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MAT 01063 � Fundamentos de Aritmética 2024/1
Lista de Exercícios 4
1. Para cada par de números naturais a e b abaixo, determine MDC(a, b), MMC(a, b)
e escreva o MDC(a, b) como combinação linear de a e b.
a) a = 637, b = 3887 b) a = 648, b = 1218
c) a = 551, b = 874 d) a = 7325, b = 8485.
2. Dado n ∈ N, mostre que os pares de números abaixo são primos entre si.
a) a = n, b = 2n+1 b) a = n+1, b = n2+n+1 c) a = 2n+1, b = 9n+4
d) a = n! + 1, b = (n+ 1)! + 1 (para n 6= 0).
3. Dados a, b ∈ N não simultaneamente nulos, mostre que MDC(a, a+ b) divide b.
4. Dados a, b, c ∈ N, com pelo menos dois deles não nulos, mostre que:
a) se MDC(a, b) = 1, a | c e b | c, então a · b | c.
b) se MDC(a, b) = 1, então MDC(a · c, b) = MDC(c, b).
c) se MDC(a, b) = 1, então MDC(an, bm) = 1, ∀m,n ∈ N.
d) MDC(a2 + 1, a+ 1) é 1 (se a é par) ou 2 (se a é ímpar).
5. Usando o item (d) da questão 4, calcule MMC(a2 + 1, a+ 1) para a ∈ N.
6. Sejam a, b, α, β ∈ N tais que MDC(a, b) = α · a− β · b. Mostre que
MDC(α, β) = 1.
7. Dados a, b, n ∈ N, com n 6= 0, mostre que MMC(na, nb) = n·MMC(a, b).
8. Seja m um múltiplo comum de a e b. Mostre que
m = MMC(a, b) ⇐⇒ MDC
(m
a
,
m
b
)
= 1.