02_Intervalos-de-Confiança

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Inferência Estatística
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
Intervalos de Confiança
• O Que é Uma Distribuição Amostral? E Qual a Importância 
do Teorema do Limite Central?
• Conclusão.
• Reconhecer as características de uma distribuição amostral;
• Compreender o nível de confi ança como a taxa de probabilidade de sucesso do método 
de construção do intervalo de confi ança;
• Calcular intervalos de confi ança, para parâmetros populacionais, conhecido o desvio-padrão.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Intervalos de Confi ança
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
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UNIDADE Intervalos de Confiança
O Que é Uma Distribuição Amostral? E Qual a 
Importância do Teorema do Limite Central?
Imagine uma população e, a partir dessa população, você seleciona um número 
de amostras, de mesmo tamanho “n” e, para fazer a análise estatística, para cada 
uma dessas amostras, calcula o respectivo estimador – chamamos de distribuição 
amostral o conjunto dos valores dos estimadores obtidos nas amostras de tamanho 
n de uma mesma população.
População
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
Amostra
amostra
Figura 1 – População e Amostras
Vamos supor que, para as n amostras de uma determinada população, você 
calcule a média x , tendo em mente que as amostras nem sempre apresentarão o 
mesmo valor de média, cada qual terá seu respectivo valor, algumas próximas entre 
si, umas mais próximas do valor real da média μ da população, outras nem tanto. 
A Distribuição Amostral é, então, a distribuição das frequências de um determinado 
estimador (ou estatística) – no caso do nosso exemplo, é a média, obtida a partir das 
diversas amostras de uma mesma população, mas poderíamos ter utilizado outro 
estimador, como, por exemplo, a proporção.
Ao somar essas respectivas estatísticas amostrais e dividir pelo número de amos-
tras, você obterá o que chamamos de Média Amostral.
Muito frequentemente não há acesso à população, e nem sempre é possível 
observar um número grande de amostras, mas, quanto maior o número de amos-
tras da população, mais próximo se chega da distribuição amostral. É importante 
destacar que a distribuição amostral se aproxima da distribuição normal e suas 
características: como ser simétrica e centrada na média. Cabe ressaltar que essas 
características a respeito da média e do desvio padrão de uma distribuição amostral 
aplicam-se para qualquer população, não apenas para a Normal.
O Teorema do Limite Central (TLC) diz que, quando se retira uma amostra 
aleatória simples de tamanho n, de uma população qualquer com média μ e 
8
9
desvio-padrão finito σ, a distribuição amostral da média amostral x é aproxima-
damente Normal, mesmo que os dados originais não tenham uma distribuição 
normal, ou seja:
,x N
n
s
m
æ ö÷ç@ ÷ç ÷÷çè ø
Esse teorema é especialmente importante para a inferência estatística, uma vez 
que permite calcular estimadores e inferir para os parâmetros sem o conhecimento 
completo da distribuição da população.
Assim, com técnicas e procedimentos estatísticos, podemos estimar, com certo 
grau de confiabilidade, parâmetros sobre as populações a partir dos resultados ob-
tidos para os estimadores das amostras.
Características de uma Distribuição Amostral
Uma Distribuição Amostral se aproxima da curva normal, desde que o tamanho 
da amostra seja razoavelmente grande, com n > 30.
A média da distribuição amostral, ou seja, a média das médias amostrais é 
igual à média populacional (μ).
A variância da média amostral, ou seja, Var (x ) será igual à variância das distri-
buições amostrais. Temos então que: ( ) ( )
2
2
x xVar n
s
s= = . Assim, quanto maior o 
número de amostras, a variância das médias amostrais tende a ser igual à variân cia 
da população. Já o desvio padrão da média amostral será: ( ) ( )
2
x x n
s
s s= = .
O desvio padrão de uma distribuição amostral (s) é menor do que o da po-
pulação (σ), ou seja, a média amostral é mais estável do que os escores que a 
compõem. O Desvio Padrão de uma Distribuição Amostral, também chamado 
de erro padrão, é o desvio padrão das médias das amostras. É a medida que 
mostra o quanto uma amostra pode ser representativa da população, já que, 
normalmente, não é possível ter acesso a todas as amostras de uma população. 
Nesse caso, gerenciamos o erro padrão a partir da seguinte fórmula.
X
s
N
s =
A distribuição amostral de uma variável é a distribuição dos valores da variável 
entre todos os indivíduos da amostra, já a distribuição amostral de um estimador 
(ou estatística) é a distribuição dos valores assumidos pelo estimador (estatística) 
em todas as amostras possíveis de mesmo tamanho, de uma mesma população.
9
UNIDADE Intervalos de Confiança
A distribuição populacional descreve os indivíduos que constituem a população, en-
quanto a distribuição amostral descreve como a estatística varia em muitas amos-
tras extraídas da população.
Intervalo de Confiança
O intervalo de confiança é um procedimento estatístico, a partir de dados amos-
trais, para inferência de um parâmetro populacional. Vale destacar que: o intervalo 
de confiança é uma estimativa, em forma de intervalo para o parâmetro populacio-
nal e não um único valor pontual estimado. Assim, ao invés de estimar um valor 
pontual, é calculado um intervalo, determinado por dois números, no qual se espe-
ra que, com uma determinada margem de confiança, baseada em probabilidade, 
esteja o valor real do parâmetro da população.
Figura 2 – Esquema Gráfico: intervalo de confiança
Esse intervalo de confiança é determinado a partir de um valor da amostra (cha-
mada também de estimativa pontual), pela margem de erro e um nível de confiança.
O intervalo de confiança de nível C para um parâmetro é constituído, então, 
de duas partes, normalmente escrito da seguinte forma: estimativa ± margem de 
erro e um nível de confiança C, que fornece a probabilidade de que o intervalo 
contenha o verdadeiro valor do parâmetro em amostras repetidas.
Esse nível de confiança C é arbitrário, ou seja, por escolha do pesquisador. Nor-
malmente esse nível varia de 90%a 99% e é usual o valor escolhido ser de 95%.
Observe que, ao escolher o nível de confiança, temos previamente definida a 
probabilidade do determinado intervalo de confiança conter efetivamente o valor 
do parâmetro populacional. 
Para compreender melhor esse nível de confiança e a margem de erro, tomemos 
o exemplo de uma população para a qual desejamos calcular a média populacio-
nal μ. Como não há condições de analisar toda a população, podemos extrair dez 
amostras de tamanho n e realizar o cálculo da média x em cada amostra. Logo, 
teremos dez médias ( x � x x � x � x � x � x � x � x x�� � � � � � � � � ��, , , , , , , , e ) que não terão todas exata-
mente o mesmo valor, talvez algumas com valores mais próximos ou até mesmo 
iguais, já outras com valores mais distantes.
Se, a partir de cada média xn , calcularmos o respectivo intervalo de confiança 
para cada uma das dez amostras e, por exemplo, assumirmos o nível de confiança 
de 90%, temos então que, estatisticamente, a probabilidade de o valor da média 
populacional μ estar contida no determinado intervalo é de 9 em 10.
10
11
Observe o esquema a seguir no qual ilustramos o exemplo:
valor de µ
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
Figura 3 – Esquema gráfi co para o Intervalo de Confi ança para um dado Nível de Confi ança
Note que, no esquema gráfico, temos a média populacional μ que é o parâmetro 
fixo da população, ao passo que temos uma variação da média x para cada amos-
tra e, observe que cada amostra possui sua respectiva média contida no intervalo 
de confiança (já que esse é calculado à parte da média de cada amostra) e quase 
todos contêm também o valor da média populacional μ (destacado em vermelho). 
Porém, como nesse exemplo adotamos o Nível de Confiança de 90%, implica que 
9 em cada 10 amostras (90%) possuem em seu intervalo de confiança o valor da 
média populacional μ, em contrapartida, 1 em 10 (10%) não contém o valor em seu 
respectivo intervalo de confiança e que no esquema gráfico está representado pelo 
intervalo que contém a média x8.
Importante ressaltar que usamos a média como exemplo, mas poderíamos ter 
falado de qualquer outro parâmetro como proporção, desvio padrão e variância.
Para calcular o intervalo de confiança, de determinado parâmetro, devemos cal-
cular a estimativa, a partir dos dados amostrais, e a margem de erro (descrita por ±) 
para que justamente tenhamos, a partir dessa margem, o extremo inferior e o ex-
tremo superior do intervalo de confiança a um determinado nível de confiança C.
Uma forma de ilustrar essa situação são as pesquisas para intenção de votos, 
nas quais cada candidato possui, a partir de uma amostra, a estimativa para o pa-
râmetro proporção de votos. Essa estimativa vem descrita em forma de intervalo 
de confiança, como, por exemplo: candidato A possui 27% ± 2% com nível de 
confiança de 95%. O que representa essa informação? Representa que o candidato 
possui de 27% de intenção dos votos com variação de 2% para mais e para menos, 
a um nível de confiança de 95%, assim, estatisticamente, o parâmetro real estima-
do está no intervalo 25% ≤ P ≤ 27%, com uma probabilidade de 95% de chances 
de pertencer ao intervalo dado.
11
UNIDADE Intervalos de Confiança
–2% +2%
25% 27% 29%
Figura 4 – Intervalo de Confiança
Dessa forma, ao considerar a população de eleitores, se escolhêssemos 100 
amostras distintas de mesmo tamanho n, a intenção de votos para esse candidato 
pertenceria ao intervalo de 27% ± 2% em 95 delas.
Observe que, para construir o intervalo de confiança, não são necessárias as 100 
amostras, mas apenas uma amostra que representa as demais e, a partir dessa amos-
tra, teremos a estimativa para o parâmetro de acordo com o nível de confiança C.
Cálculo do Intervalo de Confiança para a Média
Calcular o intervalo de confiança para a Média Populacional μ implica ter acesso 
ao número n de termos de amostra, à média x da amostra e ao desvio-padrão 
populacional. Com esses dados, utilizamos o valor crítico z da distribuição normal 
de probabilidade para realizar o cálculo.
O valor crítico z é o número que engloba a probabilidade, sob a curva normal 
padrão de distribuição normal.
Importante destacar que nem sempre é possível ter acesso ao desvio-padrão 
σ populacional ou à variância σ2. Na realidade, situações como essa são mais co-
muns de ocorrer do que o valor do desvio padrão e a variância populacional serem 
conhecidos, e nesse caso usamos outra distribuição estatística, que veremos em 
unidades posteriores, a Distribuição t de Student.
Veremos, então, como realizar o cálculo para o intervalo de confiança para a 
Média Populacional μ conhecido o desvio padrão σ.
Intervalo de Confiança para Média, conhecido o Desvio Padrão σ
Um intervalo de confiança para μ com desvio-padrão conhecido é obtido por: 
x z
n
s
m= ±
Onde: 
• o valor crítico z é o número que engloba a probabilidade, sob a curva normal 
padrão de distribuição normal; 
• x é a média amostral;
• n é o número da amostra;
• σ é o desvio padrão populacional.
12
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Observe a figura a seguir. Se partirmos da média amostral x e nos afastarmos 
z
n
s
 tanto à esquerda como à direita de x , obteremos o intervalo que contém a 
média populacional μ em uma proporção C de todas as amostras. A área sob a 
curva normal delimitada entre os valores de –z e z corresponderá ao intervalo de 
confiança de acordo com o determinado nível de confiança estabelecido. Observe 
que as áreas à esquerda e à direita de z têm relação direta com o nível de confiança 
estabelecido e como a curva é simétrica em relação à média, então essas áreas são 
determinadas por: (1-C)/2 em cada um dos extremos da curva.
–Z Zx
1 – C
2
1 – C
2
Área correspondente
ao intervalo de
con�ança C
Figura 5 – Esboço correspondente ao intervalo de confi ança
Observe que, se o nível de confiança for de 95% (0,95), então a área lateral, em 
cada um dos extremos da normal padronizada, será dada por (1-C)/2 = (1-0,95)/2 
= 0,05/2 = 0,025.
–Z Zμ
0,025
0,475
0,025
0,475
0,95
Figura 6 – Esboço correspondente ao nível de Confi ança de 95%
Convém observar que, se temos um Nível de Confiança maior, teremos um intervalo maior, o 
que implica também em uma margem de erro maior. Já se tivermos um Nível de Confiança 
menor, teremos um intervalo menor, o que implica uma margem de erro menor. 
Ex
pl
or
Mais à frente, retomaremos essa reflexão com um exemplo numérico e verifica-
remos como se comportam os intervalos de confiança.
13
UNIDADE Intervalos de Confiança
Vejamos agora como realizar o cálculo para definir o intervalo de confiança para 
uma média μ se for conhecido o desvio-padrão σ.
Exemplo 1: calcule o intervalo de confiança para a média populacional μ, com 
nível de confiança de 95%, suponha uma amostra de 80 registros cuja média é 
x  = 40 e é conhecido o desvio-padrão σ = 6. 
Para a resolução, sabemos que o intervalo de confiança numericamente será 
dado por:
µ
σ
= ±x z
n
Dos dados informados, temos que: x = 40; σ = 6 e n = 80. 
O número z vem a partir da observação da tabela normal. Veremos, ainda, nesta 
unidade, que normalmente se utilizam três valores de z para os seguintes níveis de 
confiança: 90%, 95% e 99%. Porém, para compreendermos o que de fato repre-
senta cada um desses valores, bem como podermos conferir maior liberdade na 
escolha do nível de confiança (além dos valores de 90%, 95% e 99%), exploraremos 
como reconhecer esse valor de z, a partir do entendimento do nível de confiança e 
da análise da tabela normal reduzida.
Para identificar z na tabela normal, temos que fazer a análise do nível de con-
fiança que foi solicitado. Perceba que a área toda abaixo da curva normal padrão 
corresponde a 100%, ou seja, 1. Como o nível de confiança solicitado foi de 95%, 
então temos que a área será correspondente a 0,95. Devemos lembrar que a área 
sob a curva normal é dividida em duas partes iguais e simétricas; logo, a área de 
0,95 será composta por duas áreas de 0,475, uma à esquerdada média e outra 
à direita da média. Da mesma forma, temos que 1 – C = 1 – 0,95 = 0,05 que 
corresponde a 5% (0,05) e será representando no esboço por duas áreas simétri-
cas de 0,025.
–Z Zμ
0,025
0,475
0,025
0,475
Figura 7 – Intervalo de Confiança, com nível C de 95%
Observe na figura que 95% (0,95) correspondem à soma de duas áreas simétri-
cas de 0,475 (47,5%).
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Logo, o valor de z, na tabela normal reduzida, será o valor correspondente a 0,475. 
A tabela que apresentaremos é a tabela mais usual e traz valores para uma variável x, 
que esteja entre 0 (que é a média da normal padronizada) e o valor de z procurado, ou 
seja, ela fornece o valor das áreas para dados intervalos em que 0 ≤ x ≤ z.
Mas devemos alertar que em alguns livros didáticos, a tabela apresentada é a 
Tabela Normal Acumulada. Os valores estão sob a perspectiva da área acumulada 
e não a partir do zero. Isso muda a leitura dos dados, mas não o resultado final. 
Contudo, neste estudo, utilizaremos sempre a Tabela Normal Reduzida z ≥ 0.
Como já vimos anteriormente, nessa tabela reduzida, na primeira coluna da 
esquerda, temos o valor inteiro e o primeiro decimal de z. As demais colunas cor-
respondem ao segundo decimal do valor de z. Consideraremos o valor z sempre 
com duas casas decimais.
Bem, em nosso exemplo, desejamos obter o valor de z para a área correspon-
dente a 0,475 (47,5% que são metade de 95% solicitados como nível de confian-
ça). Observe que, na tabela, o valor de 0,475 está na direção do encontro de 1,9 
(primeira coluna de z) e 0,06. O que significa que 0,475 em área correspondem 
ao z = 1,960.
Figura 8 – Tabela normal Reduzida z ≥ 0
Com o valor de z = 1,960, podemos dar prosseguimento aos cálculos do inter-
valo de confiança.
Dos dados informados, temos que x = 40; σ = 6, n = 80 e, conforme verificado, 
z = 1,960.
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UNIDADE Intervalos de Confiança
Logo, o intervalo de confiança será dado por:
640 1,960
80
640 1,960
80
40 1,31
x z
n
s
m
m
m
m
= ±
= ±
= ±
= ±
Assim, ao nível de confiança de 95%, a partir da média x = 40 da amostra, sa-
bemos que o intervalo de confiança envolve dois extremos: um que está abaixo do 
valor de e outro está 1,31 acima, ou seja, com base nos dados da amostra, temos que 
a média populacional será de 40 com margem de erro de ± 1,31. Portanto, está no 
intervalo de confiança de 38,69 ≤ μ ≤ 41,31 com nível de confiança de 95%.
Exemplo 2: calcule o intervalo de confiança para a média populacional μ, sa-
bendo que o desvio padrão é σ = 2,5 e a média x = 7,25 em uma amostra de 50 
registros, considere o nível de confiança de 90%.
Para a resolução, sabemos que o intervalo de confiança numericamente será 
dado por:
µ
σ
= ±x z
n
Dos dados informados, temos que: x = 7,25; σ = 2,5 e n = 50, com o nível de 
confiança de 90%.
Como sabemos, a área abaixo da curva corresponde a 1, como o nível de con-
fiança será de 90%, teremos 0,9 para a área que representa o intervalo de confian-
ça, e novamente essa área (agora em 0,9) se distribui em duas regiões simétricas, 
agora em 0,45. Observe que, para (1-C)/2, teremos (1 -0,9)/2 = 0,1 / 2 = 0,05.
–Z Zμ
0,05
0,45
0,05
0,45
Figura 9
16
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Ao observar, na tabela normal padronizada, o valor de z para a área de 0,45, temos:
Figura 10 – Tabela normal Reduzida z ≥ 0
Observe que não há exatamente o valor 0,45 na tabela, então buscamos a média 
entre os dois mais próximos. Veja que próximos do valor de 0,45 temos 0,4495 
e 0,4505, que correspondem respectivamente a 0,04 e 0,05, o que nos fornece 
como média 0,045. Portanto, o valor de z, será 1,6 + 0,045 = 1,645. Dessa forma, 
temos que o valor de z, para a área de 45% será 1,645 e sabemos que x = 7,25; 
σ = 2,5 e n = 50, logo:
2,57,25 1,645
50
7,25 0,58
m
m
= ±
= ±
Portanto, ao nível de confiança de 90%, a partir da média x = 7,25 da amostra, 
sabemos que o intervalo de confiança envolve dois extremos: um que está 0,58 
abaixo do valor de x e outro está 0,58 acima, ou seja: a média populacional μ está 
no intervalo de confiança de 6,67 ≤ μ ≤ 7,83 com nível de confiança de 90%.
Exemplo 3: antes de abordar outros exemplos, veremos na tabela padronizada, 
qual será o valor de z para um intervalo de confiança de 99%. Ora, se o intervalo 
de confiança será de 99%, então a área correspondente (na tabela normal reduzida) 
será 0,99/2 = 0,495. E nossa margem de erro terá área correspondente a 0,005.
Ao procurar o valor de z correspondente a 0,495, na tabela padronizada redu-
zida, observamos que não temos exatamente o valor procurado, mas dois valores 
próximos que são: 0,4949 e 0,4951, que correspondem a 0,07 e 0,08 na coluna 
do segundo dígito, que nos fornecem a média de 0,76. Logo, o valor será de 2,576.
17
UNIDADE Intervalos de Confiança
Figura 11 – Tabela normal Reduzida z ≥ 0
Dessa forma, o valor de z, na tabela normal reduzida, para o cálculo de um in-
tervalo de confiança, considerando 99% de nível de confiança, é de 2,576.
Como mencionamos anteriormente, os níveis de confiança mais usuais são: 
90%, 95% e 99% e os respectivos valores críticos de z, para esses níveis, conforme 
verificamos nos exemplos anteriores, são respectivamente:
Tabela 1
Nível de Confiança C 90% 95% 99%
Valor Crítico z 1,645 1,960 2,576
Assim, os exemplos que veremos a seguir estarão com base nesses níveis de 
confiança, contudo, caso você deseje outros níveis de confiança, basta usar a tabela 
normal para consultar o z crítico, ou softwares estatísticos.
Exemplo 4: uma amostra da altura de trinta estudantes do sexo feminino da 
faixa etária de 16 anos, em uma determinada cidade, apontou média de altura de 
165cm. Sabendo que o desvio-padrão populacional é de σ = 3,8cm, calcule os 
intervalos de confiança para μ populacional, com nível de confiança de 90%, pos-
teriormente com 95% e, por fim, 99%;
Inicialmente, calcularemos para o nível de confiança de 90%.
Temos conhecidos: n =30, x = 165 e σ = 3,8. Além disso, para nível de con-
fiança de 90%, temos z = 1,645, logo:
3,8165 1,645
30
165 1,14
x z
n
s
m
m
m
= ±
= ±
= ±
Logo, ao nível de confiança de 90%, a partir da média x = 165 da amostra, 
sabemos que o intervalo de confiança envolve dois extremos: um que está 1,14 
abaixo do valor de x e outro está 1,14 acima, ou seja, com base na amostra anali-
sada, temos que a média populacional μ da altura está no intervalo de confiança de 
163,86 ≤ μ ≤ 166,14 com nível de confiança de 90%.
18
19
Agora faremos a estimativa de μ com um nível de confiança de 95%.
Continuamos utilizando: n = 30, x = 165 e σ = 3,8, porém, agora com outro 
nível de confiança, e para o nível de confiança de 95%, temos z = 1,960:
3,8165 1,960
30
165 1,36
x z
n
s
m
m
m
= ±
= ±
= ±
Logo, a média populacional μ estimada é de μ = 165 ± 1,36 ao nível de confiança 
de 95%. O que implica que, em com 95%, de chances de acertos a média populacio-
nal μ da altura estará no intervalo de: intervalo de confiança de 163,64 ≤ μ ≤ 166,36.
Por fim, faremos a estimativa de µ com um nível de confiança de 99%.
Continuamos utilizando: n = 30, x = 165 e σ = 3,8, porém, agora com outro 
nível de confiança, e para o nível de confiança de 99%, temos z = 2,576:
3,8165 2,576
30
165 1,79
x z
n
s
m
m
m
= ±
= ±
= ±
Logo, a média populacional μ estimada é de μ = 165 ± 1,79 ao nível de confiança 
de 99%. O que implica que, em com 99% de chances de acertos, a média populacio-
nal μ da altura estará no intervalo de: intervalo de confiança de 163,21 ≤ μ ≤ 166,79.
Observe, na imagem abaixo, a ilustração (sem escala) dos três intervalos com os 
respectivos níveis de confiança:
–1,14 +1,14
163,86 166,14
NC = 90%
x = 165
–1,36 +1,36
163,64 166,36
NC = 95%
x = 165
–1,79 +1,79
163,21 166,79
NC = 99%
x = 165
Figura 12 – Esboço dos Intervalos de Confi ança, com a variação do Nível de Confi ança
19
UNIDADE Intervalos de Confiança
É intuitivo observar que um maior nível de confiança (em um mesmo tamanho 
de amostra) aumenta o intervalo no qual se estima a médiae, portanto, aumenta 
também a margem de erro, dessa forma, diminuindo a precisão da inferência para 
o parâmetro.
O contrário também é verdadeiro. Com um nível de confiança menor, é constru-
ído um intervalo de confiança menor e, assim, com menor margem de erro (maior 
precisão na estimativa), porém, com menor nível de confiabilidade.
Devemos perceber que, para obtermos uma margem de erro menor, é preciso 
uma menor confiança de que os dados de fato representem a realidade.
Uma pequena margem de erro representa uma maior precisão e um maior nível 
de confiança representa uma maior probabilidade de os dados estarem próximos 
do real.
Vale ainda observarmos que, matematicamente, a margem de erro para o inter-
valo de confiança é dada por:
z
n
s
E que 
s
n
 interfere na margem de erro, mesmo deixando um z fixo. Ou seja: 
vamos supor que tenhamos um nível de confiança de 90%, ao aumentar o ta-
manho n da amostra, reduziremos a margem de erro. Para se ter uma ideia de 
como se dá essa redução, cabe destacar, que como n está em uma raiz quadrada, 
o aumento da amostra deve ser de pelo menos 4 vezes para reduzir a margem de 
erro pela metade.
Em linhas gerais, ao construir um intervalo de nível de confiança podemos pon-
derar entre menor margem de erro ou maior nível de confiabilidade, levando em 
consideração o tamanho da amostra a ser trabalhada.
Exemplo 5: para uma avaliação da satisfação dos clientes de um determinado 
callcenter, há uma nota final atribuída a cada atendimento que vai de 1 a 5. Do úl-
timo experimento realizado, é conhecido o desvio padrão populacional de 2,5 
pontos. A partir da amostra de 20 avaliações, conforme tabela a seguir, devemos 
estimar a média de avaliação dos clientes desse callcenter com um nível de con-
fiança de 90%.
4,0 3,0 4,0 3,0 2,0 1,0 2,0 1,0 4,0 3,0 1,0 1,0 4,0 5,0 3,0 2,0 5,0 4,0 4,0 3,0
Resolução: sabemos que, para calcular a estimativa de μ, precisamos de x , σ 
e z. É informado que σ = 2,5 e o nível de confiança esperado é de 90%, então 
temos que z = 1,645. A partir da amostra das 20 avaliações, podemos calcular x .
20
21
Temos que 1
x
n
i ix
n
=
S
= logo: 
59 2,95
20
x = = .
Agora basta calcular μ:
2,52,95 1,645
20
2,95 0,92
x z
n
s
m
m
m
= ±
= ±
= ±
Portanto, podemos afirmar com 90% de chances de certeza de que a média 
de avaliação dos clientes desse callcenter é uma nota compreendida com 90% de 
confiança, entre 2,03 e 3,87.
Conclusão
A partir da distribuição amostral, por meio da Teoria do Limite Central, temos 
a possibilidade de descrever os valores dos estimadores em todas as amostras pos-
síveis de um mesmo tamanho n e, além disso, com base em uma amostra, realizar 
a inferência para parâmetros populacionais.
Importante destacar que a amostra é a parte do todo, ou seja: a amostra é um 
subconjunto da população e devemos diferenciar que um parâmetro (μ, σ, σ2 e π) 
descreve uma população, ao passo que uma estimativa, ou estatística, (x , s, s2 e p) 
descreve uma amostra, que a amostra é uma parte da população.
Vimos, no decorrer desta unidade, que a inferência estatística é um conjunto de 
técnicas e procedimentos estatísticos e probabilísticos que permitem ao pesquisa-
dor afirmar, com certa confiabilidade, medidas que caracterizam uma determinada 
população que são construídas a partir de resultados observados em amostras des-
sa população.
Dentre essas técnicas e procedimentos, o destaque desta unidade ficou para o 
intervalo de confiança que, a partir de dados amostrais, permite calcular um pa-
râmetro desconhecido de uma população. Veja que nos nossos exemplos tivemos 
sempre situações nas quais o valor do desvio padrão, ou variância populacional 
eram conhecidos, mas há casos em que isso não é possível, então a técnica se al-
tera, e utilizamos outros métodos como veremos na sequência dos nossos estudos.
É importante ter em mente que o nível de confiança é a taxa de possibilidade de 
acerto de o intervalo de confiança construído conter de fato o valor do parâmetro 
populacional. Contudo, trata-se de uma probabilidade e temos uma margem de 
erro que se torna menor à medida que o tamanho da população se torna maior e o 
desvio padrão menor. Em se tratando ainda de nível de confiança, quanto menor o 
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UNIDADE Intervalos de Confiança
nível de confiança, maior será o intervalo (se perde talvez na precisão), mas maior 
a chance de o intervalo conter o valor real do parâmetro da população. 
Procure reler o material, assista à videoaula e refaça os exemplos do material e, 
para complementar seus estudos ou aprofundá-los, não deixe de ver a indicação do 
material complementar. 
Esperamos que você tenha uma excelente trilha de aprendizagem. 
Bons estudos!
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Tabela da Normal Padrão: como usar | Distribuição Normal de Probabilidades
Para esclarecer melhor como fazer a leitura de uma tabela normal, assista ao vídeo do 
prof. Conrad Pinheiro.
https://youtu.be/OTyc8gUHqv0
Exercícios sobre intervalo de confiança para média
Como exemplo de exercício resolvido, recomendamos o vídeo da UNIVESP, com o 
prof. André Fleury.
https://youtu.be/unNyFOmbovo
Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida
https://youtu.be/SReIn8aCCNo
Conceitos Básicos de Estatística II – Distribuição Amostral e Teorema do Limite Central
Para aprodundar o tema de distribuição amostral, recomendamos o link abaixo que 
traz uma palestra da Universidade Federal do ABC a respeito do tema.
https://youtu.be/ykfZzVYd0W8
 Leitura
Exercícios de Intervalos de Confiança para media, variância e proporção
Para treinar, recomendamos o acesso à lista de exercícios resolvidos que está disponível 
no link da Universidade do Estado de São Paulo. 
http://bit.ly/2ma52yQ
 Leitura
A estatística básica e sua prática
Para melhor aprofundamento dos temas tratados nesta unidade, sugerimos a leitura 
dos capítulos 15 e 16 do livro: A estatística básica e sua prática.
MOORE, D. S.; NOTZ, W. I.; FLIGNER M. A. A estatística básica e sua prática. 
Tradução de Ana Maria Lima de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
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UNIDADE Intervalos de Confiança
Referências
MOORE, D. S.; NOTZ, W. I.; FLIGNER M. A. A estatística básica e sua prática. 
Tradução de Ana Maria Lima de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
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