Claro! Vamos passo a passo para aplicar o método de Newton-Raphson na função \( f(x) = x^3 + 3.8x^2 - 8.6x - 24.4 \), com aproximação inicial \( x_0 = 3 \) e tolerância \( \varepsilon = 0,01 \). 1. Definir a função e sua derivada: \[ f(x) = x^3 + 3.8x^2 - 8.6x - 24.4 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 7.6x - 8.6 \] 2. Fórmula do método de Newton-Raphson: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 3. Iterar até que \(|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon\): - Iteração 1: \( x_0 = 3 \) Calcular \( f(3) \) e \( f'(3) \): \[ f(3) = 27 + 34.2 - 25.8 - 24.4 = 11 \] \[ f'(3) = 27 + 22.8 - 8.6 = 41.2 \] Calcular \( x_1 \): \[ x_1 = 3 - \frac{11}{41.2} \approx 3 - 0,267 = 2,733 \] - Iteração 2: Calcular \( f(2,733) \) e \( f'(2,733) \): \[ f(2,733) \approx (2,733)^3 + 3.8(2,733)^2 - 8.6(2,733) - 24.4 \approx 0,94 \] \[ f'(2,733) \approx 3(2,733)^2 + 7.6(2,733) - 8.6 \approx 34,3 \] Calcular \( x_2 \): \[ x_2 = 2,733 - \frac{0,94}{34,3} \approx 2,733 - 0,0274 = 2,7056 \] - Iteração 3: Calcular \( f(2,7056) \) e \( f'(2,7056) \): \[ f(2,7056) \approx 0,03 \] \[ f'(2,7056) \approx 33,8 \] Calcular \( x_3 \): \[ x_3 = 2,7056 - \frac{0,03}{33,8} \approx 2,7056 - 0,0009 = 2,7047 \] 4. Verificar critério de parada: \[ |x_3 - x_2| = |2,7047 - 2,7056| = 0,0009 < 0,01 \] Portanto, a raiz positiva aproximada da função é \( x \approx 2,705 \). --- Resumo: - Função e derivada definidas. - Aplicação iterativa da fórmula de Newton-Raphson. - Critério de parada baseado na tolerância \( \varepsilon = 0,01 \). - Raiz positiva aproximada: \( x \approx 2,705 \).