Superfícies Parametrizadas

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Notas de aula de Cálculo III
Rony Cristiano
(rony.cristiano@ufg.br)
Instituto de Matemática e Estatística - IME
Universidade Federal de Goiás - UFG
SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS
E ÁREA DE SUPERFÍCIE
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Contents
1 Representação paramétrica de superfícies
2 Área de Superfície
3 Exercícios
2 / 29
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Representamos uma superfície paramétrica S em R3 pela equação vetorial
r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)),
definida para (u,v) ∈ D⊂ R2.
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v) ∈ D}
u
v
(u,v)
D
r
x
y
z
S
r(u,v)
(x,y,z)
3 / 29
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Curvas coordenadas.
Fixando v = v0, obtemos a curva C1 ⊂ S:
r(u,v0)= (x(u,v0),y(u,v0),z(u,v0)) → r1(u)= (x(u),y(u),z(u)) , u∈ [a,b].
Fixando u = u0, obtemos a curva C2 ⊂ S:
r(u0,v)= (x(u0,v),y(u0,v),z(u0,v)) → r2(v)= (x(v),y(v),z(v)) , v∈ [c,d].
u
v
u = u0
v = v0
(u0,v0)
D
r
x
y
z
S
C1
C2
(x0,y0,z0)
4 / 29
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Vetores tangentes.
À curva coordenada C1, no ponto r(u0,v0) = (x0,y0,z0):
ru =
(
∂x
∂u
(u0,v0),
∂y
∂u
(u0,v0),
∂z
∂u
(u0,v0)
)
. (1)
À curva coordenada C2, no ponto r(u0,v0) = (x0,y0,z0):
rv =
(
∂x
∂v
(u0,v0),
∂y
∂v
(u0,v0),
∂z
∂v
(u0,v0)
)
. (2)
x
y
z
S
C1
C2 ru
rv (x0,y0,z0)
5 / 29
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Vetor normal.
No ponto r(u0,v0) = (x0,y0,z0), é obtido por:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂x
∂u (u0,v0)
∂y
∂u (u0,v0)
∂z
∂u (u0,v0)
∂x
∂v (u0,v0)
∂y
∂v (u0,v0)
∂z
∂v (u0,v0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
x
y
z
S
C1
C2
ru
rv (x0,y0,z0)
ru× rv
Orientação: S é orientável se existem
vetores normais n1 = ru× rv 6= 0
e n2 =−n1 em todo ponto de S.
6 / 29
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Vetor normal.
No ponto r(u0,v0) = (x0,y0,z0), é obtido por:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂x
∂u (u0,v0)
∂y
∂u (u0,v0)
∂z
∂u (u0,v0)
∂x
∂v (u0,v0)
∂y
∂v (u0,v0)
∂z
∂v (u0,v0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
x
y
z
S
C1
C2
ru
rv (x0,y0,z0)
ru× rv Orientação: S é orientável se existem
vetores normais n1 = ru× rv 6= 0
e n2 =−n1 em todo ponto de S.
6 / 29
Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Vetor normal.
No ponto r(u0,v0) = (x0,y0,z0), é obtido por:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂x
∂u (u0,v0)
∂y
∂u (u0,v0)
∂z
∂u (u0,v0)
∂x
∂v (u0,v0)
∂y
∂v (u0,v0)
∂z
∂v (u0,v0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
x
y
z
rv× ru
S
C1
C2
ru
rv (x0,y0,z0)
ru× rv Orientação: S é orientável se existem
vetores normais n1 = ru× rv 6= 0
e n2 =−n1 em todo ponto de S.
Dizemos que S é suave.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Vetor normal.
No ponto r(u0,v0) = (x0,y0,z0), é obtido por:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂x
∂u (u0,v0)
∂y
∂u (u0,v0)
∂z
∂u (u0,v0)
∂x
∂v (u0,v0)
∂y
∂v (u0,v0)
∂z
∂v (u0,v0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
x
y
z
rv× ru
S
C1
C2
ru
rv (x0,y0,z0)
ru× rv Orientação: S é orientável se existem
vetores normais n1 = ru× rv 6= 0
e n2 =−n1 em todo ponto de S.
Dizemos que S é suave.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Vetor normal unitário e orientação.
Se S é orientável e limitada por uma curva fechada simples C, suave por partes,
podemos associar à orientação de S um sentido positivo para a orientação sobre
C. Seguimos a convenção como mostrado nas figuras abaixo.
Vetor normal unitário:
n =
ru× rv
|ru× rv|
.
S
C
(x0,y0,z0)
n
Positiva
−n
S
C
(x0,y0,z0)
Negativa
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Plano tangente.
Para S suave, o plano tangente é o plano que contém os vetores tangentes ru e
rv, e o vetor ru× rv é um vetor normal ao plano tangente.
x
y
z
π
S
C1
C2
ru
rv (x0,y0,z0)
ru× rv
Plano tangente em r0 = (x0,y0,z0):
(ru× rv) · (r− r0) = 0, i.e.,
a(x− x0)+b(y− y0)+ c(z− z0) = 0, onde
(a,b,c) = ru× rv
∣∣∣
(u,v)=(u0,v0)
.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Plano tangente.
Para S suave, o plano tangente é o plano que contém os vetores tangentes ru e
rv, e o vetor ru× rv é um vetor normal ao plano tangente.
x
y
z
π
S
C1
C2
ru
rv (x0,y0,z0)
ru× rv
Plano tangente em r0 = (x0,y0,z0):
(ru× rv) · (r− r0) = 0, i.e.,
a(x− x0)+b(y− y0)+ c(z− z0) = 0, onde
(a,b,c) = ru× rv
∣∣∣
(u,v)=(u0,v0)
.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (1)
Considere o cilindro descrito por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + z2 = a2, a > 0}.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈ R, temos
x = acos(u), y = v, z = asen(u).
z
y
x
a
a
Curvas coordenadas:
Em u = π temos r(π,v) = (−a,v,0).
Reta
Em v = 0 temos r(u,0) = (acos(u),0,asen(u)).
Circunferência
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (1)
Considere o cilindro descrito por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + z2 = a2, a > 0}.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈ R, temos
x = acos(u), y = v, z = asen(u).
z
y
x
a
a
Curvas coordenadas:
Em u = π temos r(π,v) = (−a,v,0).
Reta
Em v = 0 temos r(u,0) = (acos(u),0,asen(u)).
Circunferência
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (2)
Considere a esfera descrita por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈
[
−π
2 ,
π
2
]
, temos
x = acos(u)cos(v), y = asen(u)cos(v), z = asen(v).
y
x
z
P x
y
ρ
x
y
u
P′
0
x
z
a
P′
z
v
P
0
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (2)
Considere a esfera descrita por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈
[
−π
2 ,
π
2
]
, temos
x = acos(u)cos(v), y = asen(u)cos(v), z = asen(v).
y
x
z
P x
y
ρ
x
y
u
P′
0
x
z
a
P′
z
v
P
0
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (2)
Considere a esfera descrita por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈
[
−π
2 ,
π
2
]
, temos
x = acos(u)cos(v), y = asen(u)cos(v), z = asen(v).
y
x
z
P x
y
ρ
x
y
u
P′
0
x
z
a
P′
z
v
P
0
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (2)
Considere a esfera descrita por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈
[
−π
2 ,
π
2
]
, temos
x = acos(u)cos(v), y = asen(u)cos(v), z = asen(v).
x = ρcos(u)
y = ρsen(u)
z = asen(v)
ρ = acos(v)
0≤ u≤ 2π −π
2 ≤ v≤ π
2
x
y
ρ
x
y
u
P′
0
x,y
z
a
P′
z
v
P
0 ρ
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Exemplo (3)
Considere o cone de duas folhas descrito por
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2−a2z2 = 0, a > 0},
sendo a = tan(θ) e θ ∈ (0,π/2) o ângulo constante formado pelo eixo z, parte
positiva, e uma geratriz do cone; ver figura abaixo.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈ R, temos
x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ).
P x
y
z
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Superfícies ParametrizadasÁrea de Superfície Exercícios Referências
Exemplo (3)
Considere o cone de duas folhas descrito por
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2−a2z2 = 0, a > 0},
sendo a = tan(θ) e θ ∈ (0,π/2) o ângulo constante formado pelo eixo z, parte
positiva, e uma geratriz do cone; ver figura abaixo.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈ R, temos
x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ).
x = ρcos(u)
y = ρsen(u)
z = vcos(θ)
ρ = vsen(θ)
0≤ u≤ 2π v ∈ R
x
y
ρ
x
y
u
P′
0
x,y
z
v
P′
z
θ
P
0 ρ
Toamndo 0≤ v≤ h: cone de altura hcos(θ); uma geratriz é z = 1
a x, y = 0, x≥ 0.
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Exemplo (3)
Considere o cone de duas folhas descrito por
S = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2−a2z2 = 0, a > 0},
sendo a = tan(θ) e θ ∈ (0,π/2) o ângulo constante formado pelo eixo z, parte
positiva, e uma geratriz do cone; ver figura abaixo.
Equações paramétricas: para u ∈ [0,2π] e v ∈ R, temos
x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ).
x = ρcos(u)
y = ρsen(u)
z = vcos(θ)
ρ = vsen(θ)
0≤ u≤ 2π v ∈ R
x
y
ρ
x
y
u
P′
0
x,y
z
v
P′
z
θ
P
0 ρ
Toamndo 0≤ v≤ h: cone de altura hcos(θ); uma geratriz é z = 1
a x, y = 0, x≥ 0.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (4)
Considere a casca cilíndrica de raio 1 mostrada na figura abaixo, com equação
vetorial
r(u,v) = (cos(u),sen(u),u+ v),
para u ∈ [0,2π] e v ∈ [0,4π]. Não é possível obter uma representação cartesiana
em R3 para essa superfície.
x
−1 −0.5
0.5 1−0.5
0.5
5
10
y
z
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Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (5)
Considere o parabolóide descrito por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : z = a(x2 + y2), a > 0}.
Equações paramétricas: para u,v ∈ R temos
x = u, y = v, z = a(u2 + v2).
y
x
z
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Representação paramétrica de superfícies
Exemplo (5)
Considere o parabolóide descrito por (ver figura abaixo)
S = {(x,y,z) ∈ R3 : z = a(x2 + y2), a > 0}.
Equações paramétricas: para u,v ∈ R temos
x = u, y = v, z = a(u2 + v2).
Outras formas:
r(u,v) = (vcos(u),vsen(u),av2), para u ∈ [0,2π] e v≥ 0;
r(x,y) = (x,y,a(x2 + y2)), para (x,y) ∈ R2.
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Representação paramétrica de superfícies
Parametrização de superfície dada pelo gráfico de uma função.
Observação (1)
Seja S a superfície descrita por:
(i) S = {(x,y,z) ∈ A⊂ R3 : z = f (x,y)};
(ii) S = {(x,y,z) ∈ A⊂ R3 : y = g(x,z)};
(iii) S = {(x,y,z) ∈ A⊂ R3 : x = h(y,z)}.
Uma equação vetorial para S é:
(i) r(x,y) = (x,y, f (x,y)), para (x,y) ∈ D⊂ R2;
(ii) r(x,z) = (x,g(x,z),z), para (x,z) ∈ D⊂ R2;
(iii) r(y,z) = (h(y,z),y,z), para (y,z) ∈ D⊂ R2.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Seja S uma superfície paramétrica suave, representada por
r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) ∈ D⊂ R2.
Consideramos inicialmente D como na figura abaixo. Escolhemos (u∗i ,v
∗
j ) para ser o
canto esquerdo inferior de Rij. A parte Sij da superfície S, que corresponde a Rij, tem
o ponto Pij com vetor posição r(u∗i ,v∗j ) como um de seus vértices.
(u∗i ,v
∗
j )
Rij
u
v
r
D
y
x
z
Pij
Sij
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Área de Superfície
Vetores tangentes em Pij:
r∗u = ru(u∗i ,v
∗
j ) e r∗v = rv(u∗i ,v
∗
j ),
onde ru =
∂r
∂u e rv =
∂r
∂v são dadas em (1)-(2).
Aproximamos Sij pelo paralelogramo determinado pelos vetores ∆ur∗u e ∆vr∗v .
Este paralelogramo é mostrado na figura abaixo e encontra-se no plano tangente
a S em Pij.
A área deste paralelogramo é
|∆ur∗u×∆vr∗v |= |r∗u× r∗v |∆u∆v,
e a área de S é aproximada por
m
∑
i=1
n
∑
j=1
|r∗u× r∗v |∆u∆v.
A soma dupla acima
como uma soma de Riemann:
x
D
|ru× rv|dudv
Sij
∆ur∗u
∆vr∗v
Pij
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Área de Superfície
Definição
Seja S uma superfície suave parametrizada por
r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) ∈ D⊂ R2.
A área de S, denotada por A(S), é definida por
A(S) =
x
D
|ru× rv|dudv,
quando a integral à direita existe, onde ru =
∂r
∂u e rv =
∂r
∂v .
Se S é suave por partes, a área de S é dada pela soma das áreas sobre cada
parte suave de S.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Exemplo (6)
Calcule a área do cone z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 4.
Equações Paramétricas: x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ),
e θ =?
Para y = 0 temos z2 = x2 e, então, uma geratriz é z = x. Isso implica que θ = π
4 .
Equação vetorial:
r(u,v) =
(
1√
2
vcos(u),
1√
2
vsen(u),
1√
2
v
)
, u ∈ [0,2π], v ∈
[√
2,4
√
2
]
.
Vetores Tangentes:
ru =
∂r
∂u
=
(
− 1√
2
vsen(u),
1√
2
vcos(u),0
)
e rv =
∂r
∂v
=
(
1√
2
cos(u),
1√
2
sen(u),
1√
2
)
.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Exemplo (6)
Calcule a área do cone z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 4.
Equações Paramétricas: x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ),
e θ =?
Para y = 0 temos z2 = x2 e, então, uma geratriz é z = x. Isso implica que θ = π
4 .
Equação vetorial:
r(u,v) =
(
1√
2
vcos(u),
1√
2
vsen(u),
1√
2
v
)
, u ∈ [0,2π], v ∈
[√
2,4
√
2
]
.
Vetores Tangentes:
ru =
∂r
∂u
=
(
− 1√
2
vsen(u),
1√
2
vcos(u),0
)
e rv =
∂r
∂v
=
(
1√
2
cos(u),
1√
2
sen(u),
1√
2
)
.
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Área de Superfície
Exemplo (6)
Calcule a área do cone z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 4.
Equações Paramétricas: x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ),
e θ =?
Para y = 0 temos z2 = x2 e, então, uma geratriz é z = x. Isso implica que θ = π
4 .
Equação vetorial:
r(u,v) =
(
1√
2
vcos(u),
1√
2
vsen(u),
1√
2
v
)
, u ∈ [0,2π], v ∈
[√
2,4
√
2
]
.
Vetores Tangentes:
ru =
∂r
∂u
=
(
− 1√
2
vsen(u),
1√
2
vcos(u),0
)
e rv =
∂r
∂v
=
(
1√
2
cos(u),
1√
2
sen(u),
1√
2
)
.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Exemplo (6)
Calcule a área do cone z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 4.
Equações Paramétricas: x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ),
e θ =?
Para y = 0 temos z2 = x2 e, então, uma geratriz é z = x. Isso implica que θ = π
4 .
Equação vetorial:
r(u,v) =
(
1√
2
vcos(u),
1√
2
vsen(u),
1√
2
v
)
, u ∈ [0,2π], v ∈
[√
2,4
√
2
]
.
Vetores Tangentes:
ru =
∂r
∂u
=
(
− 1√
2
vsen(u),
1√
2
vcos(u),0
)
e rv =
∂r
∂v
=
(
1√
2
cos(u),
1√
2
sen(u),
1√
2
)
.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Exemplo (6)
Calcule a área do cone z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 4.
Equações Paramétricas: x = vsen(θ)cos(u), y = vsen(θ)sen(u), z = vcos(θ),
e θ =?
Para y = 0 temos z2 = x2 e, então, uma geratriz é z = x. Isso implica que θ = π
4 .
Equação vetorial:
r(u,v) =
(
1√
2
vcos(u),
1√
2
vsen(u),
1√
2
v
)
, u ∈ [0,2π], v ∈
[√
2,4
√
2
]
.
Vetores Tangentes:
ru =
∂r
∂u
=
(
− 1√
2
vsen(u),
1√
2
vcos(u),0
)
e rv =
∂r
∂v
=
(
1√
2
cos(u),
1√
2
sen(u),
1√
2
)
.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Vetor normal:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
− 1√
2
vsen(u) 1√
2
vcos(u) 0
1√
2
cos(u) 1√
2
sen(u) 1√
2
∣∣∣∣∣∣∣=
1
2
vcos(u)i+
1
2
vsen(u)j− 1
2
vk.
Módulo do vetor normal:
|ru× rv|=
√
1
4
v2 cos2(u)+
1
4
v2 sen2(u)+
1
4
v2 =
√
2
2
v.
Calculando a área:
A =
x
D
|ru× rv|dudv =
∫ 4
√
2
√
2
∫ 2π
0
√
2
2
vdudv
=
√
2
4
∫ 4
√
2
√
2
2vdv ·
∫ 2π
0
du =
√
2
4
[
v2]4√2√
2 · [u]
2π
0 = 15
√
2π.
Portanto, A = 15
√
2π u.a..
�
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Superfícies Parametrizadas Área de SuperfícieExercícios Referências
Área de Superfície
Vetor normal:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
− 1√
2
vsen(u) 1√
2
vcos(u) 0
1√
2
cos(u) 1√
2
sen(u) 1√
2
∣∣∣∣∣∣∣=
1
2
vcos(u)i+
1
2
vsen(u)j− 1
2
vk.
Módulo do vetor normal:
|ru× rv|=
√
1
4
v2 cos2(u)+
1
4
v2 sen2(u)+
1
4
v2 =
√
2
2
v.
Calculando a área:
A =
x
D
|ru× rv|dudv =
∫ 4
√
2
√
2
∫ 2π
0
√
2
2
vdudv
=
√
2
4
∫ 4
√
2
√
2
2vdv ·
∫ 2π
0
du =
√
2
4
[
v2]4√2√
2 · [u]
2π
0 = 15
√
2π.
Portanto, A = 15
√
2π u.a..
�
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Vetor normal:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
− 1√
2
vsen(u) 1√
2
vcos(u) 0
1√
2
cos(u) 1√
2
sen(u) 1√
2
∣∣∣∣∣∣∣=
1
2
vcos(u)i+
1
2
vsen(u)j− 1
2
vk.
Módulo do vetor normal:
|ru× rv|=
√
1
4
v2 cos2(u)+
1
4
v2 sen2(u)+
1
4
v2 =
√
2
2
v.
Calculando a área:
A =
x
D
|ru× rv|dudv =
∫ 4
√
2
√
2
∫ 2π
0
√
2
2
vdudv
=
√
2
4
∫ 4
√
2
√
2
2vdv ·
∫ 2π
0
du =
√
2
4
[
v2]4√2√
2 · [u]
2π
0 = 15
√
2π.
Portanto, A = 15
√
2π u.a..
�
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Vetor normal:
ru× rv =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
− 1√
2
vsen(u) 1√
2
vcos(u) 0
1√
2
cos(u) 1√
2
sen(u) 1√
2
∣∣∣∣∣∣∣=
1
2
vcos(u)i+
1
2
vsen(u)j− 1
2
vk.
Módulo do vetor normal:
|ru× rv|=
√
1
4
v2 cos2(u)+
1
4
v2 sen2(u)+
1
4
v2 =
√
2
2
v.
Calculando a área:
A =
x
D
|ru× rv|dudv =
∫ 4
√
2
√
2
∫ 2π
0
√
2
2
vdudv
=
√
2
4
∫ 4
√
2
√
2
2vdv ·
∫ 2π
0
du =
√
2
4
[
v2]4√2√
2 · [u]
2π
0 = 15
√
2π.
Portanto, A = 15
√
2π u.a..
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Exemplo (7; [2, 3])
Encontre a área da parte do parabolóide z = x2 + y2 que está abaixo do plano z = 9.
Considere a parametrização:
r(x,y) = (x,y, f (x,y)), onde f (x,y) = x2 + y2.
Domínio: D = {(x,y) : x2 + y2 ≤ 9}.
Vetores tangentes:
rx =
(
1,0, ∂f
∂x
)
= (1,0,2x)
e ry =
(
0,1, ∂f
∂y
)
= (0,1,2y).
Módulo do vetor normal:
rx× ry =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 ∂f
∂x
0 1 ∂f
∂y
∣∣∣∣∣∣∣= k− ∂f
∂x i− ∂f
∂y j,
|rx× ry|=
√
1+
[
∂f
∂x
]2
+
[
∂f
∂y
]2
=
√
1+4x2 +4y2.
0 y
x
z
9
3
3
D
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Exemplo (7; [2, 3])
Encontre a área da parte do parabolóide z = x2 + y2 que está abaixo do plano z = 9.
Considere a parametrização:
r(x,y) = (x,y, f (x,y)), onde f (x,y) = x2 + y2.
Domínio: D = {(x,y) : x2 + y2 ≤ 9}.
Vetores tangentes:
rx =
(
1,0, ∂f
∂x
)
= (1,0,2x)
e ry =
(
0,1, ∂f
∂y
)
= (0,1,2y).
Módulo do vetor normal:
rx× ry =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 ∂f
∂x
0 1 ∂f
∂y
∣∣∣∣∣∣∣= k− ∂f
∂x i− ∂f
∂y j,
|rx× ry|=
√
1+
[
∂f
∂x
]2
+
[
∂f
∂y
]2
=
√
1+4x2 +4y2.
0 y
x
z
9
3
3
D
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Então,
A =
x
D
|rx× ry|dxdy =
x
D
√
1+
[
∂f
∂x
]2
+
[
∂f
∂y
]2
dxdy =
x
D
√
1+4x2 +4y2dxdy.
Coordenadas polares: x = r cos(θ) e y = r sen(θ); assim D é reescrito como
D = {(r,θ) : 0≤ r ≤ 3, 0≤ θ≤ 2π}.
Continuando...
A =
x
D
√
1+4x2 +4y2dA =
∫ 3
0
∫ 2π
0
√
1+4r2 r dr dθ
=
∫ 2π
0
dθ
∫ 3
0
r
√
1+4r2 dr
= π
1
6
(1+4r2)
3
2
∣∣∣3
0
= π
1
6
(
37
3
2 −1
)
.
Portanto, A = π
6
(
37
√
37−1
)
u.a..
�
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Então,
A =
x
D
|rx× ry|dxdy =
x
D
√
1+
[
∂f
∂x
]2
+
[
∂f
∂y
]2
dxdy =
x
D
√
1+4x2 +4y2dxdy.
Coordenadas polares: x = r cos(θ) e y = r sen(θ); assim D é reescrito como
D = {(r,θ) : 0≤ r ≤ 3, 0≤ θ≤ 2π}.
Continuando...
A =
x
D
√
1+4x2 +4y2dA =
∫ 3
0
∫ 2π
0
√
1+4r2 r dr dθ
=
∫ 2π
0
dθ
∫ 3
0
r
√
1+4r2 dr
= π
1
6
(1+4r2)
3
2
∣∣∣3
0
= π
1
6
(
37
3
2 −1
)
.
Portanto, A = π
6
(
37
√
37−1
)
u.a..
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Área de Superfície
Observação (2; Área de superfície do gráfico de uma função.)
Seja S a superfície descrita por:
(i) S = {(x,y,z) ∈ R3 : z = f (x,y)};
(ii) S = {(x,y,z) ∈ R3 : y = g(x,z)};
(iii) S = {(x,y,z) ∈ R3 : x = h(y,z)}.
A área de S é:
(i) A(S) =
x
D
√
1+
[
∂f
∂x
]2
+
[
∂f
∂y
]2
dA, ou A(S) =
x
D
√
1+
[
∂z
∂x
]2
+
[
∂z
∂y
]2
dA;
(ii) A(S) =
x
D
√
1+
[
∂g
∂x
]2
+
[
∂g
∂z
]2
dA, ou A(S) =
x
D
√
1+
[
∂y
∂x
]2
+
[
∂y
∂z
]2
dA;
(iii) A(S) =
x
D
√
1+
[
∂h
∂y
]2
+
[
∂h
∂z
]2
dA, ou A(S) =
x
D
√
1+
[
∂x
∂y
]2
+
[
∂x
∂z
]2
dA.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Exercícios: [1–3]
1 - Determine se os pontos P e Q pertencem a superfície paramétrica dada.
(a) r(u,v) = (2u+3v,1+5u− v,2+u+ v), P(7,10,4) e Q(5,22,5).
(b) r(u,v) = (u+ v,u2− v,u2 + v), P(3,−1,5) e Q(−1,3,4).
2 - Parametrize as superfícies dadas abaixo e determine as curvas coordenadas nos pontos indicados.
(a) Plano x+ 1
2 y+ 1
3 z = 1; P
( 1
4 ,
1
2 ,
3
2
)
.
(b) A metade inferior do elipsóide 2x2 +4y2 + z2 = 1; P
(
1
2
√
3
2 ,−
1
4 ,0
)
.
(c) A parte da esfera x2 + y2 + z2 = 16 que está acima do cone z =
√
x2 + y2; P
(√
11
2 ,1, 7
2
)
.
3 - Encontre equações paramétricas para a superfície obtida pela rotação da curva y = e−x, 0≤ x≤ 3,
ao redor do eixo x.
4 - Use um computador para representar graficamente as superfícies paramétricas dadas abaixo.
(a) r(u,v) = (u2 +1,1+ v3,u+ v), u ∈ [−1,1], v ∈ [−1,1].
(b) r(u,v) = (ucos(v),usen(v),u5), u ∈ [−1,1], v ∈ [0,2π].
(c) r(u,v) =
(
cos(u)sen(v),sen(u)sen(v),cos(u)+ ln
[
tan
( v
2
)])
, u ∈ [0,2π], v ∈ [0.1,6.2].
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Exercícios: [1–3]
5 - Encontre uma equação do plano tangente à superfície paramétrica dada no ponto indicado. Se você
tiver um software que faça gráficos de superfícies paramétricas, use um computador para fazer o
gráfico da superfície e do plano tangente.
(a) r(u,v) = (u+ v,3u2,u− v); P(2,3,0).
(b) r(u,v) = (uv,usen(v),vcos(u)); u = 0 e v = π.
(c) r(u,v) =
(
u,v,u2 +2v2); P(0,1,2).
6 - Calcular a área das superfícies dadas abaixo.
(a) Plano 2x+2y+3z = 6, tomado no primeiro octante.
(b) Parte do cilindro x2 + z2 = 25 limitado pelos planos x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3.
(c) Parte do parabolóide z = x2 + y2 abaixo do plano z = 2.
(d) Parte da esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 3x.
(e) Superfície com equações paramétricas x = u2, y = uv e z = 1
2 v2, para u ∈ [0,1] e v ∈ [0,2].
7 - Mostre que as equações paramétricas x = asen(u)cos(v), y = bsen(u)sen(v) e z = ccos(u), para
u ∈ [0,π] e v ∈ [0,2π], representam um elipsóide.
8 - Mostre que as equações paramétricas x = acosh(u)cos(v), y = bcosh(u)sen(v) e z = csenh(u), para
u ∈ [0,π] e v ∈ [0,2π], representam um hiperbolóide de uma folha.
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Superfícies Parametrizadas Área de Superfície Exercícios Referências
Referências
[1] M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo C - Funções vetoriais,
integrais curvilíneas, integrais de superfície. Makron books, Brasil, 3rd
edition, 2000.
[2] J. STEWART. Cálculo: Volume II. Thomson Learning, Brasil, 5rd
edition, 2006.
[3] J. STEWART. Calculus Early Transcendentals. Thomson Learning,
USA, 6rd edition, 2008.
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	Representação paramétrica de superfícies
	Área de Superfície
	Exercícios
	Referências