FDiferencial3 (1)

Prévia do material em texto

Equações de Navier-Stokes – Coordenadas Cilíndricas
Condições de Contorno
Em uma parede: 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
Não deslizamento ou não 
escorregamento (no-slip)
Escoamento simétrico:
Condições de Contorno
Em uma interface entre dois 
fluidos, a velocidade dos dois 
fluidos é a mesma. A tensão 
cisalhante é a mesma nos dois 
fluidos.
Ao longo de uma superfície livre ar-
água, as velocidades e tensão são 
iguais. Contudo, ar << água, e 
pode-se aproximar que a tensão na 
superfície é pequena e desprezível. 
Interface ar-água
𝑢á𝑔𝑢𝑎 = 𝑢𝑎𝑟 𝜏á𝑔𝑢𝑎 = 𝜇á𝑔𝑢𝑎 ቇ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
á𝑔𝑢𝑎
= 𝜏𝑎𝑟 = 𝜇𝑎𝑟 ቇ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑎𝑟
Exemplo
Um campo de velocidade é proposto como
0w;
yx
x10
v;
yx
y10
u
2222
=
+
−=
+
=
(a) É esse um possível escoamento de fluido 
incompressível? 
p

(b) Se for, ache o vetor gradiente de pressão ,supondo um 
escoamento de ar sem atrito, com o eixo z vertical. 
 Use  = 1,23 kg/m3.
Solução:
a) É um possível escoamento incompressível?
 Considerando a condição de incompressibilidade,
Portanto, este é um escoamento de um fluido incompressível.
0
z
w
y
v
x
u
V =


+


+


=
 = 0
(escoamento plano)
0
)yx(
yx20yx20
)yx(
x10y2
)yx(
y10x2
)
yx
x10
(
y
)
yx
y10
(
x 2222222222222
=
+
+−
=
+
−
−
+
−
=
+
−


+
+

𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝑣)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑥
= 0
b) Cálculo do p.
 Escoamento sem atrito ( Eq. de Euler), com z vertical.
• em x,
x
p
Dt
Du


−= Com:
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
Dt
Du


+


+


+


=
= 0 = 0
)
yx
y10
(
yyx
x10
)
yx
y10
(
xyx
y10
Dt
Du
22222222 +

+
−
+

+
=
22222 )yx(
y10x2
yx
y10
Dt
Du
+
−
+
=
222
22
22 )yx(
y10y2)yx(10
yx
x10
+
−+
+
−
𝜌
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −𝛻𝑝 + 𝜌 റ𝑔
Euler
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= −𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 + 𝜌 റ𝑔
222322
2222
)yx(
x100
)yx(
)y2yxy2(x100
Dt
Du
+
−=
+
−++
−=
222 )yx(
x100
Dt
Du
x
p
+

=−=


• em y,
y
p
Dt
Dv


−= Com:
y
v
v
x
v
u
Dt
Dv


+


=
)
yx
x10
(
yyx
x10
)
yx
x10
(
xyx
y10
Dt
Dv
22222222 +
−


+
−
+
−


+
=
𝜌
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −𝛻𝑝 + 𝜌 റ𝑔
Euler
222322
2222
)yx(
y100
)yx(
)x2x2yx(y100
Dt
Dv
+
−=
+
+−+
−=
222 )yx(
y100
Dt
Dv
y
p
+

=−=


22222222
22
22 )yx(
x10y2
yx
x10
)yx(
x10x2)yx(10
yx
y10
Dt
Dv
+
−
+
+
+
−+
+
−=
• em z, onde w = 0.
0g
z
p
Dt
Dw
=−


−= De modo que:
g
z
p
−=


𝜌
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −𝛻𝑝 + 𝜌 റ𝑔
Euler
.m/Pak07,12)jyix(
)yx(
123
kg)jyix(
)yx(
100
p
222222

−+
+
=−+
+

=
𝛻𝑝 =
123𝑥
𝑥2 + 𝑦2 2
;
123𝑦
𝑥2 + 𝑦2 2
; −𝜌𝑔
Estudar o Exemplo 4.5 do livro White.! 
Seja um escoamento em regime permanente, laminar de um 
fluido, incompressível e viscosidade constante entre duas 
placas paralelas horizontais e fixas. As placas estão 
distanciadas de 2h, são infinitas em z, e longas o suficiente para 
que o escoamento esteja desenvolvido. Obtenha o perfil de 
velocidade entre as placas. 
Aplicações das Equações de Navier –Stokes
Escoamento de Poiseuille
x
z
y
2h
b
Escoamento 
റ𝑔
	Slide 56
	Slide 57
	Slide 58
	Slide 59
	Slide 60
	Slide 61
	Slide 62
	Slide 63
	Slide 64
	Slide 65