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5
ÁLGEBRA 5
INFORMES Y PEDIDOS: Av. Tacna 407 Of.301 - Lima
T. 426-4853 C.985850104
E-mail: editorial.ingenioyho@gmail.com
Web: www.editorialingenio.pe
Filósofo y matemático griego, cuyas
doctrinas influyeron mucho en Platón.
Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue
instruido en las enseñanzas de los
primeros filósofos jonios Tales de Mileto,
Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que
Pitágoras había sido condenado a
exiliarse de Samos por su aversión a la
tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se
instaló en Crotona, una colonia griega al
sur de Italia, donde fundó un movimiento
con propósitos religiosos, políticos y
filosóficos, conocido como pitagorismo.
La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a
través de la obra de sus discípulos.
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.),
ÁL
G
EB
RA
-
LI
BR
O
D
E
C
O
N
SU
LT
A
LIBRO DE CONSULTA
RESUELVE PROBLEMAS DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO
ÁLGEBRA 5
El libro de ÁLGEBRA 5, para el quinto año de educación secundaria, se complementa con el
CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 5 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la
Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
Título de la obra: Álgebra 5
Título de la colección: Logi Matic Educación Secundaria
Equipo Pedagógico: Elvis Valerio Solari
Víctor Hugo Ávalos Jamanca
Anibal Trucios Espinoza
Diseño y Diagramación: Katherine Karen Rivera Escuel
Rosa Nieves Bardales Luque
Paul Escobar Tantaleán
Luis Martín Angulo Chiok
Corrección de Estilo: Víctor Francisco Bautista
Fotografía: Yuri Hernández Oblea
Páginas web
Primera edición: Noviembre 2016
Tiraje: 6000 ejemplares
© Derechos de autor reservados
Juana Mery Oblea Acosta
© Derechos de edición reservados
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Editado por:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426–4853
www.editorialingenio.pe
E-mail: editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en Enero 2017
Copyright © 2016
Impreso en:
LETTERA GRÁFICA
Av. La Arboleda 431 - Ate - Lima - Perú Teléfono 340 - 2200
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del autor y
de la editorial.
Número de Proyecto Editorial: 31501011601276
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 201615238
ISBN: 978-612-4302-19-0
BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERÚ
Centro Bibliográfico Nacional
Oblea Acosta, Juana Mery, 1964-
Álgebra 5 : libro de consulta / [Juana Mery Oblea Acosta].-- 1a ed.--
Lima: Edit. Ingenio & YHO, 2016 (Lima : Lettera Gráfica).
84 p. : il. col., diagrs. ; 28 cm + 1 cuaderno de trabajo.-- (Logi matic
educación secundaria)
Subtítulo de la cubierta.
"Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio"--Cubierta.
Texto para el quinto año de educación secundaria.
D.L. 2016-15238
ISBN 978-612-4302-19-0
1. Álgebra - Textos escolares - 5º I.S. 2. Álgebra - Cuadernos de trabajo -
5º I.S. 3. Álgebra - Problemas, ejercicios, etc. - 5º I.S. I. Título II. Serie
BNP: 2017-0031 S-21354
TS
512
5-O25
2016
3
PRESENTACIÓN
AL MAESTRO:
El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo,
la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los
alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia.
El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio
de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos
escolares de Matemática Logi Matic de educación secundaria.
Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una
formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los
aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades
que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en
permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la
ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las nece-
sidades y los derechos de los púberes y adolescentes“.
La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Logi Matic
pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que
aligere el trabajo con sus estudiantes.
AL ESTUDIANTE:
¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante
para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que
hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil
de comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje.
La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5
más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en
50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en
caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario,
debo bajar la velocidad.
Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como
calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de pro-
ducción de un artefacto, etc.
Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas ma-
temáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar,
verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquie-
tudes y trabajar en equipo.
En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación
práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Ade-
más, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán
sobre el tema principal.
Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares
a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar,
reforzar y profundizar tus conocimientos.
4
Número de la unidad
Título de la unidad
Título del capítulo
Número de capítulo
Generación del conflicto cognitivo
Es una pregunta que tendrás que responder
con el desarrollo o al terminar el capítulo.
Información complementaria
Lecturas, notas, observación, historias,
recursos tecnológicos, que contribuyen a
reforzar y recrear el tema.
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del
tema.
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del
tema.
Recuperación de saberes previos
Plantea situaciones que te servirán de
base para iniciar el tema nuevo. Es algo
que conoces o has tratado en los capítulos
anteriores.
Formalización
Contiene las definiciones y conceptos de
los términos matemáticos.
Actividad
Es un conjunto de preguntas de análisis,
reflexión, de valoración, demostración,
cálculo, búsqueda de relaciones, para que
desarrolles, individual o colectivamente, con
apoyo de tu profesor o tus compañeros.
Imagen secundaria
Imagen que muestra un detalle relacio-
nado con el tema de la lectura.
Aprendizajes esperados y actitudes
Contiene el listado de las capacidades
que desarrollarás en la unidad.
Imagen motivadora
Fotografía ilustrada que conecta una situa-
ción real con el tema de aprendizaje.
Lectura motivadora
Explica la relación entre la Matemática y
una situación objetiva. Además formula
preguntas que propician el análisis y
reflexión sobre el tema.
6
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, OPERACIONES
RIEGO POR GOTEO
Es un método de riego localizado donde el agua es aplicada enforma de gotas a través de emisores, comúnmente denominados
“goteros”. Los goteros están ubicados cada 20 cm o más y abas-
tecidos por los emisores que son las cintas de goteo. La descarga
de los emisores fluctúa en el rango de 2 a 4 litros por hora por
gotero.
- Calcula la cantidad de agua que se necesita por hora para regar h
hectáreas de terreno, con cintas de goteo separados 1 metro y goteros
ubicados cada c centímetros y descargan 3 litros por hora.
http://www.predes.org.pe/predes/cartilla_riegoteo.pdf
Unidad
01
APRENDIZAJES ESPERADOS
Traduce condiciones
y datos a expresiones
algebraicas
Comunica su comprensión
sobre las relaciones
algebraicas
Usa estrategias y
procedimientos para
encontrar reglas
generales
Argumenta
afirmaciones sobre
relaciones de cambio y
equivalencia
• Traduce relaciones entre
los conjuntos numéricos
de una situación proble-
mática al contexto mate-
mático.
• Utiliza los productos no-
tables, cocientes nota-
bles y la factorización.
• Aplica el número combi-
natorio y el binomio de
Newton.
• Representa en forma
gráfica y simbólica las rela-
ciones entre los conjuntos
numéricos.
• Representa en forma sim-
bólica los productos nota-
bles y factorización.
• Emplea esquemas para la
división algebraica por el
método de Rufini y Horner.
• Expresa el desarrollo del
binomio de Newton.
• Elabora diversas estrate-
gias para resolver proble-
mas con números reales.
• Resuelve problemas y
ejercicios de productos
notables, cocientes nota-
bles y factorización.
• Resuelve problemas apli-
cando el número combi-
natorio y el binomio de
Newton.
• Justifica el uso de los nú-
meros reales en la resolu-
ción de problemas.
• Propone ejemplos de apli-
cación de los productos
notables, cocientes nota-
bles y factorización.
• Argumenta el uso del nú-
mero combinatorio y el
binomio de Newton en la
resolución de problemas.
20
NÚMERO COMBINATORIO
Factorial de un número
Notación:
Se lee: "factorial de n"
n! n n
n! = 1⋅2⋅3⋅4⋅ ... n ó
n! = n(n – 1)(n – 2)... ⋅3⋅2⋅1 n +Además se define: 0! = 0 = 1
Se llama factorial de un número na-
tural "n" al producto de los "n" pri-
meros números enteros positivos.
Ejemplos:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Propiedades:
1. n! = (n – 1)!n 2.
Si: a! = b!
a = 0 b = 1
o
a = 1 b = 0
o
a = b con a, b +
• 8! = 7! 8
• 9! = 7! 8 ⋅ 9
1. Factorial de 1
n! = (n – 1)!n
Para n = 1:
1! = 0!⋅1 ⇒ 1! = 1
2. En consecuencia
Si a! = 1 ⇒
a = 0
∨
a = 1
∴ n! existe ⇔ n +
Ten Presente
2
Veamos:
Los brasileños se pueden sentar juntos de 3 × 2 × 1 = 6 maneras diferentes.
Los argentinos se pueden sentar juntos de 2 × 1 = 2 maneras diferentes.
Los peruanos se pueden sentar juntos de 3 × 2 × 1 = 6 maneras diferentes.
Ahora tomando a cada uno de ellos como si fueran un solo elemento:
3 × 2 × 1 = 6 maneras diferentes.
Brasileños 3 × 2 × 1 = 6 Argentinos: 2 × 1 = 2 Peruanos 3 × 2 × 1 = 6
3 × 2 × 1 = 6
En total se pueden ordenar de 6 × 2 × 6 × 6 = 432 maneras diferentes.
05CA
PÍ
TU
LO
En la pizarra se tiene un
problema que en su Solución
utiliza el factorial de un
número y el principio de la
multiplicación, en otras pala-
bras se hace uso del análisis
combinatorio.
¿De cuántas maneras
diferentes; 3 brasileños, 2
argentinos y 3 peruanos
pueden sentarse en fila de
modo que los de la misma
nacionalidad siempre se
sienten juntos?
I
B
IM
ES
TR
E
22
1 Halla el valor de x si (3x + 4)(3x + 3)! = 25!
(UNALM-10-I)
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
2 Si (n + 7)!(n + 5)!
(n + 6)!+(n + 5)!
= 13!, determina el valor de n.
(UNALM-11-I)
A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4
3 Si =+ + + +...+
1!
3!
2!
4!
3!
5!
4!
6!
4
9
n!
(n+2)!
calcula (n – 14)3
(UNTECS-10-II)
A) 8 B) 1 C) 27 D) –8 E) –1
4 Si C2
1 + Cn
2 + Cn
3 = 12 halla el valor de C2n
6
(UNMSM-09-I)
A) 56 B) 28 C) 24 D) 210 E) 14
5 Según el gráfico de cuantas maneras se puede ir
de "A" hacia "D".
A B C D
(UNAL-12-II)
A) 40 B) 42 C) 48 D) 49 E) 50
6 De un grupo de 7 mujeres y 4 varones. ¿Cuántos
grupos de 3 mujeres y 3 varones se pueden formar
para sentarse alrededor de una mesa, sin que las
mujeres deban estar juntas?
(UNAL-13-I)
A) 1500 B) 1680 C) 1400 D) 880 E) 1800
7 Diana desea llamar a su amiga Estrella y el nú-
mero telefónico es de 6 dígitos pero solo sabe el
primer, tercer y último dígito. ¿De cuántas ma-
neras diferentes podía llamar a su amiga?
(U. DE LIMA-16-I)
A) 120 B) 210 C) 150 D) 200 E) 100
8 Si
(n+7)!(n+5!)
(n+6)!+(n+5)!
= 10!, determina el valor de "n".
A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4
9 Halla K en: C19
7 + C19
6 = C20
k
(URP-13-II)
A) 249 B) 19 C) 6 D) 7 E) 8
10 Calcula el valor de:
(x – 3)! + (x – 2)! + (x–1)!
(x–1)!
(UNAL 12-I)
A) x+2
x–1 B) x+1
x–2 C) x+1
x+2
D) x–1x–2 E) x+1
x+2
Problema 3:
Un grupo formado por 3 mujeres y 3 hombres se
sientan de modo que ellas alternadas con ellos. ¿De
cuántas maneras pueden hacerlo en una fila de 6
asientos?
Solución:
Analizando:
• Primer caso: Iniciando un varón se pueden sentar
así: V1; M1; V2; M2; V3; M3 es una permutación:
P3 × P3=3! × 3! = 6 × 6 =36
• Segundo caso: Iniciando una mujer se pueden sen-
tar así: M1; V1; M2, V2; M3; V3 es una permutación:
P3 × P3
= 3! × 3! = 6 × 6 = 36
Como ambos casos son eventos excluyentes, el to-
tal de formas en que se pueden sentar es:
36 + 36 = 72.
Rpta.: 72
Problema 4:
Un estudiante debe responder cualquiera de 8 pre-
guntas en el examen de aritmética que contiene 12
preguntas. ¿De cuántas formas posibles puede ele-
gir las 8 preguntas a responder?
Solución:
– Es una combinación.
– Son 12 preguntas y va a elegir 8 de ellas, así:
C12
8 = C12
4 = = 49512×11×10×9
4×3×2×1
Rpta.: 495
Actividad 05
CAPÍTULO 05 NÚMERO COMBINATORIO
I
B
IM
ES
TR
E
ESTRUCTURA DEL TEXTO
Sección inicial de la unidad
Sección central
5
ÍNDICE
SECCIÓN INICIAL SECCIÓN CENTRAL ACTIVIDAD
PROYECTO DE APRENDIZAJE
Capítulo 01: Números reales
Conjuntos numéricos
Sistema de los números reales
Capítulo 02: Multiplicación algebraica
Producto notable
Capítulo 03: División algebraica
Métodos de división pligonal
Cocientes notables
Capítulo 04: Factorización I
Métodos de factorización
Capítulo 05: Número combinatorio
Propiedades de los números combinatorios
Capítulo 06: Binomio de Newton
Desarrollo del binomio de Newton con exponente natural
Actividad 01
Actividad 02
Actividad 03
Actividad 04
Actividad 05
Actividad 06
01
6
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS,
OPERACIONES
7
11
14
17
20
23
10
13
16
19
22
25
Capítulo 07: Cantidades imaginarias
Operaciones con números imaginarios
Capítulo 08: Números complejos
Número complejo
Capítulo 09: Ecuaciones I
Ecuación lineal con una incógnita
Ecuación de 2° grado con una incógnita
Capítulo 10: Ecuaciones II
Ecuación polinomial de grado n con una incógnita
Capítulo 11: Inecuaciones I
Solución de inecuaciones de primer grado
Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado
Capítulo 12: Inecuaciones II
Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo
Actividad 07
Actividad 08
Actividad 09
Actividad 10
Actividad 11
Actividad 12
26
02
ECUACIONES E
INECUACIONES
Capítulo 13: Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Valor absolutoEcuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Capítulo 14: Matrices y determinantes
Matrices
Determinantes
Capítulo 15: Sistema de ecuaciones I
Sistema de ecuaciones lineales
Métodos de solución de sistemas lineales
Capítulo 16: Sistema de ecuaciones II
Método gráfico
Capítulo 17: Sistema de ecuaciones III
Sistema de inecuaciones lineales con 2 incógnitas
Capítulo 18: Programación lineal
Programación lineal
Actividad 13
Actividad 14
Actividad 15
Actividad 16
Actividad 17
Actividad 18
46
03
SISTEMA DE
ECUACIONES E
INECUACIONES
Capítulo 19: Funciones
Función real de variable real
Funciones especiales
Capítulo 20: Trazado de gráficos
Trazados de gráficos
Propiedades gráficas de funciones
Capítulo 21: Funciones especiales
Función inversa
Función composición de funciones
Capítulo 22: Álgebra de funciones
Composición de funciones
Capítulo 23: Logaritmos
Logaritmo de un número
Capítulo 24: Función exponencial y logarítmica
Función exponencial
Función logarítmica
Actividad 19
Actividad 20
Actividad 21
Actividad 22
Actividad 23
Actividad 24
66
04
FUNCIONES
27
30
33
37
40
43
47
50
54
57
60
63
67
70
74
77
80
83
29
32
36
39
42
45
49
53
56
58
62
64
69
73
76
79
82
84
6
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, OPERACIONES
RIEGO POR GOTEO
Es un método de riego localizado donde el agua es aplicada en
forma de gotas a través de emisores, comúnmente denominados
“goteros”. Los goteros están ubicados cada 20 cm o más y abas-
tecidos por los emisores que son las cintas de goteo. La descarga
de los emisores fluctúa en el rango de 2 a 4 litros por hora por
gotero.
- Calcula la cantidad de agua que se necesita por hora para regar h hec-
táreas de terreno, con cintas de goteo separados 1 metros y goteros
ubicados cada c centímetros y que descargan 3 litros por hora.
http://www.predes.org.pe/predes/cartilla_riegoteo.pdf
Unidad
01
APRENDIZAJES ESPERADOS
Traduce condiciones
y datos a expresiones
algebraicas
Comunica su comprensión
sobre las relaciones
algebraicas
Usa estrategias y
procedimientos para
encontrar reglas
generales
Argumenta
afirmaciones sobre
relaciones de cambio y
equivalencia
• Traduce relaciones entre
los conjuntos numéricos
de una situación proble-
mática al contexto mate-
mático.
• Utiliza los productos no-
tables, cocientes nota-
bles y la factorización.
• Aplica el número combi-
natorio y el binomio de
Newton.
• Representa en forma
gráfica y simbólica las rela-
ciones entre los conjuntos
numéricos.
• Representa en forma sim-
bólica los productos nota-
bles y factorización.
• Emplea esquemas para la
división algebraica por el
método de Rufini y Horner.
• Expresa el desarrollo del
binomio de Newton.
• Elabora diversas estrate-
gias para resolver proble-
mas con números reales.
• Resuelve problemas y
ejercicios de productos
notables, cocientes nota-
bles y factorización.
• Resuelve problemas apli-
cando el número combi-
natorio y el binomio de
Newton.
• Justifica el uso de los nú-
meros reales en la resolu-
ción de problemas.
• Propone ejemplos de apli-
cación de los productos
notables, cocientes nota-
bles y factorización.
• Argumenta el uso del nú-
mero combinatorio y el
binomio de Newton en la
resolución de problemas.
7
NÚMEROS REALES
Conjuntos numériCos
Conjunto de los números naturales: = {0; 1; 2; 3; ...}
Conjunto de los números enteros: = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}
–
+
Enteros negativos Enteros positivos
Conjunto de los números fraccionarios: F = a
b
/ a, b – {0}, a bº
Ejemplos:
• Son fracciones: 2
3
; 5
2
; ...
• No son fracciones: 10
2
; 0
8
; 15
3
; ...
Conjunto de los números racionales: = a
b
/ a, b b 0
Son números racionales: – 9
4
; –1; 0
3
; 3
5
; 8
2
; 5,4
(
...
Conjunto de los números irracionales (I): Está formado por los números
que no son racionales. Se caracterizan porque tienen infinitas cifras decima-
les no periódicas:
Son números irracionales ; –p; 2 ; 3
2
+ 7 ; ...
Conjunto de los números reales (): Está formado por la unión de los racio-
nales y los irracionales: = I.
Naturales
0; 1; 2; 3; ...
Enteros
... -2; -1; 0; 1; 2; ...
Racionales (fracciones)
± 2
3
; 5,3 ; 1,32
Reales
Irracionales
Infinitos decimales
no periódicos
π; 2 ; 3 ; e
En el diagrama se observa la relación entre los
conjuntos numéricos.
El número que resulta de la expresión:
M = 182 ×
9
2
+
1
2
1+
,
¿es natural?
Desarrollando la expresión tenemos:
M = 182 ×
9
2+
1
2
1+
= 36
9
+ + +
2
3
2
6
9=
4
3
2
3
4
3= ⇒ M = 2 ∈
M es un número natural.
Número irracional famoso
Pi es un número irracional fa-
moso. Se han calculado más de
un millón de cifras decimales y
sigue sin repetirse. Las prime-
ras cifras son:
3,1415926535897932384626433
832795 (y sigue)
RecuerdaRecuerda
π
01CA
PÍ
TU
LO
I B
IM
ESTR
E
8
sistema de los números reales
El sistema de los números reales está formado por el conjunto de los números reales () dotado de las operaciones
internas, adición y multiplicación, y la relación de orden "mayor que" (>), que obedecen a los siguientes axiomas.
Axiomas de adición y multiplicación:
AXIOMAS ADICIÓN MULTIPLICACIÓN
1. Clausura a, b
⇒ (a + b)
a, b
⇒ (a · b)
2. Conmutatividad a + b = b + a a · b = b · a
3. Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c) (a · b)c = a(b · c)
4. Elemento neutro 0
/ a + 0 = 0 + a = a, a
1
/ a · 1 = 1 · a = a, a
5. Elemento recíproco a
(–a)
/ a + (–a) = (–a) + a = 0 a
– {0}, a–1
/ a · a–1 = a–1 · a = 1
6. Distributividad por la izquierda: a(b + c) = ab + ac
7. Distributividad por la derecha: (b + c)a = ba + ca
Axiomas de igualdad: ( a, b )
1. Dicotomía: a = b o a b
2. Reflexividad: a = a
3. Simetría: si a = b b = a
4. Transitividad:
Si a = b b = c a = c
5. Unicidad de la adición:
Si a = b a + c = b + c, c
6. Unicidad de la multiplicación:
Si a = b a · c = b · c, c
Axiomas de orden: ( a, b )
1. Ley de tricotomía: para dos nú-
meros a, b , uno, y sólo uno,
de los siguientes enunciados es
verdadero:
a < b, a = b, a > b.
2. Ley transitiva:
Si a < b b < c a < c
3. Leyes de monotonía:
a) Si a < b a + c < b + c, c
b) Si a < b c > 0 a · c < b · c
c) Si a < b c < 0 a · c > b · c
Problema 1:
Si "x" es un número par, y además "y" es
un número impar, ¿cuál de los siguientes
números no es impar?
• x + y • x + x + 1 • x2/2
• (y + y)/2 • xy + 1
Solución:
Como x es par, entonces x es múltiplo de 2, por lo tanto, x2
es múltiplo de 4. Luego, x2/2 es múltiplo de 2, es decir, es
par.
Rpta.: x2/2
Problema 2:
Indica la verdad o falsedad de las propo-
siciones:
I. 9 = ±3
II. x2 = 9 entonces x = 3
III. Entre dos números enteros diferentes,
existe una infinidad de números ente-
ros.
IV. Todos los números primos son impares.
Solución:
Analizando cada enunciado.
I. 9 = +3, entonces I es falso.
II. x2 = 9 ⇒ x = ±3, entonces II es falso.
III. Entre 4 y 5 no hay números enteros, entonces III es falso.
IV. 2 es primo y es par, entonces IV es falso.
Por lo tanto: FFFF.
Rpta.: FFFF
CAPÍTULO 01 NÚMEROS REALES
I
B
IM
ES
TR
E
9
Problema 3:
Si a, b y c ∈ , tales que a < 0; b > 0 y c > 0, entonces
indica el ordende verdad de las siguientes afirma-
ciones:
I. ac < b II. c < ab III. – c2 > a2
Solución:
Analizando cada enunciado.
I. ac < b
a < 0 y c > 0 ⇒ ac < 0 y b > 0 ⇒ ac < b ... (V)
II. c < ab
c > 0 ⇒ c > 0
a < 0 y b > 0 ⇒ ab < 0 ⇒ c > ab ... (F)
III.– c2 > a2
c > 0 ⇒ c2 >0 ⇒ – c2 < 0
a < 0 ⇒ a2 > 0 ⇒ – c2 < a2 ... (F)
Por lo tanto: VFF
Rpta.: VFF
Problema 5:
Sean a, b ∈ + (números reales positivos). ¿Cuáles
de las desigualdades siguientes son siempre verda-
deras?
I. 2
a + b ≥ ab II. a
b
+ b
a
≥ 2 III. a2 + b2 ≥ 4ab
(CANTUTA 16)
Solución:
I. 2
a + b ≥ ab
a, b ∈
+ → al elevar al cuadrado la desigual-
dad se mantiene:
(a + b)2 ≥ 4ab
a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab
a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(a – b)2 ≥ 0 → verdadero
II. a
b
+ b
a
≥ 2 ; a, b ∈
+ al multiplicar por "ab" la
desigualdad se mantiene:
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 – 2ab + b2 ≥ 0
(a – b)2 ≥ 0 → verdadero
III. a2 + b2 ≥ 4ab observamos que si: a = b = 1
12 + 12 ≥ 4(1)(1)
2 ≥ 4 → falso
Rpta.: Solo I y II
Problema 6:
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdade-
ras para todo a∈, a ≠ 0?
(UNMSM 16-II)
I. a2 + 1
a2
≥ 2
II. a2 + 1
a2
< 2
III. a2 + 1
a ≥ 2
IV. a2 – a > 2
Solución:
Se sabe que:
a2 > 0 ⇒ a2 + 1
a2 ≥ 2
Entonces:
I. Es verdadero
II. Es falso
III. Si a = –1 → (–1)2 + ≥ 2 → 0 ≥ 2, es falso
IV. Si a = +1 → (+1)2 – (1) > 2 → 0 > 2 es falso
Rpta.: Solo I es verdadero.
Problema 4:
Determina la veracidad (V) o la falsedad (F) de las
siguientes afirmaciones:
I. Si a > 0 y –1 < b < 0, entonces ab + a > 0
II. Si c > 0; d > 0 y 2d ≠ 3c, entonces d
3c
3c
4d> 1–
Solución:
Analizando cada caso.
I. a > 0 y –1 < b < 0 ⇒ 0 < b + 1 < 1 ⇒ b+1 > 0
a(b+1) > 0 ⇒ ab+a > 0 ...V
II. Como 2d ≠ 3c ⇒ (2d – 3c)2 > 0
4d2 – 12cd +9c2 > 0 (dividiendo entre 12cd)
d
3c – 1 +
3c
4d > 0 ⇒ d
3c > 1 –
3c
4d ...V
Por lo tanto: VV
Rpta.: VV
CAPÍTULO 01NÚMEROS REALES
I B
IM
ESTR
E
10
1 Si k > 0, podemos afirmar que el valor de
k + 1
k es mayor o igual a:
(UNFV 2012-I)
A) 1 B) 4 C) 3 D) 2 E) 5
2 Si a < b < 0, indica si es verdadero (V) o falso (F)
I. a3 < ba2 II. a4–ba3 > 0 III. b2a3 < 0
(PUCP 2013-I)
A) VVF B) VVV C) FVV D) FFF E) FVF
3 Si "p", "q", "r" y "z" representan a los conjuntos de
los números naturales, racionales, irracionales y
enteros, respectivamente, indica el valor de ver-
dad de las siguientes afirmaciones.
I. p ⊂ q II. z ⊄ p III. r ∩ q=φ
(PUCP-2014-II)
A) VFV B) VVV C) VVF D) FVV E) FFV
4 Sean los números reales x, y, z, tales que
x < y e y < z. Designa la alternativa que repre-
senta un número positivo.
(UNAC-2013 - I)
A) x – y B) (x – y)(y – z)(x – z)
C) (x – y)(y – z)
D) (x – y)(z – x) E) (x – y)
5 En los números reales, se define la operación:
a*b = a +b + 5. Calcula (3 –1 * 4–1)*(2–1*6–1),
donde a–1 es el elemento inverso de a mediante
la operación *.
(UNAC-2013-I)
A) –45 B) –40 C) –38 D) 65/4 E) –5
6 Para la operación φ definida en el conjunto
A = {1; 2; 3; 5} mediante la siguiente tabla:
φ 1 2 3 5
5 1 2 3 5
3 2 1 0 3
2 3 0 1 2
1 5 3 2 1
Se afirma:
I. Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
III. Posee elemento neutro.
Son ciertas:
(UNI 10-I)
A) Solo I B) I y II C) II y III
D) I y III E) I, II y III
7 En el conjunto Q = {1; 3; 5; 7} se define la opera-
ción "∇", según la siguiente tabla:
∇ 5 7 3 1
7 7 1 5 3
3 3 5 1 7
1 1 3 7 5
5 5 7 3 1
Luego sea x–1 el inverso de x ∈ Q según la ope-
ración ∇. Halla:
E = 3
7 1
5–1
–1 –1
–1+
+
(UNI 2010-I)
A) 1
3
B) 3
5
C) 1 D) 1
3
E) 3
8 Si en los números reales definimos la operación
* como a * b = a + b + 1, determina el valor de
verdad de las siguientes proposiciones.
I. La operación * es conmutativa.
II. La operación * es asociativa.
III. –1 es el elemento neutro de la operación *.
(CEPRE-UNMSM-2011-II)
A) VVF B) VVV C) FVV
D) FFV E) FVF
9 Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Si 0 < a < c < b entonces 1
a
1
c
1
b
> >
II. Si a < x < b entonces 1 1
x–a b–a
>
III. Si – a2 < b < a2+1 entonces a4 < b2 < (a2+1)2
(CEPRE UNMSM 2011-II)
A) FVV B) FVF C) VVV
D) VVF E) FFV
10 En se define la operación por:
ab baab =
3
+ +
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ver-
daderas?
I. La operación es conmutativa.
II La operación es asociativa.
III. La operación tiene elemento neutro.
(CEPRE UNMSM 2011-II)
A) I y III B) I y II C) I, II y III
D) II E) III
Actividad 01
I
B
IM
ES
TR
E
11
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
RecuerdaRecuerda
Del área de un cuadrado tenemos: A = L2 ⇒ A = (a + b + c)2
De la figura, el área del cuadrado es: A = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Igualando las áreas:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Por lo tanto, la afirmación es verdadera y es un caso de producto notable.
PRODUCTO NOTABLE
Es el nombre que reciben las multiplicaciones de expresiones algebraicas que
cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante sim-
ple inspección, sin verificar la multiplicación.
Binomio y trinomio al Cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
diferenCia de Cuadrados, suma y diferenCia de CuBos
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
ProduCto de Binomios Con término Común
(x + a)(x + b) = x2 + xb + ax + ab (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Binomio y trinomio al CuBo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
= a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
= a3 – b3 – 3ab(a – b)
RecuerdaRecuerda
Identidades de Gauss
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)
(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
a3 + b3 + c3 – 3abc = 1
2
(a + b + c)
[(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2]
a3 + b3 + c – 3abc = (a + b + c) ·
[(a + b + c)2 – 3(ab + bc + ac)]
ac
ac
bc
bc
b2
a2
c2
ab
ab
a b c
a
b
c
02CA
PÍ
TU
LO
En el diagrama se observa un
cuadrado de lado a + b + c. ¿Es
verdadera la siguiente afirmación?
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) I B
IM
ESTR
E
12
igualdades CondiCionales
a. Si a + b + c = 0 se cumple:
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) • (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2
• a3 + b3 + c3 = 3abc • (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)
• 2 53
=
a2+b2+c2 a3+b3+c3 a5+b5+c5
⋅ • 2 75
=a2+b2+c2 a5+b5+c5 a7+b7+c7
⋅
b.
Si a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac a, b, c a = b = c
En general: si a2n + b2n + c2n = anbn + bncn + ancn a, b, c , n a = b = c
c. Si a2 + b2 + c2 = 0 a, b, c a = b = c = 0
Problema 1:
Efectúa:
E = (2
1
3 + 1)(2
2
3 – 2
1
3 + 1)
(PUCP)
Solución:
Haciendo: 2
1
3 = a
Reemplazando en E:
E = (a + 1)(a2 – a + 1) ⇒ E = a3 + 1
Reemplazando el valor de a:
E = (2
1
3 )3 + 1 = 2 + 1 ⇒ E = 3
Rpta.: 3
Problema 2:
Simplifica:
P = (m+n)(m–n)+n2 ; m > 0
Solución:
Aplicando diferencia de cuadra-
dos.
P = (m+n)(m–n)+n2
m2–n2
P = m2–n2+n2
P = m2
P = m
Rpta.: m
Problema 3:
Efectúa:
z = a + x a – y+ a + x a – y–
(PUCP 16-I)
Solución:
De la condición:
z = ( a + x)2 – ( a – y )2
z = a + x – (a – y)
z = a + x – a + y
z = x + y
Rpta.: x + y
Problema 4:
Si x2 – 4x + 1= 0, calcula:
H = x2 + x–2
Solución:
De la condición:
x2
x
4x
x
1
x
1
x
+ = 0 ⇒ x + = 4–
Elevando al cuadrado tenemos:
1 2
xx+ = 42 1
x2⇒ x2 + + 2 = 16
⇒ x2 + x–2 = 14
Rpta.: 14
CAPÍTULO 02 MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
HistoriaHistoria
KARL FRIEDRICH GAUSS
(1777 - 1855)Matemático, físico
y astrónomo alemán.
Este gran matemático alemán
llevó las Matemáticas del siglo
XIX a cumbres insospechadas
unas décadas antes y elevó la
Aritmética Superior a la cima
de las matemáticas, citando sus
propias palabras, "la matemáti-
ca es la reina de las ciencias y la
aritmética la reina de las mate-
máticas.
I
B
IM
ES
TR
E
13
1 Efectúa abreviadamente:
E = (m + 1)(m – 1)(m2 + 1) + 1
(UNFV-08-II)
A) –m3 B) m3 C) –m4 D) m4 E) m
2 Si x2 – 3x + 1 = 0,
halla: E = x2 + 1
x2
(UNFV-08-I)
A) 5 B) 6 C) 12 D) 8 E) 7
3 Si a + b = 3 y ab = 1,
halla: a4 + a2 + a + b2 + b + b4
(UNFV-09-I)
A) 7 B) 4 C) 57 D) 75 E) 47
4 Si la suma de dos números es 1 y la suma de sus
cuadrados es 2, halla la suma de sus cubos.
(UNFV-09-I)
A) 1/2 B) 5/2 C) 3
D) –3/2 E) 3/2
5 Si a
a
b – 3 = b
b
a
– 3 con ab ≠ 0,
calcula: M = (a – b + 2)3 – (a – b – 2)3
(UNTECS-10-II)
A) 18 B) 16 C) 8 D) 32 E) 24
6 Si x2y2 = b, x6 – y6 = a3 + 3ab, con 0 < b < a, enton-
ces el valor de x2 – y2 es: (UNC-09-II)
A) ab B) a + b C) a2 D) b E) a
7 Si x4 – 3x2 + 1 = 0,
halla: E =
x8+x6–x4+x2+1
x2
(UNTECS-09-II)
A) 2 B) 4 C) 10 D) 5 E) 3
8 Si x2 + y2 + z2 + 4 = 2(x + 2y + 3z) – 10 ∧
x, y, z , halla el valor de: M = x2 + y2 – z2
(UNFV-13-I)
A) –4 B) –5 C) –6 D) –3 E) –1
9 Si
an
bn
bn
an+ = 7; a, b
+,
el valor de
an bn+
R =
a
n
2 b
n
2
es:
(UNFV-12-I)
A) 2 B) 1 C) 3 D) 3 E) 2
10 Si 1 1 1
a b a + b
+ = , halla el valor de:
=K
(a+b)6–6(a6+b6)
(ab)3
(UNALM-13-I)
A) –12 B)–11 C) –15 D) –10 E) –9
Problema 5:
Si x + x–1 = 2 , calcula x9 + x–9. (UNMSM)
Solución:
Elevando al cubo la condición:
(x + x–1)3 = ( 2 )3
(x + x–1)3 = x3 + x–3 + 3x· x–1(x + x–1)
( 2 )3 = x3 + x–3 + 3( 2 )
2 2 – 3 2 = x3 + x–3 ⇒ x3 + x–3 = – 2
Nuevamente al cubo.
(x3 + x–3)3 = (– 2 )3 ⇒ x9 + x–9 = 2
Rpta.: 2
Problema 6:
Si 1a + 1b + 1c = 0, halla el valor numérico de:
M = (3a + 2c + b)2 + (3b+ 2a + c)2 + (3c + 2b + a)2
a2 + b2 + c2 ;
a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; c ≠ 0
(CEPRE UNMSM 2016-I)
Solución:
I. De: 1a + 1b + 1c = 0 ⇒ bc + ac + ab
abc = 0
II. M =
14(a2 + b2 + c2) + 2(11ac + 11bc + 11ab)
a2 + b2+ c2
Rpta.: M = 14
Actividad 02
CAPÍTULO 02MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
I B
IM
ESTR
E
14
regla de ruffini
Esta regla es recomendable para divisores de la forma: x a
Esquema de la regla de Ruffini:
Dividendo
Cociente Resto
x = ± a
Ejemplo 1:
Halla el residuo de la división:
2x3 – 3x2 + x – 6
x – 2
Solución:
Por la regla de Ruffini:
2
–3
4
1 3 0
– 6
6
1
2
2
x = 2
q(x) = 2x2 + x + 3
r(x) = 0 Rpta.: 0
método de Horner
Los coeficientes de los elementos de la división se completan, ordenan y se
distribuyen según el siguiente esquema:
DIVID ENDO
Cociente
d
i
v
i
s
o
r
Resto
Cambian
de signo
N.° de columnas
para el resto
Numéricamente
igual al grado
del divisor
DIVISIÓN ALGEBRAICA
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL
Identidad fundamental de
la división:
D(x) d(x)
r(x) q(x)
D(x) d(x)q(x) + r(x)
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto o
residuo
CLASES DE DIVISIÓN
División exacta (r(x) 0)
D(x) d(x)q(x)
División inexacta (r(x) 0)
D(x) d(x)q(x) + r(x)
PROPIEDAD DE LOS GRADOS
Grado del
dividendo
Grado del
divisor
Grado
máximo
del resto
Grado
del
divisor
= –1
Ten Presente
2
Observamos que los elementos son:
1. Dividendo: D(x) = 4x3 + 3x2 – 5x + 2 3. Divisor: d(x) = x – 3
2. Cociente: q(x) = 4x2 + 15x + 40 4. Residuo: r(x) = 122
03CA
PÍ
TU
LO
Por ser una división algebraica se debe cumplir: D(x) = d(x) · q(x) + r(x)
Se muestra el desa-
rrollo de una división
algebraica por el
método clásico.
¿Cuáles son los ele-
mentos de la división
algebraica?
4x3+3x2–5x+2
–4x3+12x2
15x2 – 5x
–15x2 + 45x
40x+2
– 40x+120
122
x–3
4x2+15x+40
I
B
IM
ES
TR
E
15
NotaNota
Las divisiones de la forma:
xm ± yn
xa ± yb
generan cocientes notables
exactos sí, y solo sí:
m
a
n
b
= = k, k ∈ +
k = número de términos
del CN
TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES
El resto de la división de un polinomio P(x) entre (x – a) es igual al valor nu-
mérico del polinomio P(x) para x = a, es decir, el resto es P(a).
En general: P(x) ÷ (x – a) ⇒ r(x) = P(a)
Ejemplo 3:
Halla el resto de la división:
x9 – 3x8 + 3x – 2
x – 3
Solución:
Por el teorema del resto:
x – 3 = 0
x = 3
Como: P(x) = x9 – 3x8 + 3x – 2
r(x) = P(3) = (3)9 – 3(3)8 + 3(3) – 2 = 7
Rpta.: 7
COCIENTES NOTABLES (CN)
Son aquellos cocientes que se escriben por simple inspección, sujetándose a
reglas fijas y sin realizar la división.
En general los cocientes notables son de la forma:
Son exactos Es inexacto
n n 0 Si n impar Si n par R = 2yn
xn–yn
x–y
xn+yn
x+y
xn–yn
x+y
xn+yn
x–y
término general del desarrollo de un CoCiente notaBle
• = x2 + xy + y2x3 – y3
x – y
• = x3 – x2y + xy2 – y3
x4 – y4
x + y
• = x2 – xy + y2x3+ y3
x + y
Divisor de la forma x – y Divisor de la forma x + y
tk = xn – kyk–1 tk = (–1)k+1xn – kyk –1
n, k , n k
= xn–1 ± xn–2y + xn–3y2 ± ... ± yn–1xn ± yn
x – y
CAPÍTULO 03DIVISIÓN ALGEBRAICA
Ejemplo 2:
Realiza la siguiente división:
6x4 + 7x3 – 5x2 + 2x + 6
2x2 + x – 1
y halla el resto.
Solución:
Utilizando el Método de Horner
tenemos:
Grado del cociente: 4 – 2 = 2
Grado del residuo: 2 – 1 = 1
2
–1
1
6
3 4 –4
7
–3 3
–2 2
2 –2
3 2 –2 6 4
–5 2 6
÷
q(x) = 3x2 + 2x – 2
r(x) = 6x + 4
Rpta.: 6x + 4
I B
IM
ESTR
E
16
Actividad 03
1 El resto de dividir el polinomio:
P(x) = x3 – x2 + mx + n entre (x + 4)(x – 1)
es 14x – 11. Halla: –m + n
(UNTECS-09-I)
A) 3 B) –3 C) 1 D) 2 E) 7
2 Halla el cociente al dividir:
P(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 2 entre (x+1) x –
2
3
(UNI-13-I)
A) 2(x2 – 1) B) 3(x2 + 2x) C) 4(x2 + 4)
D) 3(x2 + 1) E) 3(x2 – 2)
3 Al dividir P(x) = x3 + 3mx2 + x + 3
por D(x) = x2 + 2mx + m, se obtiene el cociente de
la forma nx + b y como resto, 2. Halla el valor de
mb + n. (UNTECS-12-I)
A) 2 B) 0 C) 1 D) –1 E) 3
4 El resto de la división
x4–x2+2
x2 – 3
es:
(UNTECS-08-II)
A) 3 B) 6 C) 14 D) 12 E) 9
5 Encuentra el resto de la siguiente división:
x98 – 16x94 + 2x2 – 1
4x + 8
(UNTECS-08-I)
A) 6 B) 5 C) 7 D) 4 E) 3
6 Si los polinomios P(x) = x2 + ax + 6 y
Q(x) = x2 + bx + 3 son divisibles por H (x) = 2x + c
entonces ac – bc es igual a:
(UNAC-10-II)
A) 5 B) 4 C) 8 D) 6 E) 7
7 Halla el resto de dividir:
3(x – 5)3 + 4(x – 6)6
x2 – 11x+30
(UNALM-10-I)
A) 3x + 1 B) x + 9 C) 9 – x
D) 3x – 1 E) x + 3
8 Para que la expresión
xn+2 – y2n–5
x2 – y3 sea un cociente
notable, el valor de n debe ser:
(UNTECS-08-II)
A) 12 B) 4 C) 20 D) 16 E) 8
9 Halla el valor numérico del quinto término del
desarrollo de
(x+2)16 – (x–2)16
2(x2+4)
, en x = 1.
(UNTECS-10-I)
A) 126 B) –81 C) 729 D) 243 E) –729
10 El término idéntico en los desarrollos de:
x75 – y100
x2 – y4
x102 – y68
x3 – y2
y es:
(UNAC-09-II)
A) x12y12 B) x15y8 C) x45y36
D) x15y9 E) x30y40
Ejemplo 4:
Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) es un
factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de d/c es:
(UNMSM)
Solución:
Por el teorema del resto: x + 1 = 0 ⇒ x = –1
Luego r(x) = 0 ⇒ (–1)2 + c(–1) – 2 = 0 ⇒ c = –1
También:
2x–1 = 0 ⇒ x = 1/2
r(x) = 0
d(1/2)2 + 5(1/2) – 4 = 0 ⇒ d=6
Finalmente: d/c = 6/–1 = – 6
Rpta.: – 6
Ejemplo 5:
Si el cociente notable x
30 – xm
xn – y2 tiene 10 términos, ha-
lla el valor de (m + n).
(UNMSM)
Solución:
Del número de términos de un cociente notable:
= 10 ⇒ n = 3; = 10 ⇒ m = 2030
n
m
2
Finalmente:
m + n = 20 + 3 = 23
Rpta.: 23
CAPÍTULO 03 DIVISIÓNALGEBRAICA
I
B
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ES
TR
E
17
FACTORIZACIÓN I
La factorización de una expresión algebraica consiste en escribirla como la
multiplicación de sus factores primos.
métodos de faCtorizaCión
1. Método del factor común:
Consiste en extraer, de cada término, el factor que se repite elevado a su
menor exponente.
Ejemplo:
2x2y + 2xy2 = (2xy)(x) + (2xy)(y) = 2xy(x + y)
x2 + 6x = (x)(x) + (6)(x) = x(x + 6)
2. Por agrupación:
Cuando no es evidente el factor común, se agrupa tratando de formar un
factor común polinomio.
Ejemplo: ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
= (a + b)(x + y)
3. Por identidades:
Utiliza los productos notables en sentido inverso:
• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 • a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
• a2 – b2 = (a + b)(a – b) • a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) • a2 + b2 + c2 +2(ab + bc + ac) = (a + b + c)2
Ten Presente
2
FACTOR PRIMO
Se dice que un polinomio F(x)
es primo si no se puede des-
componer en más de un factor.
Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x) = (x + 1)(x + 2)2, entonces
sus factores primos son:
(x + 1) y (x + 2)
CANTIDAD DE FACTORES
Dado P(x) = A(x)aB(x)bC(x)c
con A(x), B(x) y C(x) primos,
entonces:
• Tiene 3 factores primos.
• El número de factores es:
#factores = (a + 1)(b + 1)(c + 1) – 1
FACTORIZACIÓN
Se muestra una factori-
zación por el método de
agrupación.
Observa que la expre-
sión se ha convertido en
una multiplicación de
sus factores.
Factoriza:
x3+x2+x+1=(x3+x2)+(x+1)
=x2(x+1)+1(x+1)
=(x+1)(x2+1)
04CA
PÍ
TU
LO
Ejemplo 1:
Factoriza y da como res-
puesta la suma de los facto-
res primos de:
K(a;x) = (1 + ax)2 – (a + x)2
Solución:
Factorizamos aplicando pri-
mero la diferencia de cua-
drados y luego agrupando.
K(a;x) = [(1 + ax) + (a + x)][(1 + ax) – (a + x)]
K(a;x) = (1 + ax + a + x)(1 + ax – a – x)
K(a;x) = [(1 + a) + (x + ax)][(1 – a) – (x – ax)]
K(a;x) = [(1 + a) + x(1 + a)][(1 – a) – x(1 – a)]
K(a;x) = (1 + a)(1 + x)(1 – a)(1 – x)
• La suma de sus factores primos es:
= (1 + a) + (1 + x) + (1 – a) + (1 – x)
= 4
Rpta.: 4
I B
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E
18
Problema 1:
Factoriza:
x4 + x2y2 + y4
Solución:
Como artificio, sumemos y restemos x2y2.
Entonces se tiene:
= x4 + x2y2 + x2y2 + y4 – x2y2
= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
= (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Rpta.: (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Problema 2:
Factoriza: H = (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
Solución:
Utilizando la identidad:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
Entonces reemplazando la identidad en H:
H = (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
H = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) – a3 – b3 – c3
H = 3(a + b)(b + c)(a + c)
Rpta.: 3(a + b)(b + c)(a + c)
1. Aspa Simple:
Para polinomios de la forma:
P(x) = ax2n + bxn + c
P(x; y) = ax2n + bxnym + cy2m
Se descomponen los extremos en dos factores. La
suma de los productos en aspa debe dar el término
central.
2. Aspa doble:
Para polinomios de la forma:
P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eyn + F
Términos ⇒ 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º
Se forman tres aspas simples:
1.º, 2.º y 3.º, 3.º, 5.º y 6.º, 1.º, 4.º y 6.º
3. Aspa doble especial:
Para polinomios de 1 variable de la forma Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E o genéricamente, Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E
Ejemplo 2:
Factoriza: x2 + 6x + 8
Solución:
x2 + 6x + 8
x +4
x +2
+4x +
+2x
+6x
Los factores se toman de manera horizontal, es
decir: x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)
Rpta.: x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)
Ejemplo 3:
Factoriza: x2 – 3xy + 2y2 + 8x – 13y + 15
Solución:
x2 – 3xy + 2y2 + 8x – 13y + 15
x
x
+3
+5
–2y
–1y
Término de comprobación
⇒ (x – 2y + 3)(x – y + 5)
Rpta.: (x – 2y + 3)(x – y + 5)
Ejemplo 4:
Factoriza: x4 + 5x3 + 12x2 + 17x + 5
Solución:
Tiene 5 términos, el término central es x2 y el aspa
de comprobación es x2.
Obtengamos el aspa de comprobación con los tér-
minos extremos.
Término de comprobación
x2 2x 5
x2 3x 1
N(x) = x4 + 5x3 + 6x2 + 6x2 + 17x + 5
Si el aspa de comprobación es 6x2, y el polinomio
tiene 12x2, entonces el término central será:
12x2 – 6x2 = 6x2 ⇒ (x2 + 2x + 5)(x2 +3x + 1)
Rpta.: (x2 + 2x + 5)(x2 + 3x + 1)
métodos del asPa
CAPÍTULO 04 FACTORIZACIÓN I
I
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19
Actividad 04
1 La expresión f(x)=ax2 – 8ax (a > 0), es equivalente a:
(PUCP-14-II)
A) a(x – 4)2 – 12a B) a(x + 4)2 + 12a
C) a(x – 4)2 – 16a D) a(x + 4)2 + 16a
E) a(x + 4) + 16a
2 Al factorizar 9x8 + 16y6 – 24x4y3 se obtiene una
expresión de la forma: (ax4 + by3)2. Halla ab.
(PUCP-10-II)
A) 81 B) 1/81 C) –1/81 D) –81 E) 80
3 Factoriza P(x)=x6 + x5 + x3 + x – 1, en . La suma
de coeficientes de los factores primos es:
(UNAC-10-II)
A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8
4 Factoriza el polinomio P(x;y)=4x4 + 625y4 en Z.
La suma de los coeficientes de uno de sus facto-
res primos es:
(UNAC-09-II)
A) 25 B) 18 C) 29 D) 35 E) 37
5 Dados los polinomios:
P(x)=2x4 + 3x3 + 8x2 + 6x + 5
Q(x)=x4 – x
halla la suma de los coeficientes del MCD
[P(x), Q(x)]
(UNTECS-10-I)
A) 4 B) 5 C) 6 D) 1 E) 3
6 Factoriza en el polinomio:
P(x)=(x2 – 5x + 4)2 – 3x2 + 15x – 22.
El número de factores primos es:
(UNAC-10-I)
A) 1 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4
7 Halla la suma de los términos independientes
de los factores primos de: P(x)=x3 – 13x + 12
(UNFV-08-I)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
8 Factoriza 13(a + 1)3(a – 1) – (a – 1)3(a + 1) – 4a2 + 4
(UNFV-12-II)
A) 4(a + 1)(a – 1)(3a – 1)(a + 2)
B) 4(a + 1)(a – 1)(3a – 1)(a – 2)
C) 4(a + 1)(a – 1)(3a + 1)(a + 2)
D) 3(a + 1)(a – 1)(3a + 1)(a + 2)
E) 4(a – 1)2(3a + 1)(a – 2)
9 Halla el factor cuadrático primo de:
15a2x2 – 30a2x3 + 90a2x4 – 75a2x5
(UNALM-11-II)
A) x2 + 5x + 1 B) 6x2 + 2x – 1 C) 5x2 – x – 1
D) –5x2 + x – 1 E) –5x2 – x + 1
10 Se tiene P(x)=x3 – 7x – 6. Halla Q(x) si sus raíces
son 2 unidades más que las raíces de P(x).
(UNTECS-09-I)
A) 2x3 – 6x2 + 4x – 1 B) x3 + 6x2 + 5x – 12
C) x3 – 6x2 + 5x
D) x3 + 2x2 – 5x – 2 E) 2x3 – 4x2 + x – 3
Problema 3:
Halla la suma de los factores :
G(a; b; c) = a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
Solución:
Suponiendo que la variable es a, aplicamos los divi-
sores binomios.
Ordenando la expresión en función de "a".
G = a2(b – c) + b2c – ab2 + ac2 – bc2
G = a2(b – c) + (ac2 – ab2) + b2c – bc2
G = a2(b – c) + a(c2 – b2) + b2c – bc2
Por divisores binomios, haciendo a = c y luego
a = b
b – c c2 – b2 b2c – bc2
bc – c2 – b2c + bc2
b – c – b2 + bc 0
b2 – bc
b – c 0
a = c
a = b
Entonces:
G(a; b; c) = (a – c)(a – b)(b – c)
La suma de sus factores primos es:
= (a – c) + (a – b) + (b – c)
= 2a – 2c
Rpta.: 2a – 2c
CAPÍTULO 04FACTORIZACIÓN I
I B
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ESTR
E
20
NÚMERO COMBINATORIO
faCtorial de un número
Notación:
Se lee: "factorial de n"
n! n n
n! = 1⋅2⋅3⋅4⋅ ... n ó
n! = n(n – 1)(n – 2)... ⋅3⋅2⋅1 n
+Además se define: 0! = 0 = 1
Se llama factorial de un número na-
tural n al producto de los n prime-
ros números enteros positivos.
Ejemplos:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Propiedades:
1. n! = (n – 1)!n 2.
Si: a! = b!
a = 0 b = 1
o
a = 1 b = 0
o
a = b con a, b +
• 8! = 7! 8
• 9! = 7! 8 ⋅ 9
1. Factorial de 1
n! = (n – 1)!n
Para n = 1:
1! = 0!⋅1 ⇒ 1! = 1
2. En consecuencia
Si a! = 1 ⇒
a = 0
∨
a = 1
∴ n! existe ⇔ n +
Ten Presente
2
Veamos:
Los brasileños se pueden sentar juntos de 3 × 2 × 1 = 6 maneras diferentes.
Los argentinos se pueden sentar juntos de 2 × 1 = 2 maneras diferentes.
Los peruanos se pueden sentar juntos de 3 × 2 × 1 = 6 maneras diferentes.
Ahora tomando a cada uno de ellos como si fueran un solo elemento:
3 × 2 × 1 = 6 maneras diferentes.
Brasileños 3 × 2 × 1 = 6 Argentinos: 2 × 1 = 2 Peruanos 3 × 2 × 1 = 6
3 × 2 × 1 = 6
En total se pueden ordenar de6 × 2 × 6 × 6 = 432 maneras diferentes.
05CA
PÍ
TU
LO
Se tiene un problema en cuya
Solución utiliza el factorial de
un número y el principio de
la multiplicación. En otras pa-
labras se hace uso del análisis
combinatorio.
¿De cuántas maneras dife-
rentes; 3 brasileños, 2 argen-
tinos y 3 peruanos pueden
sentarse en fila de modo que
los de la misma nacionali-
dad siempre se encuentren
juntos?
I
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ES
TR
E
21
1. Permutaciones (P(n))
P(n) = n!
2. Variaciones (Vn
r)
P(n; k) = Vn
k =
n!
(n – k)!
Ten Presente
2
Principio multiplicativo
Si un evento A puede ocurrir
de m formas distintas y un
evento B puede ocurrir de n
formas diferentes, entonces el
número de formas en las que
pueden ocurrir A y B es igual a:
m × n
Ten Presente
2
número ComBinatorio
Para n, k Z y 0 k n
Se define:
n!
k!(n – k)!
n
k
Cn
k= =
Índice superior
Índice inferior
•
•
•
5!
3!2!
3! 4 · 5
3! · 2
C5
3 = == 10
7!
4!3!
4! 5 · 6 · 7
4! · 6
C7
4 = == 35
10!
2! 8!
8! 9 · 10
2 · 8!
C10
2 = == 45
Forma práctica:
8 · 7 · 6
1· 2 · 3
C8
3 = = 56
n(n – 1)(n – 2)...(n – k + 1)
1· 2 · 3 · ... · k
Cn
k =
ProPiedades de los números ComBinatorios
Problema 1:
Si
n!(n! – 3)
n!+4
= 18 , determina el valor
de: k = n2 – 4n + 9
Solución:
Haciendo n!=x
x(x – 3)
x + 4
= 18 ⇒ x2 – 21x – 72 = 0
Resolviendo la ecuación:
(x – 24)(x + 3) = 0 ⇒ x=24
Luego:
n! = 24 = 4! ⇒ n=4
Nos piden:
k = (4)2 – 4(4) + 9 ⇒ k = 3
Rpta.: 3
1. C1
n = n Cn
n = 1
C10
1 = 10• C15
15=1•
3. Degradación de índices
a) Ambos índices b) Índice Superior
Cn
k =
n
k Cn–1
k–1
n
n–k
Cn
k = Cn–1
k
c) Índice inferior
Cn
k =
n–k+1
k
Cn
k–1
2. Combinatorios complementarios
Cn
k = Cn
n – k Cn
k = Cn
rSi ⇒
k = r
∨
k + r = n
4. Suma de combinatorios
Cn
k Cn
k+1 Cn+1
k+1+ =
• C7
3 + C7
4 = C8
4
• C8
4 + C8
5 + C9
6 = C10
6
Problema 2:
Diez parejas están en una fiesta. Si
cada persona saluda al resto con un
apretón de mano excepto a su propio
acompañante, determina el número
total de apretones de mano posibles.
Solución:
En 10 parejas hay 20 personas y los
apretones se dan de 2 en 2, entonces
los apretones son:
20 × 19
2 × 1
C20
2 = =190
Como no se consideran los apre-
tones entre parejas, el total de
apretones es: 190 – 10 = 180
Rpta.: 180
CAPÍTULO 05NÚMERO COMBINATORIO
I B
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E
22
1 Halla el valor de x, si: (3x + 4)(3x + 3)! = 25!
(UNALM-10-I)
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
2 Si (n + 7)!(n + 5)!
(n + 6)!+(n + 5)!
= 13!, determina el valor de n.
(UNALM-11-I)
A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4
3 Si =+ + + +...+
1!
3!
2!
4!
3!
5!
4!
6!
4
9
n!
(n+2)!
,
calcula: (n – 14)3
(UNTECS-10-II)
A) 8 B) 1 C) 27 D) –8 E) –1
4 Si C2
1 + Cn
2 + Cn
3 = 12, halla el valor de: C2n
6
(UNMSM-09-I)
A) 56 B) 28 C) 24 D) 210 E) 14
5 Según el gráfico, de cuántas maneras se puede ir
de "A" hacia "D".
A B C D
(UNAL-12-II)
A) 40 B) 42 C) 48 D) 49 E) 50
6 De un grupo de 7 mujeres y 4 varones, ¿cuántos
grupos de 3 mujeres y 3 varones se pueden formar
para sentarse alrededor de una mesa, sin que las
mujeres queden juntas?
(UNAL-13-I)
A) 1500 B) 1680 C) 1400 D) 880 E) 1800
7 Diana desea llamar a su amiga Estrella, pero
solo sabe el primer, tercer y último dígito del
número telefónico de 6 dígitos. ¿De cuántas ma-
neras diferentes puede llamar a su amiga?
(U. DE LIMA-16-I)
A) 120 B) 210 C) 150 D) 200 E) 100
8 Si
(n+7)!(n+5!)
(n+6)!+(n+5)!
= 10!, determina el valor de n.
A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4
9 Halla K en: C19
7 + C19
6 = C20
k
(URP-13-II)
A) 249 B) 19 C) 6 D) 7 E) 8
10 Calcula el valor de:
(x – 3)! + (x – 2)! + (x–1)!
(x–1)!
(UNAL 12-I)
A) x+2
x–1 B) x+1
x–2 C) x+1
x+2
D) x–1
x–2 E) x+1
x+2
Problema 3:
Un grupo formado por 3 mujeres y 3 hombres se
sientan de modo que ellas se alternan con ellos. ¿De
cuántas maneras pueden hacerlo en una fila de 6
asientos?
Solución:
Analizando:
• Primer caso: Iniciando un varón se pueden sentar
así: V1; M1; V2; M2; V3; M3 es una permutación:
P3 × P3=3! × 3! = 6 × 6 =36
• Segundo caso: Iniciando una mujer se pueden sen-
tar así: M1; V1; M2, V2; M3; V3 es una permutación:
P3 × P3
= 3! × 3! = 6 × 6 = 36
Como ambos casos son eventos excluyentes, el to-
tal de formas en que se pueden sentar es:
36 + 36 = 72.
Rpta.: 72
Problema 4:
Un estudiante debe responder cualquiera de las 8
preguntas en el examen de aritmética que contiene
12 preguntas. ¿De cuántas formas posibles puede
elegir las 8 preguntas a responder?
Solución:
– Es una combinación.
– Son 12 preguntas, y va a elegir 8 de ellas, así:
C12
8 = C12
4 = = 49512×11×10×9
4×3×2×1
Rpta.: 495
Actividad 05
CAPÍTULO 05 NÚMERO COMBINATORIO
I
B
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23
BINOMIO DE NEWTON
En el desarrollo de (x – y)n; los
términos de lugar par poseen
signo negativo.
• (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2
– 10x2y3 + 5xy4 – y5
Ten Presente
2
Cn
k = n
k
⇔ n, k ∈Z+
0
Ten Presente
2
(a+b)1 = a + b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
desarrollo del Binomio de newton Con exPonente natural
El binomio de Newton nos permite desarrollar cualquier binomio elevado a
un exponente natural. Para ello hace uso del número combinatorio.
Una expresión que presenta la forma:
(a + b)n
Primera
base
Segunda
base
Exponente
Se denomina binomio de Newton
Ejemplos:
• (2x + 3)3 • (3x – 2y)4 •
2x
3
9
2x2
+
4
Dado (x+a)n, donde x, a ≠ 0 y n un entero positivo, su desarrollo es:
(x + a)n = Cn
0 x
n + Cn
1x
n –1a + Cn
2x
n – 2a2 +...+ Cn
n –1x an –1 + Cn
n a
n
Abreviadamente se puede escribir así:
(x + a)n = ∑ Cn
k x
n – kak
k = 0
n
Ejemplo 1:
(2x2 + y3)4 = C4
0(2x2)4 + C4
1(2x2)3(y3) + C4
2(2x2)2(y3)2 + C4
3(2x2)(y3)3 + C4
4(y
3)4
= (1)(16x8) + (4)(8x6)(y3) + (6)(4x4)(y6) + (4)(2x2)(y9) + (1)(y12)
= 16x8 + 32x6y3 + 24x4y6 + 8x2y9 + y12
Ejemplo 2:
(2 – 3y)4 = 24 – 23 · 3y + 22 · (3y)2 – 2(3y)3 + (3y)44
0
4
1
4
2
4
3
4
4
= 16 – 96y + 216y2 – 216y3 + 81y4
06CA
PÍ
TU
LO
Observamos el desarrollo de un
binomio elevado a un exponente
natural. Los coeficientes de los
términos del desarrollo de cada
binomio se obtienen empleando el
Binomio de Newton.
I B
IM
ESTR
E
24
Término de lugar "k + 1" en el desarrollo de un binomio
Si se quiere hallar un término particular del binomio, sin necesidad de realizar todo el desarrollo, se puede
utilizar la siguiente fórmula, que permite hallar el término de un lugar "k" determinado.
Tk+1 = Cn
kx
n – kak
Problema 3:
En el desa rrollo de
2
x
3x2 +
20
, halla el término
independiente de x.
Solución:
Si el término es independiente de x, su exponente
debe ser cero, entonces:
tk+1 = C20
k (3x2)20 – k = 320–k × 2k × C20
k x
40 –2k –
2
x
k k
2
Luego:
40 – 2k – = 0 ⇒ k = 16k
2
Finalmente:
t17
= 320–16 × 216 × C20
16x
40–2(16)– = 34 × 216 × C20
16
16
2
Rpta.: 34 × 216 × C20
16
Problema 4:
¿Qué lugar ocupa el término de 5x4 +
30
3
x2 que no
depende de x?
Solución:
Buscamos el término de lugar k + 1:
tk+1 = C30
k (5x 4)30 – k
3
x2
k
No depende de x cuando el exponente de x es cero.
Exponente de x: 4(30 – k) – 2k = 0 ⇒ k = 20
Por lo tanto, el término independiente ocupa el
lugar k + 1, es decir, el lugar 21.
Rpta.: 21
Ejemplo 3:
Calcula, sin desarrollar el binomio, el término que
ocupará el lugar 5 en el desarrollo de 3
b
10
a2 + .
Resolución:
Como nos piden el quinto lugar, el valor de k es 4,
entonces:
T5 = T4 + 1 = C10
4 (a
2)10 – 4 3b
4
T5 =(a12) 81
b4
10 · 9 · 8 · 7
4 · 3 · 2 · 1
T5 =
17 010a12
b4
Rpta.: 17 010a12
b4
Problema 2:
Halla el término que contiene a x18 en el desarro-
llo de (x2+x)12.
Solución:
Del término general:
Tk+1 = C12
k (x
2)12 – kxk ⇒ Tk+1 = C12
k x
24 – k
Como el número contiene a x18, igualamos los
exponentes: 18 = 24 – k ⇒ k = 6.
El término que lo contiene es:
T6+1 = C12
6 (x
2)12–6x6
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
x12x6T7 =
T7 = 924x18
Rpta.: 924x18
Problema 1:
Halla (n – k) si el cuarto término del desarrollo de
(x+2)n es 80xk.
Solución:
Del término general:
Tk+1 = Cn
k (x)n – k2k ⇒ T4 = Cn
3(x)n – 323 = 80xk
⇒ n – 3 = k ⇒ n = k + 3
Igualando los coeficientes:
Cn
3 × 23= 80 ⇒ Cn
3 = 10 ⇒ n = 5
El valor de k es:
5 = k + 3 ⇒ k = 2
Finalmente: n – k = 5 – 2 = 3
Rpta.: 3
CAPÍTULO 06 BINOMIO DE NEWTON
I
B
IM
ES
TR
E
25
1 ¿Qué lugar ocupa el término central del desarro-
llo de la potencia del binomio a
xn+1
+ x
an
5n+2
, si
en su expansión hay 13 términos?
(CEPRE UNI-06-1)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
2 Halla el coeficiente de x3 en el desarrollo del bi-
nomio [2x + (2x)–1]11. (UNMSM-09-2)
A) 2640 B) 330 C) 660
D) 1320 E) 5280
3 Uno de los términos en el desarrollo del bino-
mio
3
yx
12
xy– es mx9y8.
Determina el valor de m. (UNMSM-10-2)
A) C12
8 B) C12
7 C) C12
4
D) C12
9 E) C12
6
4 Halla el término independiente de x e y en el
desarrollo de:
y4
4x6
2x3
y2
12
+
A) 495 B) 490 C) 470 D) 300 E) 500
5 Halla el término independiente de x en:
93
2
1
3x
x2 –
A) 7/18 B) 18/7 C) 9/7
D) 1 E) 3/7
6 Halla el término independiente de x, si existe,
en la expansión de:
x
x4
9
+
1
A) 84º B) 240 C) 48 D) 34 E) 102
7 El término independiente en el desarrollo de
x + 1
x3
12
es: (UNAC-12-1)
A) 280 B) 220 C) 310
D) 169 E) 26
8 Encuentra el número natural n para que los
términos de lugares 9 y 7 en el desarrollo de:
13x
2
y2
n
+ posean el mismo coeficiente.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
9 Halla el coeficiente del término central del de-
sarrollo del binomio (2x + 3y)8.
A) 90027 B) 90270 C) 90072
D) 90720 E) 90207
10 Indica el lugar que ocupa el término indepen-
diente en el desarrollo de:
x3x2 – 1
x2
13
A) 2 B) 5 C) 7 D) 10 E) 14
Actividad 06
Ejemplo 5:
¿Cuántos términos presenta el desarrollo de
n
8
n
x + y si los términos de lugares séptimo y oc-
tavo tienen igual coeficiente? (CEPRE UNI)
Solución:
El número de términos del desarrollo es "n + 1".
Además:
∗ T7 = Cn 6
nx
8
n – 6y6
coef.(T7) = Cn 6
n
8
n – 6
∗ T8 = Cn 7
nx
8
n – 7y7
coef.(T8) = Cn 7
n
8
n – 7
Condición: Cn 6
n
8
n – 6 = Cn 7
n
8
n – 7
n
8
Cn 6
n
8
n – 7 ⋅ = n
- 7 + 1
7
Cn 6
n
8
n – 7
⇒ n8 = ; de aquí: n = 48n - 6
7
∴ El número de términos del desarrollo es 49.
Rpta.: 49
CAPÍTULO 06BINOMIO DE NEWTON
I B
IM
ESTR
E
26
ECUACIONES E INECUACIONES
LA ENERGÍA NUCLEAR
La energía nuclear en forma de calor se obtiene de la división del
núcleo atómico (fisión nuclear) o la unión de dos átomos (fusión
nuclear). El calor de la energía nuclear se transforma en energía
eléctrica en las centrales nucleares, aunque se puede utilizar en
muchas otras aplicaciones. El principio fue descubierto por Albert
Einstein con su famosa ecuación E=mc2.
- ¿Crees que mediante una ecuación se puede descubrir leyes físicas?
www.energia-nuclear.net/es
Unidad
02
Partículas subatómicas
APRENDIZAJES ESPERADOS
Traduce condiciones
y datos a expresiones
algebraicas
Comunica su
comprensión sobre las
relaciones algebraicas
Usa estrategias y
procedimientos para
encontrar reglas generales
Argumenta
afirmaciones sobre
relaciones de cambio y
equivalencia
• Determina el origen de
los números imaginarios y
complejos.
• Traduce situaciones proble-
máticas del contexto real
al matemático empleando
ecuaciones lineales, cua-
dráticas o de grado supe-
rior.
• Aplica propiedades para
efectuar inecuaciones li-
neales, cuadrática o de
grado superior.
• Representa en forma grá-
fica y simbólica el número
complejo.
• Representa en forma
simbólica las ecuaciones
lineales, cuadráticas o de
grado superior extraídas
de los problemas.
• Emplea esquemas y gráfi-
cos para resolver inecua-
ciones lineales, cuadráti-
cas o de grado superior.
• Emplea diversas estrategias
y procedimientos para redu-
cir operaciones con números
imaginarios y complejos.
• Elabora diversas estrategias
para resolver problemas em-
pleando ecuaciones lineales,
cuadráticas o de grado supe-
rior.
• Resuelve problemas y ejer-
cicios de inecuaciones linea-
les, cuadráticas o de grado
superior.
• Justifica el uso de los
números imaginarios y
complejos.
• Propone ejemplos de
aplicación de las ecua-
ciones lineales, cuadráti-
cas o de grado superior.
• Argumenta el uso de
las inecuaciones lineales,
cuadráticas o de grado
superior.
27
CANTIDADES IMAGINARIAS
Cantidad imaginaria.- Es aquel número que resulta de extraer la raíz de
índice par a un número real negativo.
Ejemplos: –1; –3; – 4; –24
Unidad imaginaria.- Es la cantidad imaginaria elemental que resulta de
extraer la raíz cuadrada de –1, y se denota por i.
i = –1 ⇔ i2 = –1
Ejemplos:
• – 4 = 4 –1 = 2i • – 9 = 9 –1 = 3i
• –5 = 5 –1 = 5i • –6 = –1 6 = 6 i
oPeraCiones Con números imaginarios
Con los números imaginarios se pueden realizar todas las operaciones que
se realizan con los números reales.
1. Adición y sustracción:
Ejemplo 1:
Halla el valor de P = 4i + 8i – 3i.
Solución:
P = 12i – 3i
P = 9i
Rpta.: 9i
Ejemplo 2:
Halla el valor de T = –16 + –25.
Solución:
T = 4i + 5i
T = 9i
Rpta.: 9i
2. Multiplicación y división:
Se desarrollan igual que con los números reales, pero al multiplicar o di-
vidir los "i", debemos tener en cuenta las potencias de "i".
Ejemplo 3:
Halla el valor de M = (4i)(3i).
Solución:
M = (4)(3)i × i
M = 12i2
M = 12(–1)
M = –12
Rpta.: –12
Ejemplo 4:
Halla el valor de T = –18 ÷ –2.
Solución:
T = (i 18) ÷ (i 2 )
T = 9 ∴ T = 3
Rpta.: 3
ObservaciónObservación
Cuatro potencias enteras y
consecutivas de i suman cero.
i1 + i2 + i3 + i4 = 0
En general
ik + ik+1 + ik+2 + ik+3 = 0
• i23 + i24 + i25 + i26 = 0
• i50 + i51 + i52 + i53 = 0
07CA
PÍ
TU
LO
La operación está formada
por cantidades imaginarias
elevadas a un exponente na-
tural. Para hallar el resultado
debemos conocer qué es un
número imaginario y cómo
operar con sus potencias.
¿Cuál es el resultado de
la siguiente operación?
i2 +i4 + i6
Sabiendo que: i = -1
II B
IM
ESTR
E
28
PotenCias enteras de la unidad imaginaria
Las potencias de la unidad imaginaria se caracterizan porque forman un
período, es decir, cada cierta cantidad de potencias se vuelven a repetir:
Ejemplo 5:
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 · i = (–1)(i) = –i
i4 = i2 · i2 = (–1)(–1) = 1
i5 = i4 · i = (1)(i) = i
i6 = i4 · i2 = (1)(–1) = –1
i7 = i4 · i3 = (1)(–i) = –i
i8 = i4 · i4 = (1)(1) = 1
i9 = i8 · i = (1)(i) = i
i10 = i8 · i2 = (1)(–1) = –1
i11 = i8 · i3 = (1)(–i) = –i
i12 = i8 · i4 = (1)(1) = 1
Y así empiezan a repetirse las potencias.
En general para n ∈N:
i4n = 1 i4n+1=i i4n+3 = –ii4n+2 = –1
ObservaciónObservación
Siendo: i = –1
• (1+i)2 = 2i
• (1– i)2 = –2i
•
1+i
1– i
= i
•
1–i
1+ i
= – i
• (1 + i)4 = – 4
• (1 – i)4 = – 4
Problema 1:
Reduce:
Z = (1 + i)4 + (1 – i)4 + (1 + i)8;
i = –1
Solución:
Z = (1 + i)2 2+ (1 – i)2 2 + (1 + i)2 4
Z = [2i]2 + [–2i]2 + [2i]2
Z = 4i2 + 4i2 +16i4
Z = 4(–1) + 4(–1) + 16(1)
Z = – 4 + – 4 + 16
Z = 8
Rpta.: 8
Problema 2:
Reduce:
i8 + i13 + i32
2 – i17 + i18 – i23W = – i; i = –1Solución:
Recordando potencias naturales
de i tenemos:
1 + i + 1
2 – i – 1 + i
W = – i
W = 2 + i – i
W = 2
Rpta.: 2
Problema 3:
Reduce:
3 + i
3 – i
3 – i
3 + i
Q = +
Solución:
M.C.M. = (3 + i)(3 – i)
(3 + i)2 + (3 – i)2
(3 + i)(3 – i)
Q =
(9 + 6i + i2) + (9 – 6i + i2)
32 – i2
Q =
18+2i2
9 – i2
Q = = = =
18 + 2(–1)
9 – (–1)
16
10
1,6
Rpta.: 1,6
Problema 4:
Calcula:
i2343 + i331 + i542 + i300
i–55 + i–242 + i–328
Solución:
• 2 343 = 4º + 3;
• 300 = 4º ;
• 331 = 4º + 3;
• 542 = 4º + 2;
i3 + i3 + i2 + 1
i + i2 + 1
–2i
i
= –2=
Rpta.: –2
CAPÍTULO 07 CANTIDADES IMAGINARIAS
i–55 = (–1)55 · i55
= –1 · i4
°+3
= –1 (–i)
i–55 = i
Ten Presente
2
; n ∈ N;
II
B
IM
ES
TR
E
i–n = (–1)n · in
i = –1
29
1 Si S = i + i2 + i3 + .... + i2011, donde i2 = –1, enton-
ces S es igual a:
(UNAC-10-2)
A) i B) i –1 C) –1 D) 0 E) 1
2 Resuelve: 1+i
2
16
E = ; i = –1
UNALM-12-1)
A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 3
3 Calcula: E = 3 + 4i + 3 – 4i ; i = –1
(UNFV-11-2)
A) 41 B) i C) 3 D) 4 E) –i
4 Reduce: I = 1 + i + i2 + i3 + ... + i12 ; i = –1
A) 1–i B) 1+i C) –1 D) 1 E) 0
5 Si (1 + i)9 = m + ni, halla el valor de m + n ;
donde i = –1 .
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128
6 Reduce la siguiente expresión:
1+i
1– i
1 + i
1 + i
1 + i
1 – i
1+
1+
1–
1–
M =
. . .
; i = –1
A) 1 B) i C) –i D) –1 E) 0
7 Si:
1+i
1– i
w = ; i = –1 ,
halla:
L = w + 2w2 + 3w3 + 4w4 + ... + 12w12
A) 12 – 12i B) 6 – 2i C) 2 – 6i
D) 6 – 6i E) 0
8 Evalúa:
E = 2–38(1 + i)77 + 1 + i,
donde "i" es la unidad imaginaria.
(UNAL-12-I)
A) –2 B) –1 C) 0
D) 1 E) 2
9 Simplifica:
1+i
1– i
1– i
1+ i
8
(1+i)4
+ +E = ; i = –1
A) 1 B) 2 C) –1
D) –2 E) –3
10 Simplifica:
(1+i)9
1+i9
F = ; i = –1
A) 16 B) 2 C) 10
D) 8 E) 13
Actividad 07
Problema 5:
Calcula:
M = 1 + i
1 – i + 1 + 2i
2 – i ... + 1 + 20i
20 – i ; i = –1
Solución:
M = 1 + i
1 – i + 1 + 2i
2 – i ... + 1 + 20i
20 – i
Los sumandos (fracciones) son de la forma
1 + ai
a – i
cumpliéndose que: 1 + ai
a – i = i
M = i + i + i + ...+ i = 20i
20 sumandos
Rpta.: 20i
CAPÍTULO 07CANTIDADES IMAGINARIAS
II B
IM
ESTR
E
30
NÚMEROS COMPLEJOS
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
DE UN NÚMERO COMPLEJO
Eje imaginario
Afijo
de z
(a,b) = z
Polo Eje real
Radio
vector del
complejo z
Y
b
a
X
Ten Presente
2
NÚMERO COMPLEJO
Es todo número de la forma a + bi. Se denota por "z" y se puede expresar
como un par ordenado.
z = (a; b) = a + bi ; i = –1
Parte real: Re(z) = a
Parte Imaginaria: Im(z) = b
z = 8 + 12i
Re(z) = 8
Im(z) = 12
tiPos de números ComPlejos
Complejo real o
puramente real
z = (8; 0) = 8
Complejo
imaginario puro
z = (0; –5) = –5i
Complejo nulo
z = (0; 0) = 0
Conjugado y oPuesto de un ComPlejo
Dado el complejo
z = (x, y) = x + yi
Conjugado de z: z = (x, –y) = x – yi
Opuesto de z: z* = (–x; –y) = – x – yi
• Para w = –4 + i
w = –4 – i
w* = 4 – i
• Para z = 3 + 2i
z = 3 – 2i
z* = –3 – 2i
Ejemplos:
w
z
w*
z*
w
z
Y
X
oPeraCiones Con números ComPlejos
ADICIÓN
• (4 + 3i) + (5 – 2i) = 9 + i
SUSTRACCIÓN
• (5 + 3i) – (2 + i) = 3 + 2i
08CA
PÍ
TU
LO
Ten Presente
2
Opuesto de z se puede denotar:
z* = zop
En la pizarra tenemos
la solución de una
ecuación de segundo
grado, cuya raíz no es
un número real sino un
número complejo.
La solución de la ecuación
x2 + x + 1 = 0
x = –1 ± i 3
2
; i = –1es
II
B
IM
ES
TR
E
31
MULTIPLICACIÓN
• 8(3 – 4i) = 24 – 32i
• 2i(6 – 4i) = 12i – 8i2 = 8 + 12i
–8
• (3 + 2i)(5 – 3i) = 15 – 9i + 10i – 6i2
= 21 + i –6
DIVISIÓN
Para dividir dos números complejos
se multiplica ambos términos por la
conjugada del divisor.
•
1+2i
2+3i
1+2i
2+3i
2 – 3i + 4i – 6i2
22 – (3i)2
2–3i
2–3i
×· ==
2 + i – 6(–1)
4 – 9(–1)
8 + i
13
= =
módulo o valor aBsoluto de un número ComPlejo
FORMA POLAR O TRIGONO-
MÉTRICA DE UN NÚMERO
COMPLEJO
0
Y
a a
b
(a, b) = z = a + bi
b
q
X
z
Del triángulo sombreado:
a = z cosq
b = z senq
donde: tanq = b
a
Reemplazando en z = a + bi:
z = z cosq + z senq⋅i
z = z (cosq + isenq) = z cisq
Ten Presente
2
Problema 1:
Halla un complejo cuyo conjuga-
do multiplicado por (1 + i) da el
complejo:
870
11+13i
Solución:
Sea el complejo:
Z = a + bi ⇒ z = a – bi
Luego:
(a – bi)(1 + i) =
870
11 + 13i
870
11+13i
11–13i
11–13i
a + ai – bi + b = ·
(a + b) + (a – b)i = 33 – 39i
⇒ a + b = 33
a – b = –39
a = –3
b = 36
⇒ Z = a + bi = –3 + 36i
Rpta.: –3 + 36i
Problema 2:
Halla la raíz cuadrada de:
3 + 4i
Solución:
3 + 4i = (x + yi)22
3 + 4i = x2 + 2xyi + y2 · i2
3 + 4i = (x2 – y2) + 2xyi
(x2 – y2)2 = (3)2 ... (1)
(2xy)2 = (4)2 ... (2)
(1): x4 – 2x2y2 + y4 = 9 +
(2): 4x2y2 = 16
x4 + 2x2y2 + y4 = 25
(x2 + y2)2 = 25
x2 + y2 = 5
x2 – y2 = 3
2y2 = 2
y = ± 1
x = ± 2
⇒ 3 + 4i = ± (2 + i)
Rpta.: ± (2 + i)
Dado z = a + bi, el módulo o valor
absoluto de z, es el número real no
negativo denotado por z y defini-
do por:
z = a2 + b2
(a + bi)b
a
z
=
a
2 + b
2
CAPÍTULO 08NÚMEROS COMPLEJOS
Ten Presente
2
En este capítulo daremos por
entendido que:
i = –1
Ten Presente
2
z =|z|(cosq + isenq)
⇒ zn =|z|n(cosnq) + isen(nq))
Aplicación:
z = 2(cos5º + isen5º)
z3 = 23(cos(3×5) + isen(3×5))
z3 = 8(cos15º + isen15°)
Re
Im
(–)
II B
IM
ESTR
E
32
1 Si z = 1 + i, halla E = z4 + 1
z4 ; i = –1
(UNALM-13-1)
A) – 12
7
B) – 11
23 C) – 17
4
D) –10 E) –9
2 Si z1 = 1 + 2i; z2 = 12 + 2i; z3 = –5 – i; z4 = 2 – i
2 ;
i = –1 , halla
z1 –
z2
+ z4
z3 (UNALM-09-2)
A) 26
4
B) 26
2
C) 23
2
D) 2 E) 5
3 Si i2 = –1, el módulo del número complejo z, so-
lución de la ecuación 2z + iz = 6 + 9i, es:
(UNAC-09-2)
A) 13 B) 11 C) 17 D) 14 E) 15
4 Si la raíz cuadrada del número complejo 1 + i es
x + yi, halla el valor de xy
x
y–
–1
.
A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 2
5 Si z = (1 + i)8, halla z en forma binomial; i = –1
(CEPREUNI-2014-II)
A) 16 + 0i B) –16 – 2i C) 16 + 16i
D) 0 + 16i E) 0 – 16i
6 Encuentra el complejo (3 + 7i)(p + qi); p, q ∈ Z+,
i = –1 sabiendo que es el imaginario puro de
menor módulo.
A) 50i B) 50 C) 58 D) 58 + i E) 58i
7 Si z+ z = 3 – 3i , (z = a + bi), halla z;
i = –1 (UNALM-10-2)
A) 1/2 B) 1 C) 4 D) 2 E) 9
8 Sea:
E =
(1 + i) – 2
2
+ 6
2
i ( 2i )
2
2
– 6
2
i 2
2
+ 6
2
i
; i = –1
Indica cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera:
I. Re(E) =
2
1 – 3 II. Im(E) =
2
1 + 3
III. E= 2 cis 7p
12
–
(UNI-12-1)
A) I B) II C) III
D) I y III E) I, II y III
9 El número (1 + i)
n+m
3 , para n, m N; i = –1
puede representarse como: (UNI-08-2)
A)
n+m
32 cos(n + m)π
6
+ isen(n + m)π
6
B)
n+m
32 cos(n + m)π
3
+ isen(n + m)π
6
C)
n+m
62 cos
(n + m)π
12 + isen
(n + m)π
12
D)
n+m
62 sen
(n + m)π
12 + icos
(n + m)π
12
E)
n+m
22 sen
(n + m)π
3 + icos
(n + m)π
3
10 Sea el número complejo:
W =
[cos12º+isen12º]4 2 (cos8º+isen8º)
11
[cos6º + isen6º]31 [sen80º + icos80º]
La forma polar de W es: (UNI-08-2)
A) 28 cis(60º) B) 216 cis(30º)
C) 216 cis(60º) D) 232 cis(30º)
E) 232 cis(60º)
Problema 3:
Indica uno de los complejos resultantes de:
3 + 4i + 3 – 4i
Solución:
E = 3 + 4i + 3 – 4i
E4 = 3 + 4i + 3 – 4i
2
E4 = 3 + 4i + 3 – 4i + 2 9 + 16
E4 = 6 + 2 25
E4 = 6 + 10 ⇒ E4 = 16
E = 2 Rpta.: 2
Actividad 08
CAPÍTULO 08 NÚMEROS COMPLEJOS
II
B
IM
ES
TR
E
33
ECUACIONES I
Interesante¡!
LA VIDA DE DIOFANTO
¡Caminante! Aquí fueron se-
pultados los restos de Diofanto.
Y los números pueden mostrar,
¡oh, milagro!, cuán larga fue su
vida cuya sexta parte constitu-
yó su hermosa infancia.
Había transcurrido además
una duodécima parte de su
vida, cuando de vello cubriose
su barbilla y la séptima parte
de suexistencia transcurrió en
un matrimonio estéril. Pasó un
quinquenio más y le hizo di-
choso el nacimiento de su pre-
cioso primogénito que entregó
su cuerpo, su hermosa existen-
cia, a la tierra, que duró tan solo
la mitad de la existencia de la
de su padre. Y con profunda
pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido cuatro
años al deceso de su hijo.
Epitafio redactado en forma de pro-
blema y conservado en la antología
griega.
ECUACIÓN LINEAL Ó DE 1.er GRADO CON UNA INCÓGNITA
Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:
ax + b = 0 a, b R
Si: a 0 x = – b
a
⇒ COMPATIBLE DETERMINADO
Si: a = 0 y b 0 ES INCOMPATIBLE
Si: a = 0 y b = 0 COMPATIBLE INDETERMINADO
(Tiene solución única)
(Tiene infinitas soluciones)
(No tiene solución)
Ejemplos:
• 3x – 7 = x – 11 • x – 3
2 + x – 1
2 = 1
resoluCión de una eCuaCión lineal
Resolver una ecuación lineal consiste en hallar el valor de la variable que
hace cierta la igualdad.
Recuerda
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está
restando pasa sumando.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro
dividiendo, y si los divide, pasa multiplicando.
09CA
PÍ
TU
LO
Ejemplo 1:
Resuelve 15x – 24
2
– 8 – 5x
4
– x = 2x – 8
6
Solución:
MCM (2; 4; 6)=12
Eliminando el denominador y redu-
ciendo.
6(15x – 24) – 3(8 – 5x) – 12x = 2(2x – 8)
90x – 144 – 24 + 15x – 12x = 4x – 16
Pasando las variables a un solo
miembro:
90x + 15x – 12x – 4x = –16 + 144 + 24
89x = 152
x = 152/89
C.S. = {152/89}
Rpta.: 152/89
ECUACIÓN DE 2.do GRADO Ó CUADRÁTICA CON UNA INCÓGNITA
Toda ecuación cuadrática se puede reducir a la forma: ax2 + bx + c = 0 ; a 0
• 3x2 – 2x + 1 = 0 • (x – 1)2 = 2x + 1 • x2 – 3x = 3(1 – 2x)
resoluCión de una eCuaCión CuadrátiCa
Toda ecuación cuadrática se puede reducir a la forma (mx + n)(px + q) = 0,
Al desarrollar y reducir la primera
ecuación se obtiene un solo valor
para x. En la segunda ecuación se
obtienen 2 valores, por lo tanto,
las ecuaciones no tienen el mismo
conjunto solución. Además, la
primera ecuación, al reducirse se
convierte en una ecuación lineal y
la segunda en una ecuación cua-
drática o de segundo grado.
Las ecuaciones
mostradas:
• (x+3)2 = (x+2)2+7
• (x–1)(x+3) = 0
¿Tienen el mismo
conjunto solución?
II B
IM
ESTR
E
34
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
4aax2 + 4abx + 4ac = 4a⋅0
(2ax)2 + 2(2ax)(b) + b2 – b2 + 4ac = 0
T.C.P.
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
2ax + b = ± b2 – 4ac
x = –b ± b2 – 4ac
2a
HistoriaHistoria
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
La solución de las ecuaciones
de segundo grado fue introdu-
cida por Abraham Bar Hiyya,
matemático judeo español,
que vivió entre los años 1065
y 1136.
(https://sites.google.com/site/salonsosanz/
ecuacionesdesegundogrado)
m ≠ 0 , p ≠ 0; esto es, una multiplicación de dos factores cuyo producto es
cero. Esto sucede sí, y solo sí, cuando uno de los factores es igual a cero.
Solución por aspa simple:
Sea 8x2 – 18x – 5 = 0
8x2 – 18x – 5 = 0 ⇒ (4x + 1)(2x – 5) = 0
4x 1
2x –5
4x + 1 = 0 ∨ 2x – 5 = 0
x = – 1
4
x = 5
2
C.S.= – 1
4
; 52
Solución por fórmula general:
El primer miembro de una ecuación cuadrática reducida no siempre se pue-
de factorizar por aspa simple, en tal caso se aplica la fórmula general.
Ejemplo 2:
Resuelve 3x2 – 2x – 5 = 0.
Solución:
Ubicando los valores de a, b y c
a = 3, b = –2, c = –5
Reemplazando los valores en la fór-
mula general:
x =
–(–2) ± (–2)2 – 4(3)(–5)
2(3)
x = 5
3 ∨ x = –1
C.S. = 5
3
; –1
Rpta.: C.S. = 5
3
; –1
Para ax2 + bx + c = 0, a 0
discriminante: = b2 – 4ac
1. > 0 → raíces reales
2. > 0 → 2 raíces distintas
3. = 0 → 2 raíces iguales
4. < 0 → raíces no reales
complejas y conjugadas
análisis de las raíCes de una eCuaCión CuadrátiCa
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática dependen del valor
del discriminante, como se muestra a la derecha.
Discriminante:
= b2 – 4ac
CAPÍTULO 09 ECUACIONES I
Ejemplo 3:
¿Cómo son las raíces de la ecua-
ción x2 – 6x + 9 = 0?
Solución:
Hallando su discriminante:
∆ = (– 6)2 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0
Como es cero, tiene 2 raíces reales
e iguales.
Rpta.: Reales e iguales
II
B
IM
ES
TR
E
35
ProPiedades de las raíCes de una eCuaCión CuadrátiCa
Sean 7 y – 5 las raíces de una ecua-
ción cuadrática, entonces:
(x – 7)(x + 5) = 0
de donde la ecuación es:
x2 – 2x – 35 = 0
(7)(–5)–[7 + (–5)]
Ecuación:
x2 – Suma de
raíces( )x + Producto
de raíces( ) = 0
Sean x1 y x2 raíces de:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
dividimos entre "a": x2 + b
a
x + c
a
= 0
Entonces:
x2 + b
a
x + c
a
≡ (x – x1)(x – x2)
x2 + b
a
x + c
a ≡ x2 – (x1 + x2)x + x1x2
x1 + x2 = – b
a
x1x2 =
c
a
1
x1
+ 1
x2
= –b
c
Ejemplo 4:
Las raíces de una ecuación de se-
gundo grado son –5 y 9. Halla la
ecuación.
Solución:
Suma de raíces: –5 + 9 = 4
1. Para que las raíces de una
ecuación cuadrática sean
racionales el discriminante
debe ser cero o un cuadrado
perfecto.
• 2x2 – x – 10 = 0
= (–1)2 – 4(2)(–10) = 81 = 92
Raíces:
2x2 – x – 10 = (2x – 5)(x + 2)
2x –5
x 2
Raíces
racionales
⇒ x1 = 5
2
, x2 = –2
2. Si una de las raíces tiene la
forma + , entonces la otra
raíz es de la forma .
• Si 2 es una de las raí-
ces, entonces la otra raíz es
2+ .
Ten Presente
2
Problema 1:
Dada la ecuación:
x3y4 + x2y2 = 3xy, x > 0; y > 0
calcula el valor de xy23
(UNMSM 13-I)
Solución:
De la ecuación:
x3y4 + x2y2 = 9x2y2
Reducimos: x3y4 = 8x2y2
Dado que: x > 0 ∧ y > 0 ⇒ xy2=8
∴ xy2 = 23
Rpta.: 2
Problema 2:
Una de las raíces aditivas de
(n + 1)(x2 + 2x) = (n + 3)(3x + 5) es
la inversa aditiva de la otra. Halla
el valor de n. (UNMSM-2013-I)
Solución:
Ordenando los términos de la
ecuación, se obtiene:
(n+1)x2 – (n+7)x – 5(n + 3) = 0
Siendo sus raíces r y – r (Por ser
inversas aditivas)
Se verifica si: n+7 = 0
Luego: n = –7 Rpta.: –7
Problema 3:
Si a y b son las raíces de la ecua-
ción: x2 – 6x + c = 0, entonces el
valor de a
2 + b2 + 2c
9 , es igual a:
(CEPREVI-11)
Solución:
Como a y b son raíces → a + b = 6 ... (1)
ab = c ... (2)
Elevando (1) al cuadrado:
a2 + b2 = 36 – 2c
→ a
2 + b2 + 2c
9
= 36 – 2c + 2c
9
= 36
9 = 4
Producto de raíces: (–5)(9) = – 45
Entonces:
x2 – 4x +(– 45) = 0
x2 – 4x – 45 = 0
Rpta.: x2 – 4x – 45 = 0
CAPÍTULO 09ECUACIONES I
En una ecuación cuadrática se
cumple esta propiedad, la cual nos
permite establecer la ecuación a
partir de sus raíces.
x2 – Suma de
raíces( )x + Producto
de raíces( ) = 0
formaCión de una eCuaCión CuadrátiCa a Partir de sus raíCes
II B
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ESTR
E
36
Problema 4:
Halla el valor de x en la ecuación:
a
b
1 – ax + b
a
1 – bx = 1
(CEPREVI - 09)
1 Si se aumenta en 4 unidades el lado de un cua-
drado, su área aumenta en 64. Halla el lado.
(UNALM-10-II)
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
2 Halla
x + a
1 +
x + b
1 =
x – b
1 +
x – a
1
(UNALM-13-I)
A) a + b B) b – a C) 2a + b
D) ab E) 5ab
3 Si las ecuaciones 2 x + 2
x
= 5 y ax2 + bx + 8 = 0
tienen las mismas raíces, halla a + b.
(UNI-11-I)
A) –34 B) –32 C) –30
D) –26 E) 24
4 Resuelve:
4x + 15 +
3 = 6 – x10 +
3
(UNALM-13-I)
A) 5 B) 3 C) 6
D) 2 E) 8
5 Resuelve:
a + x+ a – x
a + x – a – x
= b
a (UNALM-12-1)
A)
a
b
2
2 B)
2 2a
b
C)
2 2
2 2
a b
a b+
D)
2 2 2
2 2
a b
a b+
E)
2ab
a b+
6 Al producto de dos números enteros positivos
consecutivos se resta la suma de los mismos y se
obtiene 71. El número mayor es:
(UNFV-13-I)
A) 10 B) 19 C) 18
D) 11 E) 12
7 Si x1, x2 son raíces de la ecuación:
x2 – (m – 3)x + m =1,
calcula el valor de m – 5
2
si 1
x1
+ 1
x2
= 4
5
(UNFV-11-2)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8 Si x2 + 2x – 1 = 0, halla E = x1+1
x2
1 + x2+1
x2
2
(UNALM-11-2)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) –4
9 Si una raíz de la ecuación
(n + 1)(x2 + 2x) = (n + 3)(3x + 5)
es la inversa aditiva de la otra, halla el valor de n.
(UNMSM-13-I)
A) 5 B) –6 C) 7
D) –7 E) 6
10 Si la ecuación 2x2 – (n + 1)x + (x + 1) = 0 tiene dos
raíces complejas, halla el menor valor entero de
(n + 2). (UNTECS-09-2)
A) 5 B)3 C) 1
D) 2 E) 4
Actividad 09
Solución:
a
b
– a2
bx + b
a
– b2
ax = 1
a
b
– 1 + b
a
= a2
bx + b2
ax
a
b
– 1 + b
a
= a2
bx + b2
ax
a2 – ab + b2
ab = a
3 + b3
abx
x =
(a + b)(a2 – ab + b2)
a2 – ab + b2
x = a + b
Rpta.: a + b
CAPÍTULO 09 ECUACIONES I
II
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TR
E
37
ECUACIONES II
ECUACIÓN POLINOMIAL DE GRADO n CON UNA INCÓGNITA
Fórmula general:
P(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 +...+ an
– a0, a1, a2, ..., an son coeficientes (a0 ≠ 0)
– n es el grado de la ecuación (n ∈)
– x incógnita
– a0 coeficiente principal
– an término independiente
Fórmula abreviada: P(x) = 0
• n = 1; ax + b = 0 Ec. lineal (1.er grado)
• n = 2; ax2 + bx + c = 0 Ec. cuadrática (2.er grado)
• n = 3; ax3 + bx2 + cx + d = 0 Ec. cúbica (3.er grado)
• n = 4; ax4 + bx3 +...+ e = 0 Ec. cuártica (4.to grado)
Se llaman ecuaciones de grado superior a partir de las ecuaciones de tercer
grado.
raíz de una eCuaCión Polinomial
Si en una ecuación polinomial se tiene que x = a, entonces P(a) = 0, entonces
a es una raíz de la ecuación.
RAÍZ Y SOLUCIÓN
La ecuación:
(x–2)3(x–1)2(x+2)(x+3) = 0
Tiene 7 raíces
x = 2 raíz de multiplicidad 3
x = 1 raíz de multiplicidad 2
x = –2 es una raíz simple
x = –3 es otra raíz simple
Tiene 4 soluciones:
C.S.={2; 1; –2; –3}
Ten Presente
2
La ecuación:
3x3 + x2 – 6x – 2 = 0
¿tiene 3 soluciones?
1 –1 – 4 4
x = 2 2 2 – 4
1 1 – 2 0
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación x3 – x2 – 4x + 4 = 0.
Solución:
Sea P(x) = x3 – x2 – 4x + 4 cuando
x = 2 ⇒ P(2) = (2)3 – (2)2 – 4(2) + 4 = 8 – 4 – 8 + 4 = 0
Entonces factorizamos por Rufffini.
(x – 2)(x + 2)(x – 1) = 0
Las raíces son: x = 2; x = –2; x = 1
x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1)
x = –2 ∨ x = 1
Rpta.: {–2; 1; 2 }
En toda ecuación polinomial
Pn(x) = 0 con coeficientes reales,
se cumple:
– Si una de las raíces es a+bi
(a, b ∈Q ∧ b ≠ 0) entonces a – bi
es la otra raíz.
– Si tiene coeficientes raciona-
les (a, b ∈Q ∧ b > 0 ∧ b ∈Q)
y a + b es una de las raíces
entonces otra de sus raíces es
a – b .
– Si n ≥ 4 y tiene coeficientes ra-
cionales, entonces si a + b
(a, b ∈Q+) ∧ a ∉Q ∧ b ∉Q,
entonces las otras tres raíces
son:
a – b , – a + b ; – a – b
Ten Presente
2
10CA
PÍ
TU
LO
Si factorizamos la ecuación,
obtenemos: (3x + 1)(x 2 – 2) = 0
de donde concluimos que las
soluciones de la ecuación son:
–1/3; – 2 ; 2 , es decir 3
soluciones.
II B
IM
ESTR
E
38
Problema 3:
Las raíces de la ecuación x2 – 6x + 4 = 0 son m ∧ n.
Identifica la ecuación cuadrática cuyas raíces son:
x1 = m + 1
m ∧ x2 = n + 1
n
(UNCP-2015-I)
Solución:
m + n = 6 ∧ mn = 4
⇒ x2 –
m + 1
m + n + 1
n
x +
m + 1
m
n + 1
n
= 0
x2 –
6 + 6
4
x +
4 + mn + n
m + 14
= 0
x2 – 30
4
x +
4 + 1
4 +28
4
= 0
4x2 – 30x + 45 = 0
Rpta.: 4x2 – 30x + 45 = 0
teorema fundamental del álgeBra
Toda ecuación polinomial P(x)=a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an = 0 donde a0 ≠ 0 y los coeficientes son de
cualquier conjunto numérico, tiene por lo menos una raíz compleja.
teorema de Cardano - viette
En toda ecuación polinomial P(x)=a0x
n+a1x
n–1 + a2x
n–2 + ...+an con a0 ≠ 0, y raíces: x1, x2, x3, ... , xn
Se cumple:
1. x1 + x2 + x3 + ... + xn=
a1
a0
– 3. x1x2 + x1x3 + ...+ xn–1xn =
a2
a0
+
2. x1x2x3 + x1x2x4 +...+ xn–2xn–1xn =
a3
a0
– 4. x1x2x3 ... xn=(–1)n an
a0
Problema 1:
Si la ecuación x4 – 12x – 5 = 0 tiene dos raíces que
suman dos, calcula la suma de las inversas de
las otras dos raíces:
Solución:
Sean las raíces x1; x2; x3 y x4.
Por tanto, x1 + x2 = 2.
Se pide calcular
1
x3
1
x4
+
Por Cardano:
S1 = x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ⇒ x3 + x4 = –2
2
S2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 0
⇒ x1x2 + x3(x1+x2) + x4(x1+x2)+x3x4 = 0
2 2
⇒ x1x2 + x3x4 + 2(x3 + x4) = 0
-2
⇒ x1x2 + x3x4 = 4 ... (1)
S3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x2x3x4 + x1x3x4 = 12
⇒ x1x2(x3 + x4) + x3x4(x1 + x2) = 12
–2 2
⇒ –2x1x2 + 2x3x4 = 12
⇒ –x1x2 + x3x4 = 6 ... (2)
Sumando (1) y (2):
2x3x4 = 10 ⇒ x3x4 = 5
∴ 1
x3
+ 1
x4
=
x3 + x4
x3x4
= –2
5
Rpta.: –2/5
Problema 2:
Resuelve la ecuación polinomial:
x3 – x2 – 2x + 2 = 0
Solución:
Factorizamos la ecuación y obtenemos:
x3 – x2 –2x + 2 = 0
⇒ x2(x – 1) – 2(x – 1) = 0
⇒ (x – 1)(x2 – 2) = 0
⇒ (x – 1)(x – 2 )(x + 2 ) = 0
⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = – 2
Son las soluciones de la ecuación.
Rpta.: – 2 ; 1; 2
CAPÍTULO 10 ECUACIONES II
II
B
IM
ES
TR
E
39
Problema 4:
x1, x2 y x3 son las raíces de la ecuación
x3 + ax + 12 = 0,
calcula: x3
1 + x3
2 + x3
3.
1 Si una raíz es x1 = –3, halla el producto de las
otras tres raíces de la ecuación:
x4 + 5x3 – 19x2 – 144x – 180 = 0
(UNALM-11-2)
A) 40 B) 60 C) 20 D) 9 E) 4
2 Calcula a en la ecuación: x3 + ax2 + bx + 7 = 0
si una de las raíces es 1+ 8 i
(UNALM-12-1)
A) 7
9
B) 2
5
C) 11
9
D) – 11
9
E) 7
11
3 Si x1 = 2 y x2 = –1 son raíces de x4 – ax2 + b = 0,
halla a – b.
(UNI-12-1)
A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
4 Si a y – a son raíces del polinomio
P(x) = x3 – 3x2 – x + m, determina P(2).
(UNTECS-10-2)
A) –3 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
5 Si 3 e i son raíces del polinomio
P(x)=x4 + bx2 + c, donde b, c ∈Q, halla bc .
(UNTECS-09-1)
A) 2 B)
3
2 C)
2
3 D) –2 E) 4
6 Si 2 + 5 es raíz de P(x)=x3 + 3x2 + bx + c, con
b, c ∈R, entonces b + c es igual a:
(UNAC-10-1)
A) 22 B) –36 C) –10 D) 36 E) 30
7 Se sabe que 2 es raíz doble de la ecuación
ax3 + bx + 16 = 0, halla a + b. (UIGV-12-2)
A) –9 B) –11 C) –10 D) –12 E) –8
8 La suma de todas las soluciones positivas de la
ecuación
10
1 + x + x2 = 6 – x – x2 es:
(UNI-09-2)
A)
- - +2 5 17
2
B)
- + +2 5 17
2
C)
2 5 17
2
+ +
D)
- + +3 5 17
2
E)
3 5 17
2
+ +
9 Halla la suma de las soluciones reales de la
ecuación:
5
3
(x – 9)(x – 1)
2
3 + (x – 1)
5
3 = 0 (UNMSM-13-1)
A) 9 B) 1 C) 6 D) 7 E) 5
10 Las ecuaciones de segundo grado:
x2 + bx + c = 0 y x2 + b'x + c' = 0
tienen raíz común si (c – c')2 + (b – b') (bc' – bc') = 0
Determina la condición para que las ecuaciones
x3 + px + q = 0 y x2 + x + r = 0
tengan una raíz común:
(UNI-10-2)
A) (r – p – r)(r2 – pr + q) = 0
B) (r + q)2 + (r – p – 1)(r2 – pr + q) = 0
C) (r + q)2 + (r2 – pr + q) = 0
D) (r + q)2 + (r – p – 1) = 0
E) (r + q)2 – (r + p + 1)(r2 – pr + q) = 0
Actividad 10
Solución:
x3 + ax + 12 ≡ x3 + 0x2 + ax + 12 = 0
⇒ x1 + x2 + x3 = – 0
1
= 0
⇒ x3
1 + x3
2 + x3
3 = 3x1x2x3 = 3
– 12
1
= –36
Rpta.: –36
II B
IM
ESTR
E
40
INECUACIONES I
PROPIEDADES DE LA
DESIGUALDAD
• a < b ⇔ a + c < b + c
• a < b ⇔
ac < bc si c > 0
ac > bc si c < 0
• Si a < 0 ⇒ a–1 < 0
Si a > 0 ⇒ a–1 > 0
• Si 0 < a < b ⇒ 0 < 1
b
< 1a
Si a < b < 0 ⇒ 1
b
< 1a < 0
• Si 0 < a < x < b ⇒ a2 < x2 < b2
Si a < x < b < 0 ⇒ a2 > x2 > b2 > 0
• Si ab < 0 a x b, entonces:
0 ≤ x2 ≤ b2 si a < b
0 ≤ x2 ≤ a2 si b < a
Ten Presente
2
A pesar de que el proceso de resolución de las ecuaciones e inecuaciones
son similares, el conjunto solución de las inecuaciones es por lo general un
intervalo.
resoluCión de ineCuaCiones de Primer grado
Resolver una inecuaciónes encontrar los valores de la incógnita para los
cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo
general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello
es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mis-
mas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero debe tenerse pre-
sentes las propiedades de las desigualdades.
Ejemplo 1:
Resuelve
x –1
–3 + 5
1 ≤ 2
x – 3
Solución:
–10x + 10 + 6 ≤ 15x – 90
–25x ≤ –106
25x ≥ 106
x ≥ 106
25
x ∈ 106
25 ; + ∞
∴ x ∈ 106
25 ; + ∞
106
25
Rpta.: x ∈ 106
25 , + ∞
ineCuaCiones CuadrátiCas o de segundo grado
Las inecuaciones cuadráticas son aquellas que se pueden reducir a una de
las siguientes formas:
ax2 + bx + c > 0 ; a ≠ 0
ax2 + bx + c < 0 ; a ≠ 0
ax2 + bx + c ≥ 0 ; a ≠ 0
ax2 + bx + c ≤ 0 ; a ≠ 0
11CA
PÍ
TU
LO
2x – 3 7
3x – 1
4
> 5
2x – 3
3
5–3 <
¿Cuál es el conjunto
solución de estas
inecuaciones?
II
B
IM
ES
TR
E
41
ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
⇒ x =
2 a
– b ± b2 – 4ac
Discriminante:
= b2 – 4ac
RecuerdaRecuerda
Solución por aspa simple:
1. Llevamos a la forma estándar.
2. Factorizamos por aspa simple.
3. Determinamos los puntos críticos (P.C.) que
son los ceros del polinomio.
4. Graficamos los puntos críticos en la recta
real.
5. En cada intervalo determinado por los pun-
tos críticos, y de derecha a izquierda, se es-
criben los signos +, –, +, ... alternadamente.
6. Como el signo de la inecuación es mayor, el
C.S. es la unión de los intervalos con signos
positivos, y por incluir el signo igual (≥) in-
cluye los puntos críticos.
Solución por fórmula general:
No siempre es posible factorizar una inecuación cuadrática por aspa simple.
En tal caso se determinan los puntos críticos por la fórmula general de la
ecuación cuadrática.
Una vez determinados los puntos críticos, se procede igual que en el caso
anterior.
• x2 ≥ 0, x R
• x2 > 0, x R –{0}
• x2 ≤ 0 ⇒ x = 0
• x2 < 0 ⇒ x R
Ten Presente
2
Problema 1:
Si {a, b} ⊂ R+ ∧ a + b = 8, halla el me-
nor entero x que satisface la inecua-
ción:
x – b
a + x – a
b
≥ 2
(PUCP 2016 - I)
Solución:
Eliminando denominador:
xb – b2 + ax – a2 ≥ 2ab
x(a+b) ≥ a2 + 2ab + b2
x(a+b) ≥ (a+b)2
x ≥ a + b
8
x ≥ 8
∴ x = 8 es el menor valor
Rpta.: 8
Problema 2:
Resuelve x4 – 8x2 – 9 ≥ 0 e indica
el menor valor positivo de x.
Solución:
Por aspa simple:
x4 – 8x2 – 9 ≥ 0
x2 – 9
x2 +1
siempre +
(x2 – 9)(x2 + 1) ≥ 0
⇒ (x2 – 9) ≥ 0
(x + 3)(x – 3) ≥ 0
–+
–3– ∞ 3 ∞
+
x ∈〈– ∞; – 3] ∪ [ 3; +∞〉
∴ Menor valor positivo: 3
Rpta.: 3
Ejemplo 2:
Resuelve x2 + 6x + 7 < 0.
Solución:
x = –6 ± 62 – 4(1)(7)
2(1)
=
2
– 6 ± 8
x = – 6 ± 2 2
2
⇒ P.C.= {–3 + 2 ; –3 – 2 }
–+ +
– 3 – 2 – 3 + 2
C.S.= 〈–3– 2 ; –3+ 2 〉
Rpta.: C.S.= 〈–3– 2 ; –3+ 2 〉
CAPÍTULO 11INECUACIONES I
–+
–3 5/2
+
2x2 + x – 15 ≥ 0
2x –5
x 3
(2x – 5)(x + 3) ≥ 0
P.C.= 5
2; –3
C.S.=〈–∞; –3 ] ∪ 5
2; +∞
inicia con el signo +
II B
IM
ESTR
E
42
Actividad 11
Problema 3:
El número máximo de enteros positivos que satis-
facen la inecuación
10 + 2
x–7 – 4x – 3
x – 7 < x
x – 7
es igual a:
(UNAC-10-I)
Solución:
10 + 2 – 4x + 3 – x
x – 7
< 0
1 Determina por extensión el conjunto:
A = {5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10/x Z}
La suma de los elementos de A es:
(UNFV 08-I)
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 11
2 El cuadrado de la edad de José menos 3 es ma-
yor que 165. En cambio el doble de su edad más
3 da un número menor que 30. ¿Cuántos años
tiene José?
(UNFV-09-I)
A) 17 B) 11 C) 12 D) 15 E) 13
3 Si el intervalo [a, b] es el conjunto solución de la
inecuación x2 – 9 ≤ 16, halla el valor de a + 2b.
(UNTECS 08-II)
A) 5 B) 4 C) – 4
D) –3 E) 6
4 Si (2x – 3) –x + 1; x + 3], encuentra el intervalo
al que pertenece (5 – x).
(UNTECS 11-II)
A) 4; 6] B) - -
11
3
1; C)
4
3
6;
D) -
1
11
3
; E) -
6
4
3
;
5 Resuelve la siguiente inecuación:
5 7
5
3
x
x
+
+
″
(UNTECS 08-I)
A) –5; 3] B) [–5; 4 C) –5; 4
D) –5; 4] E) –5; 3
6 Halla el valor de a R, para que la inecuación
(a2 – 14)x2 – 4x + 4a ≤ 0, tenga como solución el
conjunto [–2; 4]
(UNI 10-II)
A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2
7 Halla los valores de m tal que:
x2 + 4x + (m – 2)2 > 0, x R
(UNTECS-11-II)
A) –; 4 7; – B) 0; 4
C) D) R
E) –; 0 4; +
8 La secuencia de números enteros positivos a1 = 1,
a2, a3 están en progresión aritmética de razón
positiva. Calcula el menor valor de a1 + a2 + a3
para que la ecuación a1x
2 + a2x + a3 = 0 tenga dos
raíces reales distintas.
(UNAC 12-I)
A) 30 B) 27 C) 24 D) 21 E) 18
9 La suma de los números enteros que simultá-
neamente cumplen las inecuaciones:
6
5
7
4 7x x+ > + (1)
3 75
2
2
2
2x
x x
+ > - (2) es:
(UNALM 12-II)
A) 30 B) 39 C) 42 D) 49 E) 60
10 Halla el conjunto solución de x x2 1 0- - < .
(UNALM 08-I)
A) 0; + B) C) [–1; 1]
D) –; –1] [1; + E) [1; +
5x – 65
x – 7 < 0 ⇒
(x – 13)
x – 7 < 0
7 13
–+ +
C.S.= 〈7; 13〉 ⇒ {8; 9; 10; 11; 12}
Hay 5 números enteros.
Rpta.: 5
CAPÍTULO 11 INECUACIONES I
II
B
IM
ES
TR
E
43
INECUACIONES
DE GRADO SUPERIOR
Matemática
en la vida
125304
LAS INECUACIONES EN LA
VIDA DIARIA
Las inecuaciones están presen-
tes en nuestra vida cotidiana.
Esta señal de tránsito se utiliza
para indicar el máximo de ve-
locidad permitida en un tramo
de vía para cualquier medio
de transporte. Su fin es evitar
accidentes.
50
MÁXIMA
INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO
Una inecuación polinómica de grado superior al segundo se presenta, en su
forma normal, bajo la expresión:
P(x) = anxn + an–1x
n–1 + an–2x
n–2 +...+ a1x + a0 ≶ 0 ; an ≠ 0
Si P(x) se puede descomponer en factores de primer o segundo grado. La
resolución de la inecuación se basará en la regla de los signos del producto.
Ejemplos:
Son inecuaciones de grado superior:
• x3–x2–6x < 0 • x3 – 3x2 + 3x + 1 < 0
• (x + 3)2(2x2 – x + 3)(x – 1)(x – 2) ≥ 0 • x4 + 1 < 0
• x4 – 3x2 ≥ 0 • 8x3 – 27 ≥ 0
• (x + 1)2(x + 2)3 ≤ 0 • x3 – 1 < 0
• (x + 1)2(x – 1)2 > 0 • (x2 + 1)(x2 – 1) > 0
resoluCión de una ineCuaCión de orden suPerior
Para resolver una inecuación de orden superior, seguiremos los siguientes
pasos:
– Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operacio-
nes necesarias para que toda la expresión polinómica quede a un lado de
la inecuación y el cero en el otro lado.
– Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos
donde el polinomio es igual a cero.
– Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores
en que cada factor es cero. Estos puntos determinarán los límites de los
intervalos en la recta numérica.
– Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el sig-
no en cada intervalo.
– La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigual-
dad sea cierta. La solución se puede expresar algebraica (como intervalo)
y gráficamente.
12CA
PÍ
TU
LO
– Si luego de factorizar, la
inecuación contiene facto-
res primos cuadráticos se
analiza su discriminante.
– Si el discriminante es po-
sitivo se aplica la fórmu-
la general de la ecuación
cuadrática para hallar los
puntos críticos.
– Si el discriminante es ne-
gativo se puede cancelar,
puesto que siempre será
positivo para cualquier
valor de la variable.
NotaNota
Se trata de una inecua-
ción de grado superior
a dos. Sudesarrollo es
parecido a las ecuacio-
nes de grado superior.
Se deben hallar sus
puntos críticos y encon-
trar los intervalos que la
satisfacen.
¿Cuál es el conjunto
solución de la
inecuación?
(x – 2)(x – 3)(x + 1) ≤ 0
II B
IM
ESTR
E
44
Ejemplo:
Resuelve: 2x3 – x2 – 7x + 6 < 0
Solución:
= ± 1; 2; 3; 1
2
; 3
2
; 6Posibles
ceros =
Divisores de 6
Divisores de 2
1; 2; 3; 6
1; 2
P(1) = 2(1)3 – (1)2 – 7(1) + 6 = 0
⇒ x – 1 es un factor de P(x).
Dividimos entre x – 1 por Ruffini:
x = 1
2 –1 –7
2 1
6
–6
2 1 –6 0
2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
2x –3
x 2
– –+ +
–2 1 3/2
⇒ (x – 1)(2x – 3)(x + 2) < 0 ⇒ P.C. = 1; 32 ; –2
C.S.= 〈– ∞; 2〉 ∪ 1;
3
2
Problema 1:
Calcula el mayor valor entero negativo que satis-
face la inecuación:
(x6 – 1)2(x4 + 1)3(x – 2)
x2 + 4x + 3
≥ 0
(CEPRE CALLAO)
Solución:
Factorizando, se tiene:
(x3 + 1)2(x3 – 1)2(x4 + 1)3(x – 2)
(x+1)(x+3)
≥ 0
(x + 1)2(x2 – x + 1)2(x – 1)2(x2+x+1)2(x–2)
(x+1)(x+3)
≥ 0
(x + 1)2(x – 1)2(x – 2)
(x+1)(x+3)
≥ 0
+– – –
– ∞ + ∞1 2–3 –1
+
x ∈ 〈 –3; –1〉 ∪ {1} ∪ [2; ∞〉
El mayor valor entero negativo que cumple es el –2.
Rpta.: –2
Problema 2:
Calcula el conjunto solución de:
x3 +1 ≥ x2 + x (CEPRE CALLAO)
Solución:
x3 +1 ≥ x2+x
x3 – x2 – x + 1 ≥ 0 ⇒ (x + 1)(x – 1)2 ≥ 0
Puntos críticos:
+–
– ∞ + ∞1–1
+
x ∈[ –1;+ ∞〉
Rpta.: x ∈[ –1;+ ∞〉
Problema 3:
Si x ∈ [5; 10], halla 32M – 17N tal que:
N ≤ 2x – 1
3x + 2 ≤ M (CEPRE CALLAO)
Solución:
2x – 1
3x + 2
= 2
3
– 7
3(3x + 2)
Como: 5 ≤ x ≤ 10
9
17 ≤ 2
3
– 7
3(3x + 2) ≤ 19
32
M = 19
32 ∧ N = 9
17
32M – 17N =10 Rpta.: 10
CAPÍTULO 12 INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
II
B
IM
ES
TR
E
45
1 Halla el intervalo solución de:
(UNALM-11-II)
(x2 – 2x + )(x2 + 2)(x + 3)7
x(x – 2)5
≥ 0
A) [–1; 0] [2; +
B) [–3; 0] 1; +
C) [–3; –1 [3; + {0}
D) –1; 0 3; +
E) [–3; 0 [2; + {1}
2 Determina el conjunto solución de:
x + 1
x3 + 8x2 + 14x + 12 < 0
(UNI-12-II)
A) x ∈ –2; 1 B) x ∈ –6; –1
C) x ∈ –3; –1 D) x ∈ –2; 3
E) x ∈ 1; 6
3 Resuelve la inecuación:
(x2 – 3x + 2)(x + 4)301(x2 – 49)
x(x – 3)(x40 + 8)(x+7)
≤ 0
y determina la suma de las soluciones enteras.
(UNTECS-12-I)
A) 16 B) 13 C) 11 D) 15 E) 12
4 Halla el conjunto solución de: (UNI-12-II)
x – 1
x2 + x – 6
≥ –1
A) x∈ 〈–3; 1] ∪ 〈2; +∞〉 B) x∈ 〈–1; 0] ∪ [ 2; +∞〉
C) x∈ 〈–3; –1] ∪ 〈1; +∞〉 D) x∈ 〈–2; 1] ∪ 〈3; 6〉
E) x∈ 〈–1; 1] ∪ 〈2; 3〉
5 Indica el mayor valor entero que no verifica la
inecuación: (PAMER UNI)
x3 – 5
x2 + 2
< x3 – 7
x2 + 3
A) 1 B) 0 C) –1 D) –2 E) 2
6 Resuelve la inecuación:
–4x3(x2 – 9)2(x2 – 4x + 4)(x – 2)
(x2 – 4)3(x2 + 3x)
≤ 0
e indica a + b + c + d si el conjunto solución es:
–; a b; + – {c; d} (CEPRE UNI-07-I)
A) –1 B) –3 C) –2 D) 1 E) 0
7 Si A = –; a] [b; c es el conjunto solución de:
x2 – 5x + 4 < 7 – x
encontes calcula el valor de a + b + c.
(CEPRE UNI-07-I)
A) 10 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5
8 Resuelve (2x + 3)3(x + 1)4(3 – x)5 < 0x – 1
3
, in-
dicando un intervalo solución. (PAMER UNI)
A) 〈–3/2; 1〉 B) 〈1; 3〉
C) [3; ∞〉 D) 〈–3/2; 1〉 – {–1}
E) Hay dos respuestas
9 Resuelve (x2 – x – 6)(x2 – 5x + 6) ≤ 0
Indica el intervalo solución. (PAMER UNI)
A) 〈–∞; –2] ∪ [2; +∞〉 B) 〈–∞; –2〉 ∪ 〈2;+∞〉
C) [–2; 2] D) [–2; 2] ∪ {3}
E) 〈–2; 2〉 ∪ {4}
10 Resuelve x5 > x e indica su intervalo solución:
(PAMER UNI)
A) 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈0;1〉 B) 〈– 1; 0〉 ∪ 〈1; +∞〉
C) 〈– ∞; 0〉 ∪ 〈 1; +∞〉 D) 〈– ∞ ; 1〉 ∪ 〈 2; +∞〉
E) 〈–1; 0〉 ∪ 〈2; +∞〉
Problema 4:
Indica la suma de los números enteros que satis-
facen la inecuación:
(x – 5)48(2x4 – 32)2(3x2 – x – 2)17 ≤ 0
CEPRE CALLAO
Solución:
(x – 5)48(2x4 – 32)2(3x2 – x – 2)17 ≤ 0
(x – 5)48 (x2 – 4)2(x2 + 4)2(3x + 2)17(x – 1)17 ≤ 0
x = 5
par
x = ±2
par
x = – 2
3
x = 1
+ + ++ – +
–2 – 5
3
1 2 5
x ∈ – 5
3
; 1 ∪ {±2; 5} ⇒ –1 + 1 + 2 – 2 + 5 = 5
Rpta.: 5
Actividad 12
CAPÍTULO 12INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
II B
IM
ESTR
E
46
SISTEMA DE ECUACIONES E INECUACIONES
AUTOS ELÉCTRICOS
Los autos eléctricos son impulsados por energía eléctrica. Por la
abundancia de la energía eléctrica se recargan en cualquier par-
te. Los motores eléctricos son superiores a los de combustión,
el ahorro de los consumidores (precio electricidad vs precio del
combustible), reducción de emisiones en las zonas pobladas, el
impacto ambiental positivo en el largo plazo, etc., son algunas
ventajas de estos vehículos frente a los que usan combustible
fósil.
- Evalúa las ventajas y desventajas del auto eléctrico frente a los de
combustión interna.
http://autolibre.blogspot.com/2013/11/vehiculos-electricos-informe-especial.html#more
03
Unidad
APRENDIZAJES ESPERADOS
Traduce condiciones
y datos a expresiones
algebraicas
Comunica su
comprensión sobre las
relaciones algebraicas
Usa estrategias y
procedimientos para
encontrar reglas
generales
Argumenta afirmaciones
sobre relaciones de
cambio y equivalencia
• Traduce problemas de la
vida cotidiana al lenguaje
matemático a través de sis-
temas de ecuaciones y pro-
gramación lineal.
• Utiliza las propiedades
para resolver ecuaciones e
inecuaciones con valor ab-
soluto.
• Opera con matrices y cal-
cula la determinante de 2x2
y 3x3.
• Representa en forma
gráfica y simbólica los
sistemas de ecuaciones y
la programación lineal.
• Representa en forma
gráfica el conjunto
solución de una ecuación
e inecuación con valor
absoluto.
• Emplea esquemas para
operar matrices y deter-
minantes.
• Elabora diversas estra-
tegias para resolver pro-
blemas con sistemas de
ecuaciones y programa-
ción lineal.
• Resuelve problemas y
ejercicios de ecuaciones
e inecuaciones con valor
absoluto.
• Resuelve problemas
aplicando las matrices y
determinantes.
• Justifica el uso de métodos
para resolver problemas de
sistema de ecuaciones y pro-
gramación lineal.
• Propone ejemplos de aplica-
ción de las matrices y deter-
minantes.
• Argumenta el uso de las
propiedades para determinar
el conjunto solución de una
ecuación e inecuación con
valor absoluto.
47
Ana y Beto se encuentran a la misma distancia del origen de coordenadas.
Dicha distancia debe ser siempre positiva y se calcula empleando lo que en
matemática se conoce como valor absoluto.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, de-
notado por x, es un número no negativo
definido por:
x
x x
x x
=
≥
- <
;
;
0
0
Ejemplos:
• 5 = 5 • –3 = 3 • –8 = –(–8) = 8
eCuaCiones Con valor aBsoluto
Para resolver ecuaciones con valor absoluto se debe utilizar estos teoremas:
1. |x|= a ↔ a ≥ 0 (x = a ∨ x = – a)
2. |x|=|y|↔ x = y ∨ x = –y
ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
¿Quién está más cerca del origen de coordenadas?
– 4 40
Ana Beto
Ejemplo 1:
Resuelve x + 2 = 7x – 10.
Solución:
x + 2 = 7x – 10 → x+2 = 7x – 10 ó x + 2 = – (7x – 10)
– 6x = –12 ó 8x = 8
x = 2 ó x = 1
También:
7x – 10 ≥ 0 → x ≥ 10
7
Entonces solo cumple: x = 2 Rpta.: C.S.= {2}
Ten Presente
2
1. x ≥ 0; x R
2. x = 0 ⇔ x = 0
3. x2 = x2; x R
4. x2 = x; ∀x∈R
5. x = –x; x R
6. xy = x y, x, y R
7.
x
y = x
y , ∀x, y∈R ∧ y ≠ 0
8. x = y ⇔ x2 = y2; x, y R
9. x + y ≤ x + y, x, y R
(desigualdad triangular)
10. x + y < x + y ⇒ xy < 0
x + y = x + y ⇒ xy ≥ 0
13CA
PÍ
TU
LO
ineCuaCiones Con valor aBsoluto
Para resolver las inecuaciones con valor absoluto debemos aplicar los si-
guientes teoremas:
1. |f(x)|≤ a ↔ a ≥ 0 – a ≤ f(x) ≤ a
2. |f(x)|≥ a ↔ f(x) ≤ –a ∨ f(x) ≥ a
III B
IM
ESTR
E
48
Problema 2:
Si el conjunto solución de
la inecuaciónx – 1
x2 – 4x + 8
<
x – 1
1
tiene la forma: – ∞; ab – {c},
halla a + b + c.
Solución:
Elevando al cuadrado:
x – 1
x2 – 4x + 8
2
≤ x – 1
1
2
Luego:
x – 1
x2 – 4x + 8
–
x – 1
1 x – 1
x2 – 4x + 8
+
x – 1
1 ≤ 0
x2 – 2x + 1 – x2 + 4x – 8
(x2 – 4x + 8)(x – 1)
x2 – 2x + 1 + x2 – 4x + 8
(x2 – 4x + 8)(x – 1) ≤ 0
(2x – 7)(2x2 – 6x + 9)
(x2 – 4x + 8)2(x – 1)2
≤ 0
→ x ∈ – ∞; 7
2
– {1}
∴ a + b + c = 7 + 2 + 1 = 10
Rpta.: 10
Problema 1:
Resuelve:
4x – 3 ≤ 2x – 1,
e indica como respuesta
el mayor de los números
enteros que pertenece a su
conjunto solución.
Solución:
4x – 3≤ 2x – 1⇒4x – 32 ≤ 2x – 12
⇔ (4x – 3 + 2x – 1) (4x – 3 – 2x + 1) ≤ 0
(6x – 4) (2x – 2) ≤ 0
↓ ↓
x = 2
3
∨ x = 1
Rpta.: 1
–+ +
12
3
Ejemplo 2:
Resuelve: |3x – 1|≤ 3 – 2x
Solución:
Aplicamos propiedad 2:
⇒ 3 – 2x ≥ 0 (2x – 3 ≤ 3x – 1 ≤ 3 – 2x)
(2)
(3)(1)
• De (1): 3 ≥ 2x ⇒ x ≤ 1,5 ⇒ x –; 1,5] = S1
• De (2): 2x – 3 ≤ 3x – 1 ⇒ x ≥ – 2 ⇒ x [–2; += S2
• De (3): 3x – 1 ≤ 3 – 2x ⇒ x ≤ 0,8 ⇒ x –; 0,8] = S3
En (I):
S1 (S2 S3):
–2 0,8 1,5
[–2; 0,8]
⇒ x [–2; 0,8]
Rpta.: C.S. = [–2; 0,8]
Problema 3:
Al resolver: x + 4– 3x – 1 = 4, indica
como respuesta la suma de sus raíces.
(CEPRE CALLAO)
Solución:
x + 4 = 0 ∨ x – 1= 0
x = – 4 x = 1
–4 1– ∞ + ∞
x + 4 – 3 x – 1 = 4
Analizamos por tramos:
x∈〈– ∞ ; –4] ... α
x∈〈– 4; 1] ... b
x∈〈1; +∞〉 ... q
Cálculo de (α):
–(x + 4) + 3(x – 1)= 4 → x = 11
2 ∩ 〈– ∞; – 4 ]
x ∈φ
Cálculo de (b):
(x + 4) + 3(x – 1)= 4 → x = 34 ∩ 〈– 4; 1 ]
Cálculo de (q):
(x + 4) – 3(x – 1)= 4 → x = 32 ∩ 〈1; +∞]
Luego:
α ∩ b ∩ q ⇒ 3
4
; 3
2
∴ 3
4
+ 32 = 94 Rpta.: 9
4
CAPÍTULO 13 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
x = 3
4
x = 3
2
II
I
B
IM
ES
TR
E
49
Problema 4:
Resuelve:
|x – 5|+|x + 1| = |x + 3|
Solución:
Puntos críticos: {5; –1; –3}
–3
(I) (II) (III) (IV)
–1 5
(I) x < –3 ⇒ |x – 5|= –x + 5;
|x + 1|= –x – 1 y |x + 3|= –x – 3
En la ecuación: –x + 5 – x – 1 = – x – 3
⇒ x = 7 (No cumple x < –3)
(II) –3 ≤ x < – 1 ⇒ –x + 5 – x – 1 = x + 3
⇒ x = 1/3 (No cumple –3 ≤ x < –1)
(III) –1 ≤ x < 5 ⇒ –x + 5 + x + 1 = x + 3
⇒ x = 3 (Solución)
(IV) x ≥ 5 ⇒ x – 5 + x + 1 = x + 3
⇒ x = 7 (Solución) Rpta.: x = 7
Actividad 13
1 Halla la suma de las raíces de:|2x – 3|= 5
(UNALM-12-I)
A) 4 B) –1 C) 3 D) 2 E) 5
2 Halla el producto de valores de x que verifican
la ecuación 3x – 2– 2 = 5.
(UNMSM-10-II)
A) –3 B) –1/5 C) –1/3
D) –15/9 E) –5
3 Si x∈R y |2x + 6|=|x + 3|, halla 3x – 1.
(UNTECS-08-I)
A) 10 B) –3 C) –10 D) –7 E) 8
4 Halla la suma de las soluciones positivas de la
ecuación: (UNTECS-11-I)
x – 6 – 12 – 2 x + 30 – 5x= 16
A) 20 B) 4 C) 22 D) 12 E) 8
5 Halla la suma de los valores de x en:
6(x – 1)2 – 13|x – 1|– 5 = 0 (UNALM-09-II)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6 Halla el conjunto solución de la inecuación:
(|x – 1|+|x – 2|)⋅(|1 – x|–|2 – x|) ≥ x2 – 6
(UNMSM-13-II)
A) –; 3] B) –; 1]
C) [–1; 3] D) –; 1] [3;
E) [3;
7 Sea el conjunto:
M = x ∈ N/|x – 3|2 + 2|3 – x|– 15 < 0.
Halla la suma de los elementos de M.
(UNTECS-10)
A) 16 B) 15 C) 64 D) 128 E) 8
8 Sea la inecuación :
x + 1
x – 1
≤ 2x
x
Si S es el conjunto solución, se puede afirmar
que: (UNI-12-I)
A) –1; 1 ⊂ S B) S – [–1; 4] ≠ ∅
C) S – –1; 1 = ∅ D) 0; 2 ⊂ S
E) [–1; 1]
9 Determina el conjunto solución de la inecuación
|x – 2| ≤ 1 +|x|. (UNTECS-09-I)
A) [1; + B) R C) R+
D) 1
2; +∞ E)
1
2; 2
10 Sean los conjuntos:
A = {x ∈ R/|x – |x||≤ 1} y
B = {x ∈ A/|x – |x|–1|≤ 1}
Entonces podemos decir que A – B es:
(UNI-09-II)
A) B) – 12; 12
C) – 12; 0
D) – 12; 0 E) [0;
CAPÍTULO 13ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
III B
IM
ESTR
E
50
MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES
Una matriz es un arreglo, en for-
ma rectangular, de elementos
distribuidos en filas y columnas.
Estos elementos están encerrados
entre paréntesis o corchetes, y
pueden ser números, funciones o
inclusive matrices mismas.
Matriz de dimensión u orden
mn (m filas y n columnas) cuyos
elementos son aij (i = 1; 2; ... m y
j = 1; 2; 3; ... n)
a11 a12 a13 ... a1j ... a1n
a21 a22 a23 ... a2j ... a2n
ai1 ai2 ai3 ... aij ... ain
am1 am2 am3 ... amj ... amn
Ejemplos:
A 2×2 =
3 4
1 7
A 3×3 =
0 –2 3
1 2 7
3 7 –1columnas
filas
oPeraCiones Con matriCes
1. Adición y sustracción de matrices:
Sean A =
2 7 –1
4 5 –2
1 –3 6
y B =
1 0 3
5 –2 7
3 7 –1
⇒ A + B =
2+1 7+0 –1+3
4+5 5 –2 –2+6
1+3 – 3+1 6 – 4
=
3 7 2
9 3 4
4 –2 2
2. Multiplicación de matrices:
a) Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna:
Si A = (2 3 5) y B =
7
–2
4
⇒ AB = (2 ⋅ 7 + 3(–2) + 5 ⋅ 4) ⇒ AB = (28)
b) Multiplicación de una matriz de n columnas por otra de n filas:
Si A =
4 6
5 1
y B =
2 –3 4
5 1 3
⇒ AB =
2
5
2
5
–3
1
–3
1
4
3
4
3
(4 6)
(5 1) (5 1) (5 1)
(4 6) (4 6)
AB =
38 – 6 34
15 –14 23
TIPOS DE MATRICES
1. Matriz cuadrada
(# filas = # columnas)
0 –1 5
4 –2 7
2 4 –2
A =
Diagonal
secundaria
Sólo en matriz cuadrada
Diagonal
principal
Traza.- Es la suma de los
elementos de la diagonal
principal. En la matriz del
ejemplo:
Traza de A = 0 – 2 – 2 = – 4
Se denota por Traz(A) = – 4
Tipos de matrices cuadradas
a. Matriz b. Matriz
diagonal identidad
7 0 0
0 –1 0
0 0 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
c. Matriz d. Matriz
triangular triangular
superior inferior
2 0 0
–1 3 0
4 –2 4
3 7 –2
0 4 –1
0 0 3
2. Matriz nula
Todos sus elementos son ceros
•
0 0
0 0
•
0 0 0
0 0 0
3. Matriz fila
3 5 –2 3
4. Matriz columna
2
–7
6
Ten Presente
2
14CA
PÍ
TU
LO
El bingo es un juego
muy popular en nuestro
país. Está formado por
números del 1 al 75 que
se encuentran distribui-
dos en filas y columnas.
En otras palabras el
Bingo forma una matriz
de orden 5×5.
II
I
B
IM
ES
TR
E
51
MATRICES Y DETERMINANTES
DETERMINANTES
El determinante de una matriz cuadrada es una función que aplicada a la
matriz cuadrada la convierte en un escalar. El determinante de la matriz
cuadrada A se denota por |A| o det(A).
Matriz de orden 2
Si A =
a b
x y
⇒|A|= ay – xb
Matriz de orden 1
Si A = (3)
⇒|A|= 3
Matriz de orden 3
Si A =
a b c
m n p
x y z
|A|= (anz + bpx + myc)
– (xnc + ypa + zmb)
regla de sarrus
Dada una matriz, la regla consiste en
repetir las dos primeras columnas a
continuación de las ya existentes.
Hallamos el producto de los elemen-
tos contenidos en las diagonales, con
signo positivo los que van hacia abajo
y con signo negativo los que van ha-
cia arriba, y luego sumamos.
a b c a b
m n p m n
x y z x y
|A|= (anz + bpx + cmy)
– (xnc + ypa + zmb)
Matriz inversa
Dada una matriz cuadrada no singular, si existe una matriz cuadrada B
única y del mismo orden que A, tal que AB = BA = I (matriz identidad),
entonces B es matriz inversa de A y se denota por A–1.
Ejemplo 1:
El determinante de A es:
A =
1 2 3
3 2 1
2 1 1
Solución:
A =
1 2 3
3 2 1
2 1 1
→
1 2 3
3 2 1
2 1 3
1 2
3 2
2 1
A= (1)(2)(3) + (2)(1)(2) + (3)(3)(1)
– (3)(2)(2) – (1)(1)(1) – (2)(3)(3)
= 6 + 4 + 9 – 12 – 1 – 18
= – 12 Rpta.: –12
Ten Presente
2
1. Transpuesta de una matriz
Si A =
2 3 4
5 1 6
Transpuesta de A
⇒ AT =
2 5
3 1
4 6
2. Matriz simétrica
A es simétrica ↔A = AT
A =
3 5 2
57 4
2 4 1
3. Matriz antisimétrica
A es antisimétrica ↔ A = – AT
A =
0 4
– 4 0
→ AT=
0 – 4
4 0
–AT =
0 4
– 4 0
= A
∴ A es antisimétrica
PROPIEDADES DE LA
MATRIZ INVERSA
Sean A y B matrices no singu-
lares:
1. (AB)–1 = B–1·A–1
2. (A–1)–1 = A
3. [λA]–1 = λ–1A–1
4. A–1 = A–1 =
A
1
Ejemplo 2:
Siendo A =
3 4
–5 3
, halla A–1.
Solución:
Si A =
a b
x y
⇒ A–1 =
A
1
y –b
–x a
|A| =
3 4
–5 3
= 3 × 3 – (–5)4 = 29
A–1 = 1
29
3 –4
5 3
A–1 =
3
29
– 4
29
5
29
3
29
Rpta.: A–1 =
3
29
– 4
29
5
29
3
29
CAPÍTULO 14MATRICES Y DETERMINANTES
A =
a b c
m n p
x y z
III B
IM
ESTR
E
52
Ten Presente
2
- Si se multiplican todos los
elementos de una fila (o
de una columna) por un
número, el determinante
queda multiplicado por
ese número.
- Si dos filas o dos columnas
de una matriz son iguales,
el determinante es cero.
- Si todos los elementos de
una fila o columna son ce-
ros, entonces su determi-
nante es cero.
- Si en un determinante, los
elementos que se encuen-
tran sobre y/o debajo de
la diagonal principal son
puros ceros, entonces su
determinante es igual al
producto de los elementos
que forman la diagonal
principal.
Problema 1:
Calcula el valor de xyuv si
las matrices:
x+y u+v
x–y u–v
y
5 3
3 –1
son iguales.
Solución:
Si
x+y u+v
x–y u–v
=
5 3
3 –1
entonces
x + y = 5
x – y = 3
u + v = 3
u – v = –1
⇒ x = 4; y = 1
⇒ u = 1; v = 2
∴ xyuv = 4 × 1 × 1 × 2 = 8 Rpta.: 8
Problema 4:
Considerando m ≠ 0, halla la suma
de las soluciones de la ecuación.
a m b
a m x
x m b
= 0
con a, b datos. (UNI 2013 - I)
Solución:
Por Sarrus:
a m b
a m x
x m b
a m
a m
x m
= 0
→ amb + mx2 – bmx – axm = 0
m(x2 – bx – ax + ab) = 0
x2 – (a + b)x + ab = 0
(x – a)(x – b) = 0
→ x1 = a ∨ x2 = b
→ x1 + x2 = a + b
Rpta.: a + b
Problema 2:
Si A =
1 2
3 5
y A2X=AT,
halla la matriz X.
Solución:
De la matriz A:
A2 = A×A=
1 2
3 5
1 2
3 5
→ A2 =
7 12
18 31
∧ A2=A2 = 1
Como:
A2X = AT → A–2 ⋅ A2 X = A–2AT
→ X = A–2AT
X =
31 –12
–18 7
1 3
2 5
→ X=
7 33
– 4 –19
Rpta.:
7 33
– 4 –19
Problema 3:
Calcula los valores reales
de x que hacen que la ma-
triz:
A =
x2 – 3 1
2x 1
tenga inversa.
Solución:
Para que tenga inversa: A ≠ 0
→
x2 – 3 1
2x 1
↔ x2 – 3 – 2x ≠ 0
↔ x2 – 2x – 3 ≠ 0
↔ (x – 3)(x + 1) ≠ 0
↔ x ≠ 3 ∨ x ≠ –1
∴ x∈R – {3; –1}
Rpta.: x∈R – {3; –1}
CAPÍTULO 14 MATRICES Y DETERMINANTES
II
I
B
IM
ES
TR
E
53
1 Encuentra el producto de los valores de x, si
x – 1 2
1 x
= 4 . (UNTECS-11-I)
A) –6 B) –1 C) 2 D) 3 E) 6
2 Considera la ecuación matricial:
X
1 3
2 7
=
4 0
–1 2
donde X es una matriz. Calcula det(X).
(UNI-10-I)
A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 19
3 Sea A una matriz cuadrada de orden 2 × 2. Si su
determinante es ∆ y la traza de la matriz A2 es T,
determina el valor [traza(A)]2.
(UNI-13-I)
A) T + ∆ B) T2 + 2 ∆ C) 2∆ + T
D) ∆ + 2T E) ∆2 + 2T
4 Halla la suma de todos los valores reales que
puede tomar λ en la siguiente expresión:
1 2
2 1
x1
x2
= λ
x1
x2
donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0
(UNI-12-I)
A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
5 Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0, un número real,
indica la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa(F).
I. det(AB) = det(A) det(B)
II. det(A + B) = det(A) + det(B)
III. det(rA) = r det(A)
(UNI-08-II)
A) VVV B) VVF C) FVV
D) VFF E) FFF
6 Sea la matriz M =
1 0 0
1 1 0
1 1 1
.
Si T = M3, halla t23 – t33 . (UNTECS-11-II)
A) –3 B) –1 C) –6 D) 1 E) 3
7 Las siguientes operaciones elementales:
c1 ↔ c2 ; 3f3 ; f2 – f3
en este orden, transforman la matriz A en:
–1 5 2
–4 6 –8
6 –3 9
la cual se puede expresar como (RPQ)A, donde
RPQ son matrices de orden 3 × 3 no singulares.
Determina A. (UNI-12-II)
A)
1 5 2
–4 6 –8
6 –3 9
B)
5 1 2
3 2 1
–1 2 3
C)
–2 –5 1
3 4 1
1 3 –1
D)
2 –1 4
4 3 –1
1 2 –1
E)
4 3 –5
1 –1 2
2 0 3
8 Si a, b y c son constantes positivas y
1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
= 0, determina el valor de x.
(UNI-09-I)
A) abc
a + b + c
B) abc
ab + ac + bc C) bc
a + ac
b
+ ab
c
D) a + b + c
abc E) a
bc + b
ac
+ c
ab
9 Si A =
– 1 –1 –1
0 0 0
0 0 1
, calcula S = A42 + A55.
(UNI-10-I)
A) 0 0 1
0 0 0
0 0 2
B) 0 0 –1
0 0 0
0 0 2
C) 0 0 1
0 0 0
0 0 –2
D) 0 0 –1
0 0 0
0 0 –2
E) 0 0 1
0 0 0
0 0 3
10 En un antiguo texto se encuentra la matriz
A =
1 x 0
0 0 y
0 0 z
, y, del producto A2AT, la última co-
lumna, la cual es
– 6
2
–1
. Halla la matriz A.
(UNI-09-II)
A) 1 3 0
0 0 2
0 0 –1
B) 1 2 0
0 0 3
0 0 –1
C) 1 1 0
0 0 2
0 0 1
D) 1 1 0
0 0 3
0 0 2
E) 1 1 0
0 0 2
0 0 3
III B
IM
ESTR
E
54
ClasifiCaCión de los sistemas de eCuaCiones lineales
De acuerdo al conjunto solución, los sistemas se clasifican en:
1. Sistema compatible:
Determinado: Tiene un número limitado de soluciones
Indeterminado: Tiene infinitas soluciones
Tiene al menos una
solución
2. Sistema incompatible: No tiene solución. Su conjunto solución es ∅.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
método de sustituCión
Ejemplo:
Dado el sistema:
3x – 4y = –6
2x + 4y = 16
Debemos despejar una incógnita de una de las ecuaciones.
Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el valor de la
otra incógnita reemplazando la hallada en la otra ecuación.
y = 4 – 1
2
x → y = 3 C.S. = {(2; 3)}
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Ten Presente
2
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dos sistemas son equivalentes
si tienen el mismo conjunto
solución.
x + y = 8
2x – y = 7
C.S. = {(5; 3)}
x – y = 2
x + 2y = 11
C.S. = {(5; 3)}
Estos dos sistemas son equiva-
lentes.
Para resolver un sistema de
ecuaciones se le transforma en
sistemas equivalentes más sen-
cillos hasta obtener la solución
en una de las incógnitas.
x + 5y = 5
3x – 5y = 3
Resuelve:
Un Sistema de Ecuaciones Lineales, es aquel que tiene variables de Primer
Grado y tiene ya sea dos, tres o más incógnitas. El Número de Variables de-
pende del Número de Ecuaciones.
La forma General de un Sistema de Ecuaciones Lineales es:
Sistema 2 × 2 Sistema 3 × 3
a1x + b1y = C1 a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y = C2 a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
En este caso
se despejó la
y de ambas
ecuaciones.
Luego, debemos
reemplazar el va-
lor en la otra ecua-
ción y se resuelve:
2x + 4y = 16
y = 16 – 2x
4
y = 4 – 12x
3x – 4y = – 6
3x – 4 4 – 1
2
x = – 6
3x – 16 + 2x = –6
x = 2
SISTEMA DE ECUACIONES I15CA
PÍ
TU
LO
La operación mostrada corres-
ponde a un sistema de ecuacio-
nes. Resolverlo significa hallar
los valores de las incógnitas que
la hacen verdadera. En este caso,
las ecuaciones se cumplen para
x = 2; y = 3/5.
II
I
B
IM
ES
TR
E
55
método de igualaCión
Ejemplo:
3x – 4y = – 6
2x + 4y = 16
Debemos despejar la misma incógnita de cada una de las ecuaciones:
En este caso se des-
pejó la y de ambas
ecuaciones: y = 4 – 12 x y = 32 + 34 x
2x + 4y = 16 3x – 4y = –6
Luego, debemos igualar las ecuaciones y se resuelve:
4 – 1
2
x = 32 + 3
4
x ⇒ x = 2
Para finalizar con este método analítico debemos encontrar el valor de la
otra incógnita reemplazando la hallada en una de las ecuaciones.
y = 4 – 1
2
x ⇒ y = 3 C.S.={(2; 3)}
Problema 1:
Resuelve: x + 2y – 3z = 7 ...(1)
2x – y + 2z = –9 ...(2)
3x – 2y + z = –13 ...(3)
Solución:
(1) + (3): 4x – 2z = –6
2x – z = –3 ... (4)
(1) + 2(2): 5x + z = –11 ... (5)
(4) + (5): 7x = –14
x = –2
x = –2en (4): 2(–2) – z = –3
z = –1
En (1): –2 + 2y – 3(–1) = 7
y = 3
C.S. = {(–2; 3; –1)}
método de reduCCión o de gauss
El método de reducción consiste en sumar o restar miembro a miembro las
ecuaciones del sistema, multiplicadas previamente por factores convenien-
tes, de tal manera que se elimine una de las incógnitas.
Repitiendo reiteradas veces el proceso se logra eliminar las incógnitas a
excepción de una, cuyo valor se halla. El valor de las otras incógnitas se
obtiene sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones anterio-
res.
Ten Presente
2
ANÁLISIS DE UN SISTEMA
LINEAL DE 2 ECUACIONES CON
2 INCÓGNITAS
Dado el sistema:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Es:
(1) Compatible determinado
(tiene solución única)
Si
a
a
b
b
1
2
1
2
≠
(2) Compatible indeterminado
(tiene infinitas soluciones)
Si
a
a
b
b
c
c
1
2
1
2
1
2
= =
(3) Incompatible o inconsistente
(no tiene solución)
Si
a
a
b
b
c
c
1
2
1
2
1
2
= ≠
Problema 2:
Hace 12 años, la edad de Marilú
era 6 veces la edad de Carmen,
dentro de 12 años, su edad será
solo el doble de la que tenga Car-
men. Halla la edad de Marilú.
(SENCICO 2016)
Solución:
M = Edad actual de Marilú
C = Edad actual de Carmen
Por datos:
M – 12 = 6(C – 12) (1)
M + 12 = 2(C + 12) (2)
Resolviendo:
C = 18; M = 48
Rpta.: La edad de Marilú es 48
años.
CAPÍTULO 15SISTEMA DE ECUACIONES I
III B
IM
ESTR
E
56
Problema 3:
Calcula el valor de x + y del sistema lineal:
(a + 2b)x – (a – 2b)y = 6ac (I)
(a + 3c)y – (a – 3c)x = 6ab (II)
considera 2b + 3c ≠ 0
1 Una bicicleta y un par de patines cuestan,
S/. 300. Si dos bicicletas cuestan tanto como 3
pares de patines, ¿cuántas bicicletas se puede
comprar con S/. 1260 soles?
(UNTECS-08-2)
A) 5 B) 8 C) 9 D) 6 E) 7
2 Si el par (1; a) es solución del sistema
3x – y = k
5x + y = k – 2
halla el valor de a. (UNMSM-11-1)
A) 2 B) 5 C) –5 D) 1 E) –2
3 Halla k si el sistema:
(k – 3)x + 4y = k + 6 (1)
6x + (k + 2)y = k + 7 (2)
es incompatible (UNAC-10-1)
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
4 Del sistema:
3 6 1
6
2 3 1
2
x y
x y
- =
+ =
determina el valor de 3x – y. (UNAC-08-2)
A) 1 B) 1/2 C) –1 D) –2 E) 0
5 El sistema de ecuaciones:
2
2
32
3
3
81
x by
ax
bx y
ay
+
-
=
=
tiene solución única (x; y) sí y solamente sí:
(UNALM-09-1)
A) a ≠ b B) a2 – b2 ≠ 1 C) a = b
D) a2 + b2 ≠ 1 E) a2 + b2 = 1
6 La suma de tres números es igual a 26. Si el pri-
mero menos el segundo es 1/6 del tercero, y el
tercero menos el segundo es 3/4 del primero.
Halla el primero por el tercero. (UNAM-10-1)
A) 48 B) 49 C) 50 D) 96 E) 34
7 Al resolver el siguiente sistema:
x + 2y – z = 2
2x – y + 3z = 9
2x – y + z = 3
La terna ordenada de la solución es:
(UNALM-13-1)
A) (3; 2; 1) B) (2; 3; 1) C) (1; 2; 3)
D) (3; 1; 2) E) (2; 1; 3)
8 Si x
y
y
x
2
2
2
2
13
6
+ = , x2 + y2 = 5, x < 0 < y y |y|<|x|,
halla el valor de S = 2 3y x+ (UNFV-08-2)
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
9 Si
3 79 3 2 9
2 12 12 36 0
2 2
2 2
x x y y
x xy y x y
- =
+ + - - + =
+ +( ) ( )
,
halla el valor de la expresión x y2 2 2- +
(UNMSM-09-2)
A) 3 B) 19 C) 5 D) 14 E) 7
10 Determina la suma de todos los valores reales
de a, de modo que el sistema:
6x – ay = y
2x + 3y = ax
tenga infinitas soluciones. (UNMSM-08-1)
A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) –2
Actividad 15
Solución:
El sistema es equivalente a:
(a + 2b)x + (2b – a)y = 6ac
(3c – a)x + (a + 3c)y =4ab
(3c + 2b)x + (2b + 3c)y = 2a(3c + 2b)
Como: 3c + 2b ≠ 0 → x + y = 2a
Rpta.: 2a
CAPÍTULO 15 SISTEMA DE ECUACIONES I
II
I
B
IM
ES
TR
E
57
SISTEMA DE ECUACIONES II
método gráfiCo
Consiste en despejar la incógnita "y" en ambas ecuaciones. Luego se constru-
ye, la tabla de valores correspondientes para cada una de las dos funciones
de primer grado obtenidas. Ambas rectas se representan en un sistema de
coordenadas y se comprueba si se cortan. Si lo hacen, las coordenadas del
punto de corte son los únicos valores que satisfacen las incógnitas.
Ejemplo 1:
Resuelve:
3x + 5y = 7
2x – y = –4
Solución:
y = 7 – 3x
5
y = 2x + 4
C.S.= {(–1; 2)}
2 3 41–3 –2 –1–4
–2
–1
–3
4
3
Y
X
–4
2
1
x y
–1 2
4 –1
x y
0 4
–2 0
x = –1
y = 2
Análisis gráfico de las soluciones del sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas
a. Si el gráfico de las dos ecuaciones del sistema tie-
nen un punto de intersección, entonces el sistema
tiene solución, como el sistema analizado en el
ejemplo 1.
b. Si los gráficos, son dos rectas paralelas, entonces
el sistema no tiene solución. Véase el gráfico de
la derecha.
c. Si los gráficos son coincidentes, entonces tienen
infinitos puntos en común. Esto sucede cuando
las dos ecuaciones del sistema son equivalentes.
Ten Presente
2
L
(1; 2)
(–2; 2)
(2; 1)
2x – 3y = –4
y =
+2x
3
4
3
L
X
Y
2x – 3y = –4
y > +2x
3
4
3
Región que
cumple con
L
X
Y
2x – 3y = –4
y < +2x
3
4
3
Región que
cumple con
Las ecuaciones del sistema se cortan en un punto del plano cartesiano, espe-
cíficamente en (3; 3), esto quiere decir que los valores de las variables son x =
3; y = 3. La forma de resolver un sistema de ecuaciones mediante la represen-
tación de sus rectas se conoce como método gráfico.
2 3–2
2
3
–2
–4
4
–4
4
2x – y = 3
x – 3y = –6
2x – 3y = –9
4x – 6y = 2
2
2 4 6
Y
X
6y + 2x = 12
3y + x = 6
16CA
PÍ
TU
LO
para (2;1)
para (–2;2)
¿Cuál es el con-
junto solución del
sistema mostrado
en la gráfica?
III B
IM
ESTR
E
58
Problema 1:
Determina el valor de k para que el sistema:
(k + 1)x + y = k
2x + (k – 1)y = 1
sea incompatible:
(PRE-UNI)
Solución:
El sistema es incompatible si k + 1
2
= 1
k – 1 ≠ 3
1
Luego: k + 1
2 = 1
k – 1
→ (k + 1)(k – 1) = 2
→ k2 – 1 = 2 → k = 3 ∨ k= – 3
Se cumple que: k + 1
2
≠ 3 ∧ 1
k – 1
≠ 3
Por lo tanto, los valores de k son: 3 ó – 3
Rpta.: 3 ó – 3
Problema 4:
Determina el valor a + b de modo que el sistema:
(a – 1)x + 4y = 10
2x + (b + 1)y = 5
tenga infinitas soluciones.
(PRE-UNI)
Solución:
Se tiene infinitas soluciones, si cumple:
a – 1
2
= 4
b + 1
= 10
5
De a – 1
2
= 10
5
→ a = 5
De 4
b + 1
= 10
5
→ b = 1
∴ a + b = 6
Rpta.: 6
Problema 3:
Determina el valor de λ, si el sistema homogéneo
tiene infinitas soluciones.
λx + y = 0
x + λy = 0
(PRE-UNI)
Solución:
Si el sistema homogéneo tiene infinitas
soluciones, entonces el determinante de la matriz
del sistema es cero.
A=
λ 1
1 λ
= λ2–1 = 0
→ λ = 1 ∨ λ = – 1
Rpta.: 1 ∨ -1
Problema 2:
El sistema lineal mostrado es indeterminado
para m = m1, e incompatible para m = m2. Cal-
cula el valor de 4m1 + 5m2.
(m + 1)x + (m + 8)y = 7 (I)
3x + my = 3 (II) (PRE-UNI)
Solución:
I. El sistema lineal es indeterminado si:
m + 1
3
= m + 8
m
= 7
3 , de donde m = 6 = m1.
II. El sistema lineal es incompatible si:
m + 1
3
= m + 8
m
≠ 7
3 , de donde m = –4 = m2.
∴ Luego: 4m1 + 5m2 = 4(6) + 5(–4) = 4
Rpta.: 4
Actividad 16
1 Si el sistema de ecuaciones lineales:
x ay
ax y a
+ =
+ =
1
2
gráficamente son dos rectas distintas pero para-
lelas, entonces a3 + 7 es igual a:
(CEPRE UNI-07-I)
A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12
2 El sistema lineal de incógnitas x e y:
x
a b
y
y
a b
x
-
= -
+
= -
2
1con a ≠ b y a ≠ –b tiene infinitas soluciones.
Entonces el valor de 16ab será:
(CEPRE UNI-10-II)
A) –15 B) 15/16 C) 2 D) 15 E) 16
CAPÍTULO 16 SISTEMA DE ECUACIONES II
II
I
B
IM
ES
TR
E
59
I
y
x
L1L2
L3
II
y
x
L1= L2
L3
III
y
x
L1
L2
L3
A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III
D) I, II y III E) Solo I y III
7 Si el siguiente sistema:
(k + 3)x + (2x + 3)y = 75
(k – 3)x + (k – 1)y = 25
no tiene solución. Halla k. (CEPRE UNI))
A) –3 B) –1 C) 3 D) 4 E) 5
8 Si el siguiente sistema:
x + y = 3
5x – 3y = 7
ax + by = 5b
tiene solución única, halla a/b.
A) 2 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10
9 El sistema en las variables x e y:
ax - 2y = b
(b + 1)x + cy) = 6a
(c - 1)x - 6ay= - 9
tiene infinitas soluciones. Si b < 0, determina el
valor de abc - (a + b)c-1 (CEPRE UNI))
A) 4 B) − –4 C) − –6 D) 6 E) 2
10 Dado el sistema lineal:
(m – 1)x + 5y = 2m
3x + (m + 1)y = m + 4
indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones. (CEPRE UNI))
I. Si m = -1 el sistema es incompatible.
II. Si m = - 4 el sistema es indeterminado.
III. Si m = 4 el sistema tiene una única solución
A) FFV B) FVF C) FFV D) FFF E) VVF
3 Respecto al sistema de ecuaciones lineales:
( )∗
+ =
+ =
x ay
ax y a
1
Se tiene las siguientes afirmaciones:
I. Si a > 1 el sistema (∗) tiene una única solución.
II. Si a = 1 el sistema (∗) tiene muchas soluciones
(es indeterminado).
III. Si a = –1 el sistema (∗) no tiene soluciones al-
guna (es inconsistente).
¿Cuáles de estas afirmaciones son falsas?
(CEPRE UNI-06-II)
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y II E) II y III
4 ¿Cuáles de los sistemas de ecuaciones está re-
presentado por la gráfica adjunta?
I. x – y = –1 II. 6x + y = 8 III. x – y = – 1
6x + y = 8 x + y = 3 2x + y = 4
x + y = 3 2x – y = 0 x + y = 3
(UNI-08-II)
1
1
2
3
4
Y
X
A) Solo I B) Solo I y III C) Solo III
D) Solo I y II E) Solo II
5 El sistema:
x + y = 3
2x + y = 1
5x + 3y = 5
Geométricamente representa. (CEPRE UNI))
A) Tres rectas paralelas.
B) Tres rectas que se cortan en un punto.
C) Dos rectas paralelas y la tercera que las corta.
D) Dos rectas coincidentes y la tercera que las
corta.
E) Dos rectas perpendiculares y la tercera que
las corta.
6 Si un sistema lineal de 3 ecuaciones con dos va-
riables tiene solución única, ¿cuál (o cuáles) de
las siguientes gráficas podría representar el sis-
tema? (CEPRE UNI))
CAPÍTULO 16SISTEMA DE ECUACIONES II
III B
IM
ESTR
E
60
SISTEMA DE INECUACIONES
LINEALES
rePresentaCión gráfiCa de una ineCuaCión
En los capítulos anteriores hemos visto que la re-
presentación gráfica de una ecuación con dos in-
cógnitas es una recta.
A la derecha se muestra la presentación de:
y = 2x + 1
La representación de una inecuación de la forma:
y P(x) , con P(x) de 1°grado
es un semiplano cuyo borde es la recta
y = P(x)
Cuando y > P(x), es la región por encima de la rec-
ta y = P(x) y si y < P(x), la región por debajo. Cuan-
do es ≥ ó ≤ incluye la recta, en caso contrario se
dibuja la recta en líneas discontinuas.
A la derecha se muestran las gráficas de:
y ≥ 2x + 1 y y < 2x + 1.
y =
2x
+
1
y =
2x
+
1
y ≥ 2x + 1
y =
2x
+
1
y < 2x + 1
GRÁFICOS PARTICULARES
Ten Presente
2
y ≤ a
a y = a
y ≤ a
Y
X
y ≤ 2
2
1
y = 2
Y
X
a
x ≥ a
x ≥ a
–2
x ≥ –2
x ≥ –2
y < a
a y = a
y < a y < –1
y < –1
y = –1
La gráfica de la inecuación
3y – x ≤ 6
Ejemplo 1:
¿Cuáles de los puntos
(–1; –2), (3; –1) y (4; –3)
pertenecen a la gráfica de
x y−
≤
3
1 ?
Solución:
x – y ≤ 3 ⇒ y ≥ x – 3
(4; –3)
(3; –1)
y = x – 3
(–1; –2)
Rpta.: (–1; –2)
x 0 3
y –3 0
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS
Análogamente al sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tenemos
las inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas es suficiente con-
17CA
PÍ
TU
LO
Observamos una inecua-
ción de dos variables con
su representación gráfica.
Dicho gráfico se obtiene
despejando la variable "y";
tabulando valores para "x" y
representando en un plano
cartesiano.
y = (x/3) + 2
y ≤ (x/3) + 2
II
I
B
IM
ES
TR
E
61
tar con dos ecuaciones independientes, en cambio, en el sistema de inecuaciones, a pesar de tener dos in-
cógnitas el sistema puede contar con más de dos inecuaciones y la solución, generalmente, es un conjunto
de infinitos pares ordenados, que, en términos gráficos, es una región del plano cartesiano, usualmente una
región poligonal.
Como ejemplo resolvamos el sistema:
x + y < 2 (1)
y + 4x ≥ 2 (2)
y ≥ 2x – 2 (3)
Graficamos las tres inecuaciones y la solución del sistema:
Ejemplo 2:
Grafica la solución del sistema:
x ≥ 0
y ≥ 0
x + y < 3
Solución:
Graficamos las tres inecuaciones
y el conjunto solución es la inter-
sección de las gráficas.
1
x = 0
y = 0
x + y = 31
2
2
3
3
Problema 1:
Grafica la solución
del sistema:
y ≤ 4
x ≥ 1
5y – 4x > –4
Solución:
y ≤ 4 región debajo de y = 4
x ≥ 1 región a la derecha de x = 1
La solución del sistema es la inter-
sección de las tres gráficas. 1
2
3
4
y = 4
x
=
1
5y – 4x = –4
Problema 2:
Determina el sistema de
inecuaciones cuya solución
se representa en el gráfico
mostrado:
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Solución:
La región es un trapecio.
• La base menor y la base mayor están contenidas en las rectas: y = 5 ∧ y = 1
⇒ La inecuación es: 1 ≤ y ≤ 5
• Lado izquierdo: • Lado derecho:
Puntos de paso: (0; 1) y (2; 5) Puntos de paso: (5; 1) y (4; 5)
⇒ Ecuación: ⇒ Ecuación:
y
x
y x
-
-
= -
-
⇒ = +
1
0
5 1
2 0
2 1
y
x
y x
-
-
= -
-
⇒ = - +
1
5
5 1
4 5
4 21
⇒ Inecuación: y – 2x ≤ 1 ⇒ Inecuación: y + 4x < 21
∴ Sistema:
1 ≤ y ≤ 5
y – 2x ≤ 1
y + 4x < 21
CAPÍTULO 17SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
1
III B
IM
ESTR
E
Gráfico de x + y < 2 Gráfico de y ≥ 2x – 2Gráfico de y + 4x ≥ 2 Gráfico del C.S. del sistema
y < –x + 2
1
1
2
2
0
1
1
2
2
0
y ≥ –4x + 2 y ≥ 2x – 2
1
1
–1
–2
2
2
0 1
1
–1
–2
2
2
0
C.S.
62
Actividad 17
1 Relaciona cada inecuación con su respectivo gráfico:
I. y ≤ x – 2 II. y < x –2 III. y ≥ x – 2
a) Y
–2
2 X
b) Y
–2
2
X
c) Y
–2
2 X
A) Ia-IIb-IIIc B) Ic-IIb-IIIa C) Ia-IIc-IIIb
D) Ic-IIa-IIIb E) Ib-IIc-IIIa
2 Si la región sombreada es la gráfica de la inecua-
ción: y ≥ 2x – 1, halla a⋅b.
Y
b
a X
A) 0
B) 1/2
C) –1/2
D) 2
E) –2
3 Grafica 5x – 2y > 20
A) Y
4
10
X
B) Y
X
C) Y
4
10
X
D) Y
4
–10
X
E) Y
4
–10 X
4 Indica la inecuación que representa el gráfico:
Y
1
–1/3 X
A) 2 + 3x ≥ y
B) 3x – y ≥ 0
C) y – 3x ≤ 1
D) y – 3x ≥ 1
E) x – y ≥ 1/3
5 Esboza e indica la gráfica de la inecuación:
y < |x – 1|
A) Y
X1
B) Y
X1
C) Y
X
1
D) Y
X1
E) Y
X–1
6 Determina la región definida por las inecuacio-
nes: x ≤ 4 ∧ y > –1
A) Y
4
–1
X
B) Y
–1 4
X
C) Y
X
–1
4
D) Y
X
E) Y
–1
4 X
7 Grafica el sistema:
y + 2x ≤ 1
2y – x ≤ 1
y ≥ 0
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
8 Para el conjunto:
T = {(x, y) ∈ R × R/|x| ≤ |y| ≤ 2}, halla su
gráfica e indica el área de esta región (en m2).
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
9 El sistema de inecuaciones: (UNI-09-I)
determina en el plano una región
R. Podemos afirmar que:
x – 3y ≤ 6
2x + y ≥ 4
x + y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
A) R es una región triangular.
B) R es una región cuyo borde es un cuadrado.
C) R es una región cuyo borde es un cuadrilátero.
D) R es vacía.
E) R es un cuadrante.
10 ¿Cuál es el sistema de inecuaciones cuyo con-
juntosolución está representado por la región
triangular sombreada en la figura?
(UNMSM-13-II)
A) x ≤ 6, x ≤ y, x ≥ 4 + y
B) x ≤ 6, x ≥ y, x + y ≥ 4
C) x ≤ 6, x ≤ y, x + y ≤ 4
D) x ≤ 6, x ≤ y, x – y ≥ –4
E) x ≤ 6, x ≤ y, 0 ≤ x + y ≤ 4
Y
6
6
4
–2
4
X
II
I
B
IM
ES
TR
E
63
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica que consiste en optimizar (maximizar
o minimizar) una función lineal llamada función objetivo, sujeta a un con-
junto de restricciones definidas mediante ecuaciones o inecuaciones lineales.
Región factible o admisible:
Las restricciones generalmente están definidas por un sistema de inecuacio-
nes cuya solución es la región factible.
Solución óptima
Es el par (x0, y0) de la región factible que optimiza la función objetivo.
Valor óptimo
Es el valor máximo o mínimo que toma la función objetivo.
PROGRAMACIÓN LINEAL
George Bernard
Dantzing
(1914 - 2005)
Es considerado el padre de
la programación lineal.
(http://optimixacion.blogspot.com/2012/02/george-
bernard-dantinz-1914-2005.html)
Personaje Personaje
Ejemplo:
Resuelve el siguiente problema de programación lineal. Función objeti-
vo: f(x; y) = 5x + 3y
Restricciones:
x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
2y + x ≤ 8
y – x ≥ –2
Calcula el valor máximo de f(x; y).
Solución:
Resolvemos gráficamente el sistema de inecuaciones (restricciones).
A(0; 4)
B(4; 2)
2y + x = 8
y –
x
= –2
C(2; 0)
Región
factible
Cálculo de B: 2y + x = 8 (1)
y – x = –2 (2)
Solución: x = 4; y = 2
∴ B = (4; 2)
Evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible:
A = (0; 4) → f(0; 4) = 5(0) + 3(4) = 12
B = (4; 2) → f(4; 2) = 5(4) + 3(2) = 26 (máximo valor de f)
C = (2; 0) → f(2; 0) = 5(2) + 3(0) = 10
Por lo tanto el valor óptimo de la función objetivo es 26 y ocurre en el
punto B (4; 2), llamada solución óptima.
18CA
PÍ
TU
LO
¿Cuál es el
conjunto solu-
ción del sistema
mostrado?
y ≤ 5
7y ≤ 5x
y + 2x ≥ 5
III B
IM
ESTR
E
64
Problema 1:
En una empresa se editan revistas
de información deportiva y de cul-
tura. Cada revista de información
deportiva precisa dos cartuchos de
tinta negra y uno de color y se ven-
de a 3 euros. Cada revista de cultura
precisa dos cartuchos de tinta negra
y dos de color y se vende a 5 euros.
Se dispone de 500 cartuchos de cada
clase. ¿Cuántas revistas de cada tipo
se deben editar para obtener el ingre-
so máximo posible?
Solución:
x: revistas de información deportiva
y: revistas de cultura
Función objetivo: z = 3x + 5y
2x + 2y ≤ 500
x + 2y ≤ 500
x ≥ 0; y ≥ 0
El máximo es el vértice A:
x = 0
2x + 2y = 500 ⇒ A(0, 250)
El máximo de ingresos se obtiene
al editar 250 revistas de cultura y
50
A
B
500
y
x
ninguna de información depor-
tiva, y asciende a 1250 euros.
A: x = 0 , y = 250 ⇒ z = 1250
Problema 2:
Para iluminar una sala de pintura es
preciso colocar suficientes bombillas
que sumen un total de 1440 vatios
como mínimo. En el mercado se pue-
den adquirir bombillas incandescen-
tes tradicionales de 90 vatios al pre-
cio de 1 euro la unidad y bombillas
de bajo consumo de 9 vatios (equiva-
lentes a 60 vatios) al precio de 5 euros
la unidad.
Debido a la estructura del espacio, el
número total de bombillas no puede
ser mayor de 20. Por otra parte, las
normas del ayuntamiento imponen
que, para este tipo de salas, el núme-
ro de bombillas de bajo consumo no
puede ser inferior a la mitad del de
bombillas tradicionales. Calcula
el número de bombillas de cada
clase que se debe colocar para que
el coste sea mínimo.
Solución:
x: bombillas de 90 W
y: bombillas de 9 W (equivalentes
a 60 W)
Función objetivo: z = x + 5y
90x + 60y ≥ 1440
x + y ≤ 20
2y ≥ x
x ≥ 0 y ≥ 0
Restricciones:
El mínimo es el vértice C:
90x + 60y = 1440
2y = x
⇒ C(12; 6)
4
A
B
4 z=00
y
x
El mínimo gasto se obtiene a
iluminar la sala con 12 bom-
billas de 90 W y 6 de bajo con-
sumo de 9 W. El costo míni-
mo es de 42 euros.
C(12;6): x = 12 ; y = 6 ⇒ z = 42
1 Sea f: R2 → R una función definida por:
f(x; y) = –3x + y. Determina el punto de la región
convexa mostrada en la figura, donde f alcanza
su mínimo. (UNI-08-II)
0
3
4
Y
X
1 6
A) (2; 3) B) (2; 0) C) (0; 3) D) (6; 4) E) (4; 6)
2 Determina el valor mínimo que toma la función
objetivo, P(x; y) = 10x + 20y, sujeta a las restric-
ciones: (UNI-10-II)
Actividad 18
x + y ≥ 2
x – 2y ≤ 2
y ≤ x
A) –70 B) –20
C) 0 D) 20
E) 30
3 Si la solución de Máx {ax + by} se encuentra en
x = 3, sujeto a: (UNI-12-II)
x ≥ 0
x + y ≤ 4
y – x ≥ –2
determina en qué intervalo se encuentra a/b.
A) 〈–∞; –1] B) 〈–∞; 1] C) [–1; 1]
D) [–1; ∞〉 E) [1; ∞〉
4 La solución del problema de minimizar:
CAPÍTULO 18 PROGRAMACIÓN LINEAL
C
II
I
B
IM
ES
TR
E
65
z = 5x + 6, sujeto a
2x + 3y ≤ 12
x + y ≤ 5
x, y ≥ 0
(UNI-12-I)
es el punto (x0, y0). Si se añade la nueva restric-
ción x – y ≤ 3, ¿cuáles de las siguientes proposi-
ciones son correctas?
I. La solución (x0, y0) es solución del nuevo
problema.
II. El nuevo problema no tiene solución.
III. La nueva región admisible contiene a la
anterior.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y II E) I, II y III
5 Sea u el número de decenas de sillas y v el núme-
ro de decenas de mesas que fabrica una empresa
al día. Si la utilidad diaria está dada por 200u +
300v, y se tienen las siguientes restricciones.
Encuentra el número de dece-
nas de mesas y sillas, respecti-
vamente, a fabricar diariamen-
te, de modo que la empresa
obtenga la mayor utilidad. (UNI-09-I)
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2 D) 2 y 3 E) 3 y 2
6 En relación a un programa lineal, indica la se-
cuencia correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Las condiciones de no negatividad signi-
fican que todas las variables de decisión
deben ser positivas.
II. El número de puntos extremos de la región
admisible es finito.
III. En un programa lineal pueden variarse los
coeficientes de la función objetivo y aún
mantenerse la solución óptima. (UNI-10-I)
A) VFV B) FFF C) FFV D) FVV E) VFF
7 Un lago se llena de dos especies de peces S1 y S2.
La especie S1 proporciona un peso promedio de
4 kg de carne y la especie S2 un peso promedio
de 2 kg. Dos tipos de comida F1 y F2 están dis-
ponibles en el lago. El requerimiento promedio
de las especies S1 es 1 unidad de F1 y 3 unidades
de F2, mientras que el requerimiento de S2 son 2
unidades de F1 y 1 unidad de F2 cada día.
Si se dispone diariamente de 500 unidades de F1
y 900 unidades de F2, determina el número total
de peces en el lago que maximice el peso total de
carne de pescado. (UNI-11-I)
A) 360 B) 380 C) 400 D) 420 E) 460
8 La región admisible S y el crecimiento de la fun-
ción objetivo del problema, maximizar f(x; y)
s.a. (x; y) ∈ S se muestra en la siguiente figura:
87654
4
(3; 4)
32
2
–1
1
–1
crecimiento
3
Si (x; y) es la solución del problema, determina
f(x; y). (UNI-13)
A) 10
3
B) 14
3
C) 20
3
D) 25
3
E)
28
3
9 Sea S la región limitada por las siguientes
inecuaciones:
y – x ≤ 4 ; y
x+ ≤
2
6 ;
x
y
2
0− ≤ ; –x – y ≤ –2
al minimizar f(x; y) sobre S se afirma que:
(UNI-09-I)
A) Si f(x; y) = x + y, entonces se tiene 2 soluciones.
B) Si f(x; y) = y – x, entonces
4
13
16
3
;
es solución.
C) Si f(x; y) =
x
y
2
+ , entonces (2; 0) es solución.
D) Si f(x; y) =
x
y
2
- , entonces se tiene infinitas
soluciones.
E) Si f(x; y) = y
x-
2
, entonces (6; 3) es solución.
10 Cierto fabricante produce dos artículos, A y B,
utilizando de dos secciones de producción: sec-
ción de montaje y sección de pintura. El artículo
A requiereuna hora de trabajo en la sección de
montaje y dos en la de pintura; y el artículo B,
tres horas en la sección de montaje y una hora en
la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en fun-
cionamiento nueve horas diarias, mientras que
la de pintura solo ocho horas cada día. El bene-
ficio que se obtiene produciendo el artículo B es
de 40 soles y el de A es de 20 soles.
Calcula la producción diaria de los artículos A y
B, que maximiza el beneficio.
A) 3 y 2 B) 3 y 4 C) 5 y 3
D) 6 y 4 E) 9 y 8
u + v ≤ 4
2u + 3v ≤ 10
40u + 20v ≤ 120
CAPÍTULO 18PROGRAMACIÓN LINEAL
III B
IM
ESTR
E
S
66
FUNCIONES
LA CORRIENTE ALTERNA
La energía eléctrica que usamos viene en forma de corriente al-
terna. Se llama así porque su intensidad cambia de dirección pe-
riódicamente, 50 veces por segundo, debido al cambio periódico
de polaridad de la tensión aplicada en los extremos del conductor.
La variación de la tensión con el tiempo tiene forma senoidal por
lo que es una función periódica que depende del tiempo.
- Averigua cómo es la ecuación de la corriente alterna.
http://www.areatecnologia.com/corriente-continua-alterna.htm
intensidad
tiempo
04
Unidad
APRENDIZAJES ESPERADOS
Traduce condiciones
y datos a expresiones
algebraicas
Comunica su
comprensión sobre las
relaciones algebraicas
Usa estrategias y
procedimientos para
encontrar reglas
generales
Argumenta afirmaciones
sobre relaciones de
cambio y equivalencia
• Traduce problemas de
la vida cotidiana al len-
guaje de las funciones
matemáticas.
• Utiliza las funciones
especiales y el álgebra
de funciones.
• Aplica el logaritmo de
un número y la función
logarítmica.
• Representa en forma
gráfica y simbólica las
funciones especiales.
• Representa en forma
gráfica y simbólica la
composición de funcio-
nes y las operaciones con
funciones.
• Representa en forma grá-
fica la función exponencial
y logarítmica.
• Elabora diversas estrate-
gias para resolver proble-
mas con funciones.
• Resuelve problemas y ejer-
cicios de funciones especia-
les y álgebra de funciones.
• Resuelve problemas apli-
cando el logaritmo, la fun-
ción exponencial y logarít-
mica.
• Justifica el uso de las funcio-
nes en la resolución de pro-
blemas.
• Propone ejemplos de aplica-
ción de las funciones espe-
ciales y el álgebra de funcio-
nes.
• Argumenta el uso de la fun-
ción logarítmica y exponen-
cial en la resolución de pro-
blemas.
67
FUNCIONES
Y
X
f(x)
g(x)
Una función es una relación que se caracteriza porque a cada elemento de su dominio le corresponde un único
elemento de su rango, en otras palabras si en su representación gráfica se traza una línea vertical, esta debe
cortarlo en un solo punto. En este caso solo f(x) cumple la condición por lo que es una función.
funCión real de variaBle real
Una función es un conjunto de pares ordenados (x; y), donde x es preimagen o variable independiente e y es
imagen o variable dependiente, con la condición de que ningún x puede tener dos imágenes.
x e y están relacionados mediante una regla de correspondencia, dada generalmente por una ecuación de va-
riables x e y.
Por ejemplo: y = 3x – 2 ó f(x) = 3x – 2
Obsérvese que teniendo un valor de x, por ejemplo x = 5, se obtiene el valor de y o f(x):
y = 3(5) – 2 = 13 ó f(5) = 3(5) – 2 = 13
El conjunto de valores que toma x se llama dominio de f [Dom(f)] y el conjunto de valores que toma y o f(x),
rango [Ran(f)].
Se dice que f es una función real de variable real, si su dominio y su rango son subconjuntos de los núme-
ros reales.
y
x
y
x
y
x
y
x
Ejemplo 1:
¿Cuáles de los gráficos no corresponde a una función? Solución:
I, no es una función
porque al trazar una
línea vertical, la corta
en más de un punto.
I. II. III. IV.
FUNCIONES ESPECIALES
funCiones aCotadas
Una función es acotada cuando ningún valor de
ella puede exceder a un número llamado cota su-
perior ni ser inferior a otro llamado cota inferior.
f(x) es acotada ⇔ m ≤ f(x) ≤ M; m, M ∈
cota inferior cota superior
1
–1
–1 ≤ f(x) ≤ 1
19CA
PÍ
TU
LO
¿Cuál de las fi-
guras f(x) o g(x) re-
presenta el gráfico
de una función?
IV B
IM
ESTR
E
68
Ejemplo 2:
La función f x
x
( ) = 1 , ¿es acotada
para x > 0?
Solución:
Para x > 0 la gráfica de f(x) es una
hipérbola con asíntotas:
x = 0 e y = 0
No es acotada. Es acotada sólo
inferiormente.
1
1 3
2
Y
X
funCión CreCiente
Una función puede ser creciente en un tramo de su dominio o en todo su
dominio.
f es creciente en [a, b] ⊂ Dom(f),
si x1, x2 ∈ [a; b],
con x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Si una función es creciente en todo
su dominio simplemente se dice
que es creciente.
Ejemplo 3:
Demuestra que f(x) = 2x – 3 es creciente.
Solución:
Sea x1 < x2 y x1, x2 ∈ Dom(f). Debemos demostrar que f(x1) < f(x2), ∀x1, x2
∈ Dom(f).
x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2 ⇒ 2x1 – 3 < 2x2 – 3 ⇒ f(x1) < f(x2)
∴ f es creciente f(x1) f(x2)
funCión deCreCiente
Es contraria a la función creciente. Una función es de-
creciente en [a; b], ⊂ Dom(f), si x1, x2 ∈ [a; b]
y x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Una función es decreciente cuando lo es en todo su
dominio.
NotaNota
Una función puede ser acotada
sólo superiormente:
Y 3
f(x) ≤ 3
X
o, acotada sólo inferiormente.
Y
1
0,5
f(x) ≥ 0,5
X
Pero, para que sea acotada
debe estar acotada superior e
inferiormente.
f es creciente en [–3; 0]
Y
–3 x1 x2
f
f(x1)
X
f(x2)
f es creciente
x1
x2
f(x1)
Y
X
f(x2)
f es decreciente
x1 x2
f(x1)
Y
X
f(x2)
Ejemplo 4:
f(x) = |x|, ¿es creciente o decreciente?
Solución:
Es decreciente en 〈–∞; 0]
Es creciente en 〈0; +∞〉
Problema 1:
Sea la función: f(x) = ax2 + b, a ∧
b constantes y x un número real
cualquiera. Los pares ordena-
dos (0; 3); (2; 2) y (3; R) corres-
ponden a los puntos de la fun-
ción. Calcula el valor de R.
(CEPRE-CALLAO)
Solución:
f(x) = ax2 + b
y = ax2 + b
Evaluando:
(0; 3) → 3 = a(0)2 + b → b = 3
(2; 2) → 2 = a(2)2 + b → b = 2 = 4a + b → a = –1
4
(3; R) → R = a(3)2 + b
R= – 1
4
(9) + 3
R= 3
4 Rpta.: 3/4
CAPÍTULO 19 FUNCIONES
IV
B
IM
ES
TR
E
69
Problema 2:
Si f:Dom(f) = [0;5] → es una función
definida por f(x) = x2 – 6x + 14, halla
el rango de f.
(CEPRE UNMSM 2012-II)
Solución:
Se tiene que:
f(x) = y = x2 – 6x + 14
y = (x – 3)2 + 5
Tenemos que:
0 ≤ x ≤ 5
– 3 ≤ x – 3 ≤ 2
0 ≤ (x – 9)2 ≤ 9
5 ≤ (x – 9)2 + 5 ≤ 14
→ Ran(f) = [5; 14] Rpta.: [5; 14]
1 La tabla adjunta muestra parte del dominio y el
rango de una función lineal f.
x 2 5 8 b
f(x) 10 a 28 37
La suma de a y b es:
(UNMSM-11-I)
A) 25 B) 40 C) 45 D) 30 E) 35
2 Halla el dominio de la función: f x x( ) = -4 2
(UNALM-12-I)
A) [–2; 2] B) 〈–2; 2〉 C) 〈–∞; 2]
D) [2, ∞〉 E) [–4, 4]
3 Halla el dominio de: f x x x( ) = - -2
(UNALM-12-I)
A) [4; +∞〉 B) 〈4; +∞〉 C) 4
D) [–∞; –4〉 E) φ
4 Si f: R → R es una función cuadrática que satisfa-
ce las condiciones f(–1) = 2, f(1) = –2 y f(2) = –4,
halla: g(x) = f(x + 1) + f(x – 1)
(UNMSM-11-II)
A) g x x x( ) = - + +16
3
4 12 B) g x x x( ) = -8
3
42
C) g x x x( ) = - + -16
3
4 12
D) g x x x( ) = - + +8
3
2
8
3
2 E) g x x x( ) = - +16
3
42
5 Halla el rango de: f(x) = 3x2 – 6x + 1; x ∈ 〈–1; 2]
(UNLAM-09-I)
A) [–2; 10〉 B) [1; 10〉 C) [–2; 10]
D) 〈–2; 1〉 E) [–2; 1〉
6 Dada la función real definida por:
f x
x
x
x
x
( ) = +
determina el cardinal del rango de f.
(UNTECS-10-II)
A) 3 B) 4 C) 2
D) 1 E) 5
7 Halla el mínimo valor de: f(x) = x2 + 2x
(UNALM-09-II)
A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
8 Sea f: R → R una función tal que f(x) ≠ 0 para
todo x ∈ R, ysea a ∈ R. Si f satisface:
|a – 2|(f(x))2 – a2 f(x) ≤ |f(x)| para todo x ∈ R.
Determina el conjunto de todos los valores de a
que garantizan que la función f sea acotada.
(UNI-13-I)
A) {2} B) {4} C) R –{2}
D) R –{4} E) R
9 Halla el dominio de F(x):
F( )x
x x
=
-
1
(UNALM-10-I)
A) [1; +∞〉 B) 〈–∞; –1] C) 〈–∞; –1〉
D) 〈–∞; 0〉 E) 〈1; +∞〉
10 En R se define la función f(x) = x2 – 2x|x|.
Determina el rango de la función f.
(UNTECS-12-II)
A) [1; +∞〉 B) [–2; +∞〉 C) [2; +∞〉
D) 〈–∞; 1] E) [–1; +∞〉
Actividad 19
CAPÍTULO 19FUNCIONES
y
IV B
IM
ESTR
E
70
TRAZADO DE GRÁFICOS
En la figura el punto A representa a (–3; 2), B representa (–2; 2) y C, (–1; 1).
El segmento OP representa el conjunto de puntos (x,y), tal que
y = x ∧ 0 ≤ x ≤ 3.
Como una función es un conjunto de pares ordenados, se puede representar
gráficamente en el plano cartesiano.
TRAZADO DE GRÁFICOS
La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano cartesiano
R × R, tal que su abscisa y su ordenada son números reales definidos por:
Gf = {(x; y) ∈ R × R/ x ∈ Dom(f) ∧ y = f(x)}
Aquí el gráfico de algunas funciones:
f(x) = x f(x) = x
2
+ 2 f(x) = x2
Y
X
32
2
1
1
–1
–1
Y
X1–1–2–3–4
2
1
Y
X
Y
X
3
3
A B
C
O
P
2
2
1
1
–1–2
–2
–3
–1 Ten Presente
2
FUNCIONES ELEMENTALES
1. Función constante:
Y
X
f(x) = cc
2. Función lineal:
Y
X
f(x) = mx + b
b
3. Función cuadrática:
Y
X
f(x) = x2
4. Función raíz cuadrada:
Y
X
5. Función valor absoluto:
Y
X
f(x) =|x|
Ejemplo 1:
Grafica 5x – 3y + 6 = 0
Solución:
Despejar la variable y:
–3y = – 5x – 6
y = 5
3
x + 2
Tabulando
x y (x, y)
0
3
2
7
(0; 2)
(3; 7)
2
3
3
4
5
6
7 (3;7)
(0;2)
y = 5
3
x + 2y
x
20CA
PÍ
TU
LO
¿El gráfico de
que función
representa el
segmento OP?
IV
B
IM
ES
TR
E
71
ProPiedades de las gráfiCas de funCiones
A partir del gráfico de las funciones elementales, se puede dibujar el gráfico
de otras funciones.
Desplazamiento
f(x) = |x| f(x) = |x – 2| f(x) + 1= |x|
Y
X0
Y
X
2
2
Y
X
2
2
1
1
–2 –1
–1
0
Sea y = f(x) y k > 0, entonces:
Se desplaza k unida-
des a la derecha.
Se desplaza k
unidades hacia la
izquierda.
Se desplaza
k unidades
hacia arriba.
Se desplaza
k unidades
hacia abajo.
y = f(x – k) y = f(x + k) y = f(x) + k y = f(x) – k
Ejemplo 2
Grafica la función: f(x) = x2 + 4x + 5
Solución:
f(x) = x2 + 4x + 4 + 1
f(x) = (x + 2)2 + 1
Gráfico de y = x2 desplazado 2
unidades a la izquierda y 1 unidad
hacia arriba.
–2
1
Reflexión
Y
X
Y
X
=- =- -
Y
X
=
Y
X
Dado el gráfico
de y = f(x)
y = f(–x) queda reflejado respecto al eje Y.
y = –f(x) queda reflejado respecto al eje X.
Datos
CAPÍTULO 20TRAZADO DE GRÁFICOS
EFECTO DEL VALOR ABSO-
LUTO SOBRE EL GRÁFICO DE
UNA FUNCIÓN.
Sea el gráfico de y = f(x)
y = f(x)
Y
X
Y
X
y = f(x)
Parte del
gráfico debajo
del eje X
Al aplicar el valor absoluto
la parte por debajo del eje X
queda reflejado.
Y
X
y = |f(x)|
Recuerda:
|f(x)| ≥ 0Ejemplo 3 :
Dado el gráfico de y = f(x), di-
buja el gráfico de y = 2 – f(–x)
Y
X
2
1
Solución:
y = 2 – f(–x) ⇒ y – 2 = –f(–x)
Y
X
2
1–1
f(–x) f(x) Y
X
2
–1
–f(–x)
y = 2 – f(–x)
–2
IV B
IM
ESTR
E
72
Problema 1:
De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuáles de las
siguientes igualdades son verdaderas?
I. f(–1) + f(1) = f(0)
II. 3f(–2) – f(0) = 2 × f(2)
III. f(–2) – f(1) = f(2) – 1
1
1
2
–1 2–2
y = f(x)
y
x
Solución:
I. f(–1) + f(1) = 1 + 1 = 2 = f(0); Verdadera
II. 3f(–2) – f(0) = 3(2) – 2 = 6 – 2 = 4 = 2(2) = 2f(2);
Verdadera
III. f(–2) – f(1) = 2 – 1 = f(2) – 1; Verdadera
Problema 3:
La gráfica que mejor representa a la función
g(x) = 2 – x , con x ≥ 0, es
Solución:
Graficamos la función f(x) = x
x
y
x
Luego f(x) = – x
x
y
x–
Finalmente f(x) = 2 – x
x
y
2 – x
2
Problema 4:
¿Cuál de las siguientes funciones puede represen-
tar el gráfico de la figura?
I. f(x) =x
II. f(x) = x2
III. f(x) = x
Solución:
I. Verdadera.
2
2
–2
4
4 6
y = f(x) =x
II. Verdadera, por definición sabemos que:
f(x) =x= x2 , ∀ x ∈ R
III. Es falsa, por ser lineal.
0 2
2
4
4
y = f(x) = x
Problema 2:
La línea quebrada de la figura es el gráfico de la
función f(x):
1
1
2
3
4
–1 2–2
y
x
Solución:
x
y
Recta: y = x
x
y
Función:
Valor absoluto
f(x)= x
x
y
Suma de am-
bas funciones
f(x)= x+ x
CAPÍTULO 20 TRAZADO DE GRÁFICOS
f(x)
0
IV
B
IM
ES
TR
E
73
1 Dada la función lineal F(x) = ax + b, ab > 0
marca la alternativa gráfica de dicha función.
(UNFV-04)
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Más de una es correcta.
2 Si f es una función definida por:
f(x) = 4 – |x + 3|, x ∈
entonces el área, en u2, de la región limitada
por f y el eje de abscisas es:
(UNFV-10-I)
A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 19
3 Halla el rango de la función: f(x) = – x2 + 2x, sa-
biendo que su dominio es igual al conjunto de
los números reales.
(UNMSM-10-I)
A) 〈–∞; 0] B) 〈–∞; 1〉 C) 〈–∞; 1]
D) 〈–∞; ∞〉 E) [0; ∞〉
4 De acuerdo a las gráficas, halla el área de la re-
gión sombreada. (UNAC-08-I)
Y
0
q
p X
=
Y
0
q
p X
y = x2
A)
16
25
B)
64
25
C)
8
125
D)
16
125
E)
32
125
5 Halla el área de la región limitada por las gráfi-
cas de las funciones: f(x) = |2x| y g x
x
( ) = +
2
5
(UNMSM-09-I)
A) 38
3
u2 B)
20
3
u2 C)
32
3
u2
D) 40
3
u2 E) 16
3
u2
6 Sean f y g las funciones definidas por
f(x) = x2 ∧ g(x) = x
¿Entre qué intervalo se cumplirá que x2 < x?
(UNFV-12-I)
A) 〈–2; –1〉 B) 〈–1; 0〉 C) 〈1; 2〉
D) 〈0; 1〉 E) 〈–1; 1〉
7 Indica la gráfica que mejor representa a:
f(x) = ||x2 – 4|–3|; x ∈
(UNI-08-II)
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
8 Se arroja una pelota desde el suelo, y la altura,
que adquiere en metros, viene dada por y = – 5t2
+ 10t, siendo t el tiempo en segundos. ¿Cuál es
la altura máxima que alcanza?
A) 10 metros B)7,5 metros C) 5 metros
D) 2,5 metros E) 1 metro
9 En la figura se muestran dos parábolas de tal
manera que una es la simétrica de la otra con
respecto al eje X. ¿Cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I. p + c = 0
II. m > 0 y a < 0
III. g(–1) = –f(–1)
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
Y
X
g(x) = ax2 + bx + c
f(x) = mx2 + tx + p
D) Solo II y III
E) I, II y III
10 Si el gráfico representa la función:
f(x) = ax2 + bx + c, ¿cuál de las alternativas es
correcta?
A) a > 0
B) c < 0
C) b = 0
Y
X
D) b2 – 4ac = 0
E) b2 – 4ac < 0
Actividad 20
IV B
IM
ESTR
E
74
FUNCIONES ESPECIALES
En la figura se tiene la representación gráfica de 2 funciones. Observa que si se
traza una línea horizontal, esta corta a la función f(x) en dos puntos, pero a la
función g(x), en un solo punto. Esto se debe a que la función g(x) es una función
especial denominada función inyectiva.
funCión inyeCtiva
Se dice que una función es in-
yectiva o univalente, si cada
elemento del conjunto de lle-
gada es imagen de a lo más
un elemento del dominio de
la función. f es inyectiva
f
g No es inyectiva
g
Ejemplo 1:
La función f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
Solución:
Graficamos:
X
Y
f(x) = 2x + 1
funCión suryeCtiva
Se dice que una función es
suryectiva, sobreyectiva, epi-
yectiva o hiperyectiva, si el
rango de la función coincide
con el conjunto de llegada.
f es suryectiva g no es suryectiva
fDf DfRf Rf
g
Ejemplo 2:
Sea f: [1; 10] → [–1; 20]; tal que f(x) = 2x – 3. Determina si es suryectiva.
Solución:
Conjunto de llegada: [–1; 20] , Conjunto de partida: [1; 10] , luego:
1 ≤ x ≤ 10 ⇒ 2 ≤ 2x ≤ 20 ⇒ –1 ≤ 2x – 3 ≤ 7 ⇒ Ran(f)= [–1; 17]
El rango no coincide con el conjunto de llegada.
Rpta.: f no es suryectiva
f(x)
Una función es inyectiva si
al trazar líneas horizonta-
les, estas cortan en solo un
punto a su gráfica.
Ejemplo:
∴ ¡Es inyectiva!
RecuerdaRecuerda
X
f(x)
Y
21CA
PÍ
TU
LO
X
g(x)
Y
Y
X
–1 1 2
2
2
3 4
4
4
6
6
8
8
–2–3–4
¿Cuál de las
2 funciones
es inyectiva?
IV
B
IM
ES
TR
E
75
funCión BiyeCtiva
fDf RfSe dice que una función es biyectiva si es in-
yectiva y suryectiva, es decir, ambas a la vez.
Entre los elementos del dominio y los elementos
del rango de una función biyectiva hay una co-
rrespondencia biunívoca o de 1 a 1.
Ejemplo 3:
¿Cuál de los siguientes gráficos no corresponde a una función biyectiva?
a) b) c) d)
Solución:
El gráfico d) no corresponde a una función biyectiva, pues no es inyectiva.
FUNCIÓN INVERSA
Dada una función biyectiva f = {(x; f(x)) / x ∈ Dom(f)}
la función inversa de f, denotada por f–1 es la función:
f–1 = {(f(x); x) / x ∈ Dom(f)}
Dada una función f, el dominio de f–1 es el rango de f
y el rango de f–1 es el dominio de f.
Esto es posible solamente si la función es biyectiva.
f
1•
2•
3•
4•
•5
•6
•7
•8
f–1
5•
6•
7•
8•
•1
•2
•3
•4
Ejemplo 4:
Grafica la función inversa de la fun-
ción raíz cuadrada.
Solución:
x 0 1 4
x 0 1 2
x 0 1 2
x 0 1 4
Y
X
f–1(x) = x2
Edouard Goursat
(1858 - 1936)
En 1923 dio la definición
que aparece en la mayoría
de los libros de textos:
"Se dice que y es una fun-
ción de x si a cada valor de
x le corresponde un único
valor de y. Esta correspon-
dencia se indica mediante la
ecuación y = f(x)".
(http://aprender-mat.info/historyDetail.htm?id=Goursat)
Personaje Personaje
Problema 1:
Si f(x)= 2x – 3b, determina el valor de b
de manera que f(b + 1) = 3f-1 (b2); b∈Z
(CEPRE UNAC)
Solución:
Calculando f-1(x):
f[f -1(x)] = x, x∈D[f -1(x)]
2f -1(x) – 3b = x
f -1(x) = x + 3b
2 ; x∈D[f -1(x)]
Como: f(b + 1) = 3f -1 (b2)
2(b + 1) – 3b = 3
b2 + 3b
2
3b2 + 11b – 4 = 0
b = 1/3 ∨ b = – 4
Rpta.: b = 1/3 ∨ b = – 4
CAPÍTULO 21FUNCIONES ESPECIALES
0
Ten Presente
2
Notación:
Función inversa de f:
f–1 = f*
• Domf = Ran f–1 = Ranf*
• Ranf = Dom f–1 = Domf*
IV B
IM
ESTR
E
76
1 Indica el gráfico que representa una función in-
yectiva.
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
2 ¿Cuántas de las siguientes funciones son suryec-
tivas?
•1
•2
•3
•4
3•
6•
9•
1•
2•
3•
4•
•4
•7
•9
3•
4•
5•
4•
5•
6•
•2
•3
•5
f
h j
g
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
3 Identifica el gráfico que representa a una fun-
ción biyectiva.
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
E) Y
X
4 Halla la inversa de cada función:
a) f(x) = 4x + 3 b) g x
x
( ) = - -
3
4
A) f x
x
g x x- -= + = -1 13
4
3 12( ) ; ( )
B) f x
x
g x x- -= - = -1 13
4
12 3( ) ; ( )
C) f x
x
g x x- -= - = - -1 13
4
3 12( ) ; ( )
D) f x x g x
x- -= - - = +1 14 3
3
4( ) ; ( )
E) f x x g x
x- -= - = -1 14 3
3
4( ) ; ( )
5 Traza la gráfica de la función inversa a partir de
la gráfica de la función dada:
A) Y
X
B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
6 La función f: [1; 3] → [–13; 3], f(x) = ax2 + b, con
a < 0, es biyectiva. Determina el valor de a + b.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 13 E) 11
7 ¿Cuál de las siguientes funciones son inyectivas?
I. F: R → R/ F(x) = |x|+5
II. G: [0; 2] → R/ G(x) = x2 – 2
III. H: 〈–∞; 0〉 → R/H(x) = |x|– x + 1
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y III E) II y III
8 Sean A, B conjuntos no vacíos. Señala la al-
ternativa que representa la secuencia correc-
ta, después de determinar si la proposición es
verdadera(V) o falsa(F). (UNI-10-I)
I. Si (x; y), (x; z) ∈ f = {(x; y)/x ∈ A, y∈ B} ⊂ A×B
implica que y = z, entonces podemos decir
que f es una función de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f: A → B es inyectiva.
III. Toda función inyectiva f: A → B es sobreyectiva
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FFF
9 Sea la función real f(x) = x2 + 1 con x ≥ 0. Si g es la
función inversa de f, halla g(3). (UNMSM-13-II)
A) 3 2 B) 2 C) 2 3 D) 3 E) 3 1+
10 La gráfica de la función f se muestra a continuación.
X
Y
1
1
–1
0–1
–2
–2
–3
–4 2
2f
A)
X
Y
1
1
–1
0–1 2
g–1 B)
X
Y
1
–1
0–1 2
g–1
1
C)
X
Y
1
–1
0–1 2
g–1
1
D)
X
Y
1
1
–1
0–1
–2
2
g–1
E)
X
Y
1
1
–1
0–1
–2
2
g–1
Actividad 21
Y
X
Determina aproxi-
madamente la grá-
fica de la inversa de
la función
g(x) = |f(x – 2) + 1|,
–1 ≤ x ≤ 1.
(UNI-09-I)
IV
B
IM
ES
TR
E
77
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
2–2 4
g(x)
f(x)
–4
Y
X
2–2 0 4
g(x)
f(x)
–4
Y
X
f(x) + g(x)
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación o división de 2
funciones lo primero que se debe hacer es hallar los dominios de las funcio-
nes e intersecarlos, la intersección es el dominio de la función que resulta de
la operación que deseamos realizar.
Sean las funciones f(x) y g(x). Las operaciones se representan así:
Suma Multiplicación
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
Resta División
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
f
g
(x) =
f(x)
g(x)
; g(x) ≠ 0
Ejemplo 1:
Sean las funciones: f(x) = {(1; 2), (3; 4), (4; 5), (6; 7)},
g(x) = {(1; 3), (2; 4), (4; 6), (6; 9)}
Halla: a) (f + g)(x) b) (f – g)(x)
c) (f × g)(x) d) (f/g)(x)
Solución:
a) (f + g)(x) = {(1; 2+3), (4; 5+6), (6; 7+9)}
(f + g)(x) = {(1; 5), (4; 11), (6; 16)}
b) (f – g)(x) = {(1; 2 – 3), (4; 5 – 6), (6; 7 – 9)}
(f – g)(x) = {(1; –1), (4; –1), (6; –2)}
c) (f × g)(x) = {(1; 2 × 3), (4; 5 × 6), (6; 7 × 9)}
(f × g)(x) = {(1; 6), (4; 30), (6; 63)}
d)
f
g (x) = (1; 2 ÷ 3), (4; 5 ÷ 6), (6; 7 ÷ 9)
f
g (x) = 1; 2
3
, 4; 56 , 6; 79
ObservaciónObservación
No se puede dividir dos fun-
ciones en el punto donde la
función divisor es cero.
Sean:
f(x) = 2x + 3 x ∈ 〈–3; –1]
g(x) = x + 1 x ∈ 〈–2; 2〉
Gráficamente:
X
1–1–2–3
Y
g(x
)f(x)
•
f
g
(x) =
f(x)
g (x)
= 2x + 3
x + 1
• Obsérvese que en x = – 1,
g(x) = 0, entonces en este
punto no procede la divi-
sión, luego x ≠ 1
D
f
g
= Domf ∩ Domg
∧ x ≠ 1
∴ D
f
g
= 〈–2; –1〉 ∪ 〈–1; 1]
o D
f
g
= 〈–2; 1] – {–1}
22CA
PÍ
TU
LO
Reconocer la suma, la diferen-
cia, el producto, el cociente o la
composición de funciones es útil
porque permite descomponer
funciones complicadas en otras
más sencillas. En la figura se
observa la suma de las funciones
f(x) y g(x).
IV B
IM
ESTR
E
78
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean dos funciones f y g con dominios Df y Dg, respectivamente. Se define
la composición de funciones f con g y se denota; fog que se lee "f compuesta
con g", y con regla de correspondencia f(g(x)), aquella que está formada por
los elementos x del dominio de g, para los cuales g(x) cumple con las restric-
ciones a las que están sometidas los elementos del dominio de f.
En forma simbólica la composición fog se define como:
(fog)(x) = f(g(x))
Dom(fog) = {x/x ∈ Domg ∩ g(x) ∈ Domf}
Ejemplo 2:
Dadas las funciones:
F = {(1; 2), (3; 4), (4; 7), (5; 10), (6; 0)}
G = {(2; 1), (4; 4), (5; 6), (8; 3), (9; 11), (12; 11)}
Halla: FoG
Solución:
Graficamos las funciones empezando por la segunda, es decir por G y
luego F, entonces:
2
4
5
8
9
12
1
3
4
5
6
11
2
4
7
10
0
G F
Entonces la función compuesta es: (FoG)(x)= {(2; 2), (4; 7), (5; 0), (8; 4)}
Ten Presente
2
Sea: f = {(1; 3), (2; 7), (4; 6)}
g = {(4; 1), (0; 2), (2; 7)}
Graficando:
f
•1
•2
•7
•4
4•
0•
2•
•6
•3
•7
g
fog = {(4; 3), (0; 7)}
Problema 1:
Sean las funciones f(x) = ax + 5 y
g(x) = 3x + 2a, además
(f + g)(2) = 19. Halla el valor de a.
Solución:
Utilizando el álgebra de funcio-
nes, reemplacemos x = 2.
Entonces
f(x) + g(x) = (f + g)(x)
f(2) + g(2) = (f + g)(2)
(2a + 5) + (6 + 2a) = 19
2a + 5 + 6 + 2a = 19
4a + 11 = 194a = 8
a = 2
Problema 2:
Sean las funciones
f(x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 12 y
g(x) = x + 3; x∈R . Halla f(g(x)):
Solución:
Hallando el dominio de la fun-
ción compuesta.
x∈Domf ∧ g(x) ∈ dom(f)
x∈R ∧ g(x) ∈ [0; 12]
x∈R ∧ 0 ≤ g(x) ≤ 12
x∈R ∧ 0 ≤ x+3 ≤ 12
x∈R ∧ – 3 ≤ x ≤ 9
En consecuencia:
f(g(x)) = (g(x))2
f(g(x)) = (x + 3)2; –3 ≤ x ≤ 9
CAPÍTULO 22 ÁLGEBRA DE FUNCIONES
IV
B
IM
ES
TR
E
79
1 Analiza la veracidad (V) o la falsedad (F) de las
proposiciones:
I. f x
x
x
g x x( ) ( )= = -
2
1 y entonces f(x) = g(x)
II. f x x g x x( ) ( )= = y 2 entonces f(x) = g(x)
A) VV B) VF C) FF
D) FV E) Faltan datos
2 Sean las funciones:
F = {(–5; –2), (–1; 2), (3; 6), (7; 10)}
G = {(–5; 0), (–1; 4), (3; 8)}
Halla F + G.
A) {(–5; –2), (3; 14)} B) {(–1; 6), (3; 14)}
C) {(–5; 2), (–1; 4)} D) {(–5; –2), (1; 4), (2; 7)}
E) {(–5; –2), (–1; 6); (3; 14)}
3 Sean: G = {(–5; 0), (–3; 2), (–1; 4), (1; 6)}
H = {(–5; –2), (–3; 0), (–1; 2), (0; 3)}
Calcula: G
H
A) {(–1; 2), (1; 9)} B) {(–1; 6), (–3; 2)}
C) {(–5; –2), (–3; 0)} D) {(–5; 1), (–1; 2)}
E) {(–5; 0), (–1; 2)}
4 Dadas las funciones:
f(x) =
x–1; x + 1 < 0
x; x – 1 ≥ 0
; g(x) =
x; x < 0
2x + 1; x > 2
Calcula:
f
g
A)
1
12x
x; < - B)
x
x
x
2 1
2
+
>; C)
1
4
x
x; <
D)
1
2 1
2
x
x
+
<; E) A o B
5 Dadas las funciones:
F = {(6; 0), (5; 2), (4; 3), (1; 2), (0; 2), (–2; 0)}
G = {(5; 2), (4; 2), (3; 6), (2; 3), (0; 3), (–1; 0), (1; –2)}
Halla GoF.
A) {(1; 2), (2; 4), (4; 1), (3; 6)}
B) {(–2; 3), (0; 3), (1; 3), (4; 6), (5; 3), (6, 3)}
C) {(1; 5), (0; 3), (1; 3), (4; 6)}
D) {(2; 4), (1; 3), (3; 5), (2; 7)}
E) {(3; 1), (4; 2), (5; 2), (6; 0)}
6 Sean las funciones:
f = {(3; 5), (–2; 3), (7; 0), (4; 3), (0; 5)}
g = {(–5; 3), (–2; 1), (2; 9), (4; 0), (0; 7)}
Calcula la suma de los elementos del rango de
f 2 – g2.
(CEPRE UNI-09-II)
A) –10 B) –8 C) –7 D) –16 E) –4
7 Dadas las funciones:
f(x) = {(–1; –5), (0; –2), (1; 1), (2; 4)}
g(x) = {(–1; 1), (1; 4), (2; 7)}
Halla el producto de elementos del rango f – g.
A) 16 B) 40 C) 48
D) –54 E) –60
8 Sean f y g dos funciones definidas por:
f = {(–3; 4), (–1; 0), (2; 0), (3; 1)}
g = {(–4; –3), (–3; 0), (3; 3), (7; 5)}
Halla la suma de elementos del rango de (f 2 – g).
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
9 Dadas las funciones:
f = {(3; 1), (2; –3), (5; 0), (4; –4), (1; 1)}
g = {(–4; 3), (–2; 7), (0; 0), (1; 5), (2; 1)} y
h = {(1; –4), (3, –2), (5; 0), (7; 2)}
Determina la función compuesta fogoh.
(UNI-10-I)
A) {(1; 0), (5; 1)}
B) {(3; –3), (5; –4)}
C) {(1; 1), (7; 1)}
D) {(1; 1), (2; –3)}
E) {(3; –1), (7; 1)}
10 Sean f, g y h funciones reales de variable real.
Dadas las siguientes proposiciones:
I. ho(f + g) = hof + hog
II. Si Dom(f) = Dom(g) = R, entonces Dom(fog) = R
III. (fog)oh = fo(goh)
Señala la alternativa que presenta la secuencia
correcta después de determinar si la proposición
es verdadera (V) o falsa (F).
(UNI-13-I)
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FVF E) FFF
Actividad 22
IV B
IM
ESTR
E
80
LOGARITMOS
En la pizarra observamos dos ecuaciones exponenciales. Para determinar el
valor de la variable x podemos utilizar las propiedades de las ecuaciones o
también podemos utilizar los logaritmos.
10x = 1000
2x = 64
Logaritmo.- Dado un número a > 0 y a ≠
1, el logaritmo de N > 0, en base a, es el ex-
ponente al que hay que elevar a para que
resulte N.
logaN = x ⇔ ax = N
a > 0; a ≠ 1, N > 0
ProPiedades de los logaritmos
1. loga(AB) = logaA + logaB 2. loga
A
B = logaA – logaB
3. log logax
y
a
y
x
N N= 4. Cambio de base:
Caso particular logaN =
logbN
logba
=
logab
logNb
log log loga am
m
am
mN N N= =
La propiedad del cambio de base da lugar a las siguientes consecuencias:
Regla de cadena Regla del intercambio
logax logxb logby logyc = logac
alogbc = clogba
• Logaritmo de 1:
loga1 = 0, ∀ a > 0 ∧ a ≠ 1
• Logaritmo de la misma base
logaa = 1, ∀ a > 0 ∧ a ≠ 1
NotaNota
Identidad fundamental:
logaN = x ⇒ ax = N
(1) (2)
(1) en (2):
alogaN = N
∀ a > 0 ∧ a ≠ 1
N > 0
• 5log57 = 7 • MlogM6 = 6
Ten Presente
2
Ejemplo 2:
Si log32 = n, calcula
log360 – log310
Solución:
log360 – log310 = log3
60
10
= log36 = log3(3⋅2)
= log33 + log32
= 1 + n Rpta.: 1 + n
Ejemplo 1:
1. Log264 = x ⇔ 64 = 2x ⇒ 26 = 2x ⇔ x = 6
Luego: Log264 = 6
2. Log1
3
729 = x ⇔ 729 = 1
3
x
⇔ 36 = 3–x ⇔ x = – 6
Luego: Log1
3
729 = – 6
23CA
PÍ
TU
LO
LOGARITMO DE UN NÚMERO
Resuelve las
ecuaciones
IV
B
IM
ES
TR
E
81
Ejemplo 3:
Si log75 = p, calcula:
log35 · log23 · log72
Solución:
Ordenamos el producto de factores, luego
aplicamos la regla de la cadena:
log72 · log23 · log35 = log75 = p Rpta.: p
antilogaritmo y Cologaritmo
ANTILOGARITMO
Es la operación inversa al
logaritmo.
antilogax = ax
a > 0, a ≠ 1, x ∈
Propiedades:
antiloga(logaN) = N
loga(antilogaN) = N
COLOGARITMO
Es el logaritmo de la inversa de
un número.
co log log logb b bx
x
x=
= -1
b > 0 , b ≠ 1, x ∈ R+
Consecuencias
cologbx = –logbx
cologbx + logbx = 0
Ejemplo 4:
Simplifica la expresión: L = colog29 + log481 + antilog3 colog32
Solución:
L anti= - + +
log log log log2 4 3 39 81 1
2
L = - + + =log log2 29 9
1
2
1
2 Rpta.: 1/2
Sistemas de logaritmos
Sistema de logaritmos deci-
males, vulgar o de Briggs.
Es el que usa la base 10. Co-
múnmente en la notación no se
escribe la base.
log10N = logN ; N > 0
log150 = 2,176
característica
mantisa
log , ,
1
40
1 602 2 0 398
= - = - +
característica
mantisa
Es válida la notación:
–2 + 0,398 = 2,398
No se debe confundir:
–2,398 ≠ 2,398
Ten Presente
2
Problema 1:
La expresión:
antilog 1
3
Loga + 1
2
Logb – 2Logc
es igual a:
(CEPRE CALLAO)
Solución:
antilog 1
3
Loga + Log b – Logc2
antilog 1
3
× Log ba
c2
antilog Log
ba
c2
3 =
ba
c2
3
Rpta.: ba
c2
3
Problema 2:
Si m = log53 , log52 = n,
halla log372
(CEPRE UNMSM 12-II)
Solución:
i) log372 = log3(8 · 9) = log38 + log39 = 3log32 + 2
ii) log32 =
log52
log53
= n
m
⇒ log372 = 3n
m +2
Rpta.: 3n
m +2
CAPÍTULO 23LOGARITMOS
IV B
IM
ESTR
E
82
Actividad 23
1 Sea: log2 = a y log3 = b.
Simplifica:
E =
+ × × +
+
log log log log
log log
2 28 2 27 4 9
9 8
(UNI-09-II)
A) 3a + 2b B) 2a + b C) 3a + b
D) 2a + 3b E) a + 2b
2 Resuelve:
logx + log(x + 3) = 2 log(x + 1)
(UNFV-11-II)
A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 3
3 Si log23 = n, halla log36243 en función de n.
(UNALM-06-II)
A)
n
n + 1
B)
5
1n +
C)
5
1n -
D)
5
2 1
n
n( )+
E)
5
2 1
n
n +
4 Halla el valor de x en la siguiente ecuación:
logxlogx – logx – 6 = 0.
Da como respuesta la suma de las soluciones:
(UNI 11-II)
A) 10,01 B) 99,99 C) 100,01
D) 999,99 E) 1000,01
5 Simplifica: log8 antilog4 colog24.
(CEPRE UNMSM 09-II)
A) 2 B) –3 C) _ 4
3
D) _ 3
4
E) 3
2
6 Si 2(4x) – 3(2x) – 20 = 0, halla el valor de log2(4
x).
(UNMSM 11-II)
A) 2 B) 4 C) 3 D) 8 E) 16
7 Resuelve:
log( )
log( )
35
5
3
3-
-
=
x
x
(UNALM 10-II)
A) 4,5 B) 5,5 C) 2 D) 3 E) C o D
8 Halla x en: 1
1
5
+
+
=
log
log
a
x
x
a
(UNALM 12-II)
A) a B) a3 C) a5 D) 2a E) 5a
9 Halla el valor de:
M
Ln
=
+
+
+
+
+
+ -1
1 10
1
1 30
1
1 3
1
1
3 3log ( ) ( ) log( ) log ( )e e e
donde "e" es la base de logaritmo neperiano.
(UNI 11-II)
A)
log( )3
10
B)
Ln( )3
10
C)
Ln()3
3
D) Ln(3) E) 1
10 Si el par de números reales (x; y) es solución del
sistema:
x y
x y
⋅ =
+ =
3
3
23 9log log
entonces el valor de x + y es: (UNAC 12-II)
A)
5
9
B)
7
3
C)
25
3
D)
28
3
E)
7
9
Problema 3:
Resuelve la ecuación:
Log x + Log x = – 1
2
(CEPRE CALLAO)
Solución:
Logx = a ⇒ a + 1
2
a = – 1
2
2 a + a = – 1
2 a = – a – 1
Elevando al cuadrado:
4a = a2 + 2a + 1
0 = a2 – 2a + 1
a = 1 → Logx = 1 ⇒ x = 10 (No verifica)
Entonces la ecuación es incompatible (no
tiene solución).
Rpta.: Incompatible
CAPÍTULO 23 LOGARITMOS
IV
B
IM
ES
TR
E
83
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y
LOGARÍTMICA
Las gráficas mostradas en la figura corresponden a funciones exponenciales.
Observa que de acuerdo al valor que tenga la base del logaritmo, la gráfica
es creciente o decreciente.
Función exponencial:
Dado un número real a, tal que 0 < a ≠ 1; se llama función exponencial de
base a, la función que asocia a cada x real el número ax.
y = f(x) = ax
f = {(x, y)/y = ax ; a > 0 ∧ a ≠ 1} Domf = R ∧ Ranf = 〈0; +∞〉
Y
X
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a < 1
Y
X
Ejemplo 1:
Graficaremos: y = f(x) = 2x
Solución:
1
1–1–2–3–4
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
y
x
x y = 2x
– 3 1/8
– 2 1/4
– 1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Dado un número real b (b> 0; b ≠ 1) llamamos función logarítmica de base b a
la función de f de R+ en R que asocia a cada x el número de Logbx.
En símbolos: f: R+ → R | y = f(x) = logb(x)
f = {(x, y)/y = logax; a > 0, a ≠ 1} Domf = 〈0; +∞〉, Ranf = R
y = logax; a > 1
y = logax; 0 < a < 1
Y
X
1
1
2
3
4
0–1–2–3
Y
X
1
1
2
3
4
y = 2x
0–1–2–3
John Napier (Neper)
Los logaritmos fueron
inventados alrededor de
1590 por John Napier (1550
- 1617) y Jobst Burgi (1552
- 1632), de manera indepen-
diente.
Personaje Personaje
24CA
PÍ
TU
LO
Gráfico comparativo de las
funciones exponenciales y
logarítmicas.
y = ax
a > 1
y = logax
a > 1
y = logax
0 < a < 1
y = x
y = ax
0 < a < 1
1
1
Los gráficos de:
y = ax y y = logax
son simétricos respecto a la
recta y = x.
Interesante¡!
Y Y
X X
IV B
IM
ESTR
E
84
1 El gráfico de f(x) = 3x es:
A) B) C)
D) E)
2 El gráfico de f(x) = log1/3x es:
A) B) C)
D) E)
3 Calcula el rango de la función:
f(x) = (0,5)x ; x ∈ – 3
2
; 1
2
A) – 3
2
; 8 B) [2; 6] C) [0,71; 2,83]
D) [1; 2,83] E) [0,5; 2,5]
4 Del gráfico se puede afirmar que:
–1 a
8
f(x) = 2x
I. Rf = [–1; 8〉
II. Rg = – 8
3
; 8〉
III. Df = [–1; 8〉
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y II E) II y III
1
y
x 3
y
x
3
x
y
3
y
x
y
x
3
y
x
3
y
x 3
x
y
1
3
x
y
1
x
y
5 Una persona se toma una pastilla de 10
mg, y luego de t horas tiene en el cuerpo:
A(t) = 10(0,8)t. ¿Cuántos mg de la pastilla elimi-
nó luego de 2 horas? (UNAM-11-I)
A) 6,4 B) 3,6 C) 2,4 D) 1,2 E) 1,64
6 Halla los valores de x que satisfacen la ecuación:
5logx(x2 – 5x + 15) = 3logx25 (UNMSM-11-I)
A) 2 y 3 B) 2 y 4 C) 3 y 5 D) 3 y 4 E) 2 y 5
7 La figura es un esbozo del gráfico de la función
definida por y = log(a + b)(x – b). El valor de a/b es:
(UNAC-11-I)
A) 2
B) 5
C) 4
Y
X
2
3aa
D) 3
E) 6
8 Si f(x) = 2x + 2–x , g(x) = 2x – 2–x y x > 0
satisfacen la igualdad f(x)⋅g(x) = 3
2
entonces log2x es igual a: (UNAC-10-I)
A) – 1/2 B) 1/3 C) 1/2 D) –1 E) 2
9 Determina el conjunto solución de la inecua-
ción: 4x – 4–x < 1 (UNI-08-II)
A) 0 1 5
2
4; log +
B) 〈–∞; 8〉
C) –∞ +
, log4
1 5
2
D) �∞
−
;
1 5
2
E) �∞ −
; log4
5 1
2
10 Luego de resolver la inecuación: 3
31- <x
x
se obtiene que x pertenece al intervalo:
(UNI-12-II)
A) 〈0; ∞〉 B) 〈1; ∞〉 C) 〈2; ∞〉
D) 〈3; ∞〉 E) R/{0}
Actividad 24
Problema 1:
Calcula el rango de:
f(x) = 3x para x ∈ 〈0; 4]
Solución:
Como la base es mayor que 1,
Ranf = 〈1; 81]
• Si x = 0: f(0) = 30 = 1
• Si x = 4: f(4) = 34 = 81 la función es creciente:
Rpta.: 〈1; 81]
CAPÍTULO 24 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
IV
B
IM
ES
TR
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