Metodos Numericos

Prévia do material em texto

Pimissa Queirol Alcinda Macoda 
Alcides João Alexandre 
Francisco Mataruca Jr 
Aldo Magamba 
 
 
 
 
 
 
METODOS DAS TANGENTES 
CONDIÇÃO DE NEWTON ROBSON E FORIEL-GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Academia Militar ʺ Marechal Samora Machel" 
 
 Nampula 
2023
 
 
 
Pimissa Queirol Alcinda Macoda 
Alcides João Alexandre 
Francisco Mataruca Jr 
Aldo Magamba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de investigação de carácter avaliativo, a ser 
apresentado na disciplina de Metodos Numericos, como 
requisito parcial para obtenção do grau de licenciatura 
nas ciências militares na especialidade de Engenharia 
Militar 
 
 Docente: Tte Coronel Carlos Jóse Todorico Mendes 
 
 
 
Nampula 
 
2023
 
 
 
 
Índice 
1.Introdução ............................................................................................................... 1 
2. Desemvolvimento .................................................................................................. 2 
2.1. Método De Newton-Raphson .......................................................................... 2 
3. Interpretação Geométrica ....................................................................................... 3 
4. Análise De Convergência ...................................................................................... 4 
Teorema 4.1 (Método De Newton). ........................................................................ 5 
4.1.Condições De Newton-Raphson-Fourier .......................................................... 5 
4.2.Vantagens E Desvantagens ............................................................................... 6 
5.Conclusão ................................................................................................................ 7 
6.Bibliográfia ............................................................................................................. 8 
 
 
 
 
1 
 
1.INTRODUÇÃO 
Neste trabalho é apresentada de forma resumida Métodos das Tangentes, onde o Método 
de Newton-Raphson, também conhecido como Método das Tangentes, é um método iterativo 
utilizado para encontrar raízes de funções não lineares. Ele é baseado na ideia de aproximar a 
função por uma reta tangente ao seu gráfico em um ponto inicial e, em seguida, encontrar a 
interseção dessa reta com o eixo das abscissas para obter uma nova aproximação da raiz. Esse 
processo é repetido até que a raiz seja encontrada com a precisão desejada. 
Para que o Método de Newton-Raphson seja aplicável, é necessário que a função seja 
diferenciável e que a derivada não seja zero na raiz procurada. Além disso, a aproximação inicial 
escolhida deve estar suficientemente próxima da raiz para garantir a convergência do método. 
O Método da Interpolação Gráfica é uma técnica utilizada para encontrar raízes de funções 
não lineares por meio da interpolação linear do gráfico da função. Ele é baseado na ideia de traçar 
uma reta que ligue dois pontos do gráfico da função e encontrar a interseção dessa reta com o eixo 
das abscissas para obter uma nova aproximação da raiz. Esse processo é repetido até que a raiz 
seja encontrada com a precisão desejada. 
Os resultados da busca mostram que o Método de Newton-Raphson é um método das 
tangentes utilizado para encontrar raízes de funções não lineares. A condição de aplicabilidade do 
método é que a função seja diferenciável e que a derivada não seja zero na raiz procurada. Além 
disso, a aproximação inicial escolhida deve estar suficientemente próxima da raiz para garantir a 
convergência do método. O Método da Interpolação Gráfica é outra técnica utilizada para 
encontrar raízes de funções não lineares por meio da interpolação linear do gráfico da função. Ele 
é baseado na ideia de traçar uma reta que ligue dois pontos do gráfico da função e encontrar a 
interseção dessa reta com o eixo das abscissas para obter uma nova aproximação da raiz. Esse 
processo é repetido até que a raiz seja encontrada com a precisão desejada. 
 
 
 
 
 
2 
 
2. DESEMVOLVIMENTO 
2.1. Método de Newton-Raphson 
O método de Newton-Raphson é um tipo de método do ponto fixo que utiliza uma técnica diferente 
QAHHpra refinamento. 
Nesta seção, apresentamos o método de Newton-Raphson para calcular o zero de funções reais de 
uma variável real. 
Consideramos que 𝒙∗ seja um zero de uma dada função y= f(x) continuamente diferenciável, isto 
é, f(x*). A fim de usar a iteração do ponto fixo, observamos que, equivalentemente, x*é um ponto 
fixo da função: 
 
onde ᾳ(x) é uma função arbitrária, a qual escolheremos de forma que a iteração do ponto fixo 
tenha ótima taxa de convergência. 
Do teorema do ponto fixo, a taxa de convergência é dada em função do valor absoluto da 
derivada de g(x). Calculando a derivada temos: 
 
No ponto x=x∗, temos: 
 
Como f(x∗)=0, temos: 
 
Sabemos que o processo iterativo converge tão mais rápido quanto menor for |g′(x)| nas 
vizinhanças de x∗. Isto nos leva a escolher: 
 
e, então, temos: 
 
 
A discussão acima nos motiva a introduzir o método de Newton, cujas iterações são dada por: 
https://www.respondeai.com.br/conteudo/calculo-numerico/zero-de-funcoes-reais/metodo-do-ponto-fixo-mpf/1141
 
3 
 
 
sendo 𝒙(𝟏) uma aproximação inicial dada. 
3. Interpretação geométrica 
Seja uma dada função f(x) conforme na Figura 1. Para tanto, escolhemos uma aproximação 
inicial 𝑥(1) e computamos: 
 
 
Geometricamente, o ponto 𝑥(2) é a interseção da reta tangente ao gráfico da função f(x) no 
ponto x=𝑥(1) com o eixo das abscissas. Com efeito, a equação desta reta é: 
 
 
Assim, a interseção desta reta com o eixo das abscissas (y=0) ocorre quando: 
 
 
 
 
Figura 1: Interpretação do método de Newton. 
 
 
4 
 
Ou seja, dada aproximação 𝑥(𝑛), a próxima aproximação 𝑥(𝑛+1) é o ponto de interseção entre o 
eixo das abscissas e a reta tangente ao gráfico da função no ponto x=𝑥(𝑛). Observe a Figura 1. 
4. Análise de convergência 
 
Seja y=f(x) uma função com derivadas primeira e segunda contínuas tal que f(𝒙∗)=0 e f′(𝒙∗)≠0. 
Seja também a função g(x) definida como: 
 
 
Expandindo em série de Taylor em torno de x=𝒙∗, obtemos: 
 
Observamos que: 
 
Portanto: 
 
Com isso, temos: 
 
ou seja: 
 
com constante C=g″(𝒙∗) ∕2. Isto mostra que o método de Newton tem taxa de 
convergência quadrática. Mais precisamente, temos o seguinte teorema. 
 
 
 
 
5 
 
Teorema 4.1 (Método de Newton). 
Sejam 
 
Escolhendo p>0 tal que: 
 
definimos a bacia de atração do método de Newton pelo conjunto: 
 
Então, para qualquer 𝐱(𝟏)∈𝐤𝐩(𝐱∗) a iteração do método de Newton: 
 
fornece uma sequência 𝐱(𝐧) que converge para 𝐱∗, isto é, 𝐱𝐧→𝐱∗ quando n→∞. Além disso, 
temos a seguinte estimativa de erro a priori: 
 
e a seguinte estimativa de erro a posteriori: 
 
 
4.1.Condições de Newton-Raphson-Fourier 
1) Se f(a).f(b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) ou não existe raízes reais no intervalo (a,b) (Teorema de Bolzano) 
 
6 
 
2) Se f(a).f(b) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) no intervalo (a,b) (Teorema de Bolzano); 
3) 3) Se f'(a).f'(b) > 0, então o comportamento da função neste intervalo poderá ser apenas 
crescente ou apenas decrescente, e nunca os dois se alternando; 4) Se f'(a).f'(b) < 0, então 
a função alternará seu comportamento entre crescente e decrescente; 
4) 5) Se f''(a).f''(b) > 0, então a concavidade não muda no intervalo em análise; 6) Se 
f''(a).f''(b) < 0, então a concavidade muda no intervalo em análise. Portanto, haverá 
convergência à uma raiz no intervalo (a,b) se e somente se: f(a).f(b) <0, f'(a).f'(b) > 0 e 
f''(a).f''(b) > 0; 
4.2.Vantagens e Desvantagens 
O Método de Newton-Raphson tem convergência muito boa (quadrática). Entretanto, 
apresenta as seguintes desvantagens: 
(i) Exige o cálculo e a análise do sinal de f' e f'' ; 
(ii) (ii) Se f'(xk-1) for muito elevado a convergência será lenta; 
(iii) (iii) Se f'(xk-1) for próximo de zero pode ocorrer overflow. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
5.CONCLUSÃO 
Após a realização do trabalho que tinha como tema metodos das tangentes ,condição de 
newton robson e foriel-gráfica, concluimos que do método Newton-Raphson está relacionada à 
condição de Newton-Robson e à condição de Foriel-Gráfica. O método de Newton-Raphson é um 
método numérico eficiente para encontrar as raízes de uma equação não linear. O método envolve 
escolher uma aproximação inicial para a raiz e, em seguida, calcular a equação da linha tangente 
ao gráfico da função naquele ponto usando sua derivada. A interseção desta linha tangente com o 
eixo x dá uma melhor aproximação para a raiz. Este processo é repetido iterativamente até que o 
nível de precisão desejado seja alcançado.A condição de Newton-Robson é um critério para a 
convergência do método de Newton-Raphson. Ele afirma que, se a aproximação inicial estiver 
próxima o suficiente da raiz e a derivada da função for diferente de zero na raiz, o método 
convergirá para a raiz.A condição Foriel-Gráfica é outro critério para a convergência do método 
Newton-Raphson. Ele afirma que, se a aproximação inicial estiver próxima o suficiente da raiz e 
a derivada da função tiver um sinal constante em uma vizinhança da raiz, o método convergirá 
para a raiz. 
Em resumo, o método de Newton-Raphson é um método numérico eficiente para encontrar 
as raízes de uma equação não linear. A condição de Newton-Robson e a condição de Foriel-Gráfica 
são critérios para a convergência do método. 
 
 
8 
 
6.BIBLIOGRÁFIA 
 
 Método de Newton-Raphson (ufrgs.br); 
 DE FIGUEIREDO, D. G., Análise I. Rio de Janeiro: L.T.C., 1995; 
 S. D. CONTE. Elementary Numerical Analysis. MacGraw-Hill, 1965; 
 K. ATKINSON. An Introduction to Numerical Analysis. John Willey& Sons, New York, 
1983; 
 
 
 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/sdeduv-metodo_de_newton-raphson.html