Relatório Final - Física Experimental I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Física Experimental I
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS
JOÃO PESSOA
2022
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVO GERAL
● Demonstrar e entender a propagação de ondas numa corda, bem como o estabelecimento de
ondas estacionárias.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
● Aplicar os conhecimentos adquiridos em sala de aula;
● Determinar a densidade linear de massa de um cordão;
2. MATERIAIS UTILIZADOS
Para a realização do experimento foram utilizados os materiais listados abaixo e apresentados
nas Figuras 1 e 2:
- Gerador de ondas
- Cordões
- Roldana
- Trena (resolução de 0,1 mm)
- Balança (resolução de 0,01 g)
- Pesos e bandeja
Figura 1 e 2: Materiais utilizados no experimento
3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
O experimento consiste na utilização de um aparelho gerador de ondas de frequência fixa
(120hz) sobre uma mesa, no qual amarra-se um barbante, onde as ondas irão se propagar com o
funcionamento do aparelho. Para garantir rigidez ao barbante e analisar a diferença das ondas em
função da tensão exercida sobre o fio, foi amarrada uma bandeja metálica ao final do barbante (na
posição vertical), após uma roldana, para garantir seu livre deslizamento. Nesta bandeja, foram
colocados pesos de 50g, de maneira cumulativa, de forma que a massa total responsável por exercer
tensão sobre o fio fosse de 60g, 110g, 160g e 210g (a bandeja metálica tem massa de 10g). Este
procedimento foi realizado num barbante verde e num barbante vermelho, de diferentes comprimentos
e massas.
Amarrado o peso no barbante, e posicionado-o apoiado na roldana, ligou-se o aparelho
gerador de ondas. Nesta etapa do experimento, o procedimento consistiu em aumentar o comprimento
do barbante (L) que estava sob vibração, afastando o aparelho da roldana, de forma a encontrar a
distância em que a vibração resulta em ondas estacionárias. Este procedimento foi feito para encontrar
ondas com 1 ventre (n=1), 2 ventres (n=2) e 3 ventres (n=3), sendo anotados os valores de L para cada
uma destas interações. Como resultado, obteve-se tabelas de relação entre a quantidade de cristas da
onda (n) e o tamanho da corda (L), para cada tensão aplicada, sendo que este procedimento foi feito
para os dois diferentes barbantes.
A fase final do experimento consistiu na medição da massa e do comprimento de cada
barbante, com a utilização de uma balança analógica de resolução de 0,01g e de uma fita métrica com
resolução de 0,1cm, respectivamente.
A partir dos dados coletados, o experimento solicita que sejam calculados
● Densidade linear (μ) dos barbantes
● Comprimento de onda ( ) para n =1, n=2 e n=3, para cada peso e cada barbanteλ
● Comprimento de onda médio para cada peso e cada barbante e seus erros totais (Erro
estatístico + Erro instrumental)
● Tensão (T) aplicada em cada corda por cada peso
Além disso, devem ser construídos os gráficos da relação do comprimento de onda médio
com a tensão ( x T) para cada corda, os quais serão linearizados a partir dos métodos:λ
● Mínimos quadrados
● Substituição de variáveis, com aplicação da operação logarítmica de base 10 na
expressão λ=k𝑇𝑏
4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE
Com o auxílio da balança encontramos um valor de massa (m) para a corda verde igual a 0,52
± 0,01g e utilizando a trena obtivemos um comprimento (L) total da corda de 348 ± 0,05cm. Variando
os valores das massas (m), tensionando a corda, e do seu comprimento a fim de formar 1, 2 e 3 ondas
estacionárias (n) respectivamente na mesma obtivemos os seguintes valores apresentados na Tabela 1
a seguir.
Tabela 1 - Dados obtidos experimentalmente para a corda verde
m: 60g m: 110g m:160g m:210g
n L(cm) n L(cm) n L(cm) n L(cm)
1 25,4 ± 0,05 1 34,5 ± 0,05 1 42,8 ± 0,05 1 48,3 ± 0,05
2 52,5 ± 0,05 2 71 ± 0,05 2 85,5 ± 0,05 2 98,5 ± 0,05
3 78,5 ± 0,05 3 107,5 ± 0,05 3 130 ± 0,05 3 149,1 ± 0,05
Repetindo o mesmo procedimento realizado para a corda verde obtivemos um valor de massa
(m) para a corda vermelha igual a 1,17 ± 0,01g e um comprimento (L) total de 206 ± 0,05 cm. Os
demais dados obtidos para a corda vermelha estão apresentados na Tabela 2 a seguir.
Tabela 2 - Dados obtidos experimentalmente para a corda vermelha
m: 60g m: 110g m:160g m:210g
n L(cm) n L(cm) n L(cm) n L(cm)
1 13,2 ± 0,05 1 18,2 ± 0,05 1 21,9 ± 0,05 1 25 ± 0,05
2 27,6 ± 0,05 2 36,7 ± 0,05 2 42,6 ± 0,05 2 50,4 ± 0,05
3 40,5 ± 0,05 3 54,2 ± 0,05 3 65,3 ± 0,05 3 76,5 ± 0,05
5. RESULTADOS
A partir dos valores obtidos experimentalmente foi possível, por meio de medição indireta,
obter primeiramente a densidade linear(μ) e sua incerteza através das seguintes equações:
(1) μ = 𝑚
𝐿
(2) ∆µ2 = ( მµ
მ𝑚 )
2
∆𝑚2 + ( მµ
მ𝐿 )
2
∆𝐿2
- Para a corda verde temos que μ = = = 0,00015 e μ = 0,2. Então0,52 ± 0,01𝑔
 348 ± 0,05𝑐𝑚 0,00052 ± 0,01𝑘𝑔
 3,48 ± 0,05𝑚 ∆
0,00015 ± 0,2 .µ
𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒
= 𝑘𝑔
𝑚
- Para a corda vermelha temos que μ = = = 0,00057 e μ = 0,1.1,17 ± 0,01𝑔
 206 ± 0,05 𝑐𝑚 0.00117 ± 0,01𝑘𝑔
 2,06 ± 0,05 𝑚 ∆
Então 0,00057 ± 0,1 .µ
𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎
= 𝑘𝑔
𝑚
A seguir obteremos os valores de comprimento de onda( associados a cada modo(n),λ) 
utilizando a seguinte equação:
(3) λ
𝑛
= 2𝐿
𝑛
- Para a corda verde temos que:
em m:60g → = 50,8 = 0,51mλ
1
= 2×25,4
1
→ = 52,5 = 0,52mλ
2
= 2×52,5
2
→ = 52,3 = 0,52mλ
3
= 2×78,5
3
em m: 110g → = 69 = 0,69mλ
1
= 2×34,5
1
→ = 71 = 0,71mλ
2
= 2×71
2
→ = 71,5 = 0,71mλ
3
= 2×107,5
3
em m: 160g → = 85,6 = 0,86mλ
1
= 2×42,8
1
→ = 85,5 = 0,85mλ
2
= 2×85,5
2
→ = 86,7 = 0,87mλ
3
= 2×130
3
em m: 210g → = 96,6 = 0,97mλ
1
= 2×48,3
1
→ = 98,5 = 0,98mλ
2
= 2×98,5
2
→ = 99,4 = 0,99mλ
3
= 2×149,1
3
- Para a corda vermelha temos que:
em m: 60g → = 26,4 = 0,26mλ
1
= 2×13,2
1
→ = 27,6 = 0,28mλ
2
= 2×27,6
2
→ = 27 = 0,27mλ
3
= 2×40,5
3
em m: 110g → = 36,4 = 0,36mλ
1
= 2×18,2
1
→ = 36,7 = 0,37mλ
2
= 2×36,7
2
→ = 36,1 = 0,36mλ
3
= 2×54,2
3
em m: 160g → = 43,8 = 0,44mλ
1
= 2×21,9
1
→ = 42,6 = 0,43mλ
2
= 2×42,6
2
→ = 43,5 = 0,43mλ
3
= 2×65,3
3
em pm 210g → = 50 = 0,50mλ
1
= 2×25
1
→ = 50,4 = 0,50mλ
2
= 2×50,4
2
→ = 51 = 0,51mλ
3
= 2×76,5
3
Para calcularmos o comprimento de onda médio aplicamos os valores já encontrados
anteriormente na equação a seguir:
(4) 𝑋 = 𝑥1+𝑥2+...𝑥𝑛
𝑛
Os valores obtidos para as cordas verde e vermelha estão apresentados respectivamente nas
Tabela 3 e 4 a seguir:
Tabela 3 - valores de comprimento médio da onda para a corda verde
m: 60g m: 110g m: 160g m: 210g
Média 0,52m Média 0,70m Média 0,86m Média 0,98m
Tabela 4 - valores de comprimento médio da onda para a corda vermelha
m: 60g m: 110g m:160g m: 210g
Média 0,27m Média 0,36m Média 0,43m Média 0,50m
Logo após, calculamos o desvio padrão para ambas as dimensões através da seguinte equação:
Dp = Σ (𝑥−𝑥𝑖)2
𝑛−1
Tendo encontrado o desvio padrão do comprimento, é necessário calcular o erro estatístico
por meio da seguinte equação:
𝐸
𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
= σ
𝑛
A partir do valor de erro estatístico obtido é possível encontrar o erro total por meio da
seguinte equação:
𝐸
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
= (𝐸
𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
)2 + (𝐸
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
)2
Tabela 5 - valores de comprimento médio da onda e sua incerteza para a corda verde
m: 60g m: 110g m: 160g m: 210g
Média 0,52m Média 0,70m Média 0,86m Média 0,98m
E∆ 0,15 E∆ 0,20 E∆ 0,25 E∆ 0,29
valor 0,52±0,15 valor 0,70±0,20 valor 0,86±0,25 valor 0,98±0,29
Tabela 6 - comprimento médio da onda e sua incerteza para a corda vermelha
m: 60g m: 110g m: 160g m: 210g
Média 0,27m Média 0,36m Média 0,43m Média 0,50m
E∆ 0,07 E∆ 0,10 E∆ 0,12 E∆ 0,14
valor 0,27±0,07 valor 0,36±0,10 valor 0,43±0,12 valor 0,50±0,14
Para calcularmos a tensão à qual a corda está submetida, usaremos a equação:
(5) T = m.g
em p: 60g → 0,06 kg: T = 0,06 * 9,81 = 0,5886 N
em p: 110 g → 0,11 kg : T = 0,11 * 9,81 = 1,0791 N
em p: 160 g → 0,16 kg : T = 0,16 * 9,81 = 1,5696 N
em p: 210 g → 0,21 kg : T = 0,21 * 9,81 = 2,0601 N
As tabelas 7 e 8 a seguir apresentam todos os resultadosobtidos nas etapas anteriores tanto
para a corda verde quanto para a vermelha.
Tabela 7 - Resultados obtidos para a corda verde
CORDA VERDE
MASSA (m) 60g 110g 160g 210g
TENSÃO 0,59N 1,08N 1,57N 2,06N
COMPRIMENTO DE
ONDA ( MÉDIOλ) 
0,52±0,15 0,70±0,20 0,86±0,25 0,98±0,29
Tabela 8 - Resultados obtidos para a corda vermelha
CORDA VERMELHA
MASSA (m) 60g 110g 160g 210g
TENSÃO 0,59N 1,08N 1,57N 2,06N
COMPRIMENTO DE
ONDA ( MÉDIOλ) 
0,27±0,07 0,36±0,10 0,43±0,12 0,50±0,14
A seguir estão os gráficos de em função de T para as cordas verde e vermelha.λ
Figura 3 - Gráfico de em função de T para a corda verdeλ
Figura 4 - Gráfico de em função de T para a corda vermelhaλ
A partir do método de mínimos quadrados foi realizado o ajuste linear tanto para o
gráfico da corda verde quanto para o da corda vermelha. As figuras 5, 6, 7 e 8 a seguir
demonstram isso.
Figuras 5 e 6 - Ajuste linear para o gráfico da corda verde
Figuras 7 e 8 - Ajuste linear para o gráfico da corda vermelha
Outra forma de linearizar a equação é assumindo a relação λ=k ,λ = 1
𝑓 𝑥 ( 𝑇
µ )1/2 𝑇𝑏
de forma que
● k = e,1
𝑓 𝑥 µ1/2 
● b = ½, ou 0,5.
Em seguida, aplica-se a operação matemática “log” em ambos os lados da equação,
resultando na seguinte expressão:
log (λ(T)) = b * log (T) + log (k)
Expressando esta equação na forma de Y’ = a X’ + b, temos que:
● Y’ = log λ
● a = b = 0,5
● X’ = log T
● b = log k = log ( )1
𝑓 𝑥 µ1/2 
- Assim, têm-se a equação para linearizar os dados obtidos para a corda verde, a partir
dos logarítmos:
Y’ = 0,5X’ +1,74
- linearização para os dados obtidos para a corda vermelha, a partir dos logarítmos:
Y’ = 0,5X’ +1,16
6. DISCUSSÃO
1 - Encostando lateralmente uma régua na corda que vibra em ressonância, o que acontece ao
tocarmos um nó? E ao tocarmos um antinó? Explique.
R: Caso a régua seja encostada no nó, a formação de ondas continuará ocorrendo do
aparelho vibratório até a régua, visto que ela estará exatamente na distância em que ocorre a
formação da onda. Mas, em contrapartida, se a régua for encostada num anti-nó, ela
interromperá a vibração da corda, já que modificará o comprimento da corda para um
determinado L em que não há formação de ondas estacionárias.
2 – Para uma dada tensão compare a amplitude de dois modos de vibração diferentes. O que
acontece com a amplitude ao aumentarmos o modo de vibração? Explique.
R: Quando o modo de vibração do fio pasou de n=1 para n=2, por exemplo, foi
percebida, visualmente, uma diminuição da amplitude das ondas geradas, o que aconteceu
novamente ao passar de n=2 para n=3. Como a amplitude representa a energia que a onda
possui, é justificável que o aumento do número de nós reduza seu valor, visto que o aparelho
vibratório passará a utilizar a mesma potência para gerar ondas num comprimento maior de
fio (ou seja, vibrar uma quantidade maior de massa).
3 – Compare a amplitude de um determinado modo para duas tensões diferentes. O que
acontece com a amplitude ao aumentarmos a tensão no cordão? Explique.
R: O aumento da tensão na corda resultou num aumento do comprimento de onda,
para uma mesma vibração. Como o aparelho vibratório introduz uma energia fixa no sistema
(potência fixa), o aumento do comprimento de onda resultará na redução da amplitude, como
explicado na questão anterior.
4 - Se o sistema estiver em ressonância com a corda vibrando com um único ventre, ele ainda
estará em ressonância se a tensão for dividida por um fator quatro? Tente realizar essa
experiência, tire suas conclusões e explique.
R: Para responder esta questão, serão utilizados estes dados experimentais:
- Para a corda verde temos que:
em m:60g → = 50,8 = 0,51mλ
1
= 2×25,4
1
→ = 52,5 = 0,52mλ
2
= 2×52,5
2
em m: 210g → = 96,6 = 0,97mλ
1
= 2×48,3
1
Temos que 60g é aproximadamente 4x menor que 210g (240/4=60), com um erro de
30 gramas. Percebe-se que no modo de vibração 1, para m=210g, o comprimento do fio é de
L=48,3m, enquanto para m=60g, L = 24,4m, para o mesmo modo. Entretanto, para m=60g, o
modo de vibração 2 apresenta L =52,5m, valor próximo de 48,3m, considerando que há um
erro de 30 gramas na massa.
A partir deste raciocínio, é possível inferir que se a tensão for dividida por um fator
quatro, com a corda vibrando com um único ventre, ela passará a vibrar em dois ventres, pois
a posição da vibração em dois ventres para m=60g foi aproximadamente a mesma da
vibração em um ventre para m=210g, massa aproximadamente 4 vezes maior que 60g.
7. CONCLUSÃO
Inicialmente, conclui-se que os métodos estatísticos e de metrologia são utilizados
pela física como instrumentos para medir e filtrar os dados obtidos experimentalmente, de
forma a reduzir o erro humano e fornecer informações que se comportam conforme as
equações previstas por formidáveis físicos dos séculos passados.
Entretanto, a vivência da prática experimental trouxe novos questionamentos acerca
das ondas estacionárias, como a relação do comprimento de onda com sua amplitude, com a
quantidade de nós e com a tração exercida pela corda. Além disso, pensa-se também sobre as
vibrações das cordas dos postes, cercas e instrumentos musicais e, como o estudo
experimental e prático das ondas estacionárias traz uma ampliação da percepção deste
fenômeno físico e a curiosidade se é possível perceber visualmente este fenômeno no dia a
dia.
Os instrumentos musicais de cordas modificam a frequência do som conforme se
modifica a tração da corda, a partir do aperto da tarracha. Neste experimento, a modificação
da tração ocorre de outra maneira, com o aumento dos pesos e, ao invés do som ser analisado,
como nos instrumentos musicais, é analisada a quantidade de nós da corda e seus
comprimentos de onda.