09- Visual Tolerance Analysis for Engineering Optimization en pt

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Internacional J. Metrol. Qual. Eng.4, 153–162 (2013) ©
c EDP Ciências 2014 DOI:
10.1051/ijmqe/2013056
Análise visual de tolerância para otimização de engenharia
W.Zhou Wei1, M. Moore2e F. Kussener3,-
1SAS Institute Co., Ltd. No.1 East Chang An Ave, Pequim, República Popular da China
2Wittington House, Henley Road, Medmenham, Marlow, Buckinghamshire SL7 2EB, Reino Unido
3Instituto SAS, Domaine de Grégy, Grégy-sur-Yerres, 77257 Brie Comte Robert Cedex, França
Recebido: 8 de julho de 2013 / Aceito: 5 de outubro de 2013
Abstrato.As metodologias clássicas do DOE são amplamente aplicadas em design, fabricação, gestão da qualidade e 
áreas afins. Os dados resultantes podem ser analisados com métodos de modelagem linear como regressão múltipla 
que gera um conjunto de equações,S=F(X), que nos permitem compreender como a variação da média de um ou mais 
inputs altera a média de uma ou mais respostas. Para desenvolver, ampliar e transferir processos robustos para a 
fabricação, também precisamos definir as tolerâncias de controle de cadaX e compreender até que ponto a variação no 
nível críticoXse propaga até a variação no S'se isso pode impactar o desempenho em relação aos requisitos (ou 
especificações). A análise de tolerância visual fornece uma maneira simples de compreender e reduzir a propagação da 
variação deXé paraS's usando modelos desenvolvidos a partir de dados históricos ou do DOE. Este artigo introduz 
brevemente o conceito de análise de tolerância e o estende à análise visual de tolerância por meio de perfis de defeitos e 
perfis paramétricos de defeitos. Com a ajuda da análise de tolerância visual, os analistas de engenharia e estatísticos 
podem trabalhar juntos para encontrar os principais fatores responsáveis pela propagação de variações indesejadas 
nas respostas e como reduzir esses efeitos para fornecer um processo robusto e econômico. Uma abordagem de estudo 
de caso é usada para auxiliar na explicação e compreensão.
Palavras-chave:Otimização de engenharia; análise de tolerância; visualização; perfil do defeito; perfil paramétrico de 
defeito
1. Introdução 2 Propagação de erro
Os métodos convencionais de DOE e de modelagem ajudam a 
projetar e desenvolver novos produtos e processos e transferi-
los para a produção. Como parte do processo de transferência, 
muitas vezes é difícil compreender a consistência do 
desempenho do produto ou processo sob condições reais de 
uso ou fabricação. Figura1ilustra esse dilema. O gráfico do 
lado esquerdo exemplifica condições de desenvolvimento 
onde é possível controlar as entradas do processo com pouca 
ou nenhuma variação, resultando em pouca ou nenhuma 
variação de execução para execução sendo transferida para oS
's ao controlar oXestá em suas configurações ideais. O caso de 
uso real ou situação de fabricação é ilustrado no gráfico à 
direita, onde há uma certa variação descontrolada noXé que é 
transmitido para oS'S. Infelizmente, quando a produção em 
massa começa, muitas vezes descobrimos que a variação é 
muito maior do que o esperado. A capacidade real do 
processo é inferior à prevista nos testes de P&D, o que resulta 
em investigações adicionais de engenharia e aprendizado 
durante a fabricação para melhorar gradativamente a 
capacidade.
As principais causas desta variação de lote para lote são 
muitas e incluem variação incontrolável de lote para lote 
em situações críticas.Xé sobre suas configurações ideais e 
variação aleatória de lote para lote (que pode incluir
Com a ajuda da triagem de DOEs, como fatoriais fracionários ou 
completos, projetos D-ótimos ou similares, podemos filtrar os 
poucos fatores críticos modelando os efeitos principais (e 
possivelmente de interação). Os projetos RSM nos permitem 
ajustar nosso modelo e prever as configurações dos principais 
fatores necessários para otimizar a média de nossas respostas.
Algumas abordagens DOE, como os métodos Taguchi, tentam 
otimizar a resposta à média e à variância para entregar processos 
robustos. Como eles cruzam um projeto de matriz interna nos 
fatores de controle com um projeto de matriz externa nos fatores 
de ruído, o tamanho total do projeto aumenta muito rapidamente 
e o projeto de matriz interna tende a ser limitado a projetos do 
tipo fatorial fracionário que nos limitam à modelagem linear 
efeitos que não são tão úteis quando precisamos explorar faixas 
de fatores mais amplas. A abordagem apresentada aqui requer 
significativamente menos execuções totais do que os 
experimentos de Taguchi (porque não requer o cruzamento de 
uma matriz interna com uma matriz externa) e fornece mais 
informações sobre como otimizar processos para robustez porque 
permite a modelagem de mais do que efeitos principais .
- Correspondência: Florence.Kussener@jmp.com
Artigo publicado pela EDP Ciências
Traduzido do Inglês para o Português - www.onlinedoctranslator.com
http://dx.doi.org/10.1051/ijmqe/2013056
http://www.edpsciences.org
https://www.onlinedoctranslator.com/pt/?utm_source=onlinedoctranslator&utm_medium=pdf&utm_campaign=attribution
154 Revista Internacional de Metrologia e Engenharia de Qualidade
Mesa 2.Especificação de resposta.
Resposta
Abrasão
Elasticidade
Alongamento
Dureza
LSL
100
USL
200
2000
550
75
400
65
Tabela 3.Tolerâncias de fator.
Fator
Sílica
Silano
Enxofre
LL
0,95
44
1,8 2,7
UL
1,55
56Figura 1.Exemplo de capacidade de processo.
tolerâncias de controle eficazes para o críticoXe não a 
definição de tolerâncias excessivamente rígidas que seriam 
dispendiosas para manter na produção, ou seja, qual é a maior 
tolerância de controle que o processo pode sustentar 
enquanto transfere níveis aceitáveis de variação em 
respostas relativas às especificações.
A competição e o maior conhecimento dos métodos de 
melhoria da qualidade impulsionaram o estudo e a aplicação de 
técnicas avançadas, como a análise de tolerância. A análise de 
tolerância visual é uma variante que explora uma ampla gama de 
diferentes formas visuais, como gráficos e criadores de perfil com 
controles de animação para auxiliar na compreensão e 
comunicação da propagação da variação. O desenvolvimento da 
tecnologia da informação está simplificando a aplicação da análise 
visual de tolerância, tornando mais fácil para os grupos de 
engenharia tomarem decisões mais informadas sobre tolerâncias 
e controles de processos.
Figura 2.Modelo geral de processo de engenharia.
Tabela 1.Definição de termos.
Termos
σ2
Definição
Variância da variável de saída Y 
Variação da variável de entradaXn
Coeficiente de sensibilidade da variável de entradaXn
S
(σ2Xn )
∂f
∂Xn
( ) Contribuição da variável de entradaXn
para a variância da variável de saída
σf
σXn σ2Xn
contribuições de críticos não identificadosXde). Figura2 
representa a função de transferência deX(fatores) paraS's 
(respostas) com a função de transferênciaS=F(X) sendo 
aproximado por métodos de modelagem linear, como 
regressão múltipla.
Métodos de regressão são usados para modelar a 
maneira como a média de um ou maisX's muda a média de 
cadaS.Tal análise pode não lidar adequadamente com a 
situação quando não é possível controlar exatamente o 
ponto crítico.X's. A variação incontrolável no nível críticoX
pode ser propagado até Y conforme definido pela equação 
(1) e Tabela1.
4 Estudo de caso
O estudo de caso a seguir demonstrará a aplicação da 
análise visual de tolerância na otimização de engenharia.
4.1 Antecedentes
A análise visual da tolerância será ilustrada com dados de 
Derringer e Suich [1]. Existem quatro respostas de saída 
conforme descrito na Tabela2.
Trabalhos anteriores estabeleceram três fatores críticos com 
faixas experimentais descritas na Tabela3: (LL: Limite Inferior, UL: 
Limite Superior)
Usando os intervalos de fatores na Tabela3, foi realizado um projeto de 
superfície de resposta de 20 execuções, cujos resultados são apresentados 
na Tabela4.
( ∂f ) 2 ( ) 2∂f
∂Xn
σ2S= σ2 + .∂X X1 . . + σ2X. (1)n1
3 Análise de tolerância
A análise de tolerância é uma abordagem para modelara propagação 
de erros e ajuda a definir tolerâncias de controle econômicas (não 
apenas configurações alvo) das variáveis de entrada críticas durante 
as fases de P&D, para garantir que nossas respostas sejam insensíveis 
à variabilidade das variáveis de entrada, para que possam 
permanecer dentro dos requisitos do cliente ou das especificações de 
engenharia na produção. A ênfase precisa estar no custo
4.2 Processo de simulação de Monte Carlo
Após estimativa e seleção do “melhor” modelo de regressão pelo 
método dos mínimos quadrados padrão, a função de desejabilidade 
com base nos requisitos definidos na Tabela2foram usados para 
otimizar o processo para desempenho médio e forneceram as 
configurações de fator sugeridas de Sílica = 0,99, Silano = 52,
W. Zhou Wei et al.: Análise de tolerância visual para otimização de engenharia 155
Tabela 4.Cronograma e resultado do experimento.
- - - Abrasão Elasticidade Alongamento Dureza Sílica Silano Enxofre-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
102
120
117
198
103
132
132
139
102
154
96
163
116
153
133
133
140
142
145
142
900
860
800
2294
490
1289
1270
1090
770
1690
700
1540
2184
1784
1300
1300
1145
1090
1260
1344
470
410
570
240
640
270
410
380
590
260
67,5
65
77,5
74,5
62,5
67
78
70
76
70
0,7
1.7
0,7
1.7
0,7
1.7
0,7
1.7
0,3835
2.0165
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
40
40
60
60
40
40
60
60
50
50
2.8
1,8
1,8
2.8
1,8
2.8
2.8
1,8
2.3
2.3
520 63 33,67
66,33
2.3
2.3380
520
290
380
380
430
430
390
390
75
65
71
70
68,5
68
68
69
70
50
50
50
50
50
50
50
50
1,4835
3.1165
2.3
2.3
2.3
2.3
2.3
2.3
e Enxofre = 2,1. Conforme indicado na Figura3nossas respostas 
médias previstas de 131 para Abrasão, 1164 para Elasticidade, 469 
para alongamento e 70 para dureza comparam-se bem com os 
requisitos especificados na Tabela2.
resposta, temos uma visão muito diferente do processo. Embora 
em média obtenhamos um bom desempenho, na operação do 
processo a longo prazo esperamos que uma ou mais respostas 
estejam fora da especificação em 26% das vezes. Usando um 
processo de tentativa e erro, poderíamos alterar a média e/ou 
desvio padrão de cada distribuição de entrada para tentar 
encontrar soluções alternativas que forneçam uma taxa geral de 
defeitos mais baixa. No entanto, este processo de tentativa e erro 
torna-se mais demorado e sujeito a erros à medida que o número 
de fatores e respostas aumenta.
Com este modelo, a simulação de Monte Carlo pode ser 
usada para avaliar até que ponto a variação nos insumos se 
propaga até a variação nos produtos. Por exemplo, discussões 
com engenheiros responsáveis pelo processo podem sugerir 
tolerâncias de controle para cada um dos três fatores com 
uma distribuição normal sobre os alvos definidos na Figura3 
com desvios padrão de 0,2, 4 e 0,2, respectivamente. Uma 
simulação de Monte Carlo então seleciona aleatoriamente um 
valor para cada fator de entrada de sua distribuição de 
controle proposta, substitui esses valores no modelo de 
regressão múltipla para fornecer um valor previsto para cada 
uma das quatro respostas às quais o erro aleatório é 
adicionado para representar a variação não controlada 
(estimada). pela variação dos resíduos do modelo de regressão 
que representa variação por fatores incontroláveis ou ainda 
não identificados). Para cada resposta o erro aleatório é 
simulado a partir de uma distribuição normal com média zero 
e desvio padrão estimado a partir dos resíduos do modelo de 
regressão. A execução de um grande número dessas 
simulações (no nosso caso 5.000) nos dá uma estimativa da 
taxa de defeitos (taxa fora da especificação) para cada 
resposta e a taxa geral de defeitos onde uma ou mais 
respostas estão fora da especificação. Figura4mostra os 
resultados de 5.000 simulações de Monte Carlo para o cenário 
acima e prevê uma taxa geral de defeitos de 27,38%.
Dois conceitos do software de descoberta estatística JMP – o 
perfil de defeitos e o perfil paramétrico de defeitos – são usados 
para fornecer funções objetivas para minimizar a taxa geral de 
defeitos. O perfilador de defeitos ilustrado na Figura5mostra a 
taxa de defeitos como uma função isolada de cada fator. Ele 
representa graficamente a taxa geral de defeitos (escala de raiz 
cúbica) para cada resposta. As curvas com cores diferentes, por 
exemplo, vermelho e azul (que não está disponível na versão 
impressa), representam a relação entre a configuração do fator e a 
taxa de defeito em relação às diferentes especificações para cada 
resposta, por exemplo, especificação inferior em vermelho para a 
resposta e especificação superior em azul para a resposta. A curva 
preta representa a taxa geral de defeitos da resposta. O valor do 
fator que minimiza a taxa global de defeitos para um determinado 
fator é indicado no ponto de inflexão.
Este gráfico mostra a taxa de defeitos em função de cada fator, 
como se fosse mantida constante, mas todos os outros fatores variam 
de acordo com sua especificação aleatória. Se houver múltiplas saídas 
com limites de especificação, haverá uma curva de taxa de defeito 
codificada por cores para cada saída e um preto
Após aplicar as tolerâncias de controle propostas para os 
três fatores críticos e a variação descontrolada em cada
156 Revista Internacional de Metrologia e Engenharia de Qualidade
Perfilador de previsão
Figura 3.Solução com máxima conveniência.
A curva mostra a taxa geral de defeitos – esta curva está acima de 
todas as curvas coloridas (conforme ilustrado na Fig.7).
Abaixo de cada gráfico de perfil de defeito está a média 
e o desvio padrão (DP). A média é a taxa geral de defeitos, 
calculada integrando a curva do perfil de defeitos com a 
distribuição de fatores especificada. O desvio padrão é 
uma boa medida da sensibilidade das taxas de defeitos ao 
fator. É muito pequeno se o perfil do fator for plano ou se a 
distribuição do fator tiver uma variância muito pequena. 
Comparar os SD entre fatores é uma boa maneira de saber 
qual fator deve receber mais atenção para reduzir a 
variação.
Em segundo lugar, o perfil paramétrico do defeito mostrado na 
Figura6, mostra como mudanças únicas nos parâmetros de 
distribuição dos fatores afetam a taxa de defeitos. Temos agora quatro 
curvas com cores diferentes (que não estão disponíveis na versão 
impressa) representando os efeitos de quatro estratégias de controle 
diferentes em torno do fator:
– LSL Chop, representa a mudança na taxa de defeitos 
rejeitando quaisquer valores do fator abaixo do LSL por meio 
de inspeção;
– USL Chop representa a mudança na taxa de defeitos 
rejeitando quaisquer valores do fator acima do USL por meio 
de inspeção.
Além disso, a linha pontilhada vermelha (que não está 
disponível na versão impressa) representa o valor da média 
atual do fator de processamento, enquanto as duas linhas 
pontilhadas azuis (que não estão disponíveis na versão 
impressa) representam o valor que é igual à média atual do 
fator de processamento mais ou menos um desvio padrão 
atual, respectivamente. A curva com menor defeito mínimo 
indica a estratégia de controle para o fator que resulta na 
maior redução na taxa de defeitos. No caso ilustrado na Figura
6, a curva azul (que não está disponível na versão impressa) 
corresponde à menor taxa mínima de defeitos, o que indica 
que podemos obter a maior redução na taxa geral de defeitos 
reduzindo o desvio padrão do fator. Esta oportunidade 
poderia agora ser explorada para avaliar o custo-benefício 
desta mudança.
– o deslocamento médio representa a mudança na taxa geral de 
defeitos, alterando a média do fator;
– Padrão Estreito representa a mudança na taxa de 
defeitos reduzindo o desvio padrão do fator;
W. Zhou Wei et al.: Análise de tolerância visual para otimização de engenharia 157
Perfilador de previsão
Figura 4.Taxa de defeito simulada para cenário inicial.
Figura 6.Exemplo de perfil paramétrico de defeito.Figura 5.Exemplo de perfil de defeito.
Examinando o perfilador paramétrico de defeitos para a nossa 
situação,vemos que a redução do desvio padrão da sílica terá o 
maior impacto na taxa de defeitos. Na verdade, se nós
pudesse reduzir o desvio padrão para perto de zero, 
esperaríamos que a taxa geral de defeitos fosse próxima de 
0,1 ou 10%.
158 Revista Internacional de Metrologia e Engenharia de Qualidade
Detectar criador de perfil
Perfil paramétrico de defeito
Figura 7.Perfil de defeito simulado e perfil paramétrico de defeito antes da melhoria da tolerância de controle.
4.3 Melhoria de processos Tabela 5.Comparação de resultados.
Antes
0,2
4
0,2
27,38%
Depois
0,1
2
0,1
1,06%
Decidimos que um desvio padrão de controle para sílica de 0 é 
impraticável e, em vez disso, tentamos uma redução de 50% para 
um desvio padrão de 0,1. Executando a simulação de Monte Carlo 
com esta mudança, obtemos uma taxa global de defeitos 
estimada de 11,44%, o que é uma melhoria muito útil.
O perfil paramétrico de defeitos atualizado mostra agora 
que a próxima maior redução na taxa geral de defeitos pode 
ser obtida reduzindo o desvio padrão do enxofre. Reduzir isso 
em 50%, de 0,2 para 0,1, fornece uma taxa de defeito geral 
prevista da simulação de Monte Carlo de 6,22%, conforme 
indicado na Figura9.
O perfil paramétrico de defeito revisado na Figura9mostra 
que a próxima maior redução na taxa geral de defeitos pode 
ser obtida reduzindo o desvio padrão do silano. Reduzir isso 
em 50% de 4 para 2 fornece uma taxa geral de defeitos 
prevista na simulação de Monte Carlo de 1,06%, conforme 
indicado na Figura10.
É claro que isso não é o melhor que podemos obter do 
processo. O perfil paramétrico do defeito na Figura10indica 
que é possível reduzir ainda mais a taxa geral de defeitos 
reduzindo o desvio padrão da sílica. Poderíamos continuar 
iterando desta forma até alcançarmos o desejado
Sílica SD
Silano SD
Enxofre SD
Taxa de todos os defeitos
equilíbrio entre o custo do aumento do controle dos fatores versus o 
benefício da redução de defeitos. Reduções adicionais nas taxas de 
defeitos poderiam ser obtidas visando a variação aleatória de 20,5 no 
alongamento. Se pudéssemos identificar factores adicionais que são 
responsáveis por uma grande proporção desta variação, então 
controlar estes factores até agora não identificados de uma forma 
semelhante à Sílica, Silano e Enxofre poderia fornecer uma forma mais 
económica de redução adicional de defeitos.
4.4 Resultados completos
As diferentes tolerâncias de controle para cada fator estão 
resumidas na Tabela5, com a taxa total de defeitos estimada
W. Zhou Wei et al.: Análise de tolerância visual para otimização de engenharia 159
perfilador de previsão
Perfilador de defeitos
Perfil paramétrico de defeito
Figura 8.Perfil de previsão simulado após a primeira iteração de melhoria da tolerância de controle.
D
es
ej
ab
ili
da
de
D
ur
ez
a
Al
on
ga
m
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to
El
as
tic
id
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Ab
ra
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o
0 
0,
25
 0
,7
5 
1
0,
5 1
1,
5 2 30 40 50 60 70 1,
5 2
2,
5 3 0
0,
25 0,
5
0,
75 1
160 Revista Internacional de Metrologia e Engenharia de Qualidade
Perfilador de previsão
Perfilador de defeitos
Perfil paramétrico de defeito
Figura 9.Perfilador de previsão simulado após segunda iteração de melhoria da tolerância de controle.
D
es
ej
ab
ili
da
de
D
ur
ez
a
Al
on
ga
m
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Ab
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0,
25
 0
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1
0,
5 1
1,
5 2 30 40 50 60 70 1,
5 2
2,
5 3 0
0,
25 0,
5
0,
75 1
W. Zhou Wei et al.: Análise de tolerância visual para otimização de engenharia 161
Perfilador de previsão
Perfilador de defeitos
Perfil paramétrico de defeito
Figura 10.Perfil de previsão simulado após a terceira iteração de melhoria da tolerância de controle.
D
es
ej
ab
ili
da
de
D
ur
ez
a
Al
on
ga
m
en
to
El
as
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ad
e
Ab
ra
sã
o
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0,
25
 0
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1
0,
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1,
5 2 30 40 50 60 70 1,
5 2
2,
5 3 0
0,
25 0,
5
0,
75 1
162 Revista Internacional de Metrologia e Engenharia de Qualidade
antes e depois da melhoria da tolerância ao controle nos fatores-
chave.
ponte entre dois domínios distintos – estatística e engenharia por 
visualização – que é utilizada para auxiliar a compreensão de questões 
de engenharia sem a necessidade de uma vasta experiência em 
métodos estatísticos. Acreditamos que tal abordagem acelera decisões 
de engenharia informadas para ajudar a oferecer maior qualidade a 
custos potencialmente mais baixos.5. Conclusão
Como um todo, o DOE clássico é a investigação de como a centralidade 
do desempenho do processo pode ser impactada pelo controle do alvo 
de cada variável de entrada. A análise de tolerância é a investigação de 
como a dispersão do desempenho do processo pode ser impactada 
pelo controle do alvo e da variabilidade de cada variável de entrada. 
Essencialmente, estas duas metodologias não são contraditórias e 
podem ser altamente complementares com abordagens visuais para 
análise de tolerância. Na maioria dos casos, a análise de tolerância é 
implementada na fase de otimização durante um projeto DOE clássico. 
Análise de tolerância visual, ajuda a construir uma comunicação
Referências
1. G. Derringer, R. Suich, Otimização Simultânea de Diversas 
Variáveis de Resposta, J. Qual. Tecnologia.12, 214–219 
(1980)
2. Y. Cervejas,Introdução à teoria do erro(Addison-Wesley 
Publishing Co., 1957)
3. A. Lehman, L. Creighton, J. Sall, B. Jones, E. Vang, M. Drake, 
M. Blackwelder, guia de estatísticas e gráficos JMP, versão 
7 (SAS Institute Inc., 2007)
	Introduction 
	Propagation of error
	Tolerance analysis
	Case study
	Background
	Monte Carlo simulation process
	Process improvement
	Complete results
	Conclusion
	References