Indução Matemática

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MAT01063 – Fundamentos de Aritmética 2018/2
Lista de Exerćıcios 1
1. Mostre por indução que:
a) (∀n ∈ N∗)
n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =
n(n+ 1)
2
;
b) (∀n ∈ N∗)
n∑
i=1
i2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
;
c) (∀n ∈ N∗)
n∑
i=1
i3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
(
n(n+ 1)
2
)2
;
d) (∀n ∈ N∗)
n∑
i=1
i(i+ 1) =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
;
e) (∀n ∈ N∗)
n∑
i=1
1
i(i+ 1)
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ . . .+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
;
f) (∀n ∈ N∗)
n∑
i=1
i · i! = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · ·+ n · n! = (n+ 1)!− 1 ;
g) (∀n ≥ 3) 2n3 > 3n2 + 3n+ 1 ;
h) (∀n ≥ 9) n! > 4n.
2. Quem é maior n3 ou 3n ? Faça uma conjectura e demonstre-a por indução.
Dica: no passo de indução use o item (g) do exerćıcio anterior.
3. Sejam a e b números reais distintos. Mostre por indução que para todo n ∈ N∗
an + an−1b+ an−2b2 + · · ·+ bn =
an+1 − bn+1
a− b
.
4. Seja Fn a sequência de Fibonacci definida por: F0 = 0, F1 = 1 e Fk = Fk−1+Fk−2,
para k ≥ 2. Mostre que
a)
n−1∑
i=0
F2i+1 = F1 + F3 + F5 + · · ·+ F2n−1 = F2n , ∀ n ≥ 1 ;
b)
n∑
i=0
F2i = F0 + F2 + F4 + · · ·+ F2n = F2n+1 − 1 , ∀ n ∈ N ;
5. Considere a sequência dada por: a0 = 1, a1 = 2 e an = (an−1)
2
an−2
, para n ≥ 2 .
Conjecture uma fórmula geral (que dependa apenas de n) para os termos desta
sequência e prove por indução a validade de sua fórmula.
6. Afirmação: (∀n ≥ 1) Sn = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =
(2n+ 1)2
8
.
Encontre o erro na seguinte “prova” da afirmação acima: suponhamos, por hipótese
de indução, que a fórmula seja válida para um certo número natural n, ou seja, que
vale Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
(2n+ 1)2
8
. Mostremos que a fórmula também é
válida para n+ 1. De fato:
Sn+1 = Sn + (n+ 1) =
(2n+ 1)2
8
+ (n+ 1) =
4n2 + 4n+ 1
8
+ (n+ 1) =
=
4n2 + 4n+ 1 + 8n+ 8
8
=
4n2 + 12n+ 9
8
=
(2n+ 3)2
8
=
(2(n+ 1) + 1)2
8
.
Logo, pelo prinćıpio da indução , Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
(2n+ 1)2
8
, para cada
n ≥ 1.