integrais-substituicao-simples (1)

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Integrais Inde�nidas por Substituição Simples
20 Exemplos Resolvidos
Exemplo 1∫
2x(x2 + 1)5 dx
Seja u = x2 + 1, então du = 2x dx. Assim:∫
2x(x2 + 1)5 dx =
∫
u5 du =
u6
6
+ C =
(x2 + 1)6
6
+ C
Exemplo 2∫
2x
x2 + 4
dx
Seja u = x2 + 4, então du = 2x dx. Assim:∫
2x
x2 + 4
dx =
∫
du
u
= ln |u|+ C = ln(x2 + 4) + C
Exemplo 3∫
sin(3x) dx
Seja u = 3x, então du = 3 dx ⇒ dx =
du
3
. Assim:∫
sin(3x) dx =
1
3
∫
sin(u) du = −1
3
cos(u) + C = −1
3
cos(3x) + C
Exemplo 4∫
x ex
2
dx
Seja u = x2, então du = 2x dx ⇒ x dx =
du
2
. Assim:∫
x ex
2
dx =
1
2
∫
eu du =
1
2
eu + C =
1
2
ex
2
+ C
1
Exemplo 5∫
cos4(x) sin(x) dx
Seja u = cos(x), então du = − sin(x) dx ⇒ sin(x) dx = −du. Assim:∫
cos4(x) sin(x) dx = −
∫
u4 du = −u5
5
+ C = −cos5(x)
5
+ C
Exemplo 6
∫
ln(x)
x
dx
Seja u = ln(x), então du =
1
x
dx. Assim:
∫
ln(x)
x
dx =
∫
u du =
u2
2
+ C =
(lnx)2
2
+ C
Exemplo 7∫
(2x− 5)10 dx
Seja u = 2x− 5, então du = 2 dx ⇒ dx =
du
2
. Assim:
∫
(2x− 5)10 dx =
1
2
∫
u10 du =
1
2
· u
11
11
+ C =
(2x− 5)11
22
+ C
Exemplo 8∫ √
3x+ 1 dx
Seja u = 3x+ 1, então du = 3 dx ⇒ dx =
du
3
. Assim:∫ √
3x+ 1 dx =
1
3
∫
u1/2 du =
1
3
· 2
3
u3/2 + C =
2
9
(3x+ 1)3/2 + C
Exemplo 9
∫
e1/x
x2
dx
2
Seja u =
1
x
, então du = − 1
x2
dx ⇒ 1
x2
dx = −du. Assim:
∫
e1/x
x2
dx = −
∫
eu du = −eu + C = −e1/x + C
Exemplo 10∫
tan(x) dx
Reescrevendo tan(x) =
sin(x)
cos(x)
. Seja u = cos(x), então du = − sin(x) dx. Assim:
∫
tan(x) dx =
∫
sin(x)
cos(x)
dx = −
∫
du
u
= − ln |u|+ C = − ln | cos(x)|+ C
Exemplo 11∫
x2(x3 + 4)7 dx
Seja u = x3 + 4, então du = 3x2 dx ⇒ x2 dx =
du
3
. Assim:
∫
x2(x3 + 4)7 dx =
1
3
∫
u7 du =
1
3
· u
8
8
+ C =
(x3 + 4)8
24
+ C
Exemplo 12∫
sec2(x) etan(x) dx
Seja u = tan(x), então du = sec2(x) dx. Assim:∫
sec2(x) etan(x) dx =
∫
eu du = eu + C = etan(x) + C
Exemplo 13∫
x√
x2 + 9
dx
Seja u = x2 + 9, então du = 2x dx ⇒ x dx =
du
2
. Assim:∫
x√
x2 + 9
dx =
1
2
∫
u−1/2 du =
1
2
· 2u1/2 + C =
√
x2 + 9 + C
3
Exemplo 14∫
cos(x) esin(x) dx
Seja u = sin(x), então du = cos(x) dx. Assim:∫
cos(x) esin(x) dx =
∫
eu du = eu + C = esin(x) + C
Exemplo 15
∫
(lnx)3
x
dx
Seja u = ln(x), então du =
1
x
dx. Assim:
∫
(lnx)3
x
dx =
∫
u3 du =
u4
4
+ C =
(lnx)4
4
+ C
Exemplo 16∫
sin5(x) cos(x) dx
Seja u = sin(x), então du = cos(x) dx. Assim:∫
sin5(x) cos(x) dx =
∫
u5 du =
u6
6
+ C =
sin6(x)
6
+ C
Exemplo 17∫
1
x ln(x)
dx
Seja u = ln(x), então du =
1
x
dx. Assim:∫
1
x ln(x)
dx =
∫
du
u
= ln |u|+ C = ln | ln(x)|+ C
Exemplo 18∫
(4x+ 1)e2x
2+x dx
Seja u = 2x2 + x, então du = (4x+ 1) dx. Assim:∫
(4x+ 1)e2x
2+x dx =
∫
eu du = eu + C = e2x
2+x + C
4
Exemplo 19∫
ex
1 + ex
dx
Seja u = 1 + ex, então du = ex dx. Assim:∫
ex
1 + ex
dx =
∫
du
u
= ln |u|+ C = ln(1 + ex) + C
Exemplo 20∫
x
3
√
x2 − 1 dx
Seja u = x2 − 1, então du = 2x dx ⇒ x dx =
du
2
. Assim:∫
x
3
√
x2 − 1 dx =
1
2
∫
u1/3 du =
1
2
· 3
4
u4/3 + C =
3
8
(x2 − 1)4/3 + C
5