Analise Combinatória

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Pergunta 1
Pergunta: Quantas maneiras diferentes você pode organizar as letras da palavra "MATE"?
· A) 12
· B) 24
· C) 6
· D) 20
Resposta: B) 24
Explicação: A palavra "MATE" tem 4 letras distintas. O número de maneiras de organizar essas letras é dado por 4!=244! = 244!=24.
Pergunta 2
Pergunta: De quantas maneiras diferentes você pode escolher 3 livros de uma estante com 7 livros?
· A) 35
· B) 21
· C) 42
· D) 56
Resposta: A) 35
Explicação: O número de maneiras de escolher 3 livros de 7 é dado por combinações: (73)=7!3!(7−3)!=35\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = 35(37​)=3!(7−3)!7!​=35.
Pergunta 3
Pergunta: Em um grupo de 10 pessoas, quantas formas diferentes você pode formar uma comissão de 4 pessoas?
· A) 210
· B) 252
· C) 120
· D) 330
Resposta: A) 210
Explicação: O número de maneiras de escolher 4 pessoas de 10 é dado por combinações: (104)=10!4!(10−4)!=210\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210(410​)=4!(10−4)!10!​=210.
Pergunta 4
Pergunta: Quantas permutações diferentes podem ser feitas com as letras da palavra "ANALISE", sabendo que a letra "A" aparece duas vezes e a letra "I" aparece duas vezes?
· A) 2520
· B) 1260
· C) 840
· D) 5040
Resposta: B) 1260
Explicação: A palavra "ANALISE" tem 7 letras no total. A fórmula para permutações com repetições é 7!2!2!=1260\frac{7!}{2!2!} = 12602!2!7!​=1260.
Pergunta 5
Pergunta: Se você tem 4 tipos diferentes de sobremesas e deseja escolher 2 diferentes, quantas combinações possíveis você tem?
· A) 6
· B) 4
· C) 12
· D) 8
Resposta: A) 6
Explicação: O número de combinações de 2 sobremesas a partir de 4 é dado por (42)=4!2!(4−2)!=6\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6(24​)=2!(4−2)!4!​=6.
Pergunta 6
Pergunta: Quantas maneiras diferentes você pode organizar 3 pares de sapatos (cada par com 2 sapatos) em uma prateleira?
· A) 720
· B) 360
· C) 120
· D) 180
Resposta: B) 360
Explicação: Para organizar 6 sapatos, a fórmula é 6!6!6!. Como cada par é indistinguível, dividimos por 2!×2!×2!=82! \times 2! \times 2! = 82!×2!×2!=8, resultando em 7208=90\frac{720}{8} = 908720​=90.
Pergunta 7
Pergunta: Quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas se os dígitos podem se repetir?
· A) 1000
· B) 10000
· C) 9000
· D) 5000
Resposta: B) 10000
Explicação: Cada dígito pode ser qualquer um dos 10 dígitos (0 a 9), e como a repetição é permitida, há 104=1000010^4 = 10000104=10000 possíveis senhas.
Pergunta 8
Pergunta: De quantas maneiras diferentes você pode distribuir 5 bolas idênticas em 3 caixas distintas?
· A) 21
· B) 35
· C) 10
· D) 15
Resposta: A) 21
Explicação: O problema pode ser resolvido usando a fórmula para o número de combinações com repetição: (n+k−1k−1)\binom{n+k-1}{k-1}(k−1n+k−1​), onde nnn é o número de bolas e kkk o número de caixas. Aqui, (5+3−13−1)=(72)=21\binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21(3−15+3−1​)=(27​)=21.
Pergunta 9
Pergunta: Quantos caminhos diferentes existem em uma grade de 3x3 para ir do canto superior esquerdo ao canto inferior direito se você pode apenas mover para baixo ou para a direita?
· A) 20
· B) 6
· C) 10
· D) 56
Resposta: D) 56
Explicação: O número de caminhos é dado por (63)=20\binom{6}{3} = 20(36​)=20 (onde 6 é o total de passos e 3 é o número de passos para baixo ou para a direita).
Pergunta 10
Pergunta: Quantas maneiras diferentes você pode organizar 5 pessoas em uma fila se duas pessoas devem sempre ficar juntas?
· A) 120
· B) 240
· C) 60
· D) 24
Resposta: B) 240
Explicação: Se duas pessoas devem ficar juntas, considere-as como um único "bloco". Assim, você organiza 4 blocos (o "bloco" e as 3 pessoas restantes), o que dá 4!4!4!. Dentro do bloco, as duas pessoas podem ser organizadas de 2!2!2! maneiras. O total é 4!×2!=24×2=484! \times 2! = 24 \times 2 = 484!×2!=24×2=48.