordenadas del centro (5, – 6), el semieje mayor a = 4 y el 
semieje menor b =3, en la fórmula:
x h
a
y k
b
−( ) +
−( ) =
2
2
2
2 1
 
S 
x y−( )
( )
+
− −( )( )
( )
=
5
4
6
3
1
2
2
2
2
Forma ordinaria: 
x y−( ) +
+( ) =
5
16
6
9
1
2 2
Se desarrolla y simplifi ca la ecuación para obtener la forma general:
 9(x – 5)2 + 16(y + 6)2 = 144 
 9(x2 – 10x + 25) + 16(y2 + 12x + 36) = 144
 9x2 – 90x + 225 + 16y2 + 192y + 576 – 144 = 0
 9x2 + 16y2 – 90x + 192y + 225 + 576 – 144 = 0 
Forma general: 9x2 + 16y2 – 90x + 192y + 657 = 0
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Dados sus elementos, obtener la ecuación