Geometria Espacial e Planar

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ENEM E VESTIBULARES – PROJEÇÃO ORTOGONAL 
 
1. Para o exercício abaixo, considere que os 
pontos, as retas e os planos citados são 
distintos e assinale a única alternativa correta: 
a) Por 2 pontos passa uma única reta. 
b) 3 pontos são sempre colineares. 
c) Pontos coplanares são colineares. 
d) Existem 3 pontos não coplanares. 
e) 3 pontos nunca são colineares. 
 
2. Na figura, a reta r intercepta o plano α em P e 
forma com ele um ângulo de 30º. 
 
Se AP = 30 cm, então a menor distância de 
A ao plano α é 
a) 15√3 cm 
b) 30 cm 
c) 30√3 cm 
d) 15 cm 
e) 15√2 cm 
 
3. No contexto da Geometria Espacial, afirma-se: 
I. I – Se uma reta é paralela a um plano, então 
ela está contida nesse 
II. plano. 
III. II – Duas retas sem ponto comum são 
paralelas ou reversas. 
IV. III – Se dois planos são paralelos, então 
toda reta de um deles é 
V. paralela ao outro. 
VI. IV – Duas retas distintas paralelas a um 
plano são paralelas entre si. 
São corretas apenas as afirmativas 
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
 
4. Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade 
no parque da cidade onde moram, montou uma 
barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 
mostra o esquema da estrutura dessa barraca, 
em forma de um prisma reto, em que foram 
usadas hastes metálicas. 
 
Após a armação das hastes, um dos escoteiros 
observou um inseto deslocar-se sobre elas, 
partindo do vértice A em direção ao vértice B, 
deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez 
o trajeto do vértice E ao C. 
Considere que todos esses deslocamentos 
foram feitos pelo caminho de menor distância 
entre os pontos. A projeção do deslocamento 
do inseto no plano que contém a base ABCD é 
dada por 
 
5. Das afirmações abaixo, assinale a única 
alternativa INCORRETA. 
a) Se dois planos são paralelos, então toda reta 
de um deles é paralela a alguma reta do outro. 
b) As retas r e s são reversas entre si. Por um 
ponto P. Fora de r e fora de s, traçamos a/r e 
b/s. Sendo 𝛼 = plano (a, b), o que ocorre entre 
𝛼 e r é que 𝛼 não contém r. 
c) Duas retas r e s são perpendiculares se forem 
concorrentes entre si e formarem ângulos 
retos. 
d) Se uma reta é perpendicular a um plano, 
qualquer plano paralelo ao primeiro é 
perpendicular a essa reta. 
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6. (URCA/2020.1) Identifique como verdadeira (V) 
ou falsa (F) as seguintes afirmativas sobre 
geometria plana e espacial: 
( ) Dada três retas distintas sempre existe um 
plano que as contêm. 
( ) Uma reta paralela a dois planos distintos 
não 
paralelos é paralela à reta obtida pela 
interseção desses planos. 
( ) Duas retas paralelas a um plano são 
paralelas entre si. 
( ) A interseção de três planos pode ser um 
ponto. 
( ) Dadas duas retas reversas existe um plano 
que contém uma dessas retas e é paralelo a 
outra reta. 
Marque a alternativa CORRETA com relação às 
afirmativas anteriores: 
a) F, V, F, V, V 
b) V, V, F, F, V 
c) F, V, F, V, F 
d) F, F, F, V, F 
e) F, F, F, V, V 
 
7. Analise cada sentença e assinale a alternativa 
correta. 
I. Um ponto é concebido como algo sem 
dimensão, sem massa e sem volume. 
II. A definição de uma reta é concebida com 
determinada espessura, com início e fim, e 
sobre uma reta não podemos definir 
segmentos de semi retas. 
III. Dois pontos A e B de uma reta s definem 
um segmento, que é o conjunto dos pontos 
de s que estão entre A e B, incluindo A e B. 
Os pontos A e B são chamados de 
extremidades do segmento. Indicamos 
como AB ou BA. 
IV. Os elementos da geometria são definidos 
em um espaço. Qualquer conjunto de 
pontos, como reta, plano, trapézio, 
retângulo, cubo, prisma, esfera; é 
subconjunto do espaço. 
a) V, V, V, F 
b) V, F, V, V 
c) F, V, F, V 
d) V, F, V, F 
8. Uma formiga encontra-se no ponto X, no lado 
externo de um copo que tem a forma de um 
cilindro reto. No lado interno, no ponto V, existe 
um grão de açúcar preso na parede do copo. A 
formiga segue o caminho XYZWV (sempre sobre 
a superfície lateral do copo), de tal forma que 
os trechos ZW e WV são realizados na 
superfície interna do copo. O caminho XYZWV é 
mostrado na figura. 
 
Sabe-se que: os pontos X, V, W se encontram à 
mesma distância da borda; o trajeto WV é o 
mais curto possível; os trajetos XY e ZW são 
perpendiculares à borda do copo; e os pontos X 
e V se encontram diametralmente opostos. 
Supondo que o copo é de material recortável, 
realiza-se um corte pelo segmento unindo P a 
Q, perpendicular à borda do copo, e recorta-se 
também sua base, obtendo então uma figura 
plana. Desconsidere a espessura do copo. 
Considerando apenas a planificação da 
superfície lateral do copo, a trajetória da 
formiga é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Uma lagartixa está no interior de um quarto e 
começa a se deslocar. Esse quarto, 
apresentando o formato de um paralelepípedo 
retangular, é representado pela figura. 
 
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. 
A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o 
ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. 
Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o 
ponto H. Considere que todos esses 
deslocamentos foram feitos pelo caminho de 
menor distância entre os respectivos pontos 
envolvidos. 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no 
plano que contém o chão do quarto é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. A base ABCD de um paralelepípedo reto-
retângulo ABCDEFGH é paralela a um plano a 
que não tem pontos em comum com o 
paralelepípedo. 
 
Projetando-se a aresta AE e os segmentos BG e 
FH sobre o plano a, obtém-se 
 
11. No cubo representado na figura a seguir, 
considere as seguintes afirmativas: 
 
I. As retas determinadas pelos pares de 
pontos (A, B) e (H, G) são paralelas. 
II. As retas determinadas pelos pares de 
pontos (A, B) e (E, H) são reversas. 
III. Os segmentos AB, AE e AD são dois a dois 
perpendiculares. 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira 
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras 
c) Somente a afirmativa II é verdadeira 
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Considere as seguintes afirmativas anunciadas 
por um desenhista. 
I. Duas retas distintas paralelas a uma 
terceira são paralelas entre si. 
II. Dois planos distintos paralelos a um 
terceiro são paralelos entre si. 
III. Por um ponto exterior a um plano passa um 
único plano paralelo ao primeiro. 
IV. Por um ponto exterior a um plano passa um 
único plano perpendicular ao primeiro. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. 
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. 
d) Somente as afirmativas I, II e III são 
corretas. 
e) Somente as afirmativas II, III e IV são 
corretas. 
 
13. Analise as afirmativas a seguir, relativas à 
geometria espacial e coloque V nas 
Verdadeiras e F nas Falsas. 
( ) Se uma reta está contida em um plano, 
então toda reta perpendicular a ela será 
perpendicular ao plano. 
( ) Se dois planos distintos são paralelos, 
então toda reta perpendicular a um deles é 
paralela ao outro. 
( ) Se dois planos distintos são paralelos a 
uma reta fora deles, então eles são paralelos 
entre si. 
( ) Se dois planos distintos são paralelos, 
qualquer reta de um deles é paralela a qualquer 
reta do outro. 
Assinale a alternativa que apresenta a 
sequência CORRETA. 
a) F – F – V – V 
b) F – V – V – F 
c) F – F – F – F 
d) V – F – F – V 
e) V – V – F – F 
 
 
14. Seja uma reta r e os planos secantes α e β, de 
modo queα ∩ β = r. Seja s uma reta paralela à 
reta r, de modo que s ∩ β = Ø. Seja t uma reta 
secante ao plano β no ponto P, de modo que P 
∈ r. De acordo com essas informações, 
necessariamente 
a) s ∩ α = s 
b) t ∩ β = ∅ 
c) P ∉ α 
d) r∩ t ≠ ∅ 
 
15. Os planos α e β são paralelos e a distância 
entre eles é de 8 cm. O plano α contém um 
segmento AB de comprimento 6 cm. O plano β 
contém o ponto C, cuja projeção ortogonal 
sobre α é o ponto A. A distância entre os pontos 
B e C vale 
a) 6 cm. 
b) 8 cm. 
c) 10 cm. 
d) 12 cm. 
e) 16 cm. 
 
16. Um segmento AB, de medida 9√2 cm, está 
contido em um dos semiespaços determinados 
por um plano α, conforme mostra a figura. 
 
Sabe-se que AB, que contém os pontos A e B, 
forma um ângulo de 45º com o plano α. Nessas 
condições, a medida em centímetros da 
projeção ortogonal do segmento AB, no plano 
α, é igual a 
a) 9√2. 
b) 9. 
c) 9 + √2. 
d) 18 √3. 
e) 18.