Escoamento entre Placas Paralelas

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Seja um escoamento em regime permanente, laminar de um 
fluido, incompressível e viscosidade constante entre duas 
placas paralelas horizontais e fixas. As placas estão 
distanciadas de 2h, são infinitas em z, e longas o suficiente para 
que o escoamento esteja desenvolvido. Obtenha o perfil de 
velocidade entre as placas. 
Aplicações das Equações de Navier –Stokes
Escoamento de Poiseuille
x
z
y
2h
b
Escoamento 
റ𝑔
gVp
Dt
VD 

 ++−= 2
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

Continuidade
Navier-Stokes
x
y
2h
u = u(x,y)
Escoamento de Poiseuille entre placas
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝛻𝑝 + 𝛻. ററ𝜏 + 𝜌 റ𝑔
ററ𝜏 = −
2
3
𝜇 𝛻. 𝑉
ററ𝐼 + 𝜇 𝛻𝑉 + 𝛻𝑉𝑇
𝜏𝑖𝑗 = −
2
3
𝜇
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝛿𝑖𝑗 + 𝜇
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
Se  e  são constantes: 𝛻. ററ𝜏 = 𝜇𝛻2𝑉
Q.D.M:
Solução:
Hipóteses simplificadoras:
• Escoamento permanente, desenvolvido;
• Fluido incompressível;
• Placas infinitas em z;
Neste caso, apenas a componente x, da velocidade, será diferente 
de zero.
v = w = 0
u = u(x,y). Prova de que o esc. está desenvolvido:
No caso de escoamento incompressível a Eq. da continuidade é:
0
z
w
y
v
x
u
V =


+


+


=
 = 0= 0
0
x
u
=



( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

u(x) = cte 
u não muda com x
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝑔𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝑔𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑧
c
o
m
p
o
n
e
n
te
s
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 + 𝜌 റ𝑔
റ𝑔 = (0; −𝑔; 0)
Escoamento permanente
u não muda com x e z: u = u(y)
v = w = 0
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
− 𝜌𝑔
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧 p(z) = cte 
റ𝑔 = (0; −𝑔; 0)
Escoamento permanente
u não muda com x e z: u = u(y)
v = w = 0
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
− 𝜌𝑔
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧 p(z) = cte 
𝑝 = −𝜌. 𝑔. 𝑦 + 𝑓1(𝑥)
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= −𝜌𝑔
ATENÇÃO!
Quando efetuar uma 
integração parcial, 
adicione uma função 
das outras variáveis
A pressão varia de 
modo hidrostático
 em y
Integral 
parcial
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
=
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Integrando 1ª vez
𝑑𝑢
𝑑𝑦
=
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦 + 𝐶1
Integrando 2ª vez
𝑢 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2
Condições de Contorno:
x
y
2h
u = u(y)
𝐶. 𝐶. 1: 𝑢 𝑦 = ℎ = 0
𝐶. 𝐶. 1: 𝑢 𝑦 = −ℎ = 0
0 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2 + 𝐶1ℎ + 𝐶2
0 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2 − 𝐶1ℎ + 𝐶2
𝐶2 = −
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2
𝐶1 = 0
𝑢 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2
x
y
2h
u = u(y)
𝐶2 = −
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2
𝐶1 = 0
𝑢 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 −
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2
𝑢 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 − ℎ2 Perfil de velocidades u=u(y) 
parabólico entre duas placas 
fixas
• Velocidade máxima (y=0)
𝑢𝑚á𝑥 = −
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2 A pressão diminui no sentido 
no escoamento
• Velocidade média, ത𝑉
ത𝑉 =
1
𝐴
න 𝑢𝑑𝐴 =
1
𝐴
න
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 − ℎ2 𝑑𝐴
x
y
2h
u = u(y)
• Velocidade média, ത𝑉
ത𝑉 =
1
𝐴
න 𝑢𝑑𝐴 =
1
𝐴
න
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 − ℎ2 𝑑𝐴
dy
h
h
y
b
ത𝑉 =
1
2ℎ𝑏
න
−ℎ
ℎ 1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 − ℎ2 𝑏𝑑𝑦
ത𝑉 =
𝑏
2ℎ𝑏
𝐶
𝑦3
3
−ℎ
ℎ
−
𝑏ℎ2
2ℎ𝑏
𝐶𝑦 −ℎ
ℎ
C
ത𝑉 = 𝐶
ℎ2
3
− 𝐶ℎ2 = −
2ℎ2
3
𝐶
ത𝑉 = −
ℎ2
3𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
• Vazão volumétrica, Q
𝑄 = ത𝑉. 𝐴 = −
ℎ2
3𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
. 2ℎ𝑏
𝑄 = ത𝑉. 𝐴 = −
2ℎ3𝑏
3𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
• Velocidade média, ത𝑉 • Velocidade máxima (y=0)
𝑢𝑚á𝑥 = −
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
ℎ2ത𝑉 = −
ℎ2
3𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑢𝑚á𝑥 =
3
2
ത𝑉• Relação entre ത𝑉 e 𝑢𝑚á𝑥 
• Tensão viscosa 𝜏𝑖𝑗 = 𝜇
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
=
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦
𝑢 =
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 − ℎ2
x
y
2h
𝜏 = 𝜏(y)𝜏𝑝 =
𝜕𝑝
𝜕𝑥
h
Tensão na parede
Escoamento laminar em regime 
permanente entre uma placa fixa e 
uma móvel
Escoamento de Couette ou Couette-Poiseuille 
Escoamento totalmente desenvolvido é encontrado em canais 
longos, canais estreitos, tubos e dutos. 
• Escoamento laminar, desenvolvido e em regime permanente
• Fluido newtoniano
• Fluido incompressível
•  constante
Perfil linear
Perfil parabólico se 
houver também 𝜕𝑝/𝜕𝑥 
റ𝑔
?
Continuidade:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜌 = 𝑐𝑡𝑒 𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
u não muda com x, ou seja, u(x) = cte
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
Condições Contorno: V
y
x
𝑢 = 𝑣 = 𝑤 = 0
𝑢 = 𝑉
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ 𝑣 = 𝑤 = 0e
1. Regime permanente
2. Placas longas (infinitas em x - desenvolvido) e largas (infinitas em z) 
3. Fluido incompressível
4.  constante
?
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑧
c
o
m
p
o
n
e
n
te
s
1. Regime permanente
2. Placas longas e largas (infinitas em x e z) 
3. Continuidade u(x) = cte
4. Fluido incompressível
5.  constante
1
1
1
Condições Contorno: V
y
x
𝑢 = 𝑣 = 𝑤 = 0
𝑢 = 𝑉
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ 𝑣 = 𝑤 = 0e
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 𝜇
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2 𝑢 =
𝑉
ℎ
𝑦 +
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑦2 − ℎ𝑦
Condições Contorno: V
y
x
𝑢 = 𝑣 = 𝑤 = 0
𝑢 = 𝑉
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ 𝑣 = 𝑤 = 0e
h
ൗ𝜕𝑝
𝜕𝑥 < 0 ൗ𝜕𝑝
𝜕𝑥 > 0
ൗ𝜕𝑝
𝜕𝑥 = 0
Anular
Perfis adimensionais para diferentes gradientes de pressão no 
escoamento de Couette-Poiseuille
Escoamento laminar em regime 
permanente dentro de um tubo 
𝑉 = 𝑣𝑟; 𝑣𝜃; 𝑣𝑧
റ𝑔 = 𝑔𝑟; 𝑔𝜃; 𝑔𝑧
Esc. Permanente
Esc. Uniforme: trajetórias retas e paralelas
 
Esc compressível 
𝜕
𝜕𝑡
= 0
𝜕(𝜌𝑣𝑧)
𝜕𝑧
= 0
𝜌 ≠ 𝑐𝑡𝑒
ou 𝑣𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑧
+ 𝜌
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
𝑣𝑟 𝑣𝜃 𝑣𝑧
Componente r
Componente 
Componente z
• Integrando duas vezes, obtemos:
Componente z
𝑄 = න
𝐴
𝑣𝑧𝑑𝐴
Condições Contorno:
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
= 0
𝑣𝑧 = 0
𝑟 = 0
𝑟 = 𝑅
𝐶1 = 0
𝐶2 = −
𝑅2
4𝜇
𝜕
𝜕𝑧
(𝑝 + 𝜌𝑔ℎ)
Escoamento Poiseuille Espaço Anular
1 - Esc. Regime permanente
2 - Esc. Desenvolvido
3 - Não há giro
4 = Fluido incompressível
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
= 0 𝑟𝑣𝑟 = 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑟 = 0
Pois na parede a 
velocidade é nula
Escoamento Poiseuille Espaço Anular
Escoamento Poiseuille Espaço Anular
Integrando 1ª em r:
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
=
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
න
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
= න 𝑟
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
=
𝑟
2
2 1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 Integrando 2ª em r: න
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
= න
𝑟
2
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ න
𝐶1
𝑟
න
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
= න
𝑟
2
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ න
𝐶1
𝑟
𝑣𝑧 =
𝑟2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2
C.C 1: em r = ri vz = 0
C.C 2: em r = ro vz = 0
0 =
𝑟𝑖
2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 ln 𝑟𝑖 + 𝐶2
0 =
𝑟𝑜
2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 ln 𝑟𝑜 + 𝐶2
0 =
(𝑟𝑜
2 − 𝑟𝑖
2)
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 (𝑙𝑛 𝑟𝑜 −𝑙𝑛 𝑟𝑖) 𝐶1 =
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
0 =
𝑟𝑜
2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 ln 𝑟𝑜 + 𝐶2
𝐶1 =
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
4𝜇. ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝐶2 = −
𝑟𝑜
2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
−
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
4𝜇. ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
𝜕𝑝
𝜕𝑧
ln 𝑟𝑜
𝑣𝑧 =
𝑟2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2
𝑣𝑧 =
𝑟2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
4𝜇. ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
𝜕𝑝
𝜕𝑧
. ln 𝑟 −
𝑟𝑜
2
4
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
−
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
4𝜇. ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
𝜕𝑝
𝜕𝑧
ln 𝑟𝑜𝑣𝑧 =
1
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑟2 − 𝑟𝑜
2 +
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
. ln
𝑟
𝑟𝑜
Isolando 𝐶2 de uma das eqs.:
Substituindo 𝐶1 𝑒 𝐶2 :
Chega-se ao perfil de velocidade no espaço anular :
𝑣𝑧 =
1
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑟2 − 𝑟𝑜
2 +
(𝑟𝑖
2 − 𝑟𝑜
2)
ln
𝑟𝑜
𝑟𝑖
. ln
𝑟
𝑟𝑜
Equações de Navier-Stokes
Em r:
Em :
Em z:
Coordenadas Cilíndricas
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕(𝜌𝑣𝜃)
𝜕𝜃
+
𝜕(𝜌𝑣𝑧)
𝜕𝑧
= 0Continuidade:
Exercício:
Um cilindro de 5 cm de diâmetro e 1,5 m de comprimento é puxado a uma 
velocidade constante de 2m/s no interior de um cilindro fixo. A folga de 2 
cm entre os dois cilindros é preenchida com óleo SAE10 a 20oC ( = 870 
kg/ m3 e =0,104 kg/m.s). Calcule a força necessária para puxar o cilindro 
interno.
a = 0,025 m
b = 0,045 m
U = 2 m/s
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕(𝜌𝑣𝜃)
𝜕𝜃
+
𝜕(𝜌𝑣𝑧)
𝜕𝑧
= 0
Eq. Continuidade:
Componente z Eq. Navier- Stokes:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕(𝜌𝑣𝜃)
𝜕𝜃
+
𝜕(𝜌𝑣𝑧)
𝜕𝑧
= 0
1 – Esc. Regime permanente
2 – Esc. Desenvolvido e sem giro
3 – Fluido incompressível
4 – 𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0
5 – Sem gradiente de pressão
6 – sem efeito da gravidade em z
1
22
𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)
𝜕𝑟
= 0 Ou seja: 𝑟𝜌𝑣𝑟 = cte
Na parede 𝑣𝑟 = 0 𝑣𝑟 = 0
Em todo o 
escoamento
1 – Esc. Regime permanente
2 – Esc. Desenvolvido e sem giro
3 – Fluido incompressível
4 – 𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0
5 – Sem gradiente de pressão
6 – desprezar gravidade
1
2
2
3
4 4
5
6
2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
= 0
A comp. z fica:
Integrando 1ª vez em r: න
𝑑
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
= 0
න 𝑑𝑣𝑧 = න
𝐶1
𝑟
𝑑𝑟Integrando 2ª vez em r: 
𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
= 𝐶1
𝑣𝑧 = 𝐶1𝑙𝑛𝑟 + 𝐶2
C.C.1 para r = a 
a = 0,025 m
b = 0,045 m
U = 2 m/s
𝑣𝑧 = 𝑈
C.C.2 para r = b 𝑣𝑧 = 0
𝑈 = 𝐶1 ln 𝑎 + 𝐶2
0 = 𝐶1 ln 𝑏 + 𝐶2
𝑈 = 𝐶1 ln
𝑎
𝑏
𝑈
ln
𝑎
𝑏
= 𝐶1𝐶2 = −
𝑈
ln
𝑎
𝑏
. ln 𝑏
𝑣𝑧 =
𝑈
ln
𝑎
𝑏
𝑙𝑛𝑟 −
𝑈
ln
𝑎
𝑏
. ln 𝑏
𝑣𝑧 = 𝑈
𝑙𝑛
𝑟
𝑏
ln
𝑎
𝑏
Tensor das tensões viscosas em coordenadas cilíndricas, 
fluido incompressível
Tensão na parede 𝜏𝑝
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
𝑣𝑧 = 𝑈
𝑙𝑛
𝑟
𝑏
ln
𝑎
𝑏
𝜏 =
𝜇𝑈
ln
𝑎
𝑏
𝑑
𝑑𝑟
(ln 𝑟)
𝜏 =
𝜇𝑈
ln
𝑎
𝑏
.
1
𝑟
Na parede 𝜏𝑝 =
𝜇𝑈
ln
𝑎
𝑏
.
1
𝑎
=
0,104.2
ln
0,025
0,045
.
1
0,025
𝜏𝑝 = 14,15 𝑁/𝑚2
a = 0,025 m
b = 0,045 m
U = 2 m/s
𝜏𝑝 = 14,15 𝑁/𝑚2
A força necessária será:
𝐹 = 𝜏𝑝.𝐴 = 14,15.2𝜋𝑎. 𝐿 
L = 1,5 m
2𝜋𝑎
𝐹 =3,33 N
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝛻𝑝 + 𝛻. ററ𝜏 + 𝜌 റ𝑔
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝑣)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑥
= 0
ററ𝜏 = −
2
3
𝜇 𝛻. 𝑉
ററ𝐼 + 𝜇 𝛻𝑉 + 𝛻𝑉𝑇 𝜏𝑖𝑗 = −
2
3
𝜇
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝛿𝑖𝑗 + 𝜇
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
Continuidade
Q.d.m
Fluido newtoniano
RESUMO
𝜏𝑥𝑥 = −
2
3
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
ou
𝜏𝑦𝑦 = −
2
3
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = −
2
3
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝛻𝑝 + 𝛻. 𝜇 𝛻𝑉 + 𝛻𝑉𝑇 + 𝜌 റ𝑔
A componente em x da Eq de N-S para  e  ctes fica:
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑥
𝛻𝑉 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
𝑢
𝑣
𝑤
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝛻𝑉𝑇 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
em x fica:𝛻. 𝛻𝑉 + 𝛻𝑉𝑇
Em x:
Forma Vetorial das Equações de Navier-Stokes:
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 + 𝜌 റ𝑔
Fluidos newtonianos com  e  ctes
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
 + 𝜌𝑔𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2 + 𝜌𝑔𝑧
c
o
m
p
o
n
e
n
te
s
Equações de Navier-Stokes
Em r:
Em :
Em z:
Coordenadas Cilíndricas
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕(𝑟𝜌𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕(𝜌𝑣𝜃)
𝜕𝜃
+
𝜕(𝜌𝑣𝑧)
𝜕𝑧
= 0Continuidade:
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