Lei de Amper1

Prévia do material em texto

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA 
 Prof. Anderson Coser Gaudio 
 Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo 
 http://www.cce.ufes.br/anderson 
 anderson@npd.ufes.br Última atualização: 30/08/2005 11:57 H 
 
 
 
 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., 
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 3 
 
 
Capítulo 35 - A Lei de Àmpere 
 
 
 
Problemas 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 
 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Problemas Resolvidos 
 
12. Um longo grampo de cabelo é formado dobrando-se um fio, como mostra a Fig. 32. Se uma 
corrente i de 11,5 A passar pelo fio, (a) quais serão a direção, o sentido e a intensidade de B no 
ponto a? (b) E no ponto b, que está muito distante de a? Considere R = 5,20 mm. 
 
 (Pág. 169) 
Solução. 
Pode-se dividir o grampo em três setores: 1, 2 e 3. 
 
(a) O campo magnético em a (BB
3a
2a
a) será a soma das contribuições dos setores 1, 2 e 3. 
 1 2= + +a a aB B B B
Como as contribuições dos setores 1 e 3 são exatamente iguais, temos: 
 (1) 12= +a aB B B
O cálculo de BBa1 é feito por meio da equação de Biot-Savart: 
 
 0
2
ˆ
4
idd
r
μ
π
×
=a1
l rB (2) 
De acordo com o esquema acima: 
 
( )1/ 22 2
d dx
Rsen
r
r R x
θ
=
=
= +
l
 
Agora pode-se retomar (2): 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
2
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 0 0
2 3
.1.sen .
4 4
idx idx Rd
r r
μ μθ
π π
= =a1B k k 
 0
2 2 3/ 24 ( )
iR dxd
R x
μ
π
=
+a1B k 
 0 0
2 2 3/ 2 2 2 2 1/ 20
04 ( ) 4 ( )
iR iRdx x
R x R R x
μ μ
π π
+∞
+∞
= =
+ +∫a1B k k 
 0
4
i
R
μ
π
=a1B k (3) 
Calculo de BBa2: 
 0
2 2
ˆ
4
idd
r
μ
π
×
=a
l rB 
 
Nesse esquema tem-se: 
 d d=l s 
Logo: 
 0 0
2 2 2
.1.sen( 2)
4 4
iidsd ds
R R
μ μπ
π π
= =aB k k 
 0
2 2 04
Ri ds
R
πμ
π
= ∫aB k 
 0
2 4
i
R
μ
=aB k (4) 
Substituindo-se (3) e (4) em (1): 
 30 0 02 (2 ) (1,13708 10 T)
4 4 4
i i i
R R R
μ μ μ π
π π
−= + = + = ×aB k k k k 
 (1,14 mT) ≈aB k 
(b) O cálculo de Bb é feito admitindo-se que a distância entre a e b é suficientemente grande de tal 
forma que o campo gerado em b equivale ao campo produzido por dois fios infinitos paralelos, 
eqüidistantes de b e conduzindo a mesma corrente i em sentidos contrários. 
 40 02 (8,8461 10 T)
2
i i
R R
μ μ
π π
−= = = ×bB k k k 
 (0,885 mT) ≈bB k 
Nota-se que a curvatura do grampo proporciona aumento na intensidade do campo magnético em a 
quando comparado ao ponto b. 
 
[Início] 
 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
3
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
15. Considere o circuito da Fig. 35. Os segmentos curvos são arcos de círculos de raios a e b. Os 
segmentos retilíneos são radiais. Ache o campo magnético B em P, supondo uma corrente i 
percorrendo o circuito. 
 
 (Pág. 170) 
Solução. 
O campo magnético no ponto P é dado por: 
 1 2 3 4= + + +P P P P PB B B B B
As contribuições dos setores radiais esquerdo e direito são nulas devido à colinearidade entre o fio e 
o ponto P. Portanto: 
 (1) 1= +P P PB B B 3
Considerando-se que o módulo do campo magnético no centro de um circuito circular de raio R, no 
qual trafega uma corrente i, é dado por (Eq. 16, pág. 158) 
 0
2
iB
R
μ
= , 
pode-se considerar que os arcos definidos pelos raios a e b produzem campos magnéticos em P que 
correspondem a uma fração do comprimento do círculo. Ou seja: 
 0
2 2 4
i b
b b b
0iμ μ θθ
π π
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
P1B k k (2) 
 0
2 2 4
i a
a a a
0iμ μ θθ
π π
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
P2B k k (3) 
Substituindo-se (2) e (3) em (1): 
 0 0
4 4
i i
b a
μ θ μ θ
π π
= −PB k k 
 0 1 1
4
i
b a
μ θ
π
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
PB k 
 
[Início] 
 
17. (a) Mostre que B, no centro de uma espira de fio retangular, de comprimento L e largura d, 
percorrida por uma corrente i, é dada por 
 
 
2 2 1/
02 ( )i L dB
Ld
μ
π
+
=
2
 
 
(b) A que se reduz B quando L >> d? Este é o resultado que se deveria esperar? (Veja o 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
4
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Exemplo 1.) 
 (Pág. 170) 
Solução. 
O campo magnético no centro da espira é o resultado da sobreposição dos campos magnéticos 
produzidos pelos quatro segmentos de fio que compõem a espira, sendo que todos os segmentos 
contribuem com campos que possuem mesma direção e sentido. Admitindo-se que o sentido da 
corrente seja horário, o campo magnético no centro da espira apontará para dentro da página, 
perpendicular ao plano do papel. 
 
L/2
d/2
L/2
L
d
i
 
Campo magnético produzido por uma corrente i que trafega num segmento de fio de comprimento 
a, a uma distância b ortogonal ao centro do segmento (lei de Biot-Savart): 
 
x
b r
ds
θ
i
a
a/2
 ds dx=
 0
2
ˆ
4
dd i
r
μ
π
×
=
s rB 
 0 0 0
2 3 2
.1. .
4 4 4 (
ibds sen dx b dxdB i i
r r b 2 3/ 2)x
μ μ μθ
π π π
= = =
+
 
 
/ 2
/ 20 0
2 2 3/ 2 2 2 2 1/ 2/ 2
0
.2.
4 ( ) 4 ( )
a
a
a
ib ibdx xB
b x b b x
μ μ
π π
+
+
−
= =
+ +∫ 
 0
2 2 1/ 22 (4 )
i aB
b b x
μ
π
=
+
 
Sobreposição dos campos de cada segmento: 
 2 2d LB B B= + 
 0 0
1/ 2 1/ 22 2
2 2
2. 2.
2 24 42 22 2
i id LB
L dL dd L
μ μ
π π
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤
⎥
⎥⎦
 
 
2 2
0 0 0 0
2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 2 2 1/
2 2 2 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i i i id L d L LB
L L d d d L L d L d dL L d
μ μ μ μ
π π π π
+⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠ 2
d
+
 
Logo: 
 
2 2 1/
02 ( )i L dB
dL
μ
π
+
=
2
 
(b) Para L >> d: 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
5
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 02 iB
d
μ
π
= (1) 
Sim. No Exemplo 1 temos dois fios longos paralelos separados por uma distância 2d’ e o campo é 
calculado a uma distância x do ponto médio entre os fios. A expressão obtida foi: 
 
'
0
'2 2( )
idB
d x
μ
π
=
−
 (2) 
Fazer L >> d equivale a transformar a espira retangular em dois fios longos paralelos separados por 
uma distância d. Neste caso teremos d’ = d/2 e x = 0 em (2). Logo: 
 
0
2
2
2
2
0
2
di
B
d
μ
π
=
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 02 iB
d
μ
π
= . 
 
[Início] 
 
30. (a) Um fio longo é encurvado no formato mostrado na Fig. 41, sem contato no ponto de 
cruzamento P. O raio da parte circular é R. Determine o módulo, a direção e o sentido de B no 
centro C da porção circular, quando a corrente i tem o sentido indicado na figura. (b) A parte 
circular do fio é girada em torno do seu diâmetro (linha tracejada), perpendicular à parte 
retilínea do fio. O momento magnético da espira circular aponta agora na direção da parte 
retilínea e no sentido da corrente nesta parte. Determine B em C, neste caso. 
 
 (Pág. 171) 
Solução. 
(a) O campo magnético no ponto C (B) é a superposição do campo magnético produzido por uma 
corrente i que trafega num fio infinito (BBf), a uma distância ortogonal R do fio, e do campo 
produzido no centro de um anel de corrente i de raio R (BaB ). 
 = +f aB B B
O módulo do campo magnético no centrode uma espira circular de raio R, no qual trafega uma 
corrente i, é dado por (Eq. 16, pág. 158) 
 0
2
iB
R
μ
= . 
Logo: 
 0 0
2 2
i i
R R
μ μ
π
= +B k k 
 0 1 1
2
i
R
μ
π
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
B k 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
6
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
(b) 
 i
iC
P
x y
z
μ
 
 = +f aB B B
 0 0
2 2
i i
R R
μ μ
π
= +B k i 
 0 1
2
i
R
μ
π
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
B i k 
 
[Início] 
 
36. A Fig. 46 mostra um fio longo percorrido por uma corrente i1. A espira retangular é percorrida 
por uma corrente i2. Calcule a força resultante sobre a espira. Suponha que a = 1,10 cm, b = 
9,20 cm, L = 32,3 cm, i1 = 28,6 A e i2 = 21,8 A. 
 
 (Pág. 172) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
x
y
z
FC
i1
B x
FA
FBFD
i2
 
A força sobre a espira é a soma das forças magnéticas sobre os segmentos A, B, C e D. 
 = + + +A B CF F F F FD
C
A simetria envolvida na situação do problema permite-nos concluir que: 
 = −B DF F
Logo: 
 = +A CF F F
 2 2i i= × + ×A A CF l B l B
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
7
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
( ) ( )
0 1 0 1 0 1 2
2 22 2 2
i i i i L bi L i L
a a b a a b
μ μ μ
μ μ μ
= − =
+ +
F j j j 
 
( )( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
7
3
4 10 T.m/A 28,6 A 21,8 A 0,323 m
2
0,0920 m
 3, 27049 10 N
0,0110 m 0,0110 m 0,0920 m
π
π
−
−
×
= ×
× =
+⎡ ⎤⎣ ⎦
F
×j j
 
 ( )33, 27 10 N−≈ ×F j 
 
[Início] 
 
42. Considere um fio longo cilíndrico de raio R percorrido por uma corrente i distribuída 
uniformemente ao longo da sua seção reta. Encontre os dois valores da distância ao eixo do fio 
para os quais a intensidade do campo magnético devido ao fio é igual à metade do seu valor na 
superfície do fio. 
 (Pág. 173) 
Solução. 
O campo magnético na superfície do fio cilíndrico é facilmente obtido pela lei de Ampère, por meio 
da construção de um circuito de Ampère circular de raio R em torno do fio. 
 0.d iμ=∫ B s 
 0.2B R iπ μ= 
 0
2
iB
R
μ
π
= 
Para r < R: 
 
r
R
B/2
 
 0 ( ).
2 rd iμ=∫
B s 
 
2
0
0 2.2
4
i rr i
R R
μ ππ μ
π π
= 
 
2
Rr = 
Para r < R: 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
8
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
r
R
B/2
 
 0.
2
d iμ=∫
B s 
 0
0.2
4
i r i
R
μ π μ
π
= 
 2r R= 
 
[Início] 
 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de Àmpere 
9