Geometria Analitica - superficies

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TIRADENTES 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
ANTÔNIO GABRIEL SANTOS VASCONCELOS 
DAVID FREIRE FONTES 
GUILHERME PINHO MENDES 
IGOR TULIO LIMA SILVA 
JÂNIO GABRIEL RIBEIRO COSTA 
LUIZ FERNANDO DOS SANTOS BEZERRA 
 
 
 
 
 
 
 
SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS E SUPERFÍCIES 
CILÍNDRICAS E CÔNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
ARACAJU/SE 
2022 
ANTÔNIO GABRIEL SANTOS VASCONCELOS 
DAVID FREIRE FONTES 
GUILHERME PINHO MENDES 
IGOR TULIO LIMA SILVA 
JÂNIO GABRIEL RIBEIRO COSTA 
LUIZ FERNANDO DOS SANTOS BEZERRA 
 
 
 
 
 
SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS E SUPERFÍCIES 
CILÍNDRICAS E CÔNICAS 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à Universidade 
Tiradentes como requisito parcial à 
aprovação no 3° semestre do curso 
de Engenharia Civil para a obtenção 
de média semestral para a disciplina 
Geometria Analítica e Álgebra 
 
TUTOR: Carlos Gustavo Pereira 
Moraes 
 
 
 
 
 
ARACAJU/SE 
2022 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO A SUPERFÍCIES 4 
2. SUPERFÍCIE CILÍNDRICA 6 
2.1 Objetivos 7 
2.2 Tipos e formulas 7 
2.3 Discussões e exemplos 11 
3.SUPERFÍCIES QUÁDRICAS (CENTRADAS E NÃO CENTRADAS) 14 
3.1 Tipos de superfícies quádricas 15 
3.2 Superfícies centradas 16 
3.3 Superfícies não centradas 20 
4. EXEMPLOS 21 
CONSIDERAÇÕES 23 
REFERÊNCIAS 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO A SUPERFÍCIES 
 
Começamos com a ideia intuitiva de superfície como um conjunto de 
pontos no espaço R³, com caráter bidimensional. Isso pode ser representado 
tridimensionalmente, por exemplo, por meio da deformação sem rompimento de 
uma placa delgada de borracha. Esse conceito de superfície leva a uma grande 
variedade de possibilidades, o que torna complexo e exaustivo o estudo geral 
das superfícies em R³. 
Observe na Figura 1 que as retas transversais ao eixo X estão avançando 
ao longo da curva, chamada diretriz, e vão gerando o plano. Por esta razão, são 
chamadas de retas geratrizes. 
 
 
Figura 1 - . Elementos da superfície cilíndrica: diretriz e geratriz 
 
Fonte: SUPERFÍCIE (2017) 
 
Os planos e demais superfícies, como as superfícies cilíndricas, esféricas, 
paraboloides, elipsoides e hiperboloides, encaixam-se na ideia intuitiva de 
superfícies abordada. Todas elas são escritas por meio de equações em x, y e 
z. 
 
Como explicado acima, a reta que se move é denominada geratriz e 
qualquer posição que ela assume é denominada geratriz da superfície cilíndrica; 
a curva plana fixa é a diretriz da superfície cilíndrica. Quando a geratriz for 
perpendicular ao plano que contem a curva diretriz, o cilindro é denominado 
cilindro reto. 
Esse tipo de superfície pode ser visto como um conjunto de infinitas retas 
paralelas, que são as infinitas posições assumidas pela geratriz. Na Figura 1, a 
geratriz é uma reta paralela ao eixo z e a diretriz é uma elipse no plano XOY. 
Essa superfície é um cilindro elíptico reto. Se ao invés de uma elipse tivéssemos 
um círculo, a superfície seria um cilindro circular reto 
 
 
Figura 2 - Gráfico de um cilindro circular reto em 3D. 
 
Fonte: Winterle (2000) 
 
 
Quando a geratriz não for perpendicular ao plano que contém a curva 
diretriz, a superfície é denominada cilindro oblíquo. (Figura 3) 
 
 
Figura 3 - Superfície cilíndrica oblíqua: geratriz oblíqua em relação 
 
Fonte: Marcio (2015) 
 
 
2. SUPERFÍCIE CILÍNDRICA 
 
Superfície cilíndrica ou cilindro é a superfície gerada por uma reta móvel 
(denominada geratriz) que se apoia sobre uma curva fixa. 
Na figura abaixo tem-se: a diretriz é representada por uma curva plana 
fixa no E³. A diretriz é dada pela interseção de 2 superfícies: 
 
Figura 4 - Superfície Cilíndrica 
 
Fonte: nota10.com.br / 5e2244cd2c7a5312bdd4689dc2e7ab8b.pdf 
d
𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
 
 
Geratriz: a geratriz g é a reta móvel, cuja direção é a do vetor v= (l, m, n) 
e que desliza sobre a diretriz, mantendo a sua direção. Na figura limitou-se o 
comprimento das geratrizes, mas deve ficar entendido que elas se prolongam 
indefinidamente. A superfície cilíndrica pode ser circular, parabólica, elíptica ou 
hiperbólica, conforme a diretriz seja um círculo, uma parábola, uma elipse ou 
uma hipérbole. Em particular, se a diretriz for uma reta a superfície cilíndrica é 
um plano. 
 
 
2.1 Objetivos 
 
 Definir superfície cilíndrica. 
 Classificar as superfícies cilíndricas em circular, elíptica, parabólica e 
hiperbólica. 
 Descrever uma superfície cilíndrica a partir de sua equação. 
 
 
2.2 Tipos e formulas 
 
Começaremos a definir os tipos de superfícies cilíndricas partindo da 
explicação dos termos utilizados na sua identificação. Por exemplo, por que 
chamamos superfície quádrica? Bem, o termo quádrica foi adotado para 
relacionar o fato de as equações que descrevem essas superfícies serem 
equações de 2º grau, ou equações quadráticas. As quádricas chamadas de 
superfícies cilíndricas têm equações idênticas às das cônicas no plano, mas são 
consideradas agora no espaço R³. Normalmente a reta fixa (e a geratriz) é 
perpendicular ao plano da curva plana ou cônica, e, neste caso, a equação da 
superfície cilíndrica (ou cilindro) é a mesma equação da curva plana fixa (diretriz) 
ou cônica. Embora os nomes dados às quádricas possam parecer complicados, 
há uma coerência bem estruturada na nomenclatura. Entender o mecanismo de 
formação dos nomes e sobrenomes dessas superfícies ajudará a visualizar 
rapidamente e memorizar algumas das suas características. Por exemplo, qual 
foi o critério para escolher o sobrenome das quádricas cilíndricas? Para esboçar 
gráficos das superfícies cilíndricas é necessário determinar a interseção da 
superfície com os planos coordenados (cortes transversais). Dessa forma, o 
nome da quádrica cilíndrica homenageia seus cortes transversais. Classificamos 
uma superfície cilíndrica pelo seu nome e a identificamos pela equação. Na 
equação da quádrica cilíndrica reta, por exemplo, uma das variáveis está 
ausente. 
 
Cilindro parabólico: Esta superfície pode ser descrita como uma 
parábola, mas vista no espaço. Uma das variáveis de sua equação é livre e, 
portanto, infinitos valores são possíveis. Em termos gráficos, se o corte 
transversal for uma parábola, a quádrica cilíndrica será parabólica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concluímos que o cilindro parabólico S é a superfície quádrica cujas 
seções planas, obtidas de sua interseção com os planos paralelos ao plano XY, 
são parábolas de mesmo tipo. Ou seja, a única condição imposta a um ponto P 
= (x, y, z) para pertencer a S é a de que suas coordenadas verifiquem a equação 
de S: 
S: 𝑦 =
²
²
 
 Figura 5.1 - Cilindro Parabólico Figura 5 - Parábola 
Cilindro elíptico: Esta superfície pode ser descrita como uma elipse, mas 
vista no espaço R³. Se o corte transversal for uma elipse, a quádrica cilíndrica é 
elíptica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concluímos que o cilindro elíptico proposto ´e a superfície quádrica cujas 
seções planas, obtidas de sua interseção com planos paralelos ao plano XY, são 
elipses de mesmo tipo, independentemente da coordenada z. Ou seja, a única 
condição imposta a um ponto P = (x, y, z) para pertencer a esse cilindro é que: 
 
𝑆 =
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1 
 
Cilindro hiperbólico: Esta superfície pode ser descrita como uma 
hipérbole vista no espaço R³. Se o corte transversal for uma hipérbole, a quádrica 
cilíndrica é hiperbólica. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Elipse Figura 6.1 - Cilindro Elíptico 
 Figura 7 - Hipérbole Figura 7.1 - Cilindro Hiperbólico 
O cilindro hiperbólico S é a superfície quádrica cujas seções planas, 
obtidas de sua interseção com os planos paralelos ao plano XY, são hipérboles 
de mesmo tipo, independentemente da coordenada z, ou seja, a condição para 
que um ponto P = (x, y, z) pertença a esse cilindro é que 
²
²
−
²
²
= 1 , portanto, a 
equação do cilindro quádrico hiperbólico S é: 
 
S:
x²
a²
−
y²b²
= 1 
 
Cilindro Quádrico de Revolução: Os cilindros quádricos de revolução 
são cilindros elípticos em que as diretrizes são círculos. Portanto, a equação de 
um cilindro quádrico de revolução S é da forma: 
 
S = x + y = a² 
 
Figura 8 - Cilindro quádrico de revolução S. 
 
Esse cilindro é obtido pela rotação da reta l:
x = a
y = 0 em torno do eixo OZ 
 
 
O Cilindro quádrico de revolução, também chamado de cilindro circular, 
onde está superfície pode ser descrita como uma circunferência vista no espaço 
R³. Possui uma variável livre em sua equação e, portanto, pode ser variada em 
infinitos valores possíveis. Se o corte transversal for uma circunferência, a 
quádrica cilíndrica é circular. 
 
Observação: Damos ênfase à expressão cilindro quádrico, porque há 
outros tipos de cilindros que não são quádricos, isto é, as coordenadas de seus 
pontos não satisfazem uma equação do segundo grau. Em todo o seguinte, 
omitiremos o termo quádrico para simplificar a linguagem, mas ele não deve ser 
esquecido. 
 
2.3 Discussões e exemplos 
 
O conjunto dos pontos (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem uma única 
equação da forma f (x, y, z) = 0 é denominado superfície. As superfícies 
cilíndricas com retas geratrizes paralelas a um dos eixos coordenados são fáceis 
de reconhecer e suas equações são na forma f (x, y, z) = k. As superfícies 
também podem ser parametrizadas, porém aqui não abordaremos as equações 
paramétricas das superfícies. A equação abaixo é entendida como a equação 
geral de segundo grau nas três variáveis x, y e z. Os pontos identificados nesse 
espaço tridimensional, cujas coordenadas cartesianas x, y e z satisfazem a 
equação, geram uma superfície quádrica. Ou seja, a equação de segundo grau 
em xyz determina um gráfico onde suas projeções determinam uma superfície 
quádrica. 
 
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + ax + by + cz + d = 0 
 
Se o termo independente d for igual a zero, a quádrica passa pela origem 
(0, 0, 0). O gráfico em três dimensões de uma equação que não apresenta uma 
determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica reta ao longo do 
eixo desta variável ausente. 
𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 𝑒 𝑧 = 0 
Se a variável z não aparece explicitamente na equação, ela é livre, e, 
portanto, a superfície é um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo OZ (a diretriz 
está no plano XOY, então a geratriz é o eixo z) 
 
Exemplo 1 - A equação x2 – y2 = 1, no plano, representa uma hipérbole e, no 
espaço XYZ, representa um cilindro hiperbólico de geratrizes paralelas a OZ e 
diretriz dada pela hipérbole de mesma equação, situada no plano XOY. 
 
Figura 9 - Cilindro hiperbólico com geratriz paralela a y 
 
Fonte: Wolfram (2017) 
 
F (x ; z) = 0 e y = 0 Se a variável y não aparece explicitamente na equação, 
ela é livre, e, portanto, a superfície é um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo 
OY. A diretriz está no plano XOZ, então a geratriz é o eixo y. 
 
Exemplo 2 - Determinemos os planos paralelos aos planos coordenados que 
intersectam o cilindro hiperbólico de equação S:
²
− z = 1. 
Solução: Como na equação só aparecem as variáveis x e z, então uma 
diretriz é a hipérbole 
²
− 𝑧 = 1, no plano y = 0. Portanto, as geratrizes de S são 
retas perpendiculares a esse plano, e os planos de equação y = k intersectam S, 
para todo k ∈ R. 
Olhemos as interseções com planos x = k. Substituindo x = k na equação 
de S, obtemos z =
²
− 1 que resulta em . 
Portanto, a interseção de S com o plano x = k é não-vazia se, e somente 
se, k² − 4 ≥ 0 ⇐⇒ k² ≥ 4 ⇐⇒ |k| ≥ 4 ⇐⇒ k ≥ a ou k ≤ −a, ou seja, há interseção 
com os planos x = k para k ≥ a ou k ≤ −a e não há interseção para os planos x = 
k com −a < k < a. 
Vejamos, agora, as interseções com planos z = k. Substituindo z = k na 
equação de S, obtemos 
²
= 1 + k que resulta em x = 4(1 + k ). 
Como nessa equação não há restrições aos valores de k, os planos de 
equação z = k interceptam S, qualquer que seja k ∈ R. 
 
Exemplo 3 – Identifiquemos a superfície S: y + 4z² = 0 
 
Solução: Como a equação é do segundo grau e somente aparecem as 
variáveis y e z, a superfície S é um cilindro quádrico que tem por diretriz 
 
D: 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 = 0
 
 
que é uma parábola no plano x = 0, logo, o cilindro é parabólico. A diretriz 
D tem sua equação do tipo y = − z², pois pode ser escrita na forma y = − z² 
Comparando os coeficientes, obtemos 4𝑝 = . Portanto 𝑝 = . Isso implica 
que, no plano Y Z, a diretriz da parábola D tem equação 𝑦 = e seu foco tem 
coordenadas 𝐹(0, − , 0). 
 
Exemplo 4 - A equação 4x2 + z = 2 representa, no plano, uma parábola com 
eixo de simetria sobre o eixo z. Portanto, no espaço, representa uma superfície 
cilíndrica parabólica (cilindro parabólico) (Figura 16), uma vez que a equação da 
superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretriz). 
 
Observação: A ausência da variável y significa que o gráfico em três dimensões 
de uma equação corresponde a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo y, que 
é a variável ausente. 
 
Figura 10 - Cilindro parabólico com geratriz paralela a y. 
 
Fonte: Superfícies (2017) 
 
F (y ; z) = 0 e x = 0 
 
 
 
3. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS (CENTRADAS E NÃO CENTRADAS) 
 
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + ax + by + cz + d = 0 
 
 A equação acima descrita é entendida como a equação geral de segundo 
grau nas três variáveis x, y e z, entende-se, portanto que todos os pontos 
identificados nesse espaço tridimensional cujas coordenadas cartesianas x, y e 
z satisfazem a equação, gerando uma superfície quádrica. Assim, a equação de 
segundo grau em xyz determina um gráfico onde suas projeções determinam 
uma superfície quádrica. Além disso, as mesmas são denominadas também de 
conicóides. 
Para a efetivação da equação é preciso que pelo menos um dos 
coeficientes [ A, B, (...) F ] seja não nulo pois, se todos os coeficientes forem 
nulos, a equação não será de segundo grau (representando um plano, ou até 
um ponto no espaço). Eliminando também, os casos triviais do tipo x² - x = 0, 
equivalente a x(x - 1) = 0 e portanto às duas equações x = 0 e x = 1, que 
representam dois planos paralelos ao plano y//z. 
A partir das superfícies quádricas não-degeneradas, sendo nem todos os 
seis coeficientes (A,B,C,D,E e F) não nulos, além dos quatro restantes (a,b,c e 
d), calcula-se então os invariantes da equação1 . Esses permitem a classificação 
das equações de segundo grau em três variáveis. 
 
3.1 Tipos de superfícies quádricas 
 
Superfície Esférica: É uma superfície esférica S que possui um centro C 
e o raio r > 0, sendo considerado o local geométrico dos pontos de espaço que 
mantém uma distância r de C. Sendo assim descrita: 
 
(x − xo) + (y − yo) + (z − zo) = r² 
 
Superfície Cilíndrica: Quando há uma curva C e uma reta r e a superfície 
é a união das retas paralelas a r e que passam por C. E quando a curva C for 
uma quadrática plana, então pode-se dizer que a superfície será uma quádrica 
no espaço. 
 
Superfície Cônica: No momento em que há a formação de uma curva C 
em um ponto V, que não pertence a C, sendo assim S a união das retas VQ, na 
qual Q percorre C. Assim como na superfície cilíndrica, no instante em que a 
curva C for uma quádrica plana, então a sua superfície será uma quádrica no 
espaço. 
 
Superfície de Rotação: Havendo uma reta r e uma curva C sendo a 
superfície S uma união das circunferências com centro em r e que acabam 
tangenciado em C, sendo r o eixo de rotação de S. Na maioria dos casos, quando 
a curva C é uma quádrica disposta de maneira plana, tendo uma superfície de 
grau maior que 2. E somete será quádrica quando C, além de ser quádrica, 
possui r como eixo de simetria. 
 
3.2 Superfícies centradas 
 
É possível por meio das alterações de coordenadas na rotação e/ou 
translação, sendo a equação geral, disposta antes, transformada em uma das 
formas: 
 
±
x²a²
±
y²
b²
±
z²
c²
= 1 
 
 A partir dessa forma são denominadas as formas canônicas ou os 
padrões de superfícies quádricas centradas. Com as combinações de sinais 
nesta equação, conclui-se que existem apenas três possibilidades na formação 
de superfícies, conforme o número de coeficientes positivos dos termos do 1º 
membro da equação. Se os coeficientes estiverem todos negativos, não existirá 
lugar geométrico. 
 
ELIPSOIDE: A Elipsóide é uma superfície regular determinada pela 
rotação de uma elipse em volta de seu eixo menor formando uma Superfície 
Elipsoidal. A mesma é determinada pela equação: 
 
x²
a²
+
y²
b²
+
z²
c²
= 1 
 
Traçando nos planos as coordenadas geram elipses, bem como os traços 
em planos paralelos aos planos coordenados, interceptando a superfície em 
mais de um ponto. Mas para tal é necessária a equivalência de a>0,b>0 e c>0 
 
Elipsoide de revolução: é definido como sendo o sólido geométrico 
gerado por uma elipse que gira em torno de seu eixo menor (eixo polar); constitui 
a forma definida matematicamente que mais se aproxima da forma verdadeira 
da terra; é a forma que permite maior precisão na representação da terra. 
 
Figura 11 - (a) Elipse; (b) elipsoide de revolução. 
 
Fonte: Winterle (2014) 
 
De maneira análoga, obtém-se o elipsoide de revolução em torno de Oz. 
Nesse caso, sua equação é obtida da equação da elipse, substituindo-se y por 
± 𝑥 + 𝑦². 
 
O elipsoide da maneira mais geral é representado pela equação: 
 
x²
a²
+
y²
b²
+
z²
c²
= 1 
 
onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semieixos 
do elipsoide. Note ainda que os pontos (±a,0,0), (0,±b,0) e (0,0,±c) são soluções 
da equação 
²
²
+
²
²
+
²
²
= 1, chamada forma canônica do elipsoide. 
 
HIPERBOLOIDE 
 
Hiperboloide de uma folha: No hiperboloide de uma folha, dois 
coeficientes dos termos do primeiro membro são positivos e um é negativo, 
determinando assim a hiperboloide de uma folha. Seguem as equações que as 
determinam, de acordo com os eixos coordenados da mesma: 
 
x²
a²
+
y²
b²
−
z²
c²
= 1 
 
 
 
 
x²
a²
+
y²
b²
−
z²
c²
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
x²
a²
−
y²
b²
+
z²
c²
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
−
x²
a²
+
y²
b²
+
z²
c²
= 1 
 
 
 
Os hiperboloides são superfícies quadricas que se caracterizam por 
apresentar três tipos de seções planas, sendo as mesmas hipérboles, elipses e 
retas. O hiperbolide de uma folha é simétrico relativamente com cada um dos 
planos coordenados e com a origem. Sua intersecção com o plano paralelo XOY 
Figura 12 - Hiperboloide de uma folha no eixo z 
Figura 13 - Hiperboloide de uma folha no eixo y 
Figura 14 - Hiperboloide de uma folha no eixo x 
é uma elipse, e sua intersecção com o plano YOZ ou XOZ é uma hipérbole. Os 
traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles 
e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos. 
Um hiperboloide de uma folha pode-se obter girando uma hipérbole ao redor de 
seu eixo transversal. Além disso, é uma superfície com regras duplas. Suas 
utilizações são amplas na construção civil. 
 
Hiperboloide de duas folhas: Um hiperboloide de duas folhas, com eixos AB é 
contraído como em conjunto com os pontos P tais que AP-BP é constante, 
originando-se AP da distância entre A e P, além disso A e B são titulados como 
focos do hiperboloide. Um hiperboloide de duas folhas consegue ser adquirido 
por meio da rotação de uma hipérbole ao redor do seu eixo focal. A partir disso, 
definida ela equação geral de ordem: 
 
−
x
a
−
y²
b²
+
z²
c²
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 - Hiperboloide de duas folhas no eixo x(a), no eixo y(b) e no eixo z(c) 
(b) (a) 
(c) 
3.3 Superfícies não centradas 
 
Paraboloide elíptico: Considere no plano yz a parábola de equações 𝑧 =
²
²
, x 
= 0 como mostra a Figura (a). Ao girarmos essa parábola em torno do eixo 0z, 
obteremos o paraboloide de revolução, como mostra a Figura (b), cuja equação 
reduzida será obtida da equação da parábola, substituindo-se y por ± 𝑥 + 𝑦². 
 
z =
x²
a²
+
y²
b²
 
 
 
Figura 16 - (a) Parábola; (b) paraboloide de revolução 
 
Fonte: Winterle (2017) 
 
Um paraboloide mais geral, denominado paraboloide elíptico, é 
representado pela equação reduzida: 
Z =
x²
a²
+
y²
b²
 
 
do paraboloide elíptico ao longo do eixo 0z. As outras duas formas são e 
representam paraboloides elípticos ao longo dos eixos 0y e 0x, respectivamente. 
y =
²
²
+
²
²
 𝑒 𝑥 =
²
²
+
²
²
 
Paraboloide hiperbólico: A superfície dada por uma equação do tipo 
z =
y²
b²
−
x²
a²
 
é denominada paraboloide hiperbólico, e essa equação é chamada forma 
canônica do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo 0z, como mostra a Figura 
abaixo. As outras formas da equação reduzidas são: 
y =
²
²
−
²
²
 x =
²
²
−
²
²
 
e representam paraboloides hiperbólicos ao longo dos eixos 0y e 0x, 
respectivamente. 
 
 
Figura 17 - Paraboloide hiperbólico. 
 
Fonte: Winterle (2014) 
 
 
 
4. EXEMPLOS 
 
Exemplo 1 - Identificar as quádricas representadas pelas equações: 2x² + 4y² + 
z² - 16 = 0. 
 
Solução: → 
²
+
²
+
²
= 1 
 
x = 0 , 
²
+
²
= 1 
Elipse: a = ±4 , b = ±2 . 
 
y = 0 , 
²
+
²
= 1 
Elipse: a = ±4 , b = ±√𝟖 = 𝟐√𝟐 ≅ 𝟐, 𝟖𝟑 
 
z = 0 , 
²
+
²
= 1 
Elipse: a = ±√𝟖 = 𝟐√𝟐 ≅ 𝟐, 𝟖𝟑 b = ±2 
 
Exemplo 2: z = x² + y² 
 
Solução: 
x=0 , z = y² 
Essa equação identifica uma parábola que intercepta o eixo z e percorre 
o eixo y. 
y=0 , x²=z 
Essa equação identifica uma parábola que intercepta o eixo z e percorre 
o eixo x. 
z = x² + y² 
 Essa equação identifica uma circunferência, no centro do sistema xyz. 
 
z=0, x²+y²=0 (raio = 0, não existe circunferência) z=4, x²+y²=4 (raio = 2, 
existe circunferência) e a medida que aumentamos z, o raio também aumenta 
(proporcionalmente), e o parabolóide vai crescendo infinitamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
 
 Por meio da exploração de conceitos da Geometria Analítica, foi possível 
demonstrar a disposição de superfícies quádricas no espaço tridimensional. O 
estudo permitiu a aproximação da teoria para com a aplicação visual de como 
são encontradas as formas no espaço das coordenadas cartesianas. Denotada 
como um estudo antigo, as superfícies quádricas são conteúdos práticos de 
inúmeras profissões, como é o caso de engenheiros e arquitetos. Sua exploração 
em sala de aula, feita basicamente com estudos teóricos deveria voltar-se para 
estudos complementares para a visualização da disposição de cada superfície 
estudada no contexto espacial. Garantindo dessa forma uma aproximação visual 
dos conteúdos programáticos vistos em sala de aula, com objetos presentes em 
nosso meio visual. Além disso, pode-se destacar a importância do estudo voltado 
a Matemática em sala de aula, com possibilidades de exploração prática das 
mais diversas formas. Assim, pode-se afirmar que a Matemática surgira da 
necessidade humana, evoluindo para estudos abstratos apenas a nossos olhos, 
pois cada conteúdo e situação há uma razão matemática por existir. Garantindo 
dessa maneira, a aproximação de conteúdos abstratos a nossos olhos com 
inúmeras situações cotidianas, afinal, tudo isso surgira para explicar fenômenos 
práticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
AFONSO, A. P. Cilindro hiperbólico. Matematiquês, Juiz de Fora, 2010b. Disponível em 
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=534>: Acesso em: 21 set. 2017. 
 
AFONSO, A. P. Cilindro parabólico. Matematiquês, Juiz de Fora, 2010a. Disponível em 
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=534>: Acesso em: 21 set. 2017 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA. Superfícies Quádricas. Disponível em< http://matematica-
ga.blogspot.com/2006/10/superfcies-qudricas.html>: Acesso em: novembro 2022. 
 
Garrido, Viviane; Cônicas e Quádricas. Introdução a superfícies cilíndricas.SAGAH 
plataforma online. Acesso em novembro 2022. 
 
Introdução a superfícies cilíndricas / 2001-2019 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E 
ESTATÍSTICA — MAT 01354 Cálculo e Geometria Analítica II. Disponível em 
<http://www.mat.ufrgs.br/~mat01354/quadrica/cilind.htm>. Acesso em novembro 2022. 
 
Jacir. J. Venturi. Nota10 pdf. Introdução a superfícies cilíndricas. Disponível em 
<http://www.nota10.com.br/Uploads/conteudos_arquivos/5e2244cd2c7a5312bdd4689d
c2e7ab8b.pdf>: Acesso em novembro 2022. 
 
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Álgebra Linear Com Aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC,2013. 
 
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1999 
 
QUÁDRICA. Disponível em <https://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%A1drica>.: Acesso 
em: dezembro de 2015. 
 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à álgebra linear. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 1997. 
 
SILVA, E. C. L. S. Estudo de cônicas e quádricas: construções com o uso do Geogebra. 
2018. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) — Programa de Mestrado 
Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT), Universidade Estadual 
Paulista, Presidente Prudente, 2018. 
 
WOLFRAM ALPHA. Computational Knowledge engine. Champaign, 2017. Disponível 
em <https://www.wolframalpha.com/>: Acesso em: novembro 2022.